【文档说明】湖南省名校联盟2023届高三下学期4月联考数学试卷含解析.docx，共(17)页，1.409 MB，由小赞的店铺上传

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以下为本文档部分文字说明：

绝密★启用前（新高考卷）数学试卷注意事项：1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号。

回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。一、选择题:本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1.集合2

15=NMxx，若05=MNxx，则集合N可以为（）A.4B.45xxC.05xxD.5xx2.复数()i,=+Rzabab是纯虚数的充分不必要条件是（）A.0a且0=bB.0=bC.1=a且0=bD.0==ab3.函数()fx的定义域为D，导函数为()

fx，若对任意xD，()()fxfx成立，则称()fx为“导减函数”.下列函数中，是“导减函数”的为（）A.2=yxB.cos=yxC.πlog=yxD.2=xy4.用红、黄、蓝三种颜色给下图着色，要求有公共边的两块不着同色.在所有着色方案中，①③⑤着

相同色的有（）A.96种B.24种C.48种D.12种5.从午夜零时算起，在钟表盘面上分针与时针第i次()*Ni重合时，分针走了minia，则24小时内（包括第24时）所有这样的ia之和12+++=naaa（）A.24B.300C.16560D.180006.将水平

放置，棱长为1的正方体容器（不计容器壁厚度）中注入一半的水，现将该正方体容器任意摆放，并保证水不溢出，则平行于水平面的水面面积的最大值为（）A.32B.1C.334D.27.2022年12月4日20点10分，神州十四号返回舱顺利着陆，人们清楚全面地看到了神州十四号返回舱成功着陆的直播盛况.根据搜

救和直播的需要，在预设着陆场的某个平面内设置了两个固定拍摄机位A，B和一个移动拍摄机位C.根据当时气候与地理特征，点C在拋物线21:36=yx（直线0=y与地平线重合，y轴垂直于水平面.单位：十米，下同.C的横坐标62Cx）上，A的坐标为()36,

2−.设()0,2−D，线段AC，DC分别交于点M，N，B在线段MN上.则两固定机位A，B的距离为（）A.360mB.340mC.320mD.270m8.设3632++−aa的最小值为m，最大值为M，若正数b，c满足1+=bc，则

（）A.0.71e+bcmbcMB.0.71e+bcmbcMC.0.71e+bcmbcMD.0.71e+bcmbcM二、选择题:本题共4小题，每小题5分，共20分。在每小题给出的选项中，有多

项符合题目要求。全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分。9.已知一组数据：0，1，2，4则（）A.该组数据的极差，中位数，平均数之积为10B.该组数据的方差为2.1875C.从这4个数字中任取2个不同的数字可以组成8个两位数D.在这4个数字中任取

2个不同的数字组成两位数，从这些两位数中任取一数，取得偶数的概率为7910.若函数()()sin0,02=+−fxMMxMM同时满足以下条件：①1x，2x是函数()fx的零点，且1223−xx；②Rx，有()9+=−fxf

x，则（）A.()3sin333=+−fxxB.将()fx的图象向左平移6个单位长度得到的图象解析式为3cos333=+−yxC.()fx在,163上单调递减D.

直线518=x是曲线()=yfx的一条对称轴11.直线1:2=+lykx，2:2=−lykx与椭圆22162+=xy共有四个交点，它们逆时针方向依次为A，B，CD，则（）A.33kB.当1=k时，四边形ABCD为正方形C.四边形ABCD面积的最大值为43D.若四边形ABCD为菱形，则153=

k12.已知()fx和()gx是定义在上D的函数，若存在区间,mnD，且()()=fmgm，()()=fngn则称()fx与()gx在,mn上同步.则（）A.()2=fxx与()2=gxx在1,4上同步B.存在1,12n使得()e1=−xfx与

()sin=gxx在0,n上同步C.若存在,mn使得()ln=fxax与()2=gxx在,mn上同步，则2eaD.存在区间,mn使得()1=+fxx与()()ln1=+gxx在,mn上同步三、填空题:本题共4小题，每小题5

