【文档说明】2024年全国普通高中九省联考仿真模拟数学试题（三）PDF版含答案.pdf，共(19)页，914.979 KB，由小赞的店铺上传

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1学科网（北京）股份有限公司2024年高考仿真模拟数学试题（三）试卷+答案本套试卷根据九省联考题型命制，题型为8+3+3+5模式，适合黑龙江、吉林、安徽、江西、甘肃、河南、新疆、广西、贵州等省份考生模拟练习.一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项

中，只有一项是符合题目要求的．1.某校高三年级一共有1200名同学参加数学测验，已知所有学生成绩的第80百分位数是103分，则数学成绩不小于103分的人数至少为（）A．220B．240C．250D．3002．设,

MN是圆O上两点，若2MN=，则MOMN⋅=（）A．4−B．2−C．2D．43．甲、乙、丙三人玩传球游戏，每个人都等可能地把球传给另一人，由甲开始传球，作为第一次传球，经过3次传球后，球

回到甲手中的概率为（）A．18B．516C．14D．124.已知12,FF分别为椭圆22:162xyC+=的两个焦点，P为椭圆上一点，则2212122PFPFPFPF+−的最大值为（）A．64B．16C．8D．45．已

知数列}{na为等比数列，nS是它的前n项和，若2312aaa⋅=，且4a与72a的等差中项为54，则5S=（）A．35B．33C．31D．296．甲、乙两个圆锥的底面积相等，侧面展开图的圆心角之和为2π，侧

面积分别为S甲、S乙，体积分别为V甲、V乙，若2SS=甲乙，则VV甲乙等于（）A．10B．4105C．2105D．51067．如图，1F，2F是分别是双曲线22221()00axyabb>−=>，的左、右

焦点，P为双曲线右支上的一点，圆M与12PFF△三边所在的直线都相切，切点为A，B，C，若PBa=，则双曲线的离心率为（）A．2B．2C．3D．32学科网（北京）股份有限公司8．已知()()()cos40cos40cos800θθθ°−+°++°−=，则tanθ=（

）A．3−B．33−C．33D．3二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．9．非空集合A具有如下性质：①若x，y∈A，则；②若

x，y∈A，则x+y∈A下列判断中，正确的有（）A．﹣1∉AB．C．若x，y∈A，则xy∈AD．若x，y∈A，则x﹣y∈A10．已知函数()πsin2coscos2sin0,02fxxxωϕωϕωϕ=+><<的部分图象如图所示，则下列结论正确的是（）A．()fx的图象关于点π,03

−对称B．()fx在区间π0,2的最小值为12−C．π6fx+为偶函数D．()fx的图象向右平π6个单位后得到sin2yx=的图象11.已知定义在R的函数()fx满足以下条件：（1）对任意实数,xy恒有()()()()()fxyfxfyfxfy+=++；（2）

当0x>时，()fx的值域是()0,∞+（3）()11f=则下列说法正确的是（）A．()fx值域为[)1,−+∞B．()fx单调递增C．()8255f=D．()()()31fxffxfx−≥+的解集为[)1,+∞三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．12．已知复数z满足22zz−

==，则3z=__________．13．已知函数()322xxfxx−=+−，若实数a、b满足()()22210fafb+−=，则212ab+的最大值为3学科网（北京）股份有限公司______．14．如图，矩形ABCD中，2ABAD=，E为边AB的中点，将ADE沿直线DE翻折

成1ADE△．若M为线段1AC的中点，则在ADE翻折过程中，下面四个选项中正确的是______（填写所有的正确选项）（1）BM是定值（2）点M在某个球面上运动（3）存在某个位置，使1DEAC⊥（4）存在某个位置，使//MB平面1ADE四、解答题：本题共5小题，共7

7分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15．（13分）两个安全设备间由一组对接码进行“握手”连接，对接码是一个由“1，2，3，4”4个数字组成的六位数，每个数字至少出现一次.(1)求满足条件的对接码的个数；(2)若对接密码中数字1出现的次数为X，求X的分布列和数学期望.16．

（15分）已知函数()()ln1fxxax=−−.(1)当1a=时，讨论()fx的单调性；(2)若()fx有两个零点，求a的取值范围.4学科网（北京）股份有限公司17．（15分）如图，在四棱台ABCD-A1B1C1D1中，底面ABC

