【文档说明】高考数学培优专题55讲：第11讲 直线、平面垂直问题【高考】.doc，共(19)页，2.943 MB，由小赞的店铺上传

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1第十一讲直线、平面垂直问题A组一、选择题1、若,lm是两条不同的直线，m垂直于平面，则“lm⊥”是“//l的（）A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件【答案】B【解析】若lm⊥，因为m垂直于平面，则//l或l；若//l

，又m垂直于平面，则lm⊥，所以“lm⊥”是“//l的必要不充分条件，故选B．2、下列说法错误的是（）A．若直线//a平面，直线//b平面，则直线a不一定平行于直线bB．若平面不垂直于平面，则内一

定不存在直线垂直于平面C．若平面⊥平面，则内一定不存在直线平行于平面D．若平面⊥平面v，平面⊥平面v，l=，则l一定垂直于平面v【答案】C3、已知互不重合的直线,ab,互不重合的平面,,给出下列

四个命题,错误．．的命题是（）（A）若a//,a//,b=,则a//b(B)若⊥,a⊥,⊥b,则ba⊥(C)若⊥,⊥,a=,则a⊥(D)若//,a//,则a//【答案】D【解析】A中,过直线a作平

面分别与,交于,mn,则由线面平行的性质知a//m//n,所以m//,又由线面平行的性质知m//b,所以a//b,正确；B中,由a⊥,⊥b,知,ab垂直于两个平面的交线,则,ab所成的角等于二面角的大小,即为90,

所以ba⊥,正确；C中,在内取一点A,过A分别作直线m垂直于,的交线,直线n垂直于,的交线,则由线面垂直的性质知m⊥,n⊥,则ma⊥,na⊥,由线面垂直的判定定理知a⊥,正确；D中,满足条件的a也

可能在内,故D错,故选D．4、已知互相垂直的平面，交于直线l.若直线m，n满足,mn∥⊥，则（）A．m∥lB．m∥nC．n⊥lD．m⊥n【答案】C2【解析】由题意知,ll=，,nnl⊥⊥．故选C．二、填空题5、【2016高考新课标2理数】,是两个

平面，,mn是两条直线，有下列四个命题：（1）如果,,//mnmn⊥⊥，那么⊥.（2）如果,//mn⊥，那么mn⊥.（3）如果//,m，那么//m.（4）如果//,//mn，那么m与所成的角和n与所成的角相等.其中正确的命题有．(填写所有正确命题的编

号）【答案】②③④【解析】对于①，,,//mnmn⊥⊥，则,的位置关系无法确定，故错误；对于②,因为//n，所以过直线n作平面与平面相交于直线c，则//nc，因为,,mmcmn⊥⊥⊥，故②正确；对于③，由两个平面平行的性质可知正确；对

于④，由线面所成角的定义和等角定理可知其正确，故正确的有②③④.6、三棱锥ABCS−中,90==SCASBA,△ABC是斜边aAB=的等腰直角三角形,则以下结论中:①异面直线SB与AC所成的角为90;②直线⊥SB平面ABC;③面⊥SBC面

SAC;④点C到平面SAB的距离是a21.其中正确结论．．．．的序号是_______________.【答案】①．②．③．④三、解答题7、如图，在三棱柱111ABCABC−中，已知090BAC=，1ABAC==，12

BB=，0160ABB=.（1）证明：1ABBC⊥；（2）若12BC=，求三棱锥11BCCA−的体积.31DABCDE1A1B1C【解析】（1）在1ABB中，∵22211112cos3ABABBBABBBABB=+−••=∴13AB=.又11,2ABBB==，∴由勾股定理的逆定理

，得1ABB为直角三角形.∴1BAAB⊥.又CAAB⊥，1CABAA=,∴AB⊥平面1ABC.∵1BC平面1ABC∴AB⊥1BC（2）易知11111BCCABCCACABCBABCVVVV−−−−===.在1ABC中，∵112,

3,1BCABAC===,则由勾股定理的逆定理，得1ABC为直角三角形，∴1BAAC⊥.又1,BAABABACA⊥=,∴1BA⊥平面ABC.∴1BA为三棱锥1BABC−的高.∴1111111333326BCCABABCA

BCVVSBA−−==••==8、如图，1111DCBAABCD−是四棱柱，底面ABCD是菱形，⊥1AA底面ABCD，2=AB，o60=BAD，E是1AA的中点．⑴求证：平面⊥EBD1平面DDBB11；⑵若四面体ABED−1的体积1=V，求棱柱1111DCBAABC

