【文档说明】2022高三统考数学文北师大版一轮教师文档：第三章第四节　函数y＝Asin（ωx＋φ）的图像性质及模型应用含答案【高考】.doc，共(11)页，374.500 KB，由管理员店铺上传

转载请保留链接：https://www.doc5u.com/view-93198cdc94e894baba72bbb09cdf0e59.html

以下为本文档部分文字说明：

-1-第四节函数y＝Asin(ωx＋φ)的图像性质及模型应用授课提示：对应学生用书第60页[基础梳理]1．五点法画函数y＝Asin(ωx＋φ)的图像(1)列表：X＝ωx＋φ0π2π3π22πx－φωπ2ω－φωπω

－φω3π2ω－φω2πω－φωsinX010－10y0A0－A0(2)描点：－φω，0，π2ω－φω，A，πω－φω，0，3π2ω－φω，－A，2πω－φω，0．(3)连线：把这5个点用光滑曲线顺次连接，就得到y＝Asin(ωx＋

φ)在区间长度为一个周期内的图像．2．由函数y＝sinx的图像变换得到y＝Asin(ωx＋φ)的图像的步骤12个小环节构成6条路线：(以③⑨⑫线路为例)③把y＝sinx的图像向左平移φ(φ>0)个单位长度，得到y＝sin(x＋φ)的图像；⑨再把所得图像上的所有点的横坐标变为原来的1ω(

ω>0)倍，纵坐标不变，得到y＝sin(ωx＋φ)；⑫最后把所有点的纵坐标变为原来的A(A>0)倍，横坐标不变，就得到y＝Asin(ωx＋φ)的图像．3．y＝Asin(ωx＋φ)的物理意义y＝Asin(ωx＋φ)

(A>0，ω>0)，x∈[0，＋∞)表示一个振动量时振幅周期频率相位初相AT＝2πωf＝1T＝ω2πωx＋φφ1．平移变换的两种单位长度由y＝sinx的图像变换到y＝Asin(ωx＋φ)的图像，两种变换的区别：

①先相位变换再周期变换(伸缩变换)，平移的量是|φ|个单位长度；②先周期变换(伸缩变换)再相-2-位变换，平移的量是|φ|ω(ω＞0)个单位长度．2．y＝Asin(ωx＋φ)＋b与最值的关系A＝yma

x－ymin2，b＝ymax＋ymin2.[四基自测]1．(基础点：三角函数模型)电流i(单位：A)随时间t(单位：s)变化的函数关系是i＝5sin100πt＋π3，t∈[0，＋∞)，则电流i变化的初相

、周期分别是()A.π3，150B.π6，1100C.π3，1100D．π6，150答案：A2．(易错点：平移变换)若将函数y＝2sin2x的图像向左平移π12个单位长度，则平移后图像的对称轴为()A．x＝kπ2－π6(k∈Z)B．x＝kπ2＋π6(k∈Z)C．x＝kπ2－π1

2(k∈Z)D．x＝kπ2＋π12(k∈Z)答案：B3．(基础点：由变换得解析式)把函数y＝sinx的图像上所有点的横坐标缩小到原来的一半，纵坐标保持不变，再把所得函数图像向左平移π4个单位，得到的函数图像的解析式是()A．y＝cos2xB．y＝－sin2xC．y＝sin2x－π4D．

y＝sin2x＋π4答案：A4．(基础点：求变换单位)由曲线C1：y＝cosx，向左平移__________个单位长度，再将横坐标缩小到原来的__________倍，得到曲线C2：y＝cos2x＋23π.答案：23π12授课提示：对应学生用书第6

1页考点一函数y＝Asin(ωx＋φ)的图像及变换挖掘1图像变换/自主练透[例1](1)(2017·高考全国卷Ⅰ)已知曲线C1：y＝cosx，C2：y＝sin2x＋2π3，则下面结论正确的是()-3-A．把C1上各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向右平移π6个

