【文档说明】广东省清远市清新区四校联考2024-2025学年高二上学期11月月考试题 数学 Word版含解析.docx，共(15)页，1.112 MB，由envi的店铺上传

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清新区2024-2025学年高二上学期11月“四校联考”数学试题本试卷共4页，19小题，满分150分，考试用时120分钟。注意事项：1.答题前，先将自己的姓名、准考证号、考场号、座位号填写在试卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上

的指定位置。2.选择题的作答：每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.写在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。3.填空题和解答题的作答：用黑色签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。写在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。一

、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。1．化简PMPNMN−+，所得的结果是（）A．0B．NPC．MPD．MN2．已知6ab=，3a=，4b=，则b在a上的投影向量为（）A．38aB．38bC．23aD．23b3．如图，在ABCV中，633πABACBAC===，

，，2BDDC=，则ABAD＝（）A．9B．18C．6D．124．设a、b是两条直线，、是两个平面，a，b，://pab，://q，则p是q的A．充要条件B．充分不必要条件C．必要不充分条件D．既不充分也不必要条件5．

在学生身高的调查中，小明和小华分别独立进行了简单随机抽样和按比例分层抽样调查，小明调查的样本量为200，平均数为166.2cm，小华调查的样本量为100，平均数为164.7cm。则下列说法正确的是（）A．小明抽

样的样本容量更大，所以166.2cm更接近总体平均数B．小华使用的抽样方法更好，所以164.7cm更接近总体平均数C．将两人得到的样本平均数按照抽样人数取加权平均数165.7更接近总体平均数D．样本平均数具有随机性，以上说法均不对6．已知ABCV的内角,,ABC所对

的边分别为,,abc，若1sin,2sin3AbB==，则a=（）A．23B．32C．6D．167．已知向量()4,1a=r，()2,bm=，且()//aab+，则m=（）A．2−B．12−C．12D．28．已知单位向量,ab的夹角为2π3，则ab−=rr（）A．1B．2C．3D．3二、多

选题：本题共3小题，每小题6分，共18分。9．如果,ab是两个单位向量，则下列结论中正确的是（）A．ab=B．ab=C．22ab=D．ab=rr10．已知虚数134iz=+，22iz=−，则（）A．125zz−=B．12

2zzz=C．212zz=D．2z是方程2450xx−+=的一个根11．下列说法中，错误的为（）A．有一个面是多边形，其余各面都是三角形的几何体是棱锥；B．有两个面互相平行，其余四个面都是等腰梯形的六面体是棱台；C．底面是等边三角形，侧面都是

等腰三角形的三棱锥是正三棱锥；D．棱锥的侧棱长与底面多边形的边长相等，则此棱锥不可能是正六棱锥．三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。12．在△ABC中，E是BC边上一点，且3BEEC=，点F为AE的延长线上一点，写出使得AFABAC=+成立的，的一组

数据(),为13．已知()4,3OA=，()2,10OB=，则AB在OA方向上的投影向量坐标为14．直三棱柱111ABCABC−中，90ABC=，11ABBCBB===，则1AB与1BC所成角大小为四、解答题：本题共5小题，共77分。15．（10分）已知平面内两

点()6,6A−，()2,2B．(1)求过点()1,3P且与直线AB垂直的直线l的方程．(2)若ABCV是以C为顶点的等腰直角三角形，求直线AC的方程．16．（15分）在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c．已知222acbac+−=，53,cos3aA==．(1)求B的值；(2)求

b的值；(3)求()sin2AB−的值．17．（10分）如图，在棱长为2的正方体1111ABCDABCD−中，E，F分别为棱1DD，11CD的中点.(1)求证：1//BF平面1ABE；(2)求直线1BF到平面1ABE的

距离.18．（15分）如图，在四棱锥PABCD−中，PD⊥平面,,90ABCDABCDADC=∥，且22ADCDPDAB====.(1)求证：AB⊥平面PAD；(2)求平面PAD与平面PBC夹角的余弦值；(3)在棱PB上是否存在

点G（G与,PB不重合），使得DG与平面PBC所成角的正弦值为23？若存在，求PGPB的值，若不存在，说明理由.19．（17分）在空间直角坐标系Oxyz中，这点000(,,)Pxyz且以(,,)uabc=r为方向向量的直线方程可表示为000(0)xxyyzza

bcabc−−−==，过点000(,,)Pxyz且以(,,)uabc=r为法向量的平面方程可表示为000axbyczaxbycz++=++．(1)已知直线1l的方程为1(1)2xyz−==−−，直线2l的方程为1(1)42yzx−−−==．请分别写出直线1l和直线2l的一个方向

