【文档说明】宁夏固原市隆德县2020-2021学年高二上学期期末考试数学（理）试题 含解析【精准解析】.doc，共(15)页，1.282 MB，由小赞的店铺上传

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2020--2021学年度第一学期高二期末考试数学（理科)试卷一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，满分60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.一个命题与它们的逆命题、否命题、逆否命题

这4个命题中（）A.真命题与假命题的个数不同B.真命题的个数一定是偶数C.真命题的个数一定是奇数D.真命题的个数可能是奇数，也可能是偶数【答案】B【解析】【分析】根据互为逆否命题的真假性是一致的，得到原命题与逆否命题具有相同的真假性，否命题与逆命题具有相同的

真假性，真命题是成对出现的．【详解】解：一个命题与他们的逆命题、否命题、逆否命题这4个命题，原命题与逆否命题具有相同的真假性，否命题与逆命题具有相同的真假性，真命题是成对出现的，真命题的个数一定是一个偶数．故选：B．【点睛】本题考查命题

的四种形式，是一个概念辨析问题，这种题目不用运算，是一个比较简单的问题，若出现是一个送分题目．2.若命题“pq”为假，则（）A.pq为假B.q假C.q真D.不能判断p、q的真假【答案】D【解析】【分析】由已

知条件判断p、q的真假，由此可判断各选项中命题的真假.【详解】由于“pq”为假，则p、q中一真一假或p、q均为假命题，因此，不能判断p、q的真假，故选：D.3.已知aR，则“1a”是“2a”的（）A.充分不必

要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分又不必要条件【答案】B【解析】【分析】直接由12,21aaaa可得结论.【详解】12,21aaaa“1a”是“2a”的必要不充分条件.故选:B4.下列命题：①至少有一个x

使x2＋2x＋1＝0成立；②对任意的x都有x2＋2x＋1＝0成立；③对任意的x都有x2＋2x＋1＝0不成立；④存在x使x2＋2x＋1＝0成立．其中是全称命题的有()A.1个B.2个C.3个D.0个【答案】

B【解析】【详解】试题分析：①和④中用的是存在量词“至少有一个”“存在”，属特称命题；②和③用的是全程量词“任意的”，属全程命题，所以B正确考点：全程命题，特称命题5.双曲线22981xy−=−的渐近线方程是（）A.13yx=B.3yx=C.9yx=D.19yx=【答案】B【解析】【分析】

将双曲线的方程化为标准方程，求出a、b的值，由此可得出该双曲线的渐近线方程.【详解】双曲线22981xy−=−的标准方程为221819yx−=，则9a=，3b=，因此，该双曲线的渐近线方程为3ayxxb==.故选：B.6

.已知|a|=1，|b|=，且(a-b)与a垂直，则a与b的夹角是（）A.60°B.30°C.135°D.45【答案】D【解析】【详解】因为(a-b)与a垂直，所以(a-b)0a=.|a|=1，21aba==.设a与b的夹角为θ，则2121,2abcoscoscos===所

以45=，故选D.点睛：平面向量的数量积计算问题，往往有两种形式，一是利用数量积的定义式，二是利用数量积的坐标运算公式，涉及几何图形的问题，先建立适当的平面直角坐标系，可起到化繁为简的妙用.利用向量夹角公式、模公式及向量垂直的充要条件，可将有关角度问题、线段长问题及垂直问题转化

为向量的数量积来解决．列出方程组求解未知数.7.若椭圆的对称轴是坐标轴，长轴长为10，焦距为6，则椭圆的方程（）A.221916xy+=B.2212516xy+=C.2212516xy+=或2251162x

y+=D.以上都不对【答案】C【解析】【分析】求得a、b、c的值，由此可得出所求椭圆的方程.【详解】由题意可得21026ac==，解得53ac==，224bac=−=，由于椭圆的对称轴是坐标

轴，则该椭圆的方程为2212516xy+=或2251162xy+=.故选：C.8.抛物线24yx=的焦点到双曲线2213yx−=的渐近线的距离是（）A.12B.32C.1D.3【答案】B【解析】【分析】由圆锥曲线方程可求得抛物线焦点和双曲线渐近线方程，由点