D是菱形，∠ABC=3π，∠B1BD=6π，11,BBABBC∠=∠11122,3ABABBB===（1）求证：直线AC⊥平面BDB1；（2）求直线A1B1与平面ACC1所成角的正弦值.18．（17分）已知抛物线2:2(0)Cypxp=>

的焦点为F，斜率为(0)kk≠的直线过点P,02p−，交C于A，B两点，且当12k=时，16AFBF+=．(1)求C的方程；(2)设C在A，B处的切线交于点Q，证明22||||AFAQBFBQ=．19．（17分）若项数为*(3)kkk∈N，≥的有穷数列{}na满足：1230

kaaaa<<<⋅⋅⋅<≤，且对任意的(1)ijijk，≤≤≤，jiaa+或jiaa−是数列{}na中的项，则称数列{}na具有性质P．(1)判断数列012,,是否具有性质P，并说明理由；(2)设数列{}na具有性质P，(12)iaik=，，，是{}

na中的任意一项，证明：kiaa−一定是{}na中的项；(3)若数列{}na具有性质P，证明：当5k≥时，数列{}na是等差数列．5学科网（北京）股份有限公司2024年高考仿真模拟数学试题（三）试卷+答案（题型同九省联考，共19个题）注意事项：]．答卷前，考生务必将自己的考生号、姓名

、考点学校、考场号及座位号填写在答题卡上．2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需要改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上．写在本试卷上

无效．3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回．一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.某校高三年级一共有1200名同学参加数学测验，已知所有学生成绩的第80百分位数是103分，则数学成绩不小于

103分的人数至少为（）A．220B．240C．250D．300答案B解析由120080%960×=人，所以小于103分学生最多有960人，所以大于或等于103分的学生有1200960240−=人.故选B2．设,MN是圆O上两点

，若2MN=，则MOMN⋅=（）A．4−B．2−C．2D．4答案C解析设MN中点为P，则OPMN⊥，所以()2022MNMOMNMPPOMNMPMNPOMN⋅=+⋅=⋅+⋅=+=

.解法二：()coscos22MNMOMNMOMNOMNMNMOOMNMN⋅=∠=∠=×=.

3．甲、乙、丙三人玩传球游戏，每个人都等可能地把球传给另一人，由甲开始传球，作为第一次传球，经过3次传球后，球回到甲手中的概率为（）A．18B．516C．14D．12答案C解析设甲、乙、丙三人用,,abc

，由题意可知：传球的方式有以下形式，6学科网（北京）股份有限公司()()()()()()()(),,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,abababacabcaabcbacabacacacbaacbc，所求概率为2184=.故选C4.已知12,FF分

别为椭圆22:162xyC+=的两个焦点，P为椭圆上一点，则2212122PFPFPFPF+−的最大值为（）A．64B．16C．8D．4答案B解析：()2221212122PFPFPFPFPFPF+−=−，因为椭圆上的点P

满足1212PFPFFF−≤，当点P为12FF的延长线与C的交点时，12PFPF−取得最大值，最大值为124FF=．所以2212122PFPFPFPF+−的最大值为16．故选B．5．已知数列}{na为等比数列，nS是它的前n项和，若2312aaa⋅=，且

4a与72a的等差中项为54，则5S=（）A．35B．33C．31D．29答案C解析设等比数列的公比为q，则2231112aaaqaqa=⋅=，所以42a=，又3474452224aaaaq+=+=×，解得11,16

2qa==，所以5515116(1())(1)2311112aqSq−−===−−，故选C．6．甲、乙两个圆锥的底面积相等，侧面展开图的圆心角之和为2π，侧面积分别为S甲、S乙，体积分别为V甲、V乙，若2SS=甲乙，则VV甲乙等于（）A．10B．4105C．2105D．5106答案B解析设甲、乙

两个圆锥的母线长分别为12,ll.由甲、乙两个圆锥的底面积相等，得出两个圆锥底面圆半径相等，设为r.由侧面展开图的圆心角之和为2π，得122π2π+2πrrll=，则12+1rrll=①.7学科网（北京）股份有限公司因为2SS=甲乙，则1122π2πrl

lrll==，所以122ll=②，由①②解得1233,2rlrl==，所以甲圆锥的高222211922hlrrrr=−=−=，乙圆锥的高2222229542hlrrrr=−=−=，所以1223232241ππ331ππ361055rhrVVrhr===甲乙.故选B.7．如图，1F，

2F是分别是双曲线22221()00axyabb>−=>，的左、右焦点，P为双曲线右支上的一点，圆M与12PFF△三边所在的直线都相切，切点为A，B，C，若PBa=，则双曲线的离心率为（）A．2B．2C．3D．3答案B解析：连接MA，MC，1MF，

