【文档说明】2021人教B版数学必修第三册课时分层作业：8.1.3　向量数量积的坐标运算 .docx，共(8)页，107.558 KB，由小赞的店铺上传

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课时分层作业(十六)向量数量积的坐标运算(建议用时：40分钟)一、选择题1．已知向量a＝(1，－1)，b＝(2，x)，若a·b＝1，则x等于()A．1B．12C．－12D．－1A[由向量a＝(1，－1)，b＝(2，x)，a·b＝1，得a·b＝(1，－1)·(2，x)＝2－x＝

1，所以x＝1.]2．已知点A(－1,1)，B(1,2)，C(－2，－1)，D(3,4)，则向量CD→在BA→方向上投影的数量是()A．－35B．－322C．35D．322A[依题意得，BA→＝(－2，－1)，CD→＝(5,5)，BA→·CD→＝(－2，－1)·(5,5)＝－15，|B

A→|＝5，因此向量CD→在BA→方向上投影的数量是BA→·CD→|BA→|＝－155＝－35，故选A．]3．已知向量a＝(1,2)，b＝(2，－3)．若向量c满足(c＋a)∥b，c⊥(a＋b)，则c等于()A．79，73B．(－73，－79)C．73，79D

．－79，－73D[设c＝(x，y)，则c＋a＝(x＋1，y＋2)，又(c＋a)∥b，所以2(y＋2)＋3(x＋1)＝0.①又c⊥(a＋b)，所以(x，y)·(3，－1)＝3x－y＝0.②联立①②解得x＝－79，y＝－73.所以c＝－79，－73.]4．设x

，y∈R，向量a＝(x,1)，b＝(1，y)，c＝(2，－4)，且a⊥c，b∥c，则|a＋b|等于()A．5B．10C．25D．10B[因为a＝(x,1)，b＝(1，y)，c＝(2，－4)，由a⊥c得a·c

＝0，即2x－4＝0，所以x＝2.由b∥c，得1×(－4)－2y＝0，所以y＝－2.所以a＝(2,1)，b＝(1，－2)．所以a＋b＝(3，－1)，所以|a＋b|＝32＋(－1)2＝10.]5．(多选题)已知向量a＝(3,4)，b＝(－4，－3)，则下列说法正确的是(

)A．a与b的夹角是直角B．|a＋b|为2C．a＋b与a－b的夹角是直角D．a在b上投影的数量等于b在a上投影的数量CD[由向量a＝(3,4)，b＝(－4，－3)，得a·b＝－24<0，所以a与b的夹角是

钝角．a＋b＝(－1,1)，所以|a＋b|＝(－1)2＋12＝2.(a＋b)·(a－b)＝a2－b2＝0，所以a＋b与a－b的夹角是直角．a在b上投影的数量为|a|cos〈a，b〉＝a·b|b|＝－245，b在a上投影的数量为|b|cos〈a，b〉＝a·b|a|＝－245

.]二、填空题6．已知向量a＝(1，－3)，b＝(－3，1)，则a与b夹角的大小为____．5π6[因为向量a＝(1，－3)，b＝(－3，1)，所以a与b夹角θ满足cosθ＝a·b|a|·|b|＝－232×2＝－32，又因为θ∈[0，

π]，所以θ＝5π6.]7．(一题两空)已知向量a＝(1,0)，b＝(x,1)，若a·b＝2，则x＝________；|a＋b|＝________.210[因为a·b＝2，所以x＝2.因为a＋b＝(3,1)，所以|a＋

b|＝10.]8．已知a＝(－3,2)，b＝(－1,0)，向量λa＋b与a－2b垂直，则实数λ的值为________．－17[因为a＝(－3,2)，b＝(－1,0)，所以λa＋b＝(－3λ－1,2λ)，a－2b＝(－1,2)．又因为λa＋b与a－2b垂直，所以(λa＋b)·(a－2

b)＝(－3λ－1,2λ)·(－1,2)＝3λ＋1＋4λ＝0，解得λ＝－17.]三、解答题9．设a＝(1,2)，b＝(－2，－3)，又c＝2a＋b，d＝a＋mb，若c与d的夹角为45°，求实数m的值．[解

]因为a＝(1,2)，b＝(－2，－3)，所以c＝2a＋b＝2(1,2)＋(－2，－3)＝(0,1)，d＝a＋mb＝(1,2)＋m(－2，－3)＝(1－2m,2－3m)，所以c·d＝0×(1－2m)＋1×(2－3m)＝2－3m.又|c|＝1，|d|＝(1－2m)2＋(2－3m

)2，c与d的夹角为45°，所以2－3m＝1×(1－2m)2＋(2－3m)2cos45°，即(1－2m)2＋(2－3m)2＝2(2－3m)，等价于2－3m≥0，5m2－8m＋3＝0，解得m＝35.10．已知平面上三

