【文档说明】北京市北京师范大学第二附属中学2025届高三上学期10月月考数学试卷 Word版含解析.docx，共(19)页，992.589 KB，由小赞的店铺上传

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2025届高三上数学10月月考一、选择题（共10小题，每小题4分，共40分.在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项）1.已知集合220Axxx=−−，11Bxx=−，则（）A.ABB.BAC.AB=D.AB=【答案】B【解析】

【分析】先解一元二次不等式求出集合A,再根据真子集定义判断即可.【详解】因为22012Axxxxx=−−=−，11Bxx=−，所以BA故选：B.2.已知()sinπ0−，()cosπ0+，则为第几象限角（）A.第一象限角B.第二象限角C.第三象限角D.第四象限角【

答案】C【解析】【分析】利用诱导公式化简即可根据象限角的性质求解.【详解】由()sinπ0−，()cosπ0+可得sin0，cos0，故为第三象限角，故选：C3.设abcR，，，且

ab，则（）A.acbcB.acbc−−C.33abD.22ab【答案】C【解析】【分析】对于A、D：取特殊值判断；对于B：利用不等式的可加性判断；对于C：利用幂函数的单调性即可判断.【详解】A选项，取0c=时，不等式不成立；B选项，不等式两边加上同一个数c−，不等号方向不发生

改变，故错误；C选项，根据幂函数3yx=在R上为增函数知33ab，故正确；.D选项，取12ab==−，，不等式不成立，故错误.故选:C.4.若数列na满足12nnaa+=，且41a=，则数列na的

前4项和等于（）A.15B.14C.158D.78【答案】C【解析】【分析】由等比数列定义和通项公式可得1a，然后由前n项和公式可得.【详解】因为12nnaa+=，且41a=，所以数列na是以2为公比的等比数列，又3411aa

q==，得118a=，所以44141(12)(1)1581128aqSq−−===−−.故选：C5.下列函数中，最小正周期为2的是（）A.sinyx=B.cos2yx=C.tanyx=D.sin2yx=【答案】D【解析

】【分析】利用三角函数周期公式依次判断选项即可得到答案.【详解】对选项A，由于函数sinyx=不是周期函数，故排除A；对选项B，由于函数cos2cos2yxx==，周期为22=，故排除B；对选项C，由于函数tanyx=的周期为1=，故排除C；

对选项D，由于函数sin2yx=的周期为2，故D正确.故选：D6.下列函数中，在区间(0,+∞)上单调递增且存在零点的是（）A.exy=B.1yx=+C.12logyx=−D.2(1)yx=−【答案】C【解析】【分析】根据函数的零点为方程的根，结合解析式判断函数的单调性，即可得

答案；【详解】对A，方程e0x=无解，exy=不存在零点，故A错误；对B，10x+=无解，1yx=+不存在零点，故B错误；对D，2(1)yx=−在(0,1)单调递减，在(1,)+单调递增，2(1)yx=−在(0,+∞)不具有单调性，故D错误；故选：C.【点睛】本题考查通过函数的解析式

研究函数的零点和单调性，考查转化与化归思想，属于基础题.7.大运河文化带、长城文化带和西山永定河文化带作为北京历史文化名城保护体系的重要内容，高度凝练了北京旧城以外的文化遗产，对于建设北京全国文化中心、满足人民对美好生活的需要，起到

关键的支撑作用．为了把握好三个文化带的文化精髓，做好保护与传承，某课外研究小组决定从三个文化带中随机选取两个文化带进行研究，那么所选的两个文化带中包含大运河文化带的概率是（）A.13B.12C.23D.34【答案】C【解析】【

分析】设大运河文化带、长城文化带和西山永定河文化带分别为,,abc，列出随机试验的样本空间，列出随机事件的样本点，利用古典概型概率公式求结论.【详解】设大运河文化带、长城文化带和西山永定河文化带分别为,,abc，则随机试验从

三个文化带中随机选取两个文化带的样本空间为()()(),,,,,abacbc，随机事件所选的两个文化带中包含大运河文化带包含样本点()(),,,abac，所以随机试验所选的两个文化带中包含大运河文化带的概率23P=.故选：C.8.