向量．(2)若直线11:(1)2xlyz−==−−与21:(1)42yzlx−−−==都在平面内，求平面的方程；(3)若集合{(,,)|||||||2}Mxyzxyz=++=中所有的点构成了多面体Ω的各个面，求Ω的体积和相邻两个面所在平面的夹角的

余弦值．参考答案：题号12345678910答案ACBDDACCCDBCD题号11答案ABC1．A【分析】依据向量加减法运算规则去求化简PMPNMN−+即可.【详解】0PMPNMNNMMNNMNM−+=+=−=，故选：A2．C【分析】

根据投影向量的求法直接求解即可.【详解】b在a上的投影向量为：62cos,93aabababaaaaa===.故选：C.3．B【分析】利用平面向量的数乘与加减运算，把问题转化为,ABAC的数量积求解．【详解】,

223BDDCBDBC==()212333ADABBDABACABABAC=+=+−=+，212123333ABADABABACABABAC=+=+212π121cos366318333332ABABAC=+=+=.故选：B4．D【解析】根据空

间中线面关系和面面关系，结合充分条件和必要条件的定义判断即可.【详解】//ab，则与可能重合、平行、相交，pq；//，则a与b可能平行、异面，qp；故p是q的既不充分也不必要条件.故选：D．【点睛】本题考查充分条件和必要条件的判断，同时也考查了空间中的线面关系和面面关系，考查推理能

力，属于基础题．5．D【分析】根据简单的随机抽样和分层抽样得定义以及平均数得定义我们会发现样本平均数具有随机性，不确定性，故而选项可判定.【详解】抽样的样本容量大但有时不具有代表性，不能得到样本平均值更接近总体平均数，故选项A错误：使用分层的抽样方法样本更具有代表性，但样本容量太小

也不能得到样本平均值更接近总体平均数，故选项B错误：两人得到的样本平均数按照抽样人数取加权平均数同样兼具两者的不确定性，故选项C错误;通过对上面三个选项的分析可知样本平均数具有随机性，故选项D正确；故选：D.6．A【分析】利用正弦定理整理代入运算即可．【详解】由正弦定理sinsi

nabAB=，整理得sin122sin33bAaB===故选：A．7．C【分析】求出向量ab+的坐标，利用共线向量的坐标表示可得出关于m的等式，即可求得实数m的值.【详解】因为向量()4,1a=r，

()2,bm=，所以()6,1abm+=+，又()//aab+，所以()41160m+−=，解得12m=.故选：C8．C【分析】根据已知条件及数量积的运算律即可得解.【详解】由已知有1ab==，2π1cos32abab==−.故()222211

13abababab−=−=+−=++=.故选：C.9．CD【分析】根据单位向量的定义及数量积的定义即可得解.【详解】解：因为,ab是两个单位向量，所以1ab==，但两向量的方向不能确定，2222aabb===，故AB错误；CD正确.故选：CD.10．

BCD【分析】利用复数的四则运算和复数的模长公式可判断AB选项；利用复数的乘法方法则与共轭复数的定义可判断C选项；解方程2450xx−+=可判断D选项.【详解】对于A选项，因为()()1234i2i15izz−

=+−−=+，所以22121526zz−=+=，故A错；对于B选项，()()()()1234i2i34i211i2i2i2i55zz+++===+−−+，所以22122211555zzz=+==，故B对；对于C选项，()22212i34izz=−=

−=，故C对；对于D选项，由2450xx−+=，可得()221x−=−，解得2ix=−或2ix=+，故D对.故选：BCD.11．ABC【分析】对于A，根据棱锥的定义分析判断，对于B，根据棱台的定义分析判断，对于C，根据正三棱锥的定义分析判断，对于D，根据正六棱

锥的定义分析判断.【详解】对于A，有一个面是多边形，其余各面都是有一个公共顶点的三角形，由这些面所围成的多面体叫棱锥，而有一个面是多边形，其余各面都是三角形的几何体不一定是棱锥，如图，所以A错误，对于B，棱台是由棱锥被平行于

棱锥底面的平面所截而得，而有两个面互相平行，其余四个面都是等腰梯形的六面体的侧棱不一定交于一点，所以B错误，对于C，底面是等边三角形，侧面都是等腰三角形的三棱锥的顶点不一定在底面的射影为底面等边三角形的中心，所以C错误，对于D，若六棱锥的所有棱长都相等，则底

