【文档说明】河北省部分高中2023届高三三模数学试题 含解析.docx，共(23)页，1.683 MB，由小赞的店铺上传

转载请保留链接：https://www.doc5u.com/view-92afb996086c6c2ecea7ab85b2a76cc6.html

以下为本文档部分文字说明：

2022－2023学年高三下学期第三次模拟考试数学本卷满分150分，考试时间120分钟.注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号等填写在答题卡和试卷指定位置上.2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答

案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效.3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每

小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的．1.已知集合2560,Mxxxx=+−Z，2540Nyyy=++，则MN=（）A.6,1−B.4,3,2,1−−−−C.4,1−−D.6,4,3,2,1,0,1−−−−−【答案】B【解析】【分析】解

一元二次不等式可分别求得集合,MN，由交集定义可得结果.【详解】由2560xx+−得：61x−，又xZ，6,5,4,3,2,1,0,1M=−−−−−−；由2540yy++得：41y−−，4,1N=−−，4,3,2,1MN

=−−−−.故选：B.2.已知复数z的共轭复数为z，若z的实部为1，且满足()()4izzzz+−=，则z的虚部为（）A.i−B.iC.－1D.1【答案】D【解析】【分析】设1izb=+，bR，由此即可得出()()4i

zzzzb+−=，则可求出b的值，即可选出答案.【详解】设复数1izb=+，bR，则1zbi=−，2zz+=，2izzb−=，()()4i4izzzzb+−==，解得1b=，所以1iz=+，所以z的虚部为1.故选：D3.已知下列各选项

是函数()yfx=的导函数的图象，则xa=是函数()yfx=的极小值点的是（）A.B.C.D.【答案】C【解析】【分析】由极小值点的定义，导函数与原函数的关系，即可选出答案.【详解】当()0fx时，()fx单调递增，当()0fx时，(

)fx单调递减，要使xa=是函数()yfx=的极小值点，则需lim()0xafx−→，lim()0xafx+→，对于AB选项，xa=不是函数()yfx=的极值点；对于C选项，xa=是函数()yfx=的极小值点，正确；对于D选项，xa=是

函数()yfx=的极大值点.故选：C4.对于平面内n个起点相同的单位向量()*1,2,,,2,iainnkk==N，若每个向量与其相邻向量的夹角均为2πn，则1a与2naa++的位置关系为（）A.垂直B.反向平行C.同向平行D.无法确定【答案】B【解析】【分析】根据平面向量加法的运算法则即可

得解.【详解】根据题意可得120naaa+++=，所以21naaa++=−，所以1a与2naa++的位置关系为反向平行.故选：B.5.已知双曲线22:1xyCmm−=+（其中0,0m），若0，则双曲线C离心率的取值范围为（）A

.()1,2B.()2,+C.()1,2D.()2,+【答案】A【解析】【分析】先将双曲线方程化为标准方程，再根据离心率的定义，用m表示出离心率，进而可得其取值范围.【详解】由双曲线22:1xyCmm−=+（其中,00m），得()2211yxmm−=−+−，则双曲线C

离心率()()()121121121111mmmmemmmm−+−+−+====−−++++，因为0m，所以11m+，则1011m+，所以11221m−+，所以12e，即双曲线C离心率的取值范围为()1,2.故选：A.6.在锐角ABC中，“tan1A”是“A不是最小

内角”的（）A.充要条件B.充分不必要条件C.必要不充分条件D.既不充分也不必要条件【答案】C【解析】【分析】举例即可判断充分性，若A不是最小内角，假设tan1A，利用反证法即可判断必要性，即可得解.

【详解】当50,60,70ABC===时，tan1A，此时A是最小内角，故充分性不成立；若A不是最小内角，不妨设C为最大角，则BAC，假设tan1A，由090A，可得45A，则45B，此时90C，与题意矛盾，所

以tan1A，若锐角ABC的最大角小于或等于45，则三角形的内角和小于或等于135，这与三角形的内角和等于180矛盾，所以若A不是最小内角，则tan1A，故必要性成立，综上所述“tan1A”是“A不是最小内角”的必要不充分条件.故选：C.7.抛物线的弦与过弦的端点

的两条切线所围成的三角形称为阿基米德三角形，在数学发展的历史长河中，它不断地闪炼出真理的光辉，这个两千多年的古老图形，蕴藏着很多性质．已知抛物线24yx=，过焦点的弦AB的两个端点的切线相交于点M，则下列说法

