【文档说明】【精准解析】上海市复旦大学附属中学2019-2020学年高一上学期期末考试数学试题.doc，共(20)页，1.341 MB，由小赞的店铺上传

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复旦大学附属中学2019学年第一学期高一年级数学期末考试试卷一、填空题（本大题共有12题，满分54分，第1-6题每题4分，第7-12题每题5分）考生应在答题纸的相应位置填写结果.1.函数()12log5yx=−的定义域为__________．【答案】(),5−

【解析】【分析】要求对数函数的定义域，须保证对数函数的真数大于0，即可.【详解】由题意知：50x−，∴x<5，所以原函数的定义域为：(),5−，故答案为：(),5−.【点睛】本题考查对数函数的定义域，利用真数大于0列不等式求解即可，属于基础题.2.函数()()211fxxx=

+−的反函数为__________．【答案】1yx=−−，()2x【解析】【分析】通过函数的方程，求出x，利用反函数的定义，求出函数的反函数即可．【详解】∵函数()()211fxxx=+−，令()211yxx=+−，则2y，∴()11,2yxxy−−=−∴反函数为1yx=−−

，()2x，故答案为：1yx=−−，()2x.【点睛】本题考查反函数，求函数的反函数即反解x即可，注意反函数的定义域为原函数的值域这一对应关系，属于基础题.3.已知2log3a=，试用a表示9log

12=__________．【答案】22aa+【解析】【分析】根据对数运算性质31log2a=，9log12=931log12+log22=，代入求解即可.【详解】由999931log12log(34)log3+log4+log22===，∵

2log3a=，∴31log2a=，∴3111+log2=+22a=22aa+，故答案为：22aa+.【点睛】本题考查对数的运算性质，主要考查计算能力和对数运算性质的灵活应用，属于基础题.4.幂函数()()2231mmf

xax−−=−(),amN为偶函数，且在()0,+上是减函数，则am+=____．【答案】3【解析】【分析】由幂函数()()2231mmfxax−−=−(),amN为偶函数，且在（0，+∞）上是单调递减函数，可得m2-2m-3＜0，且m2-2m-3为偶数，m∈Z，且1=1a−．解

出即可．【详解】∵幂函数()()2231mmfxax−−=−(),amN为偶函数，且在()0,+上是减函数，∴2230mm−−，且223mm−−为偶数，mN，且1=1a−.解得13m−，0m=，1，2，且=2a,只有1m=时满足223=4

mm−−−为偶数.∴1m=.3am+=故答案为：3.【点睛】本题考查幂函数的性质，根据幂函数性质求参数值，可根据幂函数性质列不等式和等式，求解即可，属于基础题.5.函数()23logyxx=−的递增区间为__________．【答案】()1,+

【解析】【分析】先求出函数的定义域，然后将复合函数分解为内、外函数，分别讨论内外函数的单调性，进而根据复合函数单调性“同增异减”的原则，得到函数()23logyxx=−的单调递增区间．【详解】函数()23logyxx=−的定义域为(−∞,0)∪(1,+∞)令2txx=

−,则3logyt=，∵3logyt=为增函数2txx=−在(−∞,0)上为减函数，在(1,+∞)为增函数，∴函数()23logyxx=−的单调递增区间为(1,+∞)故答案为：()1,+.【点睛】本题考查复合函数的单调性，对于对数函数型复合函数的单调性，首先要确定定义域，再根据“同增

异减”判断单调区间即可，属于基础题.6.方程22log(95)2log(32)xx−=+−的解x=______.【答案】1【解析】【分析】先应用对数运算法则把方程转化为22log()log()fxgx=，再化为()()fxgx=，然后把3x作为一个整体，则方程可作为一元二次方

程，从而可求解．【详解】原方程可化为22log(95)log4(32)xx−=−，∴954(32)0xx−=−，32x，2433)0(3xx−+=，(33)(31)0xx−−=，∵32x，∴33x=，1x=．故答案为1．【点睛】本题考查

解对数方程与指数方程．对数方程一般有两种：log()log()aafxgx=，2(log)log0aapxqxr++=，前者利用对数函数性质化为()()0fxgx=，后者利用换元法，设logatx=，化为一元二次方程20ptqtr++=

．7.已知关于x的方程2240xkxkk+++−=有两个实数根，且一根大于2，一根小于2，则实数k的取值范围为__________．【答案】()3,0−【解析】【分析】构造函数f（x）=x2+kx+k2