分，共20分。13.6313−xx展开式中2x的系数为______.14.双曲线()2222:10,0−=yxCabab的上焦点为F，A，B为曲线上两点，若四边形OFAB为菱形，则C的离

心率为______.15.在正五边形ABCDE中，2=AB，则=ACAD______.16.若665eecos3+−−−++=t，445eecos4−−++=−t，则()sin+=___

___.四、解答题：本题共6小题，共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17.（10分）已知ABC△的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若()4sinsinsin−=−AbBcAB.（1）求a的值；（2）若ABC△的面积为()22234+−bca，求A

BC△周长的最大值.18.（12分）在数列na中，118=a，224=a，26+−=−nnaa.（1）求na的通项公式；（2）记数列na的前n项和为nS，求nS的最大值.19.（12分）某商场举行有奖促销

活动，顾客当日消费金额达366元及以上的均可抽奖.每次抽奖都是从装有2个红球，8个白球的箱子中一次性取出2个小球，若取出2个红球，得200元本商场购物券；若取出1个红球和1个白球，得80元本商场购物券；若取出2个白球，

得10元本商场购物券.（1）求顾客抽一次奖获得购物券金额的分布列；（2）为吸引更多的顾客，现在有两种改进方案，甲方案：在原方案上加一个红球和一个白球，其他不变.乙方案：在原方案的购物券上各加10元，其他不变；若你是

顾客，你希望采用哪种方案.20.（12分）在四棱锥−PABCD中，∥ADBC，36==ADBC，3=AB，3=BAD，顶点P在底面ABCD上的射影O在线段BD上，且2=ODOB.（1）证明：⊥COPD；（2）

若3=PO，求平面PAB与平面PCD所成锐二面角的余弦值.21.（12分）椭圆()22122:10+=xyCabab的离心率为22，左、右焦点分别为1F，2F，上顶点为A，点1F到直线2AF的距离为2.（1）求1C的方程；（2）过点(

)3,0Q的直线l交双曲线222:1−=Cxy右支于点M，N，点P在1C上，求PMN△面积的取值范围.22.（12分）已知函数()sinsin2=+fxxx，0,x.（1）函数()()cos=+Fxfxxx在0=xx处取得极大值，求()0fx的值；（2）若31,2a，证

明：()3cosfxxax.绝密★启用前（新高考卷）数学参考答案1.【答案】C【解析】0,1,2,3=M，所以集合N可以为05xx.2.【答案】C【解析】复数()i,=+Rzabab是纯虚数的充要条件是0a且0=b，所以1=a且0=b是复数()i,=+

Rzabab为纯虚数的充分不必要条件.3.【答案】D【解析】2=xy，2ln22=xxy，则2=xy符合导减函数的定义.4.【答案】B【解析】①③⑤着相同的颜色，可以有133=C种，②④⑥按要求着色有1112228

=CCC种，所以共有24种.5.【答案】C【解析】在钟表盘面上，分针每分钟转6−，时针每分钟转0.5−，即()60.5360−=iai，数列ia是以72011为首项，公差为72011的等差数列.1440ia，24小时内分针与时针重合22次，122216560+++=aaa.6.【答

案】D【解析】因为水的体积恰好是容器容积的一半，水面可以是以22为边长的正六边形，此时水面面积为334；水面可以是正方体的对角面，此时水面面积为2，所以平行于水平面的水面面积的最大值为2.7.【答案】B【解析】设()11,Mxy，()22

,Nxy，(),CCCxy，根据条件有∥ACAM，∥DCDN，∴()()()()113623620+−−+−=CCxyxy，()()22220+−+=CCxyxy.由题意Cx，1x，2x互不相等，把236=CCxy，21136=xy，22236=xy分别代入上两式化简得()1136720+++=