正确的是（）A.M点必在直线2x=−上，且以AB为直径的圆过M点B.M点必在直线=1x−上，但以AB为直径的圆不过M点C.M点必在直线2x=−上，但以AB为直径的圆不过M点D.M点必在直线=1x−上，且以AB为直径的圆过M点【答案】D【

解析】【分析】结合导数几何意义可证得过抛物线24yx=上一点()00,xy的切线方程为()002yyxx=+，由此可确定在,AB处的切线方程，进而结合M点坐标得到直线AB方程，代入()1,0F可知点M必过直线=1x−；结合韦达定理可得1MAMBkk=−，知MAMB⊥，由此可得结论.【详

解】设()00,xy为抛物线24yx=上一点，当00y时，由2yx=得：1yx=，在()00,xy处的切线方程为：()0001yyxxx−=−，即200024yyyxy−=−，()2000222yyyxxx=+=+；同

理可得：当00y时，在()00,xy处的切线方程切线方程为()002yyxx=+；经检验，当00x=，00y=时，切线方程为0x=，满足()002yyxx=+，过抛物线24yx=上一点()00,xy的切线方程为：()0

02yyxx=+；设()()()112233,,,,,AxyBxyMxy，则抛物线在,AB处的切线方程为()112yyxx=+和()222yyxx=+，()()1331233222yyxxyyxx=+=+，点,AB满足直线方

程：()332yyxx=+，又直线AB过焦点()1,0F，()3210x+=，解得：31x=−，M点必在直线=1x−上；AC错误；由题意知：10y，20y，12MAky=，22MBky=，124MAMBkkyy=；设直线AB方程为：1xty=+，由214xtyyx=+=得：

2440yty−−=，124yy=−，1MAMBkk=−，即MAMB⊥，以AB为直径的圆过M点；B错误，D正确.故选：D.8.在我国古代，杨辉三角是解决很多数学问题的有力工具，像开方问题、数列问题、网格路径问题等．某一城市街道如图1所示，分别以东西向、南北向各五

条路组成方格网，行人在街道上行走（方向规定只能由西向东、由北向南前行）．若从这个城市的最西北角A处前往最东南角B处，则有70种走法，如图2．现在由平面扩展到空间，即立体交通方格网的路径问题，如图3，则从点P到点Q的最短距离走法种数为（）A.60B.70C.80D.90【答

案】A【解析】【分析】根据题意，由西向东、由南向北前行共有2532CC种不同的走法，再由6个位置能向上走一步，得到16C种不同的走法，结合分步计数原理，即可求解.【详解】根据题意，由西向东、由南向北前行中，最近的走法为5步，其中由西向东3步，由南向北

2步，所以共有3252CC10=种不同的走法，又由在每种走法中，其中由6个位置能向上走一步，所以有16C6=种不同走法，根据分步计数原理得，从点P到点Q的最短距离走法种数共有10660=种.故选：A.二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符

合题目要求，全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．9.下列不等式一定成立的是（）A.aambbm++B.若mn，则22mtntC.xaxbab−+−−D.2abab+【答案】BC【解析】【分析】利用不等式的性质判断B，举反例排除AD,根据绝对

值不等式判断C.【详解】对于A，取1,10,abm==−=，，满足aambbm+=+，故A错误；对于B，若2,0,mnt，则22mtnt，若2,0,mnt=，则22mtnt=，22mtnt，故B正确；对于C，根据绝对值三角不等式()()xaxbxax

bbaab−+−−−−=−=−，C选项正确.对于D，0,0ab，2abab+，故D错误．故选：BC.10.在不透明的罐中装入大小相同的红、黑两种小球，其中红球a个，黑球b个，每次随机取出一个球，记录颜色后放回．每次

取球记录颜色后再放入c个与记录颜色同色的小球和d个异色小球（说明：放入的球只能是红球或黑球），记iB表示事件“第i次取出的是黑球”，jA表示事件“第j次取出的是红球”．则下列说法正确的是（）的A.若4,3,1,0abcd====，则()1227PBA=B.若1,0

cd==，则()()1212PBAPABC.若2,1,1,1abcd====，则()12415PAB=D.若,1,1abcd==，则()()1212PBAPAB【答案】CD【解析】【分析】根据古典概型概率公式和概率的乘法公式即

可求解.【详解】选项A：4,3,1,0abcd====，共有8个球，()123437814PBA==，故A错误；选项B：1,0cd==，()()121baPBAabab=+++，()()121bbPABabab=+++，所以(

)()1212PBAPAB=，故B错误；选项C：4,1,1,1abcd====，()1222412515PAB==+，故C正确；选项D：()1212baPBAabab+=+++，()1212abPABabab+=+++，由于ab¹，所以()()1212PBAPAB，故D正确.