D−的高．【解析】设平面FCCEBD=11，连接BF，则EAD11与BCF的对应边互相平行，且BCDA=11，所以BCFEAD11……2分，F是1CC的中点……3分，连接11CA、11DB，因为⊥1AA底面ABCD，所以111CAAA⊥，111BBCA⊥，4ABCD是菱形

，1111DBCA⊥，且1111BDBBB=，所以⊥11CA面DDBB11，因为E、F分别是1AA、1CC的中点，所以11EFCA是矩形，11//CAEF，所以⊥EF平面DDBB11EF平面EBD1（即平面EBFD1），所以，面⊥EBD1面DDBB11．⑵因为⊥1AA底面

ABCD，所以1AA是棱柱1111DCBAABCD−的高，1AA平面11AABB，平面⊥11AABB底面ABCD，在底面1111DCBA上作111BAFD⊥，垂足为F，面11AABB面111111BADCBA=，所以⊥FD1面11AABB……10分，所以

FDSVABE131=，其中12121AAAEABAESABE===，360sino111==DAFD，所以1321311==AAV，解得321=AA，即棱柱1111DCBAABCD−的

高为329、如图，在四棱锥OABCD−中，底面ABCD是边长为2的正方形，侧棱OB⊥底面ABCD，且侧棱OB的长是2，点,,EFG分别是,,ABODBC的中点.（Ⅰ）证明：EF//平面BOC；（Ⅱ）证明:OD⊥平面EFG；（Ⅲ）求三棱锥GEOF−的体积.【解析】(Ⅰ）证明

：作OC的中点H,连接,FHBH,,FH分别是,ODOC的中点FH//12CD又在正方形ABCD中，E是AB的中点,[来源:Zxxk.Com]EB//12CDEB//FH四边形BEFH是平行四边形//EFBH,又EF平面BOC，BH平面BOCEF//平面BOC（Ⅱ）证明:四边形A

BCD是边长为2的正方形，E是AB的中点,5DE=又侧棱OB⊥底面ABCD,AB面ABCDOB⊥AB又2,1OBEB==ADBCOEFG55OE=5,DEOE==ODE是等腰三角形，F是OD的中点,EFOD

⊥同理5,DGDG==ODG是等腰三角形，F是OD的中点,FGOD⊥EFFGF=[来源:学.科.网],EFFG面EFGOD⊥平面EFG（Ⅲ）解:侧棱OB⊥底面ABCD,BD面ABCDOB⊥BD2,22OBDB==23OD=由（Ⅱ）知：OD⊥平面EFG

OF是三棱锥O到平面EFG的距离F分别是OD的中点3OF=5,DEOE==EFOD⊥,2EF=5,DGDG==FHOD⊥2FG=四边形ABCD是边长为2的正方形，,EG是,ABBC的中点2EG=三角形EFG是等边三角形[

来源:Zxxk.Com]32EFGS=01132GEOFEFGVVSh−−===10、如图，在四棱锥ABCDP−中，⊥PA平面ABCD，2===ADABPA四边形ABCD中ADAB⊥，ADBC//，且4=BC，点M为PC中点．⑴求证：平面⊥ADM平面PBC；⑵求点P到平面AD

M的距离．【解析】⑴证明：取PB中点N，连接ANMN,．∵M是PC中点，∴221,//==BCMNBCMN．又∵ADBC//，∴ADMN//，ADMN=∴四边形ADMN为平行四边形．∵ADABADAP⊥⊥,，∴⊥AD平面PAB．∴ANAD⊥，∴MNAN⊥．∵ABAP=，∴PBAN

⊥，∴⊥AN平面PBC．MDCPABADBCOEFGH6∵AN平面ADM，∴平面⊥ADM平面PBC．⑵由⑴知，ADPNANPN⊥⊥,．∴⊥PN平面ADN，即点P到平面ADM的距离为PN．在PABRt中，由2==ABP

A，得22=PB，∴221==PBPN．∴点P到平面ADM的距离为2．B组二、选择题1、已知l，m，n为三条不同直线，，，为三个不同平面，则下列判断正确的是（）A.若//m，//n，则//mnB.若m⊥，//n，⊥，则m

n⊥C.若l=，//m，//m，则//mlD.若m=，n=，lm⊥，ln⊥，则l⊥【答案】C.【解析】A：m，n可能的位置关系为平行，相交，异面，故A错误；B：根据面面垂直与线面平行的性质可知B错误；C：根据线面平行的性质可知C正确；D：若