已知函数()fxxxa=−的图象与直线4y=−的公共点不少于两个，则实数a的取值范围是（）A.4a−B.4a−C.40a−D.4a−【答案】B【解析】【分析】对a分类讨论，结合函数图象，即可求解.详解】解：()()(),,xxaxafxxxaxxaxa−=−=−−

，①当0a时，其图象如图1函数()fxxxa=−的图象与直线4y=−的公共点只有1个，不符合题意．②当0a时，其图象如如图2函数()fxxxa=−的图象与直线4y=−的公共点不少于两个时，2424aaf=−−，解得4a−；③当0a=时，其图象如如图3，结合图

象，不符合题意．综上所述：实数a的取值范围是：4a−．故选：B【9.已知等差数列na的前n项和为nS，则“2220Sa−”是“()11nnnSnS++”的（）A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要

条件【答案】C【解析】【分析】利用等差数列通项和求和公式可推导得到充分性成立；将1n=代入()11nnnSnS++，可得21aa，进而得到必要性成立，从而得到结论.【详解】设等差数列na的公差

为d，由2220Sa−得：1221220aaaaad+−=−=−，0d，()()()()()1111111122nnnnnnnSnSnnadnnad++−−+=++−++()()()221110222nnnnnnnddd++−+=−=

，()11nnnSnS++，即()221201nnSanSnS+−+，充分性成立；由()11nnnSnS++得：212SS，211SSS−，即21aa，2212212220Saaa

aaa−=+−=−，即()122120nnnSnSSa++−，必要性成立；“2220Sa−”是“()11nnnSnS++”的充分必要条件.故选：C.10.已知函数()2,0ln,0xxxfxxaxx−=−，若10x，20x，使()()21fxfx=成立，则实

数a的取值范围为（）A.()),0e,−+B.(),ee,−−+C.(0,eD.)(,e,0e0−【答案】A【解析】【分析】由条件可得()fx在()0,+上的取值范围要包含(),0−上的取值范围，分别求函数()fx在()0,+，(),0−上的取值范围，

列不等式可求结论.【详解】若10x，20x，使()()21fxfx=成立，则()fx在()0,+上的取值范围要包含(),0−上的取值范围，当0x时，()20fxxx=−，())0,fx+，当0x时，()lnfxxax=−，()1afx

x=−，当0a=时，()0fxx=，()()0,fx+不合题意，当0a时，()0fx，函数()fx在()0,+单调递增，则()0,x+时，()()ln,fxxax=−−+，0a符合题意，当0a，若0x

a时，()0fx，函数()fx在()0,a单调递减，若xa时，()0fx，函数()fx在(),a+上单调递增，当xa=时，函数()fx取最小值，最小值为()lnfaaaa=−，())ln,fxa

aa−+，所以ln0aaa−，解得ea，所以)e,a+，综上a的范围是()),0e,−+.故选：A.【点睛】关键点点睛：本题解决的关键在于将条件10x，20x，使()()21fxfx=成立，转化为()fx在()0,+上的取值范围要包含(),0−上的取值范围.