点A，B，C，满足AC→＝(2,4)，BC→＝(2－k,3)．(1)如果A，B，C三点不能构成三角形，求实数k满足的条件；(2)如果A，B，C三点构成直角三角形，求实数k的值．[解](1)因为A，B，C三点不能构成三角形，所以A，B，C三点共线，即A

C→∥BC→，得4(2－k)＝6，解得k＝12.(2)因为BC→＝(2－k,3)，所以CB→＝(k－2，－3)，所以AB→＝AC→＋CB→＝(k,1)．由于A，B，C三点构成直角三角形，所以当A是直角时，

AB→⊥AC→，所以AB→·AC→＝0，得2k＋4＝0，解得k＝－2；当B是直角时，AB→⊥BC→，所以AB→·BC→＝0，得k2－2k－3＝0，解得k＝3或k＝－1；当C是直角时，AC→⊥BC→，所以AC→·BC→＝0,16－2k＝0，解得k＝8.综上所述，实数k的值为－2，

－1,3,8.11．(多选题)设m，n是两个非零向量，且m＝(x1，y1)，n＝(x2，y2)，则以下等式中与m⊥n等价的为()①m·n＝0；②x1x2＝y1y2；③|m＋n|＝|m－n|；④|m＋n|＝m2＋n2.A．①B．②C．③D．④ACD[由公式知

①正确，②错误；对③④两边平方，化简，得m·n＝0，因此也是正确的，故选ACD．]12．角α顶点在坐标原点O，始边与x轴的非负半轴重合，点P在α的终边上，点Q(－3，－4)，且tanα＝－2，则OP→与OQ→夹角的余弦值为()A．－55B．11525C．55或－55D．11525或1155C[因为

tanα＝－2，所以可设P(x，－2x)，cos〈OP→，OQ→〉＝OP→·OQ→|OP→|·|OQ→|＝5x55|x|，当x＞0时，cos〈OP→，OQ→〉＝55，当x＜0时，cos〈OP→，OQ→〉＝－55.故选C．]13．(一题两空)已知向量m＝(λ＋2,1)，n＝(λ＋1,2)

，若(m＋n)⊥(m－n)，则向量m，n的夹角的余弦值为__________，m＋n在n方向上的投影的数量为________．45955[由题意知向量m＋n＝(2λ＋3,3)，m－n＝(1，－1)，因为(m＋n)⊥(m－n)

，所以λ＝0.所以m＝(2,1)，n＝(1,2)，cos〈m·n〉＝45，m＋n＝(3,3)．m＋n在n方向上的投影的数量为|m＋n|cos〈m＋n，n〉＝(m＋n)·n|n|＝955.]14．如图，在△ABC中，D是BC

的中点，E，F是AD上的两个三等分点，BA→·CA→＝4，BF→·CF→＝－1，则BE→·CE→的值是________．78[法一：以D为坐标原点，BC所在直线为x轴，线段BC的中垂线为y轴建立平面直角坐标系(图略)，设B(

－a,0)，C(a,0)，A(b，c)，则E23b，23c，F13b，13c，BA→＝(b＋a，c)，CA→＝(b－a，c)，BF→＝b3＋a，c3，CF→＝b3

－a，c3，BE→＝2b3＋a，2c3，CE→＝2b3－a，2c3，由BA→·CA→＝b2－a2＋c2＝4，BF→·CF→＝b29－a2＋c29＝－1，解得b2＋c2＝458，

a2＝138，则BE→·CE→＝49(b2＋c2)－a2＝78.法二：设BD→＝a，DF→＝b，则BA→·CA→＝(a＋3b)·(－a＋3b)＝9|b|2－|a|2＝4，BF→·CF→＝(a＋b)·(－a＋b)＝|b|2－|a|2＝－1，解得|a|2

＝138，|b|2＝58，则BE→·CE→＝(a＋2b)·(－a＋2b)＝4|b|2－|a|2＝78.]15．已知向量a＝(1,2)，b＝(－3,4)，c＝a＋λb，λ∈R.(1)求λ为何值时，|c|最小？此时b与c的位置关系如何？(2)求λ为何值时，a与c的夹角最小？此时a与c的位置关系

如何？[解](1)由a＝(1,2)，b＝(－3,4)，得c＝a＋λb＝(1－3λ，2＋4λ)，|c|2＝c2＝(1－3λ)2＋(2＋4λ)2＝5＋10λ＋25λ2＝25λ＋152＋4，当λ＝－1

5时，|c|最小，此时c＝85，65，b·c＝0，所以b⊥c.(2)设向量a与c的夹角为θ，则cosθ＝a·c|a||c|＝5＋5λ55＋10λ＋25λ2＝1＋λ1＋2λ＋5λ2，要使向量a与c的夹角最小，则

cosθ最大，由于θ∈[0,π]，所以cosθ的最大值为1，此时θ＝0，1＋λ1＋2λ＋5λ2＝1，解得λ＝0，c＝(1,2)．所以当λ＝0时，a与c的夹角最小，此时a＝c.获得更多资源请扫码加入享学资源网微信公众号www.xiangxue100.co

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