CCxxxx，272=Cxx，消去Cx得2122722−−=+xxx.MN的方程是()122212−−=−−yyyyxxxx，即()221223636+−=−xxxyxx，∴MN的方程为222222236362−−=−+

+xxxxyx，∴MN经过定点()2,2−.所以点B的坐标为()2,2−.34=AB，即两固定机位A，B的距离为340m.8.【答案】A【解析】设36=+xa，32=−ya，则1322−a，023x，02y，22312+=xy，即点(),xy的轨迹是椭圆22

1124+=xy在坐标轴正半轴和第一象限的部分.设3632=++−taa，即=−+yxt，所以当0=x，即12=−a时，t取得最小值2，即2=m（此时直线=−+yxt过椭圆的上顶点）.直线=−+yxt与

椭圆在第一象限相切时，t最大.将=−+yxt代入椭圆方程并化简得22463120−+−=xtxt，所以()()226443120=−−−=MM，所以4=M（负值已舍）.所以12=mM.()273210eee20e102

42==，即0.7e2，所以0.711e2.由1+=bc知，01b，01c，所以=xyb与=xyc均是单调减函数，所以()22112222+++++++==+=bcbcbcbcbcbcbcbc.所以A正确.9.【答案】BD【解析】该组数据的极差为

4，中位数为1.5，平均数为1.75，它们之积为10.5，方差为2.1875，可以组成9个两位数，其中只有21，41两个奇数，从中随机抽一数，抽到偶数的概率为79.10.【答案】ABC【解析】函数()fx的零点，即方程()

sin1+=Mx的解，所以223==TM，3=M，由②知718=x是函数()fx的一条对称轴，023,182+=+kkZ解得3=，所以()3sin333=+−fxx.将(

)fx的图象向左平移6个单位长度得到函数3cos333=+−yx.11.【答案】ACD【解析】12∥ll，由椭圆的对称性知四边形ABCD是平行四边形.设()11,Axy，()22,Bxy，22236=++=

ykxxy，()22131260+++=kxkx，()221442413k0=−+k解得33k，A正确.1221213−+=+kxxk，122613=+xxk，()222212122311426113−=++−=++kABkxxxx

kk，平行四边形的高即为两平行线之间的距离241=+dk，当1=k时，ABd，B错误.22318613−=+kSk，设231=−tk，0t，()86t432==+Sgtt，C正确.若四边形ABCD是菱形则0=OAOB，()()212122140++++=kxxkxx，

解得235=k，153=k正确.12.【答案】BC【解析】由题知()fx与()gx在上,Dmn同步，即()()()=−Fxfxgx在D上，至少存在两个零点m，n，对于A，()()()22=−=−Fxfxgxxx在上1,4单调递增，所以A错误.对于B

，()esin1=−−xFxx，()00=F，()1e10=−F，1e202=−F，函数()esin1=−−xFxx在1,12上必有一个零点，所以B正确.对于C，()()()2ln=

−=−Fxfxgxaxx，()22−=axFxx，当0a时函数()2ln=−Fxaxx在()0,+上单调递减，至多有一个零点，不符合题意，当0a时，()2ln=−Fxaxx在0,2a上单调递增

，在,2+a上单调递减，当0→x时()→−Fx，当→+x时，()→−Fx，()Fx要有两个零点，则02aF，解得2ea，所以C正确.对于D，()()()()1ln1=−=+−+Fx

fxgxxx在，则()1=+xFxx，当10−x时，()0Fx，()Fx单调递减，当0x时，()0Fx，()Fx单调递增，又()00=F，所以()()010=FxF，()Fx没有零点

，所以D不正确.13.【答案】135【解析】()61841613−−+=−rrrrrTCx，1842−=r，4=r，()4464613135−−=C.14.【答案】13+【解析】上焦点()0,Fc，

因为四边形OFAB为菱形，=OFAB，则可设0,2cAx，由=OFFA得032=cx，将点3,22ccA的坐标代入2222:1−=yxCab解得22323=+ba，()2222142313=+=+=+bea，所以C的离心率为13+.15.【答案】25