二、填空题（共5小题，每小题5分，共25分.）11.复数21izi=+，则z=__________________.【答案】2【解析】【分析】利用复数的除法法则化简复数z，利用复数的模长公式可求得结果.【详解】()()()()21211111iii

ziiiiii−===−=+++−，因此，22112z=+=.故答案为：2.12.曲线()2xfxxe=+在点()()0,0f处的切线方程为________．【答案】20xy−+=【解析】【分析】本题首先可以求出曲线()2xfx

xe=+的导函数，然后将0x=带入曲线()2xfxxe=+中计算出纵坐标，再然后将0x=带入曲线的导函数中求出曲线在这一点处的切线斜率，最后根据点斜式方程即可得出结果．【详解】因为曲线()2xfxxe=+，所以()xxfxexe¢=

+将0x=带入曲线中可得()02f=，带入导函数中可得()001fe¢==，所以曲线()2xfxxe=+在点()0,2处的切线方程为2yx−=，即20xy−+=．【点睛】本题考查了曲线的某一点处的切线方程的求法，首先可以根据曲线方程计算出切点坐标，然后根据曲

线的导函数计算出切线斜率，最后根据点斜式方程即可得出切线方程，考查计算能力，考查对导数的理解，是简单题．13.紧急定位传送器是在飞机失事坠毁时发送信号，让搜救人员可以定位找到飞机的特有装置．根据某机构对失事飞机的调查得知

：失踪飞机中有70%后来被找到，在被找到的飞机中，有60%安装有紧急定位传送器；而未被找到的失踪飞机中，有90%未安装紧急定位传送器．则在失踪飞机中，装有紧急定位传送器飞机的比例为______（填写百分数），现有一架安装有紧急定位传送器的飞机失踪，则它被

找到的概率为______．【答案】①.45%②.1415【解析】【分析】空1：根据全概率公式即可得到答案；空2：设事件，再利用条件概率()()()()()()()1111122PAPBAPABPAPBAPAPBA=+即可得到答案.【详解】根据全概率公式得装有紧急定位

传送器飞机的比例为：()()70%60%170%190%45%+−−=；设事件1A=“失踪的飞机后来被找到”，事件2A=“失踪的飞机后来未被找到”，事件B=“安装有紧急定位传送器”，则()10.7PA=，()20.3PA=，()10.6PB

A=，()210.90.1PBA=−=，安装有紧急定位传送器的飞机失踪，它被找到的概率为：()()()()()()()11111220.70.6140.70.60.30.115PAPBAPABPAPBAPAPBA===++，故答案为：45%；1415．14.若函数()

exfxkx=−有零点，则k的取值范围为________．【答案】0k或ek…【解析】【分析】当0x=时，可得(0)f=−1，故0x=不是函数的零点，当0x时，()fx有零点，即exkx=有解，故k的取值范围为函数()(0)xegxxx=的值

域，求导，判断单调性并求出极小值，即可得k的取值范围．【详解】当0x=时，可得(0)f=−1，故0x=不是函数的零点，当0x时，由函数()exfxkx=−有零点可得xkxe=有解即exkx=，故k的取值范围为函数()(0)xegxxx=的值域，∵22(1)x

xxexeexyxx−−==，令0y可得1x，故函数()gx在(,0),−(0,1)上单调递减，(1,)+上单调递增，且当0x时，函数值()0gx，当0x时，(1)g为函数的最小值且(1)ge=，故()gxe…，综上可得()gx的

取值范围为()0gx或()gxe…，故k的取值范围为：0k或ek….【点睛】本题考查利用导数求解函数极值（最值）问题，解决此类问题的方法是将函数问题转化为方程问题，再利用数形结合的思想来解决，属中档题．15.数列na的前n项和为nS

，若数列na与函数()fx满足：①()fx的定义域为R；②数列na与函数()fx均单调递增；③*Nn使()nnSfa=成立，则称数列na与函数()fx具有“单调偶遇关系”．有下面四个结

论：（1）21nan=+与()fxx=具有“单调偶遇关系”（2）2nna=与()22fxx=−不具有“单调偶遇关系”（3）与数列{21}n+具有“单调偶遇关系的函数有有限个（4）与数列2n具有“单调偶遇

关系”的函数有无数个其中正确结论的序号为__________．【答案】（1）（4）【解析】【分析】根据“单调偶遇关系”的新定义可判断选项（1），（2）；以一次函数为例，()fxkxb=+可判断（3）；令()nnfaa=，通过计