+k-4，利用一根大于2，一根小于2，根据二次函数的性质建立不等式f（2）<0，解不等式即可求实数k的取值范围．【详解】关于x的方程2240xkxkk+++−=有两个实数根，且一根大于2，一根小于2，构造函数f（x）=x2+kx+k2+k-4，，

∵一根大于2，一根小于2，∴f(2)<0，∴4+2k+k2+k−4<0，∴解得−3<k<0.则k的取值范围是(−3,0).故答案为：(−3,0).【点睛】本题考查一元二次方程的根的分布与系数的关系，根据题意列不等式求解即可，属于常考题.8.若函数()6,

23log,2axxfxxx−+=+（0a且1a）的值域是)4,+，则实数a的取值范围是__________．【答案】(1,2【解析】试题分析：由于函数()()6,2{0,13lo

g,2axxfxaaxx−+=+的值域是)4,+，故当2x时，满足()64fxx=−，当2x时，由()3log4afxx=+，所以log1ax，所以log2112aa，所以实数a的取值范围12a.考

点：对数函数的性质及函数的值域.【方法点晴】本题以分段为背景主要考查了对数的图象与性质及函数的值域问题，解答时要牢记对数函数的单调性及对数函数的特殊点的应用是解答的关键，属于基础题，着重考查了分类讨论的思想方法的应用，本题的解答中，当2x时，由()4fx，得log1ax，

即log21a，即可求解实数a的取值范围.9.已知()()1332xxfx−=−的反函数为()1fx−，当3,5x−时，函数()()111Fxfx−=−+的最大值为M，最小值为m，则Mm+=__________．【答案】2【解析】【

分析】根据原函数定义域与反函数值域的对应关系，可得()1fx−得值域，再进一步解得()()111Fxfx−=−+的最大值与最小值，即可求得结果.【详解】令()1332xxy−=−，则3320xxy−−−=，∴()232310xxy−−=，∴222443=12xyyyy++=+

+，()23log1xyy=++∴反函数为()()231log1fxxx−=++，当3,5x−时，14,4x−−，函数()()1332xxfx−=−为增函数，()fx的反函数()1fx−为增函数，所以()11fx−−()()33log174,log174−

+，()()111Fxfx−=−+最大值为=M()3log174+1+，最小值为=m()3log174+1−，2Mm+=，故答案为：2.【点睛】本题考查原函数与反函数的关系，利用原函数求反函数，利用原函数与反函数单调性相同即可求解，属于中等题.10.对于函数()fx，若对

于任意的a，b，cR，()fa，()fb，()fc为某一三角形的三边长，则称()fx为“可构造三角形函数”，已知函数()1xxetfxe+=+是“可构造三角形函数”，则实数t的取值范围是__．【答案】1,22【解析】试题分析：由题意得()()()123fxfxfx+恒成立，即()(

)minmax2fxfx，因为()1111xxxettfxee+−==+++，当1t=时，满足()()minmax221fxfx==；当1t时，由()()minmax22,,fxfxt得21t；当1t时，由()()minmax22,1,fxtfx得112t

；因此实数t的取值范围是1,22考点：不等式恒成立11.若关于x的方程5445xxmxx+−−=在()0,+内恰有三个相异实根，则实数m的取值范围为______.【答案】4156,10

【解析】【分析】题中有绝对值,故考虑分绝对值中的正负情况进行去绝对值讨论即可.【详解】设54()45fxxxxx=+−−,()0,x+.当450xx−时有255x.当450xx−时有2505x.故1259,05()925,5xxxfxxxx+=

−+.当19yxx=+时21'9yx=−,令1'03yx==.故19yxx=+在10,3上单调递减,在12535，上单调递增.又9yxx=−+在25,5+为减函

数,.因为当0x+→时,()fx→+,11()93633f=+=.25259415()5510255f=−+=.当x→+时()fx→−.故方程5445xxmxx+−−=在()0,+内恰有三个相异实根则4156,

10m.故答案为：4156,10【点睛】本题主要考查了方程的零点个数问题,有绝对值考虑分情况讨论,同时需要数形结合分析函数的单调性与最值再进行分析等.属于中等题型.12.已知函数()2121

1log12xxkxfxxx−++=−+，()()()2lg21xgxaxaRx=+++若对任意的1x，2,2xxxRx−，均有()()12fxgx，则实数k的取值范围是_

_________．【答案】3,4−−【解析】【分析】对任意的x1，x2∈R，均有f（x1）≤g（x2）可化为f（x）max≤g（x）min，由题意及基本不等式可知g（x）min12=−；再分段讨论确定函数f（x）可能的最大值，从而可得1142k+−，从而解得实数k的取值范