由直线和圆相切的性质，可得PAPBa==，设22FBFCx==，由双曲线的定义可得，122PFPFa−=，则122223PFaPFaPBBFax=+=++=+，114AFAPPFax=+=+，11222FCFFFCcx=+=+，由圆外一点作圆的切线，则切线

长相等，即有42axcx+=+，即2ca=，2cea==．故选B．8．已知()()()cos40cos40cos800θθθ°−+°++°−=，则tanθ=（）A．3−B．33−C．33D．3答案A解析因为()()()cos40cos40cos800θθθ°−+°++°−

=，所以cos40cossin40sincos40cossin40sincos80cossin80sin0θθθθθθ°+°+°−°+°+°=，所以2cos40coscos80cossin80sin0θθθ°+°+°=，所以2cos40cos80sin80tan0θ°+°+°=

，8学科网（北京）股份有限公司所以2cos40cos80tansin80θ°+°=−°()2cos12080cos80sin80°−°+°=−°()2cos120cos80sin120sin80cos803sin803sin80sin80°°+°°+°°=−

=−=−°°.故选A．二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．9．非空集合A具有如下性质：①若x，y∈A，则；②若x，y∈A，则x+y∈A下列判断中，正确的有（）A．﹣1∉AB

．C．若x，y∈A，则xy∈AD．若x，y∈A，则x﹣y∈A答案ABC解析：对于A，假设﹣1∈A，则令x＝y＝﹣1，则＝1∈A，x+y＝﹣2∈A，令x＝﹣1，y＝1，则＝﹣1∈A，x+y＝0∈A，令x＝1，y＝0，不存在，即

y≠0，矛盾，∴﹣1∉A，故A对；对于B，由题，1∈A，则1+1＝2∈A，2+1＝3∈A，…，2022∈A，2023∈A，∴∈A，故B对；对于C，∵1∈A，x∈A，∴∈A，∵y∈A，∈A，∴＝xy∈A，故C对；对于D，∵1∈A，2∈A，若x＝2，y＝1，则x﹣y＝1∈A，故D错误．故

选ABC．10．已知函数()πsin2coscos2sin0,02fxxxωϕωϕωϕ=+><<的部分图象如图所示，则下列结论正确的是（）A．()fx的图象关于点π,03−对称B．()fx在区间π0,2的最小值为12−C．π6fx+为偶函数D．

()fx的图象向右平π6个单位后得到sin2yx=的图象答案BC解析()()sin2fxxωϕ=+，由图象可知1(0)2f=，即1sin2ϕ=，又π02ϕ<<，所以π6ϕ=，9学科网（北京）股份有限公司由五点作图法可得2ππ3π362ω×+=，解得2ω=，所以

π()sin26fxx=+，对于A：π2ππsin1336f−=−+=−，所以()fx的图象关于π3x=−对称，故A错误；对于B：当π0,2x∈时，ππ7ππ1

2sin2,166662,,xx+∈+∈−∴，即()fx在区间π0,2上的最小值为12−，故B正确；对于C：ππππsin2sin2cos6662fxxxx+=++=+=，为

偶函数，故C正确.对于D：()fx的图象向右平移π6个单位后得到πππsin2sin2666yxx=−+=−的图象，故D错误；故选BC.11.已知定义在R的函数()fx满足以下条件：（1）对任意实数,xy

恒有()()()()()fxyfxfyfxfy+=++；（2）当0x>时，()fx的值域是()0,∞+（3）()11f=则下列说法正确的是（）A．()fx值域为[)1,−+∞B．()fx单调递增C．()8255f=D．()()()3

1fxffxfx−≥+的解集为[)1,+∞答案BCD解析对选项A：令1,0xy==可得()()()()()11001fffff=++，故()00f=，令yx=−可得()()()()()0ffx

fxfxfx=−++−，()1fx−≠−，()()()()1111fxfxfxfx−−==−+−+−+，当0x<时，()0fx−>，则()()1111fxfx=−+>−−+，综上所述：()()1,fx∈−+∞，错误；对选项B：任取12,Rxx∈且12xx>，()1

20fxx−>，()21fx>−，则()()()()()()()12122212212fxfxfxxxfxfxxfxfxx−=−+−=−+−()()12210fxxfx=−+>，所以函10学科网（北京）股份有限公司数()yfx=在R上单调递增，正确；对选项C：取1xy==得到()()()