面为正六边形，由过底面中心和顶点的截面知，若以正六边形为底面，则侧棱必然大于底面边长，所以D正确，故选：ABC12．13(,)22（答案不唯一）【分析】根据向量的线性运算表示出AE，再结合向量的共线即可求得答案.【详解】由题意知BCACAB=−，而3BEEC=，故3()

4BEACAB=−,则313()444AEAACAABBBEABABC=−=+=++，又点F为AE的延长线上一点，故,(1)AtAEtF=,可取2t=，则1313)44222(ACABFABAAC==++，故使得AFABAC=+成立的，的一组数据(),为13(,)22，故

答案为：13(,)22（答案不唯一）.13．5239,2525【分析】首先求出AB的坐标，再根据AB在OA方向上的投影向量为ABOAOAOAOA计算可得.【详解】因为()4,3OA=，()2,10

OB=，所以()()()24,32,,107ABBOOA===−−−，所以243713ABOA=−+=，22435OA=+=，所以AB在OA方向上的投影向量为()15239,24,3355255ABOAOAOAOA==.

故答案为：5239,252514．60【分析】作出1AB与1BC所成角，并判断出角的大小.【详解】设11BCBCD=，设E是AC的中点，连接,BEDE，则1//DEAB，所以1AB与1BC所成角是BDE或其补角.根据直棱柱的性质以及90ABC=

可知112ABBCAC===，所以22DEBDBE===，所以三角形BDE是等边三角形，所以60BDE=，所以1AB与1BC所成角大小为60.故答案为：6015．(1)250xy−+=(2)3240xy−

−=或3120xy++=【分析】（1）利用斜率公式求出直线AB的斜率，再根据直线AB的斜率与直线AB垂直的直线l的斜率乘积为1−和点斜式求解即可；（2）求出线段AB垂直平分线的方程为280xy−−=，故点C在直线上，设点C为()28,aa+，根据等腰直角三角形两直角边垂直，所在直线斜率存在，斜

率之积为1−建立等式求解即可．【详解】（1）由题意得62262ABk−−==−−，则直线l的斜率为12，所以过点()1,3P且与直线AB垂直的直线l的方程为：()1312yx−=−，即250xy−+=．（2）AB的中点坐标为()4,2−，由

（1）可知线段AB垂线的斜率为12，所以线段AB垂直平分线的方程为()1242yx+=−，即280xy−−=．因为ABCV是以C为顶点的等腰直角三角形，所以点C在直线280xy−−=上，故设点C为()28,aa+，由⊥CBCA可得：621286282aaaa+−=−+−+−，解得0a=或4

a=−，所以点C坐标为()8,0或()0,4−，则直线AC的方程为3240xy−−=或3120xy++=．16．(1)π3B=(2)94(3)45318−【分析】（1）利用余弦定理边角转化即可得结果；（2）先求sinA，再利用正弦定理运算求解即可；（3）先求sin2,cos2AA，再利用两家和差公

式运算求解.【详解】（1）因为222acbac+−=，由余弦定理可得2221cos222acbacBacac+−===，又，所以π3B=.（2）因为()5cos,0,π3AA=，则22sin1cos3AA=−=，由正弦

定理sinsinabAB=可得33sin922sin43aBbA===.（3）因为5cos3A=，2sin3A=，则22451sin22sincos,cos2cossin99AAAAAA===−=，所以()45113

453sin2sin2coscos2sin929218ABABAB−−=−=−=.17．(1)证明见解析(2)43【分析】（1）以A为原点，AB，AD，DA1所在直线分别为x，y，z轴建立如图所示空间直角坐标系Axyz−，求得平面1ABE的一个法向量为(

)nxyz=，，，由1BFn⊥证明；（2）由（1）1//BF平面1ABE，将求直线1BF到平面1ABE的距离转化为点1B到平面1ABE的距离，由1BBndn=求解.【详解】（1）以A为原点，AB，AD，DA1所在直线分别为x，y，z轴建立如图所示空间直角坐标系A

xyz−.由题意得()2,0,0B，()()110,0,2,2,0,2AB，()0,2,1E，()1,2,2F.所以()2,2,1BE=−，()12,0,2BA=−，()1,2,2BF=−.设平面1ABE的一个法向量为(),,nxyz=.易知1·022022

0·0BEnxyzxzBAn=−++=−+==,令2x=，得1,2yz==，所以()2,1,2n=.12200BFn=−++=，1BFn⊥，又1BF平面1ABE,1//BF平面1ABE；（2）由（1）可知1//BF平面1AB