//mn，根据线面垂直的判定可知D错误，故选C．2、设,,abc是空间三条直线，,是空间两个平面，则下列命题中，逆命题不．．．．正确的是()A.当c⊥时，若c⊥，则//B.当,ba且c是a在内的射影时，若bc⊥，则ab⊥C.当b

时，若b⊥，则⊥D.当b且c时，若//c，则//bc【答案】C【解析】A选项的逆命题为“当c⊥时，若//，则c⊥”，正确；B.选项的逆命题为“当,ba且c是a在内的射

影时，若ab⊥，则bc⊥”,正确；C.选项的逆命题为“当b时，若⊥，则b⊥”，错误：D.选项的逆命题为“当b且c时，若//bc，则//c”正确3、如图2，在正方体1111ABCDABCD−中，点O为线段BD的中点．设点P在线段1CC上，直线OP与7平面1ABD所成角为

，则sin的取值范围是()C1D1B1A1CDABOP图2A．3[,1]3B．6[,1]3C．622[,]33D．22[1]3，【解析】易于证明平面11AACC⊥平面1ABD，所以直线OP在平面1ABD上的射影为线段1AO所在直线，于是1AOP

即直线OP与平面1ABD所成角(或补角).利用极端情况，本题只要计算1cosAOC，11cosAOC，利用余弦定理知13cos3AOC=−，111cos=3AOC，于是6sin[,1]3.故选B.4、已

知正ABC的顶点A在平面上，顶点,BC在平面的同一侧，D为BC的中点，若ABC在平面上的射影是以A为直角顶点的三角形，则直线AD与平面所成角的正弦值的范围是（）A.6[,1)3B.63[,)32C.13[,)22D.16(,]23【答案】B.【解

析】如图所示，设B到平面，C到平面的射影，D到平面的射影分别为E，F，P，设BEa=，CFb=，则2abDP+=，由题意可知2222244()3()EFAPADDPab==−=−+，22221AEABBEa=−=−，22

221AFACCFb=−=−，∴222AEAFEF+=2221113()2ababba−+−=−+=，由011112012aaa，∴11222sin332aaaDPaDAPAD++===，由函数1()2fxxx=+在1

2(,]22上单调递减，2[,1)2上单调递增，∴可知2163()()max{(),(1)}sin[,)2232ffaffDAP，故选B．8二、填空题5、三棱柱111ABCABC−的底面是边长为2的正三角形，侧棱1AA与底边,ABAC所成的角均为60.若顶点1A在下底面的投影

恰在底边BC上，则该三棱柱的体积为.【答案】32【解析】如图所示，过点1A作直线1ADBC⊥交BC于点D，则D为BC中点.过点D作DEAB⊥交AB于点E，连接1AE.因为2AB=，所以3AD=，32DE=，所以32AE=.因为160AAE=，且1AEAB⊥，所

以13AA=，所以16AD=.所以1112113263222ABCABCABCVSAD−===.6、一个直径2AB=的半圆，过A作这个圆所在平面的垂线，在垂线上取一点S，使ASAB=，C为半圆上一个

动点，,NM分别为A在,SCSB上的射影.当三棱锥SAMN−的体积最大时，BAC的余弦值为____.【答案】33【解析】如下图所示，SA⊥平面ABC，BC平面ABC，∴SABC⊥，又由BCAC⊥，SAACA=，,SAAC平面SAC，∴

BC⊥平面SAC，又由AN平面SAC，∴BCAN⊥，又由ANSC⊥，SCBCC=，,SCBC平面SBC，∴AN⊥平面SBC，又由SB平面SBC，∴ANSB⊥，又由,,,AMSBANAMAAMAN⊥=平面AMN，∴SB⊥平面AMN，即SM为三棱锥SAMN−中平面A

MN上的高，∵2SAAB==，∴2AMSM==，而ANMN⊥，故AMN是斜边为2的直角三角形，故当1ANMN==时，AMN的面积S取得最大值，此时利用三角形的有关知识以及相应的9边长，可以求得233AC=，∴3cos3ACBACAB==.三、解答题7、如图，长方体1111DCBAABCD

−中，2=AB，11==CCBC，点P是棱CD上的一点，=DP．（1）当23=时，求证：⊥CA1平面1PBC；（2）当直线CA1与平面1PBC所成角的正切值为22时，求的值．【解析】（1）连接AC,易得⊥1BC平面