围.【详解】若对任意的1x，2,2xxxRx−,均有()()12fxgx，则f（x）max≤g（x）min，由于()()()2lg21xgxaxaRx=+++，∵()()lg2hxx=+，当+x→，()+hx→，当2x→−

，()hx→−，∴无论0a，()gx最小值→−，原不等式不可能成立，∴可得=0a，()()21xgxaRx=+，当x=0，2=01xx+当21110,=,001122xxxxx−++，，∴g（x）min12=−，∵121log2xy=−+为减函数当x>

1时,()1211log22xfx=−+−.当−2<x≤1时,()22111244fxxxkxkk=−++=−+−++；∴1142k+−，解得34k−∴实数k的取值范围是3,4−−

.故答案为：3,4−−.【点睛】本题考查分段函数的应用，考查知识点有函数的最值、不等式恒成立求参数范围，综合性强，属于较难题.二、选择题：（本大题共有4题，满分20分，每题5分）每题有且仅有一个

正确选项，考生应在答题纸的相应位置，将代表正确选项的小方格涂黑.13.若命题甲：10x−=，命题乙：2lglg0xx−=，则命题甲是命题乙的（）A.充分非必要条件B.必要非充分条件C.充要条件D.非充分也非必要条件【答案】A【解析】

【分析】分别分析甲能否推出乙，乙能否推出甲，即可得命题甲与命题乙的关系.【详解】解：当10x−=，即1x=时，22lglglg1lg10xx−=−=，故命题甲可推出命题乙；当2lglg0xx−=，可得1x=或10x=，故命题乙不可以推出命题甲

,故命题甲是命题乙的充分非必要条件，故选：A.【点睛】本题考查充分性和必要性的判断，是基础题.14.下列函数中既是偶函数，又在()0,+上单调递增的是（）A.1yx=B.2yx-=C.2logyx=D.23yx=【答案】

D【解析】【分析】逐一分析给定四个函数的奇偶性，及在（0，+∞）上的单调性，可得答案．【详解】函数1yx=为偶函数,但在(0,+∞)上单调递减，故A不满足条件；函数2yx-=为偶函数,但在(0,+∞)上单调递减，故B不满足条件；

函数2logyx=为非奇非偶函数，不满足条件，故C错误；函数23yx=为偶函数,又在(0,+∞)上单调递增，满足条件；故选：D.【点睛】本题考查函数奇偶性、单调性的判断与证明，属于函数基本性质的应用与辨析，属于基础

题.15.设函数()fx的定义域为R，有下列三个命题：（1）若存在常数M，使得对任意xR，有()fxM，则M是函数()fx的最大值；（2）若存在0xR，使得对任意xR，且0xx，有()()0fxfx，则()0fx是函数()fx

的最大值；（3）若存在0xR，使得对任意xR，有()()0fxfx，则()0fx是函数()fx的最大值；这些命题中，真命题的个数是（）A.0个B.1个C.2个D.3个【答案】C【解析】【分析】根据函数最大值定义进行逐个判断

.【详解】对于（1），M不一定是函数f(x)中的值，可能“=”不能取到，故其不正确；因为函数最大值的定义是存在一个函数值不小于其它所有的函数值，则此函数值是函数的最大值，故（2）（3）正确.综上可知正确的有2个.故选C.【点睛】本题是一道关于函数最大值的题目，解答本题的关键是

熟练掌握函数最大值的定义：存在一个函数值不小于其它所有的函数值，则此函数值是函数的最大值，属于概念辨析，属于基础题.16.已知函数()22xfxmxnx=++，记集合()0,AxfxxR==，集合()0,Bxf

fxxR==，若AB=，且都不是空集，则mn+的取值范围是（）A.)0,4B.1,4−C.3,5−D.0,7【答案】A【解析】【分析】由{x|f（x）=0}={x|f（f（x））=0}可得f（0）=0，从而求得m=0；从而化简f（f

（x））=（x2+nx）（x2+nx+n）=0，从而讨论求得.【详解】设1{|()0}{|(())0}xxfxxffx===，()()()110fxffx==，(0)0f=，即(0)0fm==，故0m=，故2()fxxnx=+，()()22(()

)0ffxxnxxnxn=+++=，当0n=时，成立，当0n时，0，-n不是20xnxn++=的根，故240nn=−，解得：04n，综上所述，04nm+.故选：A.【点睛】本题考查集合的相等求解参数问题，函数与方程思想将函数问题转化为方程的解，再利用二次