单位长度，得到曲线C2B．把C1上各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向左平移π12个单位长度，得到曲线C2C．把C1上各点的横坐标缩短到原来的12倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向右平移π6个单位长度，得到曲线C2D．把C1上各点的横坐标缩短到原来的1

2倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向左平移π12个单位长度，得到曲线C2[解析]易知C1：y＝cosx＝sinx＋π2，把曲线C1上的各点的横坐标缩短到原来的12倍，纵坐标不变，得到函数y＝sin2x＋π2的图像，再把所得函数的图像

向左平移π12个单位长度，可得函数y＝sin2x＋π12＋π2＝sin2x＋2π3的图像，即曲线C2，故选D.[答案]D(2)已知函数f(x)＝sinωx＋π4(ω＞0)的最小正周期为π，为了得到函数g(x)＝cosω

x的图像，只需将y＝f(x)的图像()A．向左平移π8个单位长度B．向右平移π8个单位长度C．向左平移π4个单位长度D．向右平移π4个单位长度[解析]因为T＝π，故ω＝2πT＝2，因此g(x)＝cos2x

＝sin2x＋π2，f(x)＝sin2x＋π4y＝sin2x＋π8＋π4＝sin2x＋π2.[答案]A挖掘2作y＝Asin(ωx＋φ)的图像/互动探究[例2]设函数f(x)＝cos(ωx＋φ)ω>0，－π2<φ<0的最

小正周期为π，且fπ4＝32.-4-(1)求ω和φ的值；(2)在给定坐标系中作出函数f(x)在[0，π]上的图像；(3)由y＝sinx经过怎样的变换得到f(x)＝cos(ωx＋φ)的图像(x∈R)．[解析](1)最小正周期T＝

2πω＝π，∴ω＝2.∵fπ4＝cos2×π4＋φ＝cosπ2＋φ＝－sinφ＝32，∴sinφ＝－32.∵－π2<φ<0，∴φ＝－π3.(2)由(1)得f(x)＝cos2x－π3，列表：x0π6

512π23π1112ππ2x－π3－π30π2π32π53πf(x)1210－1012图像如图所示．(3)f(x)＝cos2x－π3＝sinπ2＋2x－π3＝sin2x＋π6，-5-∴由y＝sinx向左平移π6个单位长

度，得到y＝sinx＋π6的图像，再将图像的横坐标缩小到原来的12倍，纵坐标不变，得到y＝sin2x＋π6的图像，即f(x)＝cos2x－π3的图像．[破题技法]函数y＝Asin(ωx＋φ)(A＞0，ω＞0)的图像的作法(1)五点法：用“五点法”

作y＝Asin(ωx＋φ)的简图，主要是通过变量代换，令z＝ωx＋φ，由z取0，π2，π，32π，2π来求出相应的x，通过列表得出五点坐标，描点，连线后得出图像．(2)图像变换法：由函数y＝sinx的图像通过变换得到y＝Asin(ωx＋

φ)的图像有两种途径：“先平移后伸缩”与“先伸缩后平移”．提醒：三角函数图像左右平移时应注意的问题(1)弄清楚平移方向，平移哪个函数的图像，得到哪个函数的图像．(2)注意平移前后两个函数的名称是否一致，若不一致，应先利用诱导公式化为同名

函数．(3)由y＝Asinωx的图像得到y＝Asin(ωx＋φ)的图像时，需平移的单位数应为φω，而不是|φ|.-6-考点二由函数图像求解析式挖掘由图像写解析式/互动探究[例](1)函数f(x)＝

Asin(ωx＋φ)(A＞0，ω＞0，|φ|＜π2)的部分图像如图所示，则将y＝f(x)的图像向右平移π6个单位长度后，得到的函数图像的解析式为()A．y＝sin2xB．y＝sin2x－π6C．y＝sin2x＋2π3D．y＝cos2x[解析]由题图