()()211113fffff=++=；取2xy==得到()()()()()4222215fffff=++=；取4xy==得到()()()()()84444255fffff=++=，正确；对选项D：()()()31fxffxfx−≥+，()()()13f

fxfxfx+≥−，即()()()()()()2ffxfxfxffxfxfxf++=+≥，即()2xfx+≥，又函数()()gxxfx=+单调递增，且()1112g=+=，故1x≥，正确；故选BCD三、填空题：本题共3小题

，每小题5分，共15分．12．已知复数z满足22zz−==，则3z=__________．答案8−解析设izab=+，则22izab−=−+，所以()2222424abab+=−+=，解得1,3ab==±，当1,3ab==时，13=+zi，故()22213i123i3

i223iz=+=++=−+，()()32223i13i26i8z=−++=−+=−；当1,3ab==−时，13zi=−，故()22213i123i3i223iz=−=−+=−−，()()32223i13i26i8z=−−−=−+=−，故答案为8−13．已知函数()322xxfxx−=+−，若实数

a、b满足()()22210fafb+−=，则212ab+的最大值为______．答案34解析函数()fx的定义域为R，且()()()332222xxxxfxxxfx−−−=−+−=−+−=−，所以，函数()fx为奇函数，因为函数3yx=、2xy=、2xy−=−均为

R上的增函数，故函数()fx在R上为11学科网（北京）股份有限公司增函数，由()()22210fafb+−=可得()()()222211fafbfb=−−=−，所以，2221ab=−，即2221ab+=，当212ab+取最大值时，则0a>，所以，()()22222221421

31212421244abababab+++=+=+≤=，当且仅当2222421210ababa=++=>时，即当6412ab==±，等号成立，因此，212ab+的最大值为34.故答案为34.14．如图，矩形ABCD中，2ABAD=，E为边AB

的中点，将ADE沿直线DE翻折成1ADE△．若M为线段1AC的中点，则在ADE翻折过程中，下面四个选项中正确的是______（填写所有的正确选项）（1）BM是定值（2）点M在某个球面上运动（3）存在某个位置，使1DEAC⊥（4）存在某个位置，使//MB平面1ADE答案（1）（2）（

4）解析取CD中点Q，连结MQ，BQ，则1//MQDA，//BQDE，∴平面//MBQ平面1ADE，又MB⊂平面MBQ，//MB∴平面1ADE，故（4）正确；由1ADEMQB∠=∠，112MQAD==定值，Q

BDE==定值，由余弦定理可得2222cosMBMQQBMQQBMQB=+−⋅⋅∠所以MB是定值，故（1）正确；B是定点，M∴是在以B为球心，MB为半径的球面上，故（2）正确；145ADEADE∠

=∠=，45CDE∠=，且设1AD=，2AB=，12学科网（北京）股份有限公司则2DECE==，若存在某个位置,使1DEAC⊥,则因为222DECECD+=,即CEDE⊥,因为1ACCEC=,则DE⊥平面1ACE,所以1DEAE⊥,与11DAAE⊥矛盾，

故（3）不正确.故答案为：（1）（2）（4）四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15．（13分）两个安全设备间由一组对接码进行“握手”连接，对接码是一个由“1，2，3，4”4个数

字组成的六位数，每个数字至少出现一次.(1)求满足条件的对接码的个数；(2)若对接密码中数字1出现的次数为X，求X的分布列和数学期望.解析（1）当对接码中一个数字出现3次，另外三个数字各出现1次时，种数为：164633CA4654321480A321××××××==××，

……………2分当对接码中两个数字各出现2次，另外两个数字各出现1次时，种数为2646222243654321CA211080AA2121××××××××==×××，……………4分所有满足条件的对接码的个数为1560.……………5分（2）随机变量

X的取值为1,2,3，()16263636322322CACAAAA151156026PX+===，……………7分()16362222CAAA92156026PX===，……………9分()3363CA13156013PX===，……………11分故概率分布表为：X123P152692

6113故()159131232626132EX=×+×+×=.……………13分16．（15分）已知函数()()ln1fxxax=−−.13学科网（北京）股份有限公司(1)当1a=时，讨论()fx的单调性；(2)若()fx有两个零点，求a的取值范围.解析（1）当1a=，()

ln1fxxx=−+()0x>，则()111xfxxx−′=−=，令0fx解得01x<<，令()0fx′<解得1x>，所以()fx在()0,1单调递增，在()1,+∞单调递减.……………4分（2）由题意可得0x>，()11axfxaxx−′=−=，………