算可判断（4），进而可得正确选项.【详解】对于（1）：数列na中，由21nan=+可知任意两项不相等，()fxx=定义域为R满足①，数列21nan=+和()fxx=均单调递增满足②，na的前n项和()232122nnnSnn+

+==+，由()nnSfa=得2221nnn+=+，解得1n=，所以n*N使()nnSfa=成立，满足③，故（1）正确；对于（2）：数列na中，由2nna=可知任意两项不相等，()22fxx=−定义域为R满足①，数列2nna=和()22fxx=−均单调递增满足②，na的前n项和1

22nnS+=−，由()nnSfa=得122222nn+−=−恒成立，所以n*N使()nnSfa=成立满足③，故2nna=与()22fxx=−具有“单调偶遇关系”，故（2）说法不正确；对于（3）：以一次函数为例，()fxkxb=+，22nSnn=+，

()nnSfa=，即()2221nnknb+=++整理得()()2220nknkb+−−+=，只要方程有正整数解且0k即可，如方程中取1n=，则有33kb=+，即13bk=−，对b进行不同的取值即可保证数列

21n+具有“单调偶遇关系”的函数有无数组，故（3）说法不正确；对于（4）：中122nnS+=−，令()nnfaa=．由()nnSfa=得1222nn+−=，取222n=−即可保证()nnSfa=

恒成立，故选项（4）正确，故答案为：（1）（4）．三、解答题（共6小题，共85分.解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程.）16.已知函数()sincosfaxxx=（0a，0）.从下列四个条件中选择两个作为已知，使函数()fx存在且唯一确定.（1）求()fx的解析式；（2）设

()()22cos1gxfxx=−+，()0,πx，求函数()gx的最小值与单调递减区间.条件①：π14f=；条件②：()fx为偶函数；条件③：()fx的最大值为1；条件④：()fx图象的相邻两条对称轴之间的距离为π2.注：如

果选择的条件不符合要求，第（1）问得0分；如果选择多个符合要求的条件分别解答，按第一个解答计分.【答案】（1）条件选择见解析，()sin2fxx=（2）()min2fx=−，单调递减区间为3π7π,88【解析】【分析】（1

）由二倍角易得()sin22afxx=，函数为奇函数，故②不能选，若①和③同时选，不满足函数()fx存在且唯一；选择条件①④，由相邻两条对称轴之间的距离可得周期，即得的值，由π14f=代入即可得a的值；选择条件③④，由最大值得a的值，进而得解析式.（

2）通过公式化简可得()π2sin24gxx=−，由()0,πx，计算出π24x−的范围，根据正弦函数的性质即可得最值与单调性.【小问1详解】()sincossin22afaxxxx==为奇函数，故②不能选，选择条件①③：因为函数()fx

的最大值为1，所以12a=，即2a=，因为π14f=，所以πsin12=，的值不唯一，故不能选.选择条件①④：因为函数()fx图象的相邻两条对称轴之间的距离为π2，所以2ππ2=，即1=，所以()sin22afxx=，因为π

14f=，所以πsin122a=，即2a=，所以()sin2fxx=.选择条件③④：因为函数()fx图象的相邻两条对称轴之间的距离为π2，所以2ππ2=，即1=，所以π7π242x−=，因为函数()fx的最大值为1，所以12a=，

即2a=，所以()sin2fxx=.【小问2详解】()()2π2cos1sin2cos22sin24gxfxxxxx=−+=−=−，因为0πx，所以ππ7π2444x−−，当π3π242x−=，即7π8x

=时，()min7π28fxf==−，因为sinyx=在()π3π2π,2π22kkk++Z上单调递减，所以()ππ3π2π22π242kxkk+−+Z，所以()3π7

πππ88kxkk++Z，所以函数()gx在()0,π上的单调递减区间为3π7π,88.17.设函数()22lnfxxxax=−+．（1）当4a=−时，求()fx的极值；（2）当0a时，判断()fx的单调性．【答案】（1）极小值为()24ln2f=−，(