故选：CD.11.在棱长为1的正方体1111ABCDABCD−的侧面11ABBA内（包含边界）有一点P，则下列说法正确的是（）A.若点P到直线AB与到直线11BC距离之比为2:1，则点P的轨迹为双曲线的一部分B.若点P到直

线AB与到直线11BC距离之比为1:1，则点P轨迹为抛物线的一部分C.过点,,PCD三点作正方体1111ABCDABCD−的截面，则截面图形是平行四边形D.三棱锥−PABC体积的最大值为16【答案】BCD【解析】的【分析】对A：如图，以1B为坐标原点，建立空间直角坐标

系，设点(),0,Pxz，由点P到直线AB与到直线11BC距离之比为2:1求得点P的轨迹；对B：根据抛物线的定义得点P的轨迹；对C：过点P作//MNAB分别交11,AABB于MN，，则过点,,PCD三点的截面为平行四边形MNCD；对D

：当点P在11AB上时，三棱锥−PABC体积最大.【详解】如图，以1B为坐标原点，以1111BABCBB，，分别为,,xyz建立空间直角坐标系，则()10,0,0B，设侧面11ABBA内（包含边界）点()(),0,,01

,01Pxzxz，对于A：点P到直线AB的距离为1z−，由正方体知11BC⊥面11ABBA，又1PB面11ABBA，所以11BC⊥1PB，所以点P到直线11BC距离为221PBxz=+，故2212zxz−=+

，整理得221311439zx++=，所以点P的轨迹为椭圆的一部分，故A错误；对于B：点P到直线AB与到直线11BC距离之比为1:1，即P到直线AB与到定点1B的距离相等，根据抛物线定义知点P的

轨迹为抛物线的一部分，故B正确；对于C：过点P作//MNAB分别交11,AABB于MN，，连接CNDM，，则//MNCD且MNCD=，所以四边形MNCD是平行四边形，则平行四边形MNCD为过点,,PCD三点的截面，故C正确；

对于D：当点P在11AB上时，点P到面ABCD的距离最大为1，此时三棱锥−PABC体积11136PABCABCVS−==，故D正确；故选：BCD12.已知118171135,cos,3tan,e,ln183318abcdm

=====，则下列不等式成立的是（）A.cbaB.cabC.damD.adm【答案】AC【解析】【分析】先利用三角函数线得到tansin，进而得到113tan3133c==，作差法得到ba，得到cba；再

构造函数()e1xfxx=−−，0x与()ln1gxxx=−+，0x，证明出dam.【详解】设AOB=为锐角，作出单位圆，与x轴交于A点，则()1,0A，过点A作AC垂直于x轴，交射线OB于点C，连接AB，过点B作BD⊥x轴于点D，由三

角函数定义可知tanAC=，sinBD=，设扇形OAB的面积为1S，则1OACABOSSS，即111tansin222，故tansin，所以113tan3133c==，2221171171111cos12sin2si

n2sin318618186366ba−=−=−−=−=−，因为11sin66，所以2112sin0366ba−=−，故ba，综上：cba，A正确，B错误；令()e1xfxx=−−，0x，则()e1xfx=−，当0x时，(

)e10xfx=−，故()fx在()0,+上单调递增，所以()10018ff=，所以11819e18，令()ln1gxxx=−+，0x，则()111xgxxx−=−=，当01x时，()0gx，()gx单调递增，当1x时，()

0gx，()gx单调递减，故()353535ln110181818gg=−+=，故353517ln1181818−=，故dam，C正确，D错误；故选：AC【点睛】方法点睛：我们经常使用不等式放缩来比较大小或证明不等式，常用的不

等式有eexx，e1xx+，()ln10xxx−，11ln1xx−，111ln11xxx++等.三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13.若数列1,,4,8,ab−−为等比数列，则logab=_______．【答案】4【解析】【分析】根据等比

数列的性质列出方程，求出,ab，从而计算出答案.【详解】由题意得48a−=−，248b−=，解得2a=，16b=−，故2loglog164ab==.故答案为：414.已知四面体ABCD中，2,23ABACB