方程根与系数关系求解，属于较难题.三、解答题（本大题共有5题，满分76分）解答下列各题必须在答题纸的相应位置写出必要的步骤.17.已知函数()1421xxfxa+=−+.（1）若1a=，解方程：()4fx=；（2）若()fx在1,1−上存在零点，求实数

a的取值范围.【答案】（1）2log3x=；（2）51,4【解析】【分析】（1）将a=1的值代入，将2x看作一个整体，解出2x的值，从而求出x的值即可；（2）利用换元法将问题转化为2112tattt+==+，根据函数值域求

出a的范围即可．【详解】（1）()42214xxfx=−+=，23x=或21x=−（舍）方程的解为2log3x=.（2）令12,22xt=，则2210tat−+=，2112tattt+==+，因为1tt+在1,12上递减，1,2上递增，可得

1tt+的值域为52,2所以522,2a，51,4a【点睛】本题考查指数函数的综合应用，指数函数方程的问题可用换元法将指数函数转化为一次方程或者二次方程问题，求参数取值范围可将参数分离，再利用函数的单调性和值域求解参数范围，属于中等题

.18.已知函数()21log1axfxx−=−的图像关于原点对称，其中a为常数.（1）求a的值；（2）设集合417Axx=−，()()2log1Bxfxxm=+−，若AB，求实数m的取值范围.【答案】（1）1a=−；

（2）2m【解析】【分析】（1）()fx为奇函数，101axx−−的解集关于原点对称，可得f（x）+f（-x）=0，所以1a=−.（2）由题目解得)3,7A=，化简B可得()2log1xm+，根据交集非空求出()2log1x+的最大值，即可解出

m的取值范围【详解】（1）()fx为奇函数，101axx−−的解集关于原点对称，所以1a=−.此时()21log1xfxx+=−，（1x或1x−），()21log1xfxx−+−=−−()21log1xfxx−==−+成立，所以1a=−.（2）

由集合417Axx=−解得)3,7A=，()()2log1Bxfxxm=+−代入（1）中结论可得：()()()22log1log1fxxxm+−=+在)3,7上有解，()2log1xm+，012

mx+，()1,21mB=−−∵AB，∴213m−，2m.【点睛】本题考查对数函数的图象与性质，利用奇偶性求参数和集合关系求参数取值范围，综合性强，属于中等题.19.近年来，雾霾日趋严重，雾霾的工作、生活受到了严重的影响，如何改善空气

质量已成为当今的热点问题，某空气净化器制造厂，决定投入生产某型号的空气净化器，根据以往的生产销售经验得到下面有关生产销售的统计规律，每生产该型号空气净化器x（百台），其总成本为()Px（万元），其中固定成本为12万元，并且每生产1百台的生产成本为10万元（总成本=固

定成本+生产成本），销售收入()Qx（万元）满足20.522,016(){224,16xxxQxx−+=，假定该产品销售平衡（即生产的产品都能卖掉），根据上述统计规律，请完成下列问题：（1）求利润函数()yfx=的解析式（利润=销售收入-总成本）；（2）工厂生产多少百台产品

时，可使利润最多？【答案】（Ⅰ）20.51212,016(){21210,16xxxfxxx−+−=−;（Ⅱ）12.【解析】试题分析：（1）先求得()Px，再由()()()fxQxPx=−，由分段函数式可得所求；（2）分别求出各段的最大值，注意运用一次函数和二次函数的单调性求

最值法，然后比较两个最值即可得到结果.试题解析：（1）由题意得()1210Pxx=+∴()()()20.51212,016{21210,16xxxfxQxPxxx−+−=−=−.（2）当16x时，函数()fx递减，∴()

()1652fxf=万元当016x时，函数()()20.51260fxx=−−+当12x=时，()fx有最大值60万元所以当工厂生产12百台时，可使利润最大为60万元.【方法点睛】本题主要考查阅读能力及建模能力、分段函数的解析式，属于难题.与实际应用相结合的题型也是高考命题的动向

，这类问题的特点是通过现实生活的事例考查书本知识，解决这类问题的关键是耐心读题、仔细理解题，只有吃透题意，才能将实际问题转化为数学模型进行解答.理解本题题意的关键是构造分段函数，构造分段函数时，做到分段合理、不重不漏，分段函数的最值是各段的最大(最小)者的最大者(最小者

).20.若函数()fx满足：对于其定义域D内的任何一个自变量0x，都有函数值()0fxD，则称函数()fx在D上封闭.（1）若下列函数：()121fxx=−，()221xfx=−的定义域为()0,1D=，试判断其中哪些在D