)fx无极大值（2）答案见解析【解析】【分析】（1）对()fx求导，将4a=−代入()fx，结合导数正负求解原函数的极值即可；（2）结合0a，和二次函数性质判断导数正负，再判断()fx单调性即可【小问1详解】由已知，()fx的定义域为()0,+，()22222

axxafxxxx−+=−+=，当4a=−时，令()0fx=，得22240xx−−=，又0x，所以2x=．当02x时，()0fx；当2x时，()0fx．因此，当2x=时，()fx有极小值，极小值为()24ln2f=−，()fx无极大值．【小问2详解】由

已知，()fx的定义域为()0,+，()22222axxafxxxx−+=−+=，令()()2220gxxxax=−+，则()gx在10,2上递减，在1,2+上递增，因此，()gx有最小值1122ga=−．①当12a时，102a−，则()0fx

，此时，函数()fx在()0,+上单调递增；②当102a时，令()0fx，可解得11202ax−−，或1122ax+−此时，函数()fx在1120,2a−−和112,2a+−+上单调递增；112112,

22aa−−+−上单调递减．.综上：12a时，()fx在()0,+上单调递增；102a时，()fx在1120,2a−−和112,2a+−+上单调递增；112112,22aa−−+−上单调递减.18.如图，在三棱柱111AB

CABC−中，1BB⊥平面ABC，11ABBCBB===（1）求证：AC∥平面11BAC；（2）若ABBC⊥，求①1AA与平面11BAC所成角的正弦值；②直线AC与平面11BAC的距离.【答案】（1）证明见解析；（2）

①33；②33.【解析】【分析】（1）根据线面平行的判定定理，主要证明11ACAC∥即可；（2）建立坐标系，先求出平面11BAC的法向量，利用空间向量解决.【小问1详解】在三棱柱111ABCABC−中，四边形11AACC为平行四边形.所以11ACAC∥，因为AC平面11B

AC，11AC平面11BAC，所以AC∥平面11BAC.【小问2详解】因为1BB⊥平面ABC，,ABBC平面ABC，所以1BB⊥AB，1BB⊥BC，又AB⊥BC，所以1,,ABBCBB两两互相垂直.如图建立空间直角坐标系Bxyz−，则111(1,0

,0),(0,1,0),(0,1,1),(1,1,0),(0,0,0)ABCAB，所以1(1,1,0)BA=，1(0,1,1)BC=，1(0,1,0)AA=，设平面11BAC的法向量为(),,nxyz=，则1100nBAnBC==，即00xy

yz+=+=令1x=，则1y=−，1z=，于是(1,1,1)n=−.①设直线1AA与平面11BAC所成的角为，则()()112212|0,1,0)1,1,1|3sincos,31111AAnAAnAAn−====++−.所

以1AA与平面11BAC所成角的正弦值为33.②因为AC∥面11BAC，所以直线AC与平面11BAC的距离就是点A到平面11BAC的距离设A到面11BAC的距离为h，则()1|0,1,0)1,1,1|333AAn

hn−===19.2020年9月22日，中国政府在第七十五届联合国大会上提出：“中国将提高国家自主贡献力度，采取更加有力的政策和措施，二氧化碳排放力争于2030年前达到峰值，努力争取2060年前实现碳中和．”做好垃圾分类和回收工作可以有效地减少处理废弃物造成

的二氧化碳、甲烷等温室气体的排放，助力碳中和．某校环保社团为了解本校学生是否清楚垃圾分类后的处理方式，随机抽取了200名学生进行调查，样本调查结果如下表：高中部初中部男生女生男生女生清楚1282424不清楚28323834假设每位学生是否清楚垃圾分类后的处理方式相互独立，用