到直线距离公式可求得结果.【详解】由24yx=可知抛物线焦点坐标为()1,0；由2213yx−=可知双曲线渐近线方程为3yx=，即30xy−=；()1,0到30xy−=的距离30322d−==.故选：B.9.已知空间向量

AB、BC、AD、CD、AD，则下列结论正确的是（）A.ABBCCD=+B.ADABBCDC=++C.ABDCBCAD−+=D.BCBDDC=−【答案】C【解析】【分析】利用空间向量的加法和减法法则可判断各选项的正误.【详解】对于A选项，BCCDBDAB+=，A选项错误；对于B

选项，ADABBCCDABBCDC=++++，B选项错误；对于C选项，ABDCBCACCDAD−+=+=，C选项正确；对于D选项，BCBDDCBDDC=+−，D选项错误.故选：C.10.设(),4,3ax=，()3,2,bz=，且//ab，则xz等于（）A.-4B.9C.-9D.6

49【答案】B【解析】【分析】由ab，根据向量平行（共线）的充要条件得：存在实数使λab=，进而构造方程求出的值，进而求出x，z值.【详解】()(),4,3,3,2,axbz==由于ab则存在实数使λab=即()()

,4,33,2,xz=3423xz===解得2=则36,2xz==故9xz=故选：B【点睛】知识点点睛：向量平行（共线）的充要条件得：存在实数使λab=.11.设平面α内两向量a＝(1,2,1)，b＝(－1,1,2)，则下列向量中是平面α的法向量的是()A.(－

1，－2,5)B.(－1,1，－1)C.(1,1,1)D.(1，－1，－1)【答案】B【解析】【分析】利用非零向量ab⊥⇔0ab=即可找出平面的法向量．【详解】∵（﹣1，1，﹣1）•（1，2，1）=﹣1+2﹣1=0，

（﹣1，1，﹣1）•（﹣1，1，2）=1+1﹣2=0，∴向量（﹣1，1﹣1）是此平面的法向量．故选B．【点睛】正确理解平面的法向量是解题的关键．12.若“13x”是“()()40xaxa−−+”

的充分不必要条件，则实数a的取值范围是（）A.1,1−B.0,1C.(),12,−+D.()(),10,−−+【答案】A【解析】【分析】解不等式()()40xaxa−−+，根据已知条件可得出集合间的包含关系，由此可求得实

数a的取值范围.【详解】解不等式()()40xaxa−−+可得4axa+.因为“13x”是“()()40xaxa−−+”的充分不必要条件，则()1,3,4aa+，由题意可得143aa+，解得11a−.因此，实数a的取值范围是

1,1−.故选：A.【点睛】结论点睛：本题考查利用充分不必要条件求参数，一般可根据如下规则求解：（1）若p是q的必要不充分条件，则q对应集合是p对应集合的真子集；（2）p是q的充分不必要条件，则p对应集合

是q对应集合的真子集；（3）p是q的充分必要条件，则p对应集合与q对应集合相等；（4）p是q的既不充分又不必要条件，则q对应集合与p对应集合互不包含．二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.13.抛物线2110xy=的焦点到准

线的距离是___________.【答案】5【解析】【分析】将抛物线的方程化为标准方程，即可求得结果.【详解】抛物线的标准方程为210yx=，则210p=，可得5p=.因此，抛物线2110xy=的焦点到准线的距离是5.故答案为：5.14.在正方体1111ABCDA

BCD−中，点MN，分别是11AABB，的中点，则CM和1DN所成角的余弦值为__________．【答案】19【解析】【分析】以D为原点建立空间直角坐标系，设棱长为2，根据异面直线所成角的空间向量求法可求得结果.【

详解】以D为原点可建立如下图所示的空间直角坐标系设正方体棱长为2，则()0,2,0C，()2,0,1M，()10,0,2D，()2,2,1N()2,2,1CM=−，()12,2,1DN=−1114411cos,339CMDNCMDNCMDN−

−===即异面直线CM与1DN所成角的余弦值为19故答案为：19【点睛】本题考查空间向量法求解异面直线所成角的问题，易错点是忽略异面直线所成角的范围为0,2，造成求解余弦值时符号错误.15.已知方程22121xymm−=++表示双曲线，