E，故求直线1BF到平面1ABE的距离可转化为点1B到平面1ABE的距离，因为()10,0,2BB=−，由（1）可知平面1ABE的一个法向量为()2,1,2n=，设直线1BF到平面1ABE的距离为d.则1004433BBndn+−===.18．(1)证明过程见解析(2)23(3)8

9【分析】（1）根据线面垂直的性质定理，结合线面垂直的判定定理进行证明即可；（2）根据线面的垂直关系，建立空间直角坐标系，利用空间向量平面间夹角公式进行求解即可；（3）利用空间向量线面角夹角公式进行求解即可.【详解】（1）因为PD⊥平

面,ABCDAB平面ABCD，所以PDAB⊥，又因为,90ABCDADC=∥，所以ADAB⊥，而,,ADPDDADPD=平面PAD，所以AB⊥平面PAD；（2）因为PD⊥平面,,ABCDADCD平面A

BCD，所以,PDCDPDAD⊥⊥，而CDAD⊥，于是建立如图所示的空间直角坐标系，()()()()()0,0,0,0,0,2,2,0,0,2,1,0,0,2,0DPABC，由（1）可知：AB⊥平面PAD，

所以平面PAD的法向量为()0,1,0AB=，设平面PBC的法向量为，()()2,1,2,0,2,2PBPC=−=−，则有()02201,2,22200mPBxyzmyzmPC=+−==−==，设

平面PAD与平面PBC夹角为，22cos31144ABmABm===++；（3）设()()0,1PGPB=，设(),,Gxyz，于是有()()(),,22,1,22,,22xyzG−=−−，()2,,22DG=−，由（2）可知平面PBC的

法向量为()1,2,2m=，假设DG与平面PBC所成角的正弦值为23，则有()2222244228339144422DGmDGm++−===++++−，或0=舍去，即89PGPB=.19．(1

)1l的一个方向向量()12,1,1u=−；2l的一个方向向量()21,4,2u=−（答案不唯一，符合题意即可）(2)235xyz−+=(3)Ω的体积为323，相邻两个面所在平面的夹角的余弦值为13【分析】（1）根据题意即可得直线的方向

向量；（2）由直线方程可得两直线经过的点及方向向量，利用两方向向量求得平面的法向量，结合点与法向量可得平面方程；（3）由集合M可知各面所在平面的方程，利用各面与坐标轴的交点坐标作出图形，结合几何体的对称性求解体积；利用向量夹角求解

面面角可得.【详解】（1）因为直线1l的方程为1(1)2xyz−==−−，即101211xyz−−−==−，可知直线1l的一个方向向量()12,1,1u=−；直线2l的方程为1(1)42yzx−−−==，即11142xyz−−==−，可知直线2l的一个方向向量()21,4,2u=−.（2）由

题意可知：直线1l过点()1,0,1P，且其一个方向向量为()32,1,1u=−ur，直线2l过点()1,0,1P，且其一个方向向量为()41,4,2u=−uur，则()1,0,1P为平面内一点.设平面的法向量为()111,,

nxyz=，则3111411120420nuxyznuxyz=+−==−++=，令12x=，则111,3yz=−=，可得()2,1,3n=−r，所以平面的方程为()23211031xy

z−+=+−+，即235xyz−+=.（3）由集合{(,,)|||||||2}Mxyzxyz=++=可知，多面体Ω与坐标轴交于各点()()()2,0,00,2,02,0,0MNR−,,，()()()0,2,00,0,20,0,2SEF−−,,，如图所示，可知四边形MNR

S为正方形，边长222(20)(02)022MN=−+−+=，所以，正方形MNRS的面积为2(22)8=，而正四棱锥EMNRS−的高为2OE=，则1162833EMNRSV−==四棱锥，所以多面体Ω的体积为16322233EMNRSVV−===四棱锥.由集合{(,,)|||||||2}Mxy

zxyz=++=中所有的点构成了多面体Ω的各个面，点(2,0,0),(0,2,0),(0,0,2)MNE均满足方程2xyz++=.可知平面MNE的方程为2xyz++=，且该平面的一个法向量为()1,1,1a=，同理可知，平面ENR的方程为2xyz−++=，该平面的一个

法向量为()1,1,1b=−，平面MNF的方程为2xyz+−=，该平面的一个法向量为()1,1,1c=−，所以111cos,,cos,3333abacabacacab=====rrrrrrrrrrrr.由对称性可知

，任意相邻两平面的夹角的余弦值都为13.故多面体Ω相邻两个面所在平面的夹角的余弦值为13.综上，Ω的体积为323，相邻两个面所在平面的夹角的余弦值为13.