DCDBC=====，则该四面体体积的最大值为________．【答案】33##133【解析】【分析】取BC的中点O，连接,OAOD，易得,,1,1ODBCOABCODOA⊥⊥==，则可得当OD⊥平面ABC时，该四面体体积取得最大值，进而可得出答案.【详解】取BC的中点O，连接,

OAOD，因为2,23ABACBDCDBC=====，所以,,1,1ODBCOABCODOA⊥⊥==，112332ABCS==，当OD⊥平面ABC时，该四面体体积取得最大值，最大值为1333ABCSOD=.故答案为：33.15.函数2sin1cosxyx−

=−的值域是_______．【答案】3,4+【解析】【分析】函数2sin1cosxyx−=−的几何意义是在直角坐标平面内定点(1,2)A与动点(cos,sin)Mxx连线的斜率，由此转化为直线与圆有交点的问题，即可求出答案.【详解】函数2sin1cos

xyx−=−的几何意义是在直角坐标平面内定点(1,2)A与动点(cos,sin)Mxx连线的斜率，易知动点M在以(0,0)为圆心，1为半径的圆除(1,0)以外的点上，易知直线AM的斜率存在，设为k，则直线AM为2(1)ykx−

=−即20kxyk−+−=，则2211kk−+，解得34k，即值域为3,4+.故答案为：3,4+16.已知,PQ分别是函数21ln2lne,22xxyy+==图象上动点，则PQ的最小值为_________．【答案】22【解析】【分析】由题意易知两函数关于yx=

对称，由此即可将问题转化为点P到直线yx=距离的最小值的2倍，再由当曲线21e2xy=在点P出的切线与yx=平行时，点P到直线yx=的距离有最小值，由此即可求出答案.【详解】因为21e2xy=反解得ln2ln2

yx+=，所以21e2xy=与ln2ln2xy+=互为反函数，关于yx=对称，所以PQ的最小值为点P到直线yx=的距离的最小值的2倍，当曲线21e2xy=在点P处的切线与yx=平行时，点P到直线yx=的距离有最小值，2exy=，令1y=，解得0x=，所以10,2P，则点

P到直线yx=的距离221022411d−==+,所以PQ的最小值为222d=.故答案为：22四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17.在ABC中，角,,ABC的对边分别为,,abc，且222

2coscos1abBAabab+=++．的的（1）判断ABC的形状；（2）若3,4ab==，点,,DEF分别在边,,BCACAB上，且32,3,2CDDBAEECAFFB===，求DEF的面积．【答案】（1）ABC是直角三角形（2）1.5【解析】【分析】（1）利

用余弦定理化角为边，整理即可得出结论；（2）根据DEFABCAEFCDEBDFSSSSS=−−−求解即可.【小问1详解】因为2222coscos1abBAabab+=++，由正弦定理得2222222222acbbcaabcc+−+−+=+，化简得222cab=+，所以ABC是直角三角形；

【小问2详解】由（1）得π2C=，因为3,4ab==，所以225cab=+=，则43cossin,cossin55ABBA====，因为32,3,2CDDBAEECAFFB===，所以322,33,32CDDBAEECAFFB======，113sin

332.7225AEFSAEAFA===,114sin120.8225BDFSBDBFB===,1112122CDESCECD===，162ABCSab==，所以62.70.811.5DEFABCAEFCDEBDFSSSSS=−−−=−−−=.18.已知等差数列na，首

项11a=，其前n项和为nS，点,nnSPnn在斜率为1的直线上．（1）求数列na的通项公式；（2）若11,nnnnbTaa+=为数列nb的前n项和，求证：1132nT．【答案】（1）21nan=−（2）证明详见解析.【解析】【分析】（

1）求出nS，再根据na与nS的关系求出na即可；（2）根据裂项相消法求和再求最值即可.【小问1详解】设斜率为1的直线为yxb=+，则nSnbn=+，当1n=时，111Sb=+，所以111ab=+，因为11a=，所以0b=，所以2nSn=，当2n

时，()211nSn−=−，所以()221121nnnaSSnnn−=−=−−=−，经检验，1n=也成立.所以21nan=−.【小问2详解】证明：由（1）可得，()()()()111111212122121nnnbaannnn+===−−+−+

，则123nnTbbbb=++++()()1111111111112323525722121nn=−+−+−++−−+()()1111111112335572121nn

=−+−+−++−−+111221n=−+21nn=+，因为()()111023212123nnnnTTnnnn++−=−=++++，所以数列nT是一个单调递增数列，又因为113