则实数m的取值范围为________.【答案】2m−或1m−【解析】【分析】由双曲线方程的特点可得()()210mm++，解不等式即可求解.【详解】若方程22121xymm−=++表示双曲线，则()()210mm++，解得：2m−或1m−，故答案为

：2m−或1m−.16.已知ABC，，三点不共线，O为平面ABC外一点，若由向量1253OPOAOBOC=++确定的点P与ABC，，共面，那么=____【答案】215【解析】【详解】【分析】1/52/31/52/31215215AB

COABCOPOAOBOCPABC=++++==解：由题意，，三点不共线，点是平面外一点，若由向量确定的点与，，共面，解得故答案为：三、解答题：共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17.已知椭圆的中心在坐标原点，长轴在x轴上，离心率为32，其长轴长为12.1F、2F

为椭圆的左右焦点，过2F的直线与椭圆交于P、Q两点.（1）求椭圆的标准方程；（2）求1PQF△的周长.【答案】（1）221369xy+=；（2）24.【解析】【分析】（1）求出a、c的值，进而可求得b的值，由此可得出椭圆的标准方程

；（2）利用椭圆的定义可得出1PQF△的周长.【详解】（1）由于椭圆的中心在坐标原点，长轴在x轴上，设所求椭圆的标准方程为()222210xyabab+=，焦距为()20cc，由已知条件可得2221232acabac===−，解得6333abc===，因此，椭圆的标准

方程为221369xy+=；（2）由椭圆的定义可得1212212PFPFQFQFa+=+==，因此，1PQF△的周长为11121224PFPQQFPFPFQFQF++=+++=.18.已知(2,3,1),(2,0,3),(0,0,).abcm=−==（

1）若23(631)abc+−=−，，,求实数m的值：（2）若m=2，求()abc+的值.【答案】（1）2；（2）9．【解析】【分析】（1）根据向量运算的坐标表示计算；（2）由数量积的坐标表示计算．【详解】（1）由题意，23(6,3,73)(631)a

bcm+−=−−=−，，，所以731m−=，解得2m=；（2）(2,0,5)bc+=，所以()22(3)0159abc+=+−+=．19.如图所示，在四面体PABC−中，PC⊥平面ABC，ABBCCAPC===，求二面角BAPC−−的余弦值.【答案】77【解析】【分析】取AC的

中点O，连接OB，过点O在平面PAC内作OMPA⊥，垂足为点M，连接BM，说明二面角BAPC−−的平面角为BMO，设2ABBCCAPC====，计算出cosBMO即可得解.【详解】取AC的中点O，连接OB，过点O在平面PAC内作OMPA⊥，垂足为点

M，连接BM，设2ABBCCAPC====，PC⊥平面ABC，OB平面ABC，OBPC⊥，ABACBC==，则ABC为等边三角形，O为AC的中点，所以，OBAC⊥，PCACC=，OB⊥平面PAC，PA

平面PAC，OBPA⊥，OMPA⊥，OBOMO=，PA⊥平面OBM，BM平面OBM，PABM⊥，所以，二面角BAPC−−的平面角为BMO，PCAC=，PCAC⊥，则APC△为等腰直角三角形，2

23OBABOA=−=，2sin452OMOA==，OB⊥平面PAC，OM平面PAC，OBOM⊥，22142BMOBOM=+=，所以，7cos7OMBMOBM==.因此，二面角BAPC−−的余弦值为77.【点睛】方法点睛：求二

面角常用的方法：（1）几何法：二面角的大小常用它的平面角来度量，平面角的作法常见的有：①定义法；②垂面法，注意利用等腰三角形的性质；（2）空间向量法：分别求出两个平面的法向量，然后通过两个平面法向量的夹角

得到二面角的大小，但要注意结合实际图形判断所求二面角是锐角还是钝角.20.已知曲线C的方程为24yx=，直线l过定点()2,1P−，斜率为k.（1）若曲线C与直线l只有一个公共点，求实数k的值；（2）在（1）的条件下，求直线l的方程.【答案