11DCBA，所以CABC11⊥，①当23=时，21=CP，21==CBCPDCAD，所以PBCACD=，因此：ACBP⊥，而⊥1AA平面ABCD，故1AABP⊥所以⊥BP平面ACA1，所以，CABP1⊥

，②由①②可得：⊥CA1平面1PBC．（2）连接DA1，CB1，设MBCCB=11，连接PM，由于⊥1BC平面11DCBA，所以平面⊥1PBC平面11DCBA，所以CA1在平面1PBC内的射影为PM，故

直线CA1与平面1PBC所成角即CA1与PM所成的角，记为，在平面11DCBA中，令NCAPM=1，则=CNM，再令=CPN，=PCN，则由题意得：22tan=，22tan1==DCDA，22tantan1tantan)tan(tan=+−

=−=，而22222tan=−==CPCM，解得：1=．ABCDP1A1B1C1DABCDP1A1B1C1DMD1A1BCMPN108、如图1，在直角梯形ABCD中，//,,2ADBCBADABBC==12ADa==，E是A

D的中点，O是OC与BE的交点，将ABE沿BE折起到图2中1ABE的位置，得到四棱锥1ABCDE−.(I)证明：CD⊥平面1AOC；(II)当平面1ABE⊥平面BCDE时，四棱锥1ABCDE−的体积为362，求a的

值.【解析】(I)在图1中，因为12ABBCADa===，E是AD的中点，2BAD=，所以四边形ABCE是正方形，故BEAC⊥，又在图2中，1,BEAOBEOC⊥⊥，从而BE⊥平面1AOC，又//DEBC且DEBC=，所以//CDBE，即可证得CD⊥平面1AOC；(II)由已知，平面1ABE

⊥平面BCDE，且平面1ABE平面BCDEBE=，又由(I)知，1AOBE⊥，所以1AO⊥平面BCDE，即1AO是四棱锥1ABCDE−的高，易求得平行四边形BCDE面积2SBCABa==，从而四棱锥1ABCDE−的为311236VSAOa==，由32362

6a=，得6a=.9、如图，在四棱锥PABCD−中,E为AD上一点，PE⊥平面ABCD.//ADBC，ADCD⊥，22BCEDAE===，3EB=，F为PC上一点，且2CFFP=．（Ⅰ）求证://PABEF平面；（Ⅱ）求三棱锥PABF−与三棱锥FEBC−的体积之比．【解析】（Ⅰ）证明：连接

AC交BE于点M，连接FM．由//EMCDPABCFDEPBCFDEMH1112AMAEPFMCEDFC===．//FMAP．FMBEFPABEF面，面，//PABEF面．（Ⅱ）12PABFAPBFPBFFEBCEFBCFBCVVSPFVVSFC−−−−

====10、如图，已知四棱锥PABCD−中，PA⊥平面ABCD，底面ABCD是正方形，,PAADE=为AB上的动点，F为棱PD的中点．FEBDACP（1）求证：AF⊥平面PCD；（2）试确定点的位置，使得平面PEC⊥平面PC

D，并说明理由．【解析】（1）因为PAAD=,点F是PD的中点，所以AFPD⊥．①因为PA⊥平面ABCD，所以CDPA⊥．因为四边形ABCD是正方形，所以CDAD⊥．又PAADA=,所以CDPAD⊥平面，所以CDAF⊥．②由①②及C

DPDD=，得AF⊥平面PCD．（2）当点E为AB的中点时，平面PEC⊥平面PCD．证明：取线段PC的中点G，连接FG．则//FGCD,且12FGCD=，因为E是AB的中点，四边形ABCD为正方形,12所以//AEC

D,且12AECD=．所以//AEFG，且AEFG=．所以四边形AEGF是平行四边形,所以//EGAF．由（1）知AF⊥平面PCD，所以EG⊥平面PCD,因为EG平面PEC．所以平面PEC⊥平面PCD．考点：1．线面垂直的判定与性质

；2．面面垂直的判定与性质．C组一、选择题1、如图，正方形ABCD中，E，F分别为BC，CD的中点，把AE，AF，EF折起成一个四面体，使C，B，D三点重合，记为P，则直线PA与平面AEF所成角的正弦值是（）.A.13B.23C.14D.24【答案】A.【解析】不妨设正方形的边

长为2a，根据折叠过程，可知PAPE⊥，PAPF⊥，又∵PEPFP=，∴PA⊥平面PEF，∴31112323APEFVaaaa−==，21422AEFABEADFCEFABCDSSSSSaaa=−−−=−△△△△正方形21132222aaaaa−−=，