T=，且当n→+时，12nT→.所以1132nT.19.如图，四棱锥PABCD−的底面ABCD是菱形，其对角线,ACBD交于点O，且PO⊥平面,1,2,ABCDOCODOPM===是PD的中点，N是线段CD上一动点．（1）当平面OMN//平面PBC时，试确定点N的位置，并说明理由；（2）在

（1）的前提下，点Q在直线MN上，以PQ为直径的球的表面积为21π4．以O为原点，,,OCODOP的方向分别为x轴、y轴、z轴的正方向建立空间直角坐标系Oxyz−，求点Q的坐标．【答案】（1）N是CD的中点（2）1,1,02，1318,1,105−【解析】【分析】（1

）根据面面平行的性质证明//MNPC，即可得解；（2）先根据球的体积求出PQ，然后根据空间中两点间的距离公式即可得解.【小问1详解】因为平面OMN//平面PBC，平面OMN平面PCDMN=，平面PBC平面PCDPC=，所以//MNPC，因为M是PD的中点，所以N是CD的中点；【小问

2详解】由题意2214ππ24PQ=，解得212PQ=，设,RMQMN=，由题意，()()10,0,2,0,1,1,,1,02PMN，则()10,1,1,,0,12PMMN=−=−

，则()10,1,1,0,1,1,122PQPMMQ=+=−+−=−−，则()22211142++−−=，解得1=或135=−，当1=时，MQMN=，则1,1,02Q，当135=−时，131313,0,5105MQM

N=−=−，设(),,Qxyz，则()1313,1,1,0,105MQxyz=−−=−，所以1310101315xyz=−−=−=，解得13101185xyz=−==，则1318,1,105Q−，综上所述点Q的坐标

为1,1,02，1318,1,105−.20.邮件管理是一类非常常见的二元分类问题．如果将“非垃圾邮件”归类为正类邮件，“垃圾邮件”归类为负类邮件，试回答以下问题：（1）若在邮件中正类邮件与负类邮件的占比分别为13和23，由于归类模型的误差，归类判断可能出错的概率均

为0.05．若某个邮件归类为正类邮件，求它原本是正类邮件的概率；（2）在机器学习中，利用算法进行归类，常用,,,TPTNFPFN分别表示将正类邮件归类为正类邮件的个数，将负类邮件归类为负类邮件的个数，将负类邮件归类为正类邮件的个数，将正类邮件归类为负类邮件的个数．统计发现，收到邮件

的种类可能与是否在工作日有关．为了验证此现象，在一段时间内，从数据库中随机抽取若干邮件，包含有正类邮件和负类邮件，按照机器学习的方法进行分类后，得到以下数据：60,10,15,15TPTNFPFN====．并给出了下表，试回答以下问题：时间邮件工作日休息日合计正类70负类18合

计（ⅰ）求n（n充分大）封邮件归类正确的概率；（ⅱ）补充上表，依据小概率值0.01=的独立性检验，分析收到邮件的种类与是否在工作日有关？附：()()()()22(),nadbcnabcdabcdacbd−==+++++++．0.100.050.0010.005

x2.7063.8416.6357.879【答案】（1）1921（2）（ⅰ）0.7（ⅱ）认为收到邮件的种类与是否在工作日有关，此推断犯错误的概率不大于0.01.【解析】【分析】（1）由条件概率和全概率公式求解即可；（2）（ⅰ）由古典概

率的公式即可求出n（n充分大）封邮件归类正确的概率；（ⅰⅰ）补全列联表，计算2并对照卡方表完成检验.【小问1详解】设事件A=“该邮件为正类邮件”，B=“该邮件归类为正类邮件”，所以()()()()120.95,,,0.0533PB

APAPAPBA====,所以()()()()()()()()()PAPBAPABPABPBPAPBAPAPBA==+10.9519312210.950.0533==+【小问2详解】（ⅰ）因为,TPTN表示将邮件归类正确，所以邮件归

类正确的概率为6010700.760101515100+==+++，所以n（n充分大）封邮件归类正确的概率是0.7.（ⅰⅰ）补全列联表如下：时间邮件工作日休息日合计正类70575负类71825合计7723100零假设为0H：收到邮件的种类与是否在工作日无关，根据列联