4+【解析】分别连接BD，CE，设=ACBDM，=ADCEN，连接MN，则2====ABAMANCD，==BMMNMC.设==ACADa，则2=−MNa.由∽AMNACD△△得=AMMNACCD，即222−=aa，解得51=+a.所以222cos2542

+−===+ACADCDACADACADCADACADACAD.16.【答案】624−【解析】由665eecos3+−−−++=t，445eecos4−−−++=−t得663eecos26

+−−+++=t，443eecos24−−++−=−t，即66eesin6+−−−++=t，44eesin4−−+−=−t.设()1esine=−+xxfxx，则()fx是R上的奇

函数，()11ecos2ecos0ee=+++xxxxfxxx，所以()fx是R上的单调增函数.又6+=ft，4−=−ft，所以644+=−−=−fff，所以64+=−，即46+=−，

所以()62sinsincoscossin46464−+=−=.17.（10分）【解析】（1）设4=at，()0t，在ABC△中，由正弦定理得2sin=aRA，2sinB=bR，2sin=cRC，代入已知化简得()22

sinsinsinsin−=−tABCAB，又在ABC△中有：()sinsin=+CAB，即()()22sinsinsinsin−=+−tABABAB，【方法一】∵()()()221sinsincos2cos2sinsin2+−=−−=−ABABABAB，即2222sinsins

insin−=−tABAB，所以1=t，所以4=a.【方法二】∵()()()()sinsinsincoscossinsincoscossin+−=+−ABABABABABAB，()()()()2222222222sinsinsincoscossinsin1sin1sinsinsinsin

+−=−=−−−=−ABABABABABABAB即2222sinsinsinsin−=−tABAB，所以1=t，所以4=a.（2）在ABC△中有1sin2=SbcA，()22231sin24+−=bcabcA()2223sin3cos2+−==bcaAAbc，3=A，由正弦定

理得：8sin3=bB，8sin3=cC，82sinsin8sin363+=+−=+bcBBB，因在ABC△中，3=A，203B，sin16+B，所以，8+bc，当==ABC时，等号成立，周长取得

最大值12.18.（12分）【解析】（1）当n为奇数时，即数列na的奇数项是以18为首项，6−为公差的等差数列，213=−nan.当n为偶数时，即数列na的偶数项是以24为首项，6−为公差的等差数列，303=−nan.所以213,,303,.−

=−为奇数为偶数nnnann.（2）当n为奇数时，2130=−nan，即1a，3a，5a都大于0，70=a，90a，当n为偶数时，3030=−nan，即2a，4a，6a，8a都大于0，100=a，120a，所以nS的最大值为12896+++=aaa.19.（12分）【解

析】（1）设获得购物券的金额为X，则X可以取200，80，10，()22210120045===CPXC，()1128210168045===CCPXC，()28210281045===CPXC.X的分布列为：X2008010P

14516452845（2）方案甲，设获得购物券的金额为Y，则Y可以取200，80，10，()23212120022===CPYC，()113921298022===CCPYC，()2921261011===CPYC.()196520200801022221111=++=EY.方案乙，设获

得购物券的金额为Z，()1162844221090204545459=++=EZ.因()()EZEY，所以顾客希望采用方案乙.20.（12分）【解析】（1）证明：∵在ABD△中，2222cos273=+−

=BDABADABAD，222+=ABBDAD，∴⊥ABBD，延长CO交AD于点M，由题易知∽BOCDOM△△，∵2=ODOB，∴24==MDBC，2=−=AMADMD，∵∥AMBC，=AMBC，∴四边形ABCM为平行四边形，∴∥ABCM

，⊥COBD．∵⊥PO平面ABCD，CO平面ABCD，∴⊥COPO.∵BD，PO是平面PBD内两相交直线，∴⊥CO平面BPD．∵PD平面BPD，∴⊥COPD.（2）由（1）知OB，OC，OP互相垂直，建立如图所示的