设点P到平面AEF的距离为h，则2313123233PAEFAPEFVVahaha−−====，∴直线PA与平面AEF所成角的正弦值是21323ahPAa==，故选A.132、如图，在正方体1111ABCDABCD−中，给出以下结论

：①1AC⊥平面1ABD；②直线1AC与平面1ABD的交点为△1ABD的外心；③若点P在1ABD所在平面上运动，则三棱锥11PBCD−的体积为定值．其中，正确结论的个数是(A)0个(B)1个(C)2个(D)3个答案：D3、

棱长为2的正方体1111ABCDABCD−中，E为棱1CC的中点，点,PQ分别为面1111ABCD和线段1BC上的动点，则PEQ周长的最小值为（）A．22B．10C．11D．23答案：B4、.在RtABC△中，

已知D是斜边AB上任意一点（如图①），沿直线CD将ABC△折成直二面角BCDA−−（如图②）。若折叠后,AB两点间的距离为d，则下列说法正确的是（）A．当CD为RtABC△的中线时，d取得最小值B．当CD为RtABC△的角平分线线时，d取得最小值C．当CD为RtABC

△的高线时，d取得最小值D．当D在RtABC△的斜边AB上移动时，d为定值【答案】B【解析】设aBC=，bAC=，=ACD，则−=2BCD(20)，过A作CD的垂线AG，14过B作CD的延长线的垂线BH，sinbAG=，cosaBH=，co

sbCG=则cossinbaCGCHHG−=−=，()2sin2sincossincossincossincossin222222222222222222abbaabbaabbaabHGBHAGABd−+=

−+++=−++=++==当4=，即当CD为ABCRt的角平分线时，d取得最小值.由余弦定理得：63cos=CNM,故选B.二、填空题5、已知三棱锥ABCP−，若PA，PB，PC两两垂直，且2=PA，1==PCPB，则三棱锥ABCP−的内切球半径为.【答案】

14【解析】由题意，设三棱锥PABC−的内切球的半径为r，球心为O，则由等体积BPACOPABOPACOABCVVVV−−−−=++可得11112112123232r=111132r+1132+1252r−，∴14r=．

6、已知矩形ABCD的边4=AB，3=BC若沿对角线AC折叠，使得平面DAC⊥平面BAC,则三棱锥ABCD−的体积为．【答案】245【解析】因为平面DAC⊥平面BAC,所以D到直线BC距离为三棱柱ABCD−的高，11341211224,346,,63255355DABCAB

CABCVShShV−=======三、解答题7、如图，四棱锥PABCD−中，底面ABCD是矩形，PA⊥底面ABCD，1,3PAABAD===，点F15是PB的中点，点E在边BC上移动．（1）当点E为BC的中点时，试判断EF与平面PAC的位置关系，并说明理由；（2）证明：无论

点E在BC边的何处，都有PEAF⊥；（3）求三棱锥PAEF−体积的最大值．【解析】（1）解：当点E为BC的中点时，EF与平面PAC平行，在PBC中，∵,EF分别为,BCPB的中点，∴//PCEF．又EF平面PAC，而PC平面PAC，∴

//EF平面PAC（2）证明：∵PA⊥平面,ABCDBE平面ABCD，∴EBPA⊥，又,,,EBABABAPAABAP⊥=平面PAB，∴EB⊥平面PAB．又AF平面PAB，∴AFBE⊥．又1PAAB==，点F是PB的中点，∴AFPB⊥又∵,,PB

BEBPBBE=平面PBE，∴AF⊥平面PBE∵PE平面PBE，∴AFPE⊥（3）解：∵PAEFEPAFVV−−=，而底面PAF面积为定值∴要使三棱锥PAEF−体积最大，只需点E到底面PAF的距离最大即点E与点C重合时，∴当点E位于点C时，三

棱锥PAEF−体积取得最大值为13212CAPFCAPBVV−−==8、如图，在几何图形ABCDEF中，//,1ABCDADDCCBCF====，060ABC=，四边形ACEF16为矩形，平面ACEF⊥平面ABCD.（1）求证：平面FBC⊥平面ACEF；（2）在AB上

确定一点P，使得平面//FCP平面AED；（3）求三棱锥ECDF−的体积.【解析】（1）由题知四边形ABCD为等腰梯形，060ABC=，故ACCB⊥,又平面ACFE⊥平面ABCD，所以CB⊥平面ACFE，且CB平面FBC,故平面FBC⊥