表中的数据，经计算可得：220.01100(701857)45.26.63577237525x−==，根据小概率值0.01=的独立性检验，我们推断0H不成立，即认为收到邮件种类与是否在工作日有关，此推断犯错误的概率不大于0.01.21.已知椭圆()2222:10x

yEabab+=，其焦距为42，连接椭圆E的四个顶点所得四边形的面积为6．（1）求椭圆E的标准方程；（2）已知点()1,0P，过点()9,0Q作斜率不为0的直线交椭圆E于不同两点,AB，求证：直线,PAPB与直

线2y=所成的较小角相等．【答案】（1）2219xy+=（2）证明见解析【解析】【分析】（1）由题意可得22224212262cababc===+，进而解方程求解即可；（2）设直线AB的方程为()9=−y

kx，0k，设()11,Axy，()22,Bxy，联立直线和椭圆方程，利用韦达定理得到12xx+、12xx，转化直线,PAPB与直线2y=所成的较小角相等为0PAPBkk+=，进而求证即可.【小问1详解】由题意得，22224212262cab

abc===+，解得29a=，21b=，28c=，的所以椭圆E的标准方程为2219xy+=.【小问2详解】证明：由题意，直线AB的斜率一定存在，设直线AB的方程为()9=−ykx，0k，设()11

,Axy，()22,Bxy，联立()22919ykxxy=−+=，整理得()22221916272990kxkxk+−+−=，所以()()()222216241972990kkk=−+−，即2172k，且0k，212216219kxxk+

=+，2122729919kxxk−=+，因为直线2y=平行于x轴，所以要证直线,PAPB与直线2y=所成的较小角相等，即证直线,PAPB的倾斜角互补，即证0PAPBkk+=，下面进行证明：()()()()2222121212122212121212227299162210189

921018191972991621111111919PAPBkkkkkkxkxkxxkxxkyykkkkkkxxxxxxxxkk−−+−−−+++++=+=+==−−−−−−++−+++，所以直线,PAPB与直线2y=所成的较

小角相等.22.已知函数()21eeee22xxxxfxa=−−−．（1）当1a=时，讨论函数()fx的单调性；（2）若()fx为函数()fx的导函数，()fx有两个零点12,xx．（ⅰ）求实数a的取值范围；（ⅱ）证明：()12e12exxxx+．【答案】（1）当1a=时，()fx

在()0,+上单调递减（2）（ⅰ）10,ea；（ⅱ）证明见解析【解析】【分析】（1）根据函数的定义求出()fx的解析式，再通过其导函数的正负来判断函数的单调性；（2）求出()fx，把零点问题转化成方程的根，再转化成函数图象的交点，根据图象即可求

出a的范围；把12,xx代入ln0xax−=，通过两个等式构造，结合a的范围即可证明.【小问1详解】因为()21eeee22xxxxfxa=−−−，令e0xt=，则lnxt=，所以()21ln22ftttatt=−−−（0t），故()21ln

22fxxxaxx=−−−（0x）.当1a=时，()21ln22fxxxxx=−−−，()ln11lnfxxxxx=+−−=−，令()lngxxx=−，则()111xgxxx−=−=，当()0,1x时，

()0gx，()gx单调递增，当()1,x+时，()0gx，()gx单调递减，所以()()max1ln1110gxg==−=−，故()0fx在()0,+上恒成立.所以当1a=时，()fx在()0,+上单调递减.【小问2详解】（ⅰ）(

)fx有两个零点12,xx等价于()0fx=有两个不同的根.而()lnfxxax=−（0x），所以ln0xax−=有两个不同的根，等价于lnxax=有两个不同的根，等价于ya=与()lnxhxx=有两个不同的交点.因为()lnxhxx=，()21lnx

hxx−=（0x），当()0,ex时，()0hx，()hx单调递增，当()e,x+时，()0hx，()hx单调递减，所以()()maxlne1eeehxh===，而当x趋向正无穷时，()hx趋向0，x趋向

0时，()hx趋向负无穷，为使ya=与()lnxhxx=有两个不同的交点，所以10,ea.（ⅱ）()fx有两个零点12,xx，则11ln0xax−=，22ln0xax−=.即11lnxax=，22lnxax=.所以()1212lnlnxxaxx+=+，

即()()1212lnxxaxx=+，得()1212eaxxxx+=，所以()()12ee12eaxxxx+=.因为10,ea，所以()()12ee12exxxx+.【点睛】方法点睛：判断函数单调性时主

要考虑其导函数的正负；零点问题常常可转化为方程的根；关于双变量问题通常需要通过等式构造，找出其等式关系.获得更多资源请扫码加入享学资源网微信公众号www.xiangxue100.com