知，A＝1，34T＝11π12－π6＝912π＝34π，所以T＝π＝2πω，所以ω＝2.所以2×π6＋φ＝π2＋2kπ，k∈Z.又|φ|＜π2，所以φ＝π6，所以f(x)＝sin2x＋π6，所以f(x)的图像向右平移π6个单位长度得g(x)＝

sin2x－π6＋π6＝sin2x－π6.故选B.[答案]B(2)已知函数y＝f(x)＝Asin(ωx＋φ)(A＞0，ω＞0，|φ|＜π2)的部分图像如图所示，则f(x)的单调递增区间为________．[解析

]由图可知T4＝π3－π12＝π4，A＝2，即T＝π，A＝2，故ω＝2πT＝2，又fπ12＝2，-7-所以2×π12＋φ＝π2，故φ＝π3，所以f(x)＝2sin2x＋π3，由－π2＋2kπ≤2x＋π3≤π2＋

2kπ(k∈Z)得－5π12＋kπ≤x≤π12＋kπ(k∈Z)，故f(x)的单调递增区间为－5π12＋kπ，π12＋kπ(k∈Z)．[答案]－5π12＋kπ，π12＋kπ(k∈Z)[破题技法]由三角函数图像确定解析式y＝Asi

n(ωx＋φ)的解析式，关键是根据图像所反映出的性质求振幅A，周期T及φ.(1)求ω，确定函数的周期T，则ω＝2πT.(2)求φ，常用方法有：①代入法：把图像上的一个已知点代入(此时要注意该点在上升区间上还是在下降区间上)或把图像的最高点或最低点代入．②五点法：确定φ值时，往往以寻找“五点法”中的

特殊点作为突破口．具体如下：“第一点”(即图像上升时与x轴的交点)为ωx＋φ＝0；“第二点”(即图像的“峰点”)为ωx＋φ＝π2；“第三点”(即图像下降时与x轴的交点)为ωx＋φ＝π；“第四点”(即图像的“谷点”)为ωx

＋φ＝3π2；“第五点”(即图像上升时与x轴的交点)为ωx＋φ＝2π.考点三函数y＝Asin(ωx＋φ)的图像性质的综合应用挖掘1三角函数图像变换与性质综合问题/互动探究[例1](1)函数f(x)＝Asin(ωx＋φ)A＞0，ω＞0，|φ|＜π2的部分

图像如图所示，点P、Q、R在f(x)的图像上，坐标分别为(－1，－A)、(1，0)、(x0，0)，△PQR是以PR为底边的等腰三角形，将函数f(x)的图像向右平移5个单位长度后得到函数g(x)的图像，则关于g(x)的说法中不正确的是()A．g(x)是偶函数B．g(x)

在区间[0，4]上是减函数C．g(x)的图像关于直线x＝2对称D．g(x)在[－1，3]上的最小值为－6-8-[解析]由题意知T4＝2，所以2πω＝8，ω＝π4，作PH⊥x轴于点H(图略)，则QH＝2，又因为PQ＝QR＝4，所以A＝23，因为f(x)的图像过Q(1，0

)，所以23sinπ4＋φ＝0，因为|φ|＜π2，所以φ＝－π4，所以f(x)＝23sinπ4x－π4.易知g(x)＝f(x－5)＝23cosπ4x，易知A、B、D正确，C错误．故选C

.[答案]C(2)(2019·高考全国卷Ⅰ)函数f(x)＝sinx＋xcosx＋x2在[－π，π]的图像大致为()[解析]∵f(－x)＝sin（－x）－xcos（－x）＋（－x）2＝－f(x)，∴f(x)为奇函数，排除A.当x＝π时，f(π

)＝π－1＋π2＞0，排除B，C.故选D.[答案]D[破题技法]先将y＝f(x)化为y＝Asin(ωx＋φ)＋B的形式，再借助y＝Asin(ωx＋φ)的图像和性质(如定义域、值域、最值、周期性、对称性、单调性等)解决相关问题．进行平移时，图像平移与坐标系平移是一种相对运动．挖掘2与三

