【文档说明】2021-2022学年高中数学人教A版必修1讲义：1.2.2　第1课时　函数的表示法 含解析【高考】.doc，共(8)页，463.000 KB，由小赞的店铺上传

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-1-1.2.2函数的表示法第1课时函数的表示法学习目标核心素养1.掌握函数的三种表示方法：解析法、图象法、列表法．(重点)2.会根据不同的需要选择恰当的方法表示函数．(难点)1．通过函数表示的图象法培养直观想象素养．2．通过函数解析式的求法提升数学运算素养.函数的表示法思考：任何一个

函数都可以用解析法、列表法、图表法三种形式表示吗？提示：不一定．并不是所有的函数都可以用解析式表示，不仅如此，图象法也不适用于所有函数，如D(x)＝0，x∈Q，1，x∈∁RQ.列表法虽在理论上适用于所有函数，但对于自变量有无数个取值的情况，列表法只能表示函

数的一个概况或片段．1．已知函数f(x)由下表给出，则f(3)等于()1≤x<222<x≤4f(x)123A.1B．2C．3D．不存在C[∵当2<x≤4时，f(x)＝3，∴f(3)＝3.]2．二次函数的图

象的顶点为(0，－1)，对称轴为y轴，则二次函数的解析式-2-可以为()A．y＝－14x2＋1B．y＝14x2－1C．y＝4x2－16D．y＝－4x2＋16B[把点(0，－1)代入四个选项可知，只有B正确．]3

．已知函数y＝f(x)的图象如图所示，则其定义域是________．[－2,3][由图象可知f(x)的定义域为[－2,3]．]函数的三种表示方法【例1】(教材改编题)某商场新进了10台彩电，每台售价3000元，试求售出台数x与收款数y之间的函数关系，分

别用列表法、图象法、解析法表示出来．[解]①列表法如下：x(台)12345y(元)3000600090001200015000x(台)678910y(元)1800021000240002700030000②图象法：如图所示．③解析法：y＝

3000x，x∈{1,2,3，…，10}．-3-列表法、图象法和解析法是从三个不同的角度刻画自变量与函数值的对应关系，同一个函数可以用不同的方法表示．在用三种方法表示函数时要注意：①解析法必须注明函数的定义域；②列表法中选取的自变量要

有代表性，应能反映定义域的特征；③图象法中要注意是否连线．[跟进训练]1．(1)某学生离家去学校，一开始跑步前进，跑累了再走余下的路程．下列图中纵轴表示离校的距离，横轴表示出发后的时间，则较符合该学生走法的是()ABCD(2)由下表给出函数y＝f(x)，则f

(f(1))等于()x12345y45321A．1B．2C．4D．5(1)D(2)B[(1)结合题意可知，该生离校的距离先快速减少，又较慢减少，最后到0，故选D.(2)由题意可知，f(1)＝4，f(4)＝2，∴f(f(1))＝f(4)＝2，故选B.]图象的画法

及应用【例2】作出下列函数的图象并求出其值域．(1)y＝－x，x∈{0,1，－2,3}；(2)y＝2x，x∈[2，＋∞)；(3)y＝x2＋2x，x∈[－2,2)．[解](1)列表x01－23y0－12－

3函数图象只是四个点(0,0)，(1，－1)，(－2,2)，(3，－3)，其值域为{0，－1,2，－3}．-4-(2)列表x2345…y1231225…当x∈[2，＋∞)时，图象是反比例函数y＝2x的一部分，观察图象可知其值域为(0,1]．(

3)列表x－2－1012y0－1038画图象，图象是抛物线y＝x2＋2x在－2≤x<2之间的部分．-5-由图可得函数的值域为[－1,8)．描点法作函数图象的三个关注点(1)画函数图象时首先关注函数的定义域，即在定义域内作图.(2)图象是实

线或实点，定义域外的部分有时可用虚线来衬托整个图象.(3)要标出某些关键点，例如图象的顶点、端点、与坐标轴的交点等.要分清这些关键点是实心点还是空心圈.提醒：函数图象既可以是连续的曲线，也可以是直线、折线、离散的点等.[跟进训练]2．画出下列函数的图象：(1)y＝x＋1(x

≤0)；(2)y＝x2－2x(x>1，或x<－1)．[解](1)y＝x＋1(x≤0)表示一条射线，图象如图①.(2)y＝x2－2x＝(x－1)2－1(x>1，或x<－1)是抛物线y＝x2－2x去掉－1≤x≤1之间的部分后剩余曲线．如图②.函数解析式的求法[探究问题]

已知f(x)的解析式，我们可以用代入法求f(g(x))，反之，若已知f(g(x))，如何求f(x)．提示：若已知f(g(x))的解析式，我们可以用换元法或配凑法求f(x)．【例3】(1)已知函数f(x)是一次函数，若f(f(x)

)＝4x＋8，则f(x)＝________；(2)已知f(x＋1)＝x－2x，则f(x)＝________；(3)已知函数f(x)对于任意的x都有f(x)－2f(－x)＝1＋2x，则f(x)＝________.思路点拨：(1)用待定系数法求解；(2)用换元法或配凑法求解；(3)用方程组法求解