……5分当0a≤时，0fx恒成立，()fx单调递增，故至多有一个零点，不符合题意，……………7分所以0a>，由0fx解得10xa<<，由()0fx′<解得1xa>，所以()fx在10,a单调递增，在1,a+∞单调递减，所以由零点存在性定理可得若()fx有两个

零点，则111ln10faaaa=−−>，即ln10aa−+<，……………9分令()ln1gaaa=−+，由（1）得()ga在()0,1单调递增，在()1,+∞单调递减，……………11分又()10g=，

所以由()0ga<解得()()0,11,a∈+∞，……………13分因为()()elnee1e0aaaafaa−−−−=−−=−<，所以由()1e0affa−<得在e−a和1a之间存在一个零点，……………14分又()10f

=，所以a的取值范围为()()0,11,+∞.……………15分17．（15分）如图，在四棱台ABCD-A1B1C1D1中，底面ABCD是菱形，∠ABC=3π，∠B1BD=6π，11,BBABBC∠=∠11122,3ABABBB===（1）求证：直线AC⊥平面BDB1；（2）

求直线A1B1与平面ACC1所成角的正弦值.解析（1）连接,ACBD交于O，14学科网（北京）股份有限公司因为BCBA=，11BBABBC∠=∠，11BBBB=，所以11BBCBBA∆≅∆，故11BABC=又因为O为菱形对角线交点，即是线段AC的中点，所以1BOAC⊥又四边形A

BCD为菱形，故ACBD⊥而1BOBDO=，所以AC⊥平面1BDB.方法二：因为11BBABBC∠=∠，所以点1B在平面ABCD内的射影O在为ABC∠的平分线，又四边形ABCD为菱形，故BD为ABC∠的平分线，则O

∈直线BD故平面1BDB⊥平面ABCD，而平面1BDB平面ABCDBD=，又四边形ABCD为菱形，故ACBD⊥所以AC⊥平面1BDB（2）延长1111,,,AABBCCDD交于点P，平面1BDB即为平面BDP，平面1ACC即平面ACP由（1）得平面ACP⊥平面BDP，OP=平面AC

P平面BDP，所以过1B做1BHOP⊥，则1BH⊥平面ACP，故11BAH∠即为直线11AB与平面1ACC所成角（若研究直线AB与平面1ACC所成角的正弦值则线段等比例扩大2倍结果不变）因为四棱台1111ABCDABCD−中1122ABAB==，所以111AB=，6BP=由菱形有2ABBC

==，且∠ABC=3π，所以23BD=，作PGBD⊥，因为16BBDπ∠=，则33BG=，3PG=，所以2221POBGPG=+=，则cosBPO∠362132621+−==××9221，7sin14BPO

∠=，13714BH=，故1111137sin14BHBAHBA∠==.法二：延长1111,,,AABBCCDD交于点P，平面1BDB即为平面BDP，平面1ACC即平面ACP，15学科网（北京）股份有限公司设直线11AB与平面1ACC所成角为θ33BG=过P作PGBD⊥，垂足为G，因

为6BP=，所以建系，以,OBOC为,xy轴，作z轴//GP，(0,1,0),(3,0,0),(0,1,0),(23,0,3)ABCP−−(3,1,0)AB=(0,2,0)AC=(23,1,3)AP=−设平面ACP的法向量为(,,)mxyz=

，则202330yxyz=−++=，所以3(,0,1)2m=，3337cos,143272214mAB===××+，所以37sin14θ=即直线A1B1与平面ACC1所成角的正弦值为3714.18．（17分）

已知抛物线2:2(0)Cypxp=>的焦点为F，斜率为(0)kk≠的直线过点P,02p−，交C于A，B两点，且当12k=时，16AFBF+=．(1)求C的方程；(2)设C在A，B处的切线交于点Q，证明22||||AF

AQBFBQ=．解析（1）设斜率为(0)kk≠且过点P的直线为l：2pxmy=−，其中1mk=.设()()1122,,AxyBxy，.当12k=时，l：22pxy=−，将其与2:2(0)Cypxp=>联立，消去x得：2240ypyp−+=，由韦达定理有212124，yypyyp+=

=.又由抛物线定义知12AFBFxxp+=++，又()12122xxyyp+=+−，结合16AFBF+=，则8162pp=⇒=.得C的方程为24yx=；……………5分（2）由（1）可得，P()1,0−，则l：1xmy=−，将其与抛物线方程联立，16学科网（北