平面ACFE.（2）因为//CFAE，要使平面//FCP平面AED，只要让CP//AD.在等腰梯形ABCD中，当P为AB的中点时，有CP//AD.所以当P为AB的中点时，平面//FCP平面AED.（3）因

为13ECDFDCEFCEFVVSh−−==，其中h到D到平面CEF的距离.由题知平面ACFE⊥平面ABCD，所以D到平面CEF的距离即为D到AC的距离.在等腰三角形ACD中，易知D到AC的距离为12，所以1111331332212ECDFDCEF

CEFVVSh−−===••••=.9、如图所示，在四棱锥ABCDP−中，底面ABCD是边长为2的正方形，其它四个侧面都是侧棱长为5的等腰三角形.（Ⅰ）求二面角CABP−−的大小；（Ⅱ）在线段AB上是否存在一点E，使平面⊥PCE平面PCD？若存在，请指出点E的位置并证明，

若不存在请说明理由.DABCP17EFGDABCPMN【解析】（Ⅰ）如图，设NM,分别是AB和CD的中点，连接PM，MN，PN∵PBPA=，M是AB的中点∴ABPM⊥又在正方形ABCD中有ABMN⊥∴PMN为二面角CABP−−的平面角∵5==

PBPA，2=AB，M是AB的中点∴2=PM同理可得2=PN，又2=MN∴PMN是等边三角形，故060=PMN∴二面角CABP−−为060（Ⅱ）存在点E，使平面⊥PCE平面PCD，此时E为线段MB的中点.理由如下如图

，设E,F,G分别为MB,PN和PC的中点，连接MF,FG,EG,EC由（Ⅰ）知PMN是等边三角形，故PNMF⊥∵MNCD⊥，PNCD⊥，NPNMN=∴⊥CD平面PMN，故MFCD⊥又NPNCD=∴⊥MF平面PCD∵F，G分别为PN和PC

的中点∴FG//=NC21又E为线段MB的中点∴FG//=ME，故四边形EMFG为平行四边形∴MFEG//∴⊥EG平面PCD又EG平面PCE∴平面⊥PCE平面PCD10、如图，已知平面四边形ABCP中，D为PA的中点，PAAB⊥，//CDAB，且24PACDAB===．将

此平面四边形ABCP沿CD折成直二面角PDCB−−，连接PAPB、，设PB中点为E．（I）证明：平面PBD⊥平面PBC；（II）在线段BD上是否存在一点F，使得EF⊥平面PBC？若存在，请确定点F的位置；若不存在，18请说明理由．（III）求直线AB与平面PBC

所成角的正弦值．【解析】（I）直二面角PDCB−−的平面角为90PDA=，又PDDC⊥，则PD⊥平面ABCD，所以PDBC⊥．又在平面四边形ABCP中，由已知数据易得BDBC⊥，而PDBDD=，故BC⊥平面PB

D，因为BC平面PBC，所以平面PBD⊥平面PBC（II）解法一：由（I）的分析易知，,,PDDAPDDCDCDA⊥⊥⊥，则以D为原点建立空间直角坐标系如图所示．结合已知数据可得(2,0,0)A，(2,2,0)B，(0,4,0)C，(0,

0,2)P，则PB中点(1,1,1)E，F平面ABCD，故可设(,,0)Fxy，则(1,1,1)EFxy=−−−EF⊥平面ABCD，0,0EFPBEFPC==又(2,2,2),(0,4,2)PBPC=−

=−，由此解得12xy==，即11(,,0)22F易知这样的点F存在，且为线段BD上靠近点D的一个四等分点解法二：（略解）如右图所示，在PBD中作EFPB⊥，交BD于F，因为平面PBD⊥平面PBC，则有EF⊥平面PBC．在RtPBD中，结合已知数据，利用三角形相似等知识可以求得3322

4BFBD==，故知所求点F存在，且为线段BD上靠近点D的一个四等分点．……..（8分）（III）解法一：由（II）11(,,1)22EF=−−−是平面PBC的一个法向量，又(0,2,0)AB=，则得6cos,6|||

|EFABEFABEFAB===−，记直线AB与平面PBC所成角为，则知6sin|cos,|6EFAB==，故所求角的正弦值为66解法二：（略解）如上图中，因为//ABCD，所以直线AB与平面PBC所成角等于直线CD与平面PBC所成角，由此，在RtPBD中作DH

PB⊥于H，易证DH⊥平面PBC，连接CH，则DCH为直线CD与平面PBC所成角，ABCPDPABCDEPABCDEFHPABCDEzyx19结合题目数据可求得6sin6DCH=，故所求角的正弦值为66