】（1）0k=或1k=−或12k=；（2）1y=或10xy++=或240xy−+=.【解析】【分析】（1）分0k=和0k两种情况讨论，写出直线l的方程，根据已知条件可求得实数k的值；（2）将（1）中k的值代入直线l的方程即可得解.【详解】（1）当0k

=时，直线l的方程为1y=，联立241yxy==，解得141xy==，此时，直线l与曲线C有且只有一个交点；当0k时，直线l的方程为()12ykx−=+，联立()2412yxykx=−=+，消去x并整理可得24840kyy

k−++=，()164840kk=−+=，整理可得2210kk+−=，解得1k=−或12k=；（2）当0k=时，直线l的方程为1y=；当1k=−时，直线l的方程为()12yx−=−+，即10xy++=；当

12k=时，直线l的方程为()1122yx−=+，即240xy−+=.综上所述，直线l的方程为1y=或10xy++=或240xy−+=.【点睛】思路点睛：利用直线与圆锥曲线的位置关系求参数的取值范围，步骤如下：将直线l的方程和圆锥曲线的方程联立，消去一个

元（x或y），得到关于另外一个元的一元二次方程.①若0，则直线与圆锥曲线有两个交点，直线与圆锥曲线相交；②若0=，则直线与圆锥曲线有且仅有一个交点，直线与圆锥曲线相切；③若，则直线与圆锥曲线没有交点，直线与圆锥曲线相离.21.在直三棱柱ABC－A1B1C1中

，AC＝3，BC＝4，AB＝5，AA1＝4，点D是AB的中点．求证：(1)AC⊥BC1；(2)AC1∥平面CDB1.【答案】(1)证明见解析；(2)证明见解析.【解析】【详解】试题分析：（1）由勾股定

理可证得ACB为直角三角形即可证得ACBC⊥，由直棱柱可知1CC⊥面ABC，可证得1CCAC⊥，根据线面垂直的判定定理可证得AC⊥面11BBCC，从而可得1ACBC⊥．（2）设1CB与1CB的交点为E，连结DE，由中位线可证得1//DEAC，根

据线面平行的判定定理可证得1//AC平面1CDB．试题解析：证明：（1）证明：3,4,5ACBCAB===，222ACBCAB+=，ACB为直角三角形且90ACB=，即ACBC⊥．又∵三棱柱111ABCABC−为直棱柱，1CC⊥面ABC，AC面ABC，1CCAC⊥，1B

CCCC=，AC⊥面11BBCC，1BC面11BBCC，1ACBC⊥．（2）设1CB与1CB的交点为E，连结DE，D是AB的中点，E是1BC的中点，1//DEAC．1AC面1CDB，DE面1CDB，1/

/AC平面1CDB．考点：1线线垂直，线面垂直；2线面平行．22.在直角坐标系中，点P到两点()0,3M−、()0,3N的距离之和等于4，设点P的轨迹为C，直线1ykx=+与C交于A、B两点．（1）求曲线C的方程；（2）若OAOB⊥，求k的值．【答案】（1）2214yx+=；（2）12k=.【

解析】【分析】（1）本题可根据椭圆的定义求出点P的轨迹C；（2）本题首先可设()11,Axy、()22,Bxy，然后联立椭圆与直线方程，通过韦达定理得出12234xxk−=+、12224kxxk−+=+，最后通过OAO

B⊥得出12120xxyy+=，代入12xx、12xx+的值并计算，即可得出结果.【详解】（1）因为点P到两点()0,3M−、()0,3N的距离之和等于4，所以结合椭圆定义易知，点P的轨迹是以点M、N为焦点且24a=的椭圆，则2a=，3c=，221bac=−=，点P的轨

迹22:14yCx+=.（2）设()11,Axy，()22,Bxy，联立22141yxykx+==+，整理得()224230kxkx++−=，则12234xxk−=+，12224kxxk−+=+，因为OAOB⊥，所以12120xxyy+

=，即()()1212110xxkxkx+++=，整理得()()21212110kxxkxx++++=，则()2223211044kkkkk--+??=++，整理得241k=，解得12k=.【点睛】关键点点睛：本题考查根据

椭圆定义求动点轨迹以及直线与抛物线相关问题的求解，椭圆的定义为动点到两个定点的距离为一个固定的常数，考查韦达定理的应用，考查计算能力，是难题.