角函数有关的方程、不等式问题/互动探究[例2](1)(2020·湖南十四校联考)已知函数f(x)＝2sinωx－cosωx(ω＞0)，若f(x)的两个零点x1，x2满足|x1－x2|min＝2，则f(1)的值为()A.102B．－102C．2D．－2[

解析]依题意可得函数的最小正周期为2πω＝2|x1－x2|min＝2×2＝4，则ω＝π2，所以f(1)＝2sinπ2－cosπ2＝2，故选C.[答案]C-9-(2)已知函数f(x)＝sinωx－3cosωx(ω＞0)，若方程f(x)＝－1在(0，π)上有且

只有4个实数根，则实数ω的取值范围为()A．(136，72]B．(72，256]C．(256，112]D．(112，376][解析]因为f(x)＝sinωx－3cosωx＝2sin(ωx－π3)，作出函数y＝

f(x)的大致图像与直线y＝－1，如图所示．令2sin(ωx－π3)＝－1，得ωx－π3＝－π6＋2kπ或ωx－π3＝7π6＋2kπ，k∈Z，所以x＝π6ω＋2kπω或x＝3π2ω＋2kπω，k∈Z.设直线y＝－1与曲线y

＝f(x)在(0，＋∞)上从左到右的第4个交点为A，第5个交点为B，易知xA＝3π2ω＋2πω，xB＝π6ω＋4πω.因为方程f(x)＝－1在(0，π)上有且只有4个实数根，所以xA＜π≤xB，即3π2ω＋2πω＜π≤π6ω＋4πω，解得72＜ω≤256.故选

B.[答案]B[破题技法]对于函数y＝Asin(ωx＋φ)的零点即是图像与x轴交点的横坐标，对称轴一定穿过图像的最高点或最低点．考点四三角函数模型的应用挖掘生活中的三角函数模型/互动探究[例]已知某海滨浴场的海浪高度y(米)是时

间t(0≤t≤24，单位：小时)的函数，记作y＝f(t)．下表是某日各时的浪高数据：t(小时)03691215182124y(米)1.51.00.51.01.51.00.50.991.5经长期观测，y＝f(t)的曲线可近

似地看成是函数y＝Acosωt＋b(A＞0，ω＞0)的图像．根据以上数据，(1)求函数f(t)的解析式；(2)求一日(持续24小时)内，该海滨浴场的海浪高度超过1.25米的时间．-10-[解析](1)由表格得A＋b＝1.5，－A＋b＝

0.5，解得A＝12，b＝1，又因为T＝12，所以ω＝2π12＝π6，故y＝f(t)＝12cosπ6t＋1.(2)由题意，令12cosπ6t＋1＞1.25，即cosπ6t＞12，又因为t∈[0，24]，所

以π6t∈[0，4π]，故0≤π6t＜π3或5π3＜π6t≤2π.或2π＜π6t＜2π＋π3或2π＋5π3＜π6t≤2π＋2π，即0≤t＜2或10＜t≤12或12＜t＜14或22＜t≤24，所以在一日内该海滨浴

场的海浪高度超过1.25米的时间为8小时．[破题技法]三角函数模型的应用体现在两方面：一是已知函数模型求解数学问题，二是把实际问题抽象转化成数学问题，建立数学模型，再利用三角函数的有关知识解决问题．如图所示，某地夏天从8～14时用电量变化曲线近

似满足函数y＝Asin(ωx＋φ)＋b，φ∈(0，π2)．(1)求这一天的最大用电量及最小用电量；(2)写出这段曲线的函数解析式．解析：(1)最大用电量为50万度，最小用电量为30万度．(2)观察图像，可知从8～14时的图像是y＝Asin(ωx＋φ)＋b的半个周期的图像．∴A＝

12×(50－30)＝10，b＝12×(50＋30)＝40.∴T2＝14－8＝12·2πω，∴ω＝π6，∴y＝10sinπ6x＋φ＋40.将x＝8，y＝30代入上式，解得φ＝π6，∴所求解析式为-11-y＝10sinπ6x＋π

6＋40，x∈[8，14]．