频率估计概率.（1）从该校学生中随机抽取一人，估计该学生清楚垃圾分类后处理方式的概率；（2）从全校高中部和初中部所有学生中各随机抽取2名学生，求这4名学生中恰有2人清楚垃圾分类后处理方式的概率；（3）从样本中随机抽取

1名男生和1名女生，用“1=”表示该男生清楚垃圾分类后的处理方式，用“0=”表示该男生不清楚垃圾分类后的处理方式；用“1=”表示该女生清楚垃圾分类后的处理方式，用“0=”表示该女生不清楚垃圾分类后的处理方式．直接写出方差()D和()D的

大小关系.（结论不要求证明）【答案】（1）1750（2）117400（3）()()DD【解析】【分析】（1）依题意根据古典概型计算公式可得结果；（2）利用二项分布以及概率的加法公式计算即可得出结果；（3）分别计算出,所有取值对应的概率，再利用两点分

布即可得出()()DD.【小问1详解】由题意可知，参与调查的学生由200人，其中清楚垃圾分类后处理方式的学生有：128242468+++=人，设事件A：学生清楚垃圾分类后处理方式，则()681720050PA==.小问2详解】从样本高中部学生中随机抽取1名学生，清楚垃圾分类后处理方式

的概率为128112828324+=+++，【从样本初中部学生中随机抽取1名学生，清楚垃圾分类后处理方式的概率为：24242242438345+=+++，设事件B：这4名学生中恰有2人清楚垃圾分类后处理方式，则()222211222

222113333221323CCCCCC445544554455PB=++117400=；【小问3详解】根据题意可知随机抽取1名男生清楚垃圾分类后处理方式的概率为712241224218863+

=+++，随机抽取1名女生清楚垃圾分类后处理方式的概率为98248322434164+=+++，因此可得()6117P==，()11017P==，同理可得()16149P==，()33049P==

，由两点分布公式计算可得()()6116616330.228,0.22017172894949DD===；可得()()DD.20.设函数()ecosxfxax=+，aR.曲线()yfx=在点()()0,0f处的切线方程

为2yx=+.（1）求a的值；（2）求证：方程()2fx=仅有一个实根；（3）对任意()0,x+，有()sin2fxkx+，求正数k的取值范围.【答案】（1）1a=；（2）证明见解析；（3）01k.【解析】【分析

】（1）根据切点在曲线和切线上可得；（2）分0x，0x=，0x，利用导数讨论单调性，通过单调性讨论即可得证；（3）令()ecossin2xFxxkx=+−−，分01k，1k两种情况，利用导数讨论最值即可得解.【小问1详解】解：因为()ecosxf

xax=+，所以()00e1faa=+=+，又点()()0,0f在切线2yx=+上，所以()02f=，所以12a+=，即1a=.【小问2详解】证明：欲证方程()2fx=仅有一个实根，只需证明ecos20xx+−=仅有一个零点，令()ecos2xgxx=+−，则()esinxgxx=−

，令()()esinxhxgxx=−=，则()ecosxhxx=−，讨论：（1）当0x时，()0ecosecos1cos0xhxxxx=−−=−，所以ℎ(𝑥)在(0,+∞)上单调递增，所以()()01hxh=，即()esin10xgxx=

−，所以()gx在(0,+∞)上单调递增，()()00gxg=，即此时无零点；（2）当0x=时，()00g=，即此时有一个零点；（3）当0x时，()0ecos2ecos21cos0xgxxxx=+−+−=−+所以，当0x时，𝑔(𝑥

)<0，即此时无零点综上可得，()ecos2xgxx=+−仅有一个零点，得证.【小问3详解】当𝑥∈(0,+∞)时，ecossin2xxkx++，即ecossin20xxkx+−−恒成立，令()ecossin2xFxxkx=+−−，则()esincosxFxxkx=−−，由（Ⅱ）可知，

𝑥∈(0,+∞)时esin1xx−，所以()esincos1cosxFxxkxkx=−−−，讨论：（1）当01k时，因为1cos1x−，所以coskkxk−，即11cos1kkxk−−