京）股份有限公司消去x得：2440ymy−+=，则121244，yymyy+==.设C在A点处的切线方程为()111xmyyx=−+，C在B点处的切线方程为()222xmyyx=−+.……………8分将()111xmyyx=−+与24yx=联立，消去x得：211114440ymymyx−+

−=，因()111xmyyx=−+为抛物线切线，则联立方程判别式211111616160mmyx∆=−+=，又2211114164yxxy=⇒=，则()2222111111111116161616164420mmyxmmyymy−+=−+=

−=，得112ym=，同理可得222ym=.将两切线方程联立有()()111222xmyyxxmyyx=−+=−+，代入112ym=，222ym=，解得12121422yyxyyym==+==，得()1,2Qm.则()()2221112AQxy

m=−+−，又111xmy=−，则()()()2222221111221844AQmyymmymym=−+−=+−++，同理可得()2222221844BQmymym=+−++.……………12分注意到111222111111AFxmyyBFxmyy+−+===+

−+，则22||||AFAQBFBQ=等价2212yBQyAQ=，下面说明2212yBQyAQ=.21yBQ=()()222121211841myymyymy+−++，因124yy，则()()221124132yBQmyym=++−.又22yA

Q=()()()()2222211221218414132myymyymymyym+−++=++−，17学科网（北京）股份有限公司则2212yBQyAQ=，故22||||AFAQBFBQ=.……………17分19．（17分）若项数为*(3)kkk∈N，≥的有穷数列{}

na满足：1230kaaaa<<<⋅⋅⋅<≤，且对任意的(1)ijijk，≤≤≤，jiaa+或jiaa−是数列{}na中的项，则称数列{}na具有性质P．(1)判断数列012,,是否具有性质P，并说明理由；(2)设数列{}na具有性质P，(12)iaik=，，，是{}na中的任意一项，证明：

kiaa−一定是{}na中的项；(3)若数列{}na具有性质P，证明：当5k≥时，数列{}na是等差数列．解析（1）数列0,1,2具有性质P.理由：根据有穷数列{}na满足：1230kaaaa<<<⋅⋅⋅<≤，且对任意的,(1)ijijk≤≤≤，jiaa+或jiaa−是数列{}na中的

项，则称数列{}na具有性质P，对于数列0,1,2中，若对任意的,(1)ijijk≤≤≤，可得0jiaa−=或1或2，可得jiaa−一定是数列{}na中的项，所以数列0,1,2具有性质P.……………4分（2）证明：由(1,2,,)iaik=

是数列{}na中的任意一项，因为数列{}na具有性质P，即jiaa+或jiaa−是数列{}na中的项，令jk=，可得kiaa+或kiaa−是数列{}na中的项，又因为120kaaa≤<<<，可得kiaa+一

定不是数列{}na中的项，所以kiaa−一定是数列{}na中的项.……………8分（3）由数列{}na具有性质P，可得{}kknaaa+∉，所以{}kknaaa−∈，则{}0na∈，且10a=，又由{}kinaaa+∉，所以{}kinaaa−∈，又由

12210kkkkkkkkaaaaaaaaaa−−=−<−<−<<−<−，①设2ik≤≤，因为120kaaa≤<<<可得12232110,,,,,kkkkkkkkkkaaaaaaaaaaaaaa−−−−=−=−=−=−=，18学科网（北京）股份有限公司当5k≥时，可得()11

1kkiiaaaik−+−=≤≤−，（∗）②设32ik≤≤−，则112kikkaaaaa−−+>+=，所以{}1kinaaa−+∉，由111213320kkkkkkkaaaaaaaaa−−−−−−=−<−<<−<−=，又由12320kkaaaa−−≤<<<<，可得111122133133,,

kkkkkkkkaaaaaaaaaaaa−−−−−−−−−=−=<−=−=，所以1(13)kkiiaaaik−−−=≤≤−，因为5k≥，由以上可知：111kkaaa−−−=且122kkaaa−−−=，所以111kkaaa−−−

=且122kkaaa−−−=，所以1(11)kkiiaaaik−−−=≤≤−，（∗∗）由（∗）知，()111kkiiaaaik−+−=≤≤−两式相减，可得()1111kkiiaaaaik−+−=−≤≤

−，所以当5k≥时，数列{}na为等差数列.……………17分.获得更多资源请扫码加入享学资源网微信公众号www.xiangxue100.com