空间直角坐标系，则()3,0,0B，()3,3,0−A，()0,1,0C，()23,0,0−D，()0,0,3P，∴()0,3,0=AB，()3,0,3=−PB，()23,1,0=−−CD，()0,1,3=−PC.设平面PAB的一个

法向量为()111,,=mxyz，则00==mABmPB即11130330=−=yxz，不妨取13=x，得()3,0,1=m.设平面PCD的一个法向量为()222,,=nxyz，则00==nCDnPC即

222223030+=−=xyyz，不妨取23=x，得()3,6,2=−−n所以43cos,86==mnmnmn.即平面PAB与平面PCD所成锐二面角的余弦值为4386.21.（12分）【解析】（1）直线2AF方

程为1+=xycb，即0+−=bxcybc，1F到直线0+−=bxcybc的距离2222==+bcdbc，化简得22222=+bcbc，所以2=ac，解得22=a，21=b，所以1C的方程为：2212+=xy（2）设直线l的方程为3

=+xty，由于2C的渐近线的斜率为，所以11−t.将l方程代入221−=xy化简得()2212320−++=tyty.设()11,Mxy，()22,Nxy，则122231+=−−tyyt，12221=−yyt，()222212122214

211+=++−=+−tMNtyyyytt，设平行于l与椭圆2212+=xy相切的直线为()1:11=+−lxtymt，由2222=++=xtymxy得()2222220+++−=tymtym，由()()222244220=−+−=mttm得22=+mt直线l

与1l之间的较小距离22122323211−+−+==++ttdtt，直线l与1l之间的较大距离22222323211++++==++ttdtt则PMN△面积的较小值为()22112322121−++==−ttSMNdt，PMN△面积的较大值为()222223221

21+++==−ttSMNdt.设22=+qt，23q，222=−tq，则1313=−+Sq，2313=−−Sq，23q，∴11622−S，262+S.所以PMN△面积的取值范围为)62,−+.22.（12分）【解析】（1）()()cos=+

Fxfxxx，0,x，()sincoscossin2=++Fxxxxxx，∴()2232cossinsinsin22coscos216cos2cos4cos=−−++=+−Fxxxxxxxxxx，∴()()()2cos1cos3cos2

=+−Fxxxx.因为0,x，所以1cos1−x.当1cos0−x，或2cos13x时，()0Fx，当20cos3x时，()0Fx，即()Fx在00,x上单调递增，在0,2x上单调递减，在,2上单调递增，且02cos3=x

.因为02cos3=x，00,2x，所以05sin3=x，即()000075sin2sincos9=+=fxxxx.（2）由cos=yax为偶函数，则只需考虑31,2a的情况：记()()3cos=−gafxxax，有()23sin=g

axax，（ⅰ）当0,xa，有()0ga，所以()ga单调递增，有()()1sinsin23cos=+−gagxxxx，①当2,23x，有()()12cossin03cos=+fx

xxxx，成立；②当20,,23xa，记()sinsin23cos+=−xxhxxx，则只需证0,2x，()0hx；2,3xa，()0h

x；有()()()22cos12cos1cos−+=xxhxx，当0,2x，有()0hx，则()hx单调递增，()()00=hxh，成立；当2,3xa，有()0

hx，则()hx单调递减，有()223=−hxh，成立；（ⅱ）当,xa，有()0ga，所以()ga单调递减，有()333sinsin23cossin26cos222=

+−−xxgagxxxx，记()3sin26cos2=−xxx，其中2,3x，只需证()0x，有()32cos29sin2=+xxx，当23,34x，易知()0x，当3,4x，有()9929sin2

9sin2081262+−=−+x，所以()x单调递减，则()0x，成立；综上可知，有()3cosfxxax.获得更多资源请扫码加入享学资源网微信公众号www.xiangxue100.com