．-6-(1)2x＋83或－2x－8(2)x2－4x＋3(x≥1)(3)23x－1[(1)设f(x)＝ax＋b(a≠0)，则f(f(x))＝f(ax＋b)＝a(ax＋b)＋b＝a2x＋ab＋b.又f(f(x))＝4x＋8，所以a2x＋ab＋b

＝4x＋8，即a2＝4，ab＋b＝8，解得a＝2，b＝83或a＝－2，b＝－8.所以f(x)＝2x＋83或f(x)＝－2x－8.(2)法一(换元法)：令t＝x＋1，则t≥1，x＝(t－1)2，代入原式有f(t)＝(t－1

)2－2(t－1)＝t2－4t＋3，f(x)＝x2－4x＋3(x≥1)．法二(配凑法)：f(x＋1)＝x＋2x＋1－4x－4＋3＝(x＋1)2－4(x＋1)＋3，因为x＋1≥1，所以f(x)＝x2－4x＋3(x≥1)．(3)由题意，在f

(x)－2f(－x)＝1＋2x中，以－x代x可得f(－x)－2f(x)＝1－2x，联立可得f(x)－2f(－x)＝1＋2x，f(－x)－2f(x)＝1－2x，消去f(－x)可得f(x)＝23x－1.]1．(变条件)把本例(1)的题干

改为“已知函数f(x)是二次函数，且f(0)＝1，f(x＋1)－f(x)＝2x.”求f(x)的解析式．[解]设f(x)＝ax2＋bx＋c，由f(0)＝1得c＝1.又f(x＋1)＝a(x＋1)2＋b(x＋1)＋1，∴f(x＋1)－f(x)＝2ax＋a＋b.由2ax＋a＋b＝2x，得2a＝

2，a＋b＝0，解得a＝1，b＝－1.∴f(x)＝x2－x＋1.2．(变条件)把本例(3)的题干改为“2f1x＋f(x)＝x(x≠0)”，求f(x)的解析式．[解]f(x)＋2f1x＝x，令x＝1x，-7-得f1x＋2f(x)＝1x.于是得关

于f(x)与f1x的方程组f(x)＋2f1x＝x，f1x＋2f(x)＝1x.解得f(x)＝23x－x3(x≠0)．求函数解析式的常用方法(1)待定系数法：若已知函数的类型，可用待定系

数法求解，即由函数类型设出函数解析式，再根据条件列方程(组)，通过解方程(组)求出待定系数，进而求出函数解析式．(2)换元法(有时可用“配凑法”)：已知函数f[g(x)]的解析式求f(x)的解析式，可

用换元法(或“配凑法”)，即令g(x)＝t，反解出x，然后代入f[g(x)]中求出f(t)，从而求出f(x)．(3)消元法(或解方程组法)：在已知式子中，含有关于两个不同变量的函数，而这两个变量有着某种关系

，这时就要依据两个变量的关系，建立一个新的关于这两个变量的式子，由两个式子建立方程组，通过解方程组消去一个变量，得到目标变量的解析式，这种方法叫做消元法(或解方程组法).提醒：应用换元法求函数解析式时，务必保证函数在换元前后的等价性.1．核心要点：函数有三种常用的表示方法：解析法、图

象法和列表法，可以根据具体情况，以最佳的方式表示函数．2．数学思想：作函数图象必须要让作出的图象反映出图象的伸展方向，与x轴、y轴有无交点，图象有无对称性，并标明特殊点，根据函数的解析式画出函数的图象，是数形结合的具体体现．3．数学方法：求函数解析式的主要方法有：待定系数法、换元法，解方

程组法(消元法)，注意有的函数要注明定义域．-8-1．思考辨析(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)任何一个函数都可以用解析法表示．()(2)函数f(x)＝2x＋1不能用列表法表示．()(3)函数的图象一定是定义区间上一

条连续不断的曲线．()[答案](1)×(2)√(3)×2．已知函数f(x＋1)＝3x＋2，则f(x)的解析式是()A．f(x)＝3x－1B．f(x)＝3x＋1C．f(x)＝3x＋2D．f(x)＝3x＋4

A[令x＋1＝t，则x＝t－1，∴f(t)＝3(t－1)＋2＝3t－1.∴f(x)＝3x－1.]3．已知函数f(x)，g(x)分别由下表给出．则g(f(5))＝________；f(g(2))＝________.43[由题表可知f(

5)＝3，g(3)＝4，∴g(f(5))＝g(3)＝4.又g(2)＝5，f(5)＝3，∴f(g(2))＝f(5)＝3.]4．已知函数f(x)＝x2－2x(－1≤x≤2)．(1)画出f(x)图象的简图；(

2)根据图象写出f(x)的值域．[解](1)f(x)图象的简图如图所示．(2)观察f(x)的图象可知，f(x)图象上所有点的纵坐标的取值范围是[－1,3]，即f(x)的值域是[－1,3]．