上封闭，并说明理由.（2）若函数()52xagxx−=+的定义域为()1,2，是否存在实数a，使得()gx在其定义域()1,2上封闭？若存在，求出所有a的值，并给出证明；若不存在，请说明理由.（3）已知

函数()fx在其定义域D上封闭，且单调递增，若0xD且()()00ffxx=，求证：()00fxx=.【答案】（1）()2fx在D上封闭，理由见解析；（2）存在，2a=，证明见解析；（3）证明见解析【解析】【分析】（1）根据定义域，求得函数的值域，利用新定义，即可得到结论；（2）根据函数封闭定义

转化为不等式恒成立问题，再利用变量分离法求解，可求a的值．（3）函数f（x）在其定义域D上封闭，且单调递增，假设()00fxx，根据单调函数性质可证假设不成立，由此能证明f（x0）=x0．【详解】（1）当()0,1x时，()()1211,1fxx=−−，∴()1fx在D上不封闭；()()22

10,1xfx=−，∴()2fx在D上封闭.（2）设存在实数a，使得()52xagxx−=+在()1,2上封闭，即对一切()1,2x，5122xax−+恒成立，∵20x+，∴2524xxax+−+，即3442xax−−恒成立，∵()341

,2x−−∴2a；∵()422,6x−∴2a.综上，满足条件的2a=.（3）假设()00fxx，①若()00fxx，∵()00fxxD，，()fx在D上单调递增，∴()()()00ffxfx，即()00xfx，矛盾；②若()00fxx，∵()0fx，0xD

，()fx在D上单调递增，∴()()()00ffxfx，即()00xfx，矛盾.∴假设不成立，()00fxx=.【点睛】本题考查函数的综合运用,根据函数封闭的定义与函数定义域、值域、单调性等知识点进行综合的考查，考查转化能力与函数基础知识的应用

，属于中等题.21.已知函数()020xxaxfxx+=，其中aR.（1）若1a=−，解不等式()14fx；（2）设0a，()21loggxfx=，若对任意的1,22t，函数()gx在区间,2tt

+上的最大值和最小值的差不超过1，求实数a的取值范围；（3）已知函数()yfx=存在反函数，其反函数记为()1yfx−=.若关于x的不等式；()()1242fafxxa−−+−在)0,x+上恒成立，求实数a的取值范围.【答案】（1）352,,44−+

；（2）65a；（3）()173,23,4−【解析】【分析】（1）1a=−时，代入函数分段解不等式即可得到解集；（2）由题意0a，可得()21loggxax=+单调递减，可得函数()gx在区间,2

tt+最大值及最小值，()()maxmingxgx−=2211loglog12aatt+−++，再根据函数单调性与最值可求得实数a的取值范围；（3）根据反函数性质可得1a时，

(),02,0xxaxfxx+=为增函数，存在反函数，由此可得()fx的值域为())0,1,a+，令()()22Fxfxxa=+−，)0,x+，将原不等式转化为()2142afaa−−+，由()1fx−是增函数，可得224

2,22aaafaa−+=+列出不等式求解即可.【详解】（1）1a=−时，()1,02,0xxxfxx−=当0x时，()114fxx=−，54x或34x，∴350,,44x+；当0x时，()124xfx=，2x−，∴)

2,0x−.综上，352,,44x−+.（2）∵0a，,2xtt+，∴()2211logloggxfaxx==+单调递减，()()maxmingxgx

−=()()2gtgt−+=2211loglog12aatt+−++，1122aatt+++，()12222tatttt−−=++在1,22t上恒成立，令320,2mt=−，()()22thmtt−==+()()22468mm

mmmm=−−−+，当0m=时，()0hm=，当30,2m时，()186hmmm=+−，∵86mm+−在30,2上递减，∴8316566236mm+−+−=，()60,5hm，

综上，65a.（3）若0a，则()()02ffaa=−=；若0a=，则()11122ff−==；若01a，则()()20logffaa==，∴1a时，()fx没有反函数.当1a时，(),02,0xxaxfxx+=为增函数，存在反

函数，且()fx的值域为())0,1,a+.令()()22Fxfxxa=+−，)0,x+，则()22Fxxaxa=++−=22223,2,2axaaxaxaax−+−++，22ax=，()2min2aFxa=

+，所以()2142afaa−−+，因为()fx是增函数，所以()1fx−也是增函数.可得2242,22aaafaa−+=+∴2680,aa+−解得317a−+或317a−−且())()(40,1,,3,4,2aaa−+−又1a，综上，()173,23

,4a−.【点睛】本题属于分段函数综合题，考查分段函数性质、反函数性质，考查综合分析能力和转化能力，属于较难题.