+，所以()1cos10Fxkxk−−，即当01k时，()0Fx，所以()ecossin2xFxxkx=+−−在𝑥∈(0,+∞)时单调递增，所以()()00FxF=恒成立，即满足条件ecossin20xxkx+−−，（2）当1k时，由()esincosxFxxkx=−

−可知()010Fk=−，又()ππe0Fk=+，所以存在()00,πx，使得()00Fx=，所以，当𝑥∈(0,𝑥0)时，()0Fx，𝐹(𝑥)单调递减，当𝑥∈(𝑥0,+∞)时，()0Fx，𝐹

(𝑥)单调递增，所以()()000FxF=，即不能保证ecossin20xxkx+−−恒成立，综上可知，正数k的取值范围是01k.【点睛】思路点睛：根据不等式恒成立求参数范围常用方法：（1）参变分离，将问

题转化为函数最值问题；（2）根据参数分类讨论，利用导数求函数最值即可求解.21.对任意正整数n，记集合()1212,,,,,,nnnAaaaaaa=均为非负整数，且12naaan+++=，集合()1

212,,,,,,nnnBbbbbbb=均为非负整数，且122nbbbn+++=．设()12,,,nnaaaA=，()12,,,nnbbbB=，若对任意1,2,,in都有iiab，则记．（1）写出集合2A和2B；（2

）证明：对任意nA，存在nB，使得；（3）设集合(),,,nnnSAB=求证：nS中的元素个数是完全平方数．【答案】（1）()()()20,2,1,1,2,0A=，()()()()()20,4,1,3,2,2,3,1,4,0

B=（2）证明见解析（3）证明见解析【解析】【分析】（1）根据集合nA与nB公式，写出集合和即可；（2）任取()12,,,nnaaaA=，设()11,2,3,,iibain=+=，令()12,,,nbbb=

，只需证明nB，即可证明结论成立；（3）任取()12,,,nnaaaA=，()12,,,nnaaaA=，可证明nB+，且+，+，再设集合nA

中的元素个数为t，设12,,,ntA=，设集合(),1,2,,,1,2,,niijTitjt=+==，通过证明nnTS，nnST，推出nnST=，即可完成证明．【小问1详解】()()()20,2,1,1,2,0A=，()()()

()()20,4,1,3,2,2,3,1,4,0B=．的【小问2详解】对任意()12,,,nnaaaA=，设()11,2,3,,iibain=+=，则12,,,nbbb均为非负整数，且()1,2,3,,i

iabin=．令()12,,,nbbb=，则12nbbb+++()()()12111naaa=++++++()12naaan=++++2n=，所以nB，且．【小问3详解】

对任意()12,,,nnaaaA=，()12,,,nnaaaA=，记()1122,,,nnaaaaaa+=+++，则11aa+，22aa+，…，nnaa+均为非负整数，且()()()1122nnaaaaaa+++

+++()()1212nnaaaaaa=+++++++nn=+2n=，所以nB+，且+，+．设集合nA中的元素个数为t，设12,,,ntA=．设集合(),1,2,,,1,2,,niijTitj

t=+==．对任意inA(1,2,,)it=，都有1i+，2i+，…，itnB+，且iij+，1,2,,jt=．所以nnTS．若(),nS，其中()12,,,nnaaaA=，()12,,,nnbbb

B=，设iiicba=−()1,2,,in=，因为iiab，所以0iiicba=−，记()12,,,nccc=，则12nccc+++()()()1122nnbababa=−+−+−()()1212nnbbbaaa=++

+−+++2nnn=−=，所以nA，并且有=+，所以(),nT，所以nnST．所以nnST=．因为集合nT中的元素个数为2t，所以nS中的元素个数为2t，是完全平方数．【点睛】关键点点睛：集合元素的个数转换为证明两个集合相等.