【文档说明】浙江省杭州市2025届高三上学期一模试题 数学.docx，共(4)页，60.783 KB，由小赞的店铺上传

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2024学年第一学期杭州市高三年级教学质量检测数学试题卷考生须知:1.本试卷分试题卷和答题卷两部分.满分150分,考试时间120分钟.2.请用黑色字迹的钢笔或签字笔在答题卡指定的区域(黑色边框)内作答,超出答题区域的作答无效!3.考试结束,只需上交答题卡.一、选择题:本大题共

8小题,每小题5分,共40分。每小题给出的四个选项中,只有一个选项是正确的。请把正确的选项填涂在答题卡的相应位置。1.已知集合𝐴={1,2,3},𝐵={𝑥∣𝑦=√1−𝑥2},则𝐴∩𝐵=()A.{1}B.{

0,1}C.{−1,1}D.{−1,0,1}2.函数𝑓(𝑥)={𝑥−1,𝑥≥0,−𝑥−1,𝑥<0是()A.奇函数B.偶函数C.既非奇函数也非偶函数D.既是奇函数也是偶函数3.已知直线𝑦=2𝑥是双曲线𝐶:𝑦24−𝑥2𝑏2=1(𝑏>0)的一条渐近线,则𝐶的离心率

等于()A.√52B.√32C.√5D.√52或√54.将函数𝑦=sin𝑥的图象向左平移𝜑(0<𝜑<2𝜋)个单位,得到函数𝑦=𝑔(𝑥)的图象,则"𝑦̂=𝑔(𝑥)是偶函数"是"𝜑=𝜋2"的()A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条

件D.既不充分也不必要条件5.已知向量𝐚=(1,−1),𝐛=(2,1),若(𝑡𝐚+𝐛)⊥(−2𝐚+𝑡𝐛),则𝑡=()A.1或12B.-2或12C.-1或2D.-2或16.设𝑓(𝑥)=e𝑥+ln𝑥,满足𝑓(𝑎)𝑓(𝑏)𝑓(𝑐)<0(0<

𝑎<𝑏<𝑐).若函数𝑓(𝑥)存在零点𝑥0,则()A.𝑥0<𝑎B.𝑥0>𝑎C.𝑥0<𝑐D.𝑥0>𝑐7.已知1sin10∘−𝜆cos10∘=4,则𝜆=()A.1B.√2C.√3D.28.对∀𝑥∈[1

,+∞),不等式((ln𝑎𝑥)2−1)(e𝑥−𝑏)≥0恒成立,则()A.若𝑎∈(0,1𝑒),则𝑏≤eB.若𝑎∈(0,1𝑒),则𝑏>𝑒C.若𝑎∈[1𝑒,𝑒),则𝑎𝑏=eeD.若𝑎∈[1𝑒,𝑒),则𝑏𝑎=e𝑒二、选择题:本大题

共3小题,每小题6分,共计18分。每小题给出的四个选项中,有多项符合题目要求。全部选对得6分,选对但不全的得部分分,有选错的得0分。9.如图,在正方体中,𝑂为底面的中心,𝑃为所在棱的中点,𝑀,𝑁为正方体的顶点.则满足𝑀𝑁⊥𝑂

𝑃的是()A.B.C.D.10.已知函数𝑓(𝑥)=𝑥3−𝑥2−𝑎𝑥(𝑥≥0),则()A.若𝑓(𝑥)min=𝑓(1),则𝑎=1B.若𝑓(𝑥)min=𝑓(1),则𝑎=−13C.若𝑎=1,则𝑓(𝑥)在(0,1)上单调递减D.若𝑎

=−13,则𝑓(𝑥)在(1,3)上单调递增11.已知函数𝑓(𝑥)的定义域为𝐑,若𝑓(𝑓(𝑥)+𝑦𝑧)=𝑥+𝑓(𝑦)𝑓(𝑧),则()A.𝑓(1)=0B.𝑓[𝑓(𝑥)]=𝑥C.𝑓(𝑥𝑦)=𝑓(𝑥)𝑓(𝑦)D.𝑓(𝑥+𝑦

)=𝑓(𝑥)𝑓(𝑦)三、填空题:本大题共3小题,每小题5分,共15分。12.函数𝑓(𝑥)=ln𝑥在点(e,1)处的切线的斜率等于_____.13.已知复数𝑧1,𝑧2的实部和虚部都不为0,满足①|𝑧1𝑧2|=2;②|𝑧1𝑧2|=2.则𝑧1=_____,𝑧2

=_____.(写出满足条件的一组𝑧1和𝑧2)14.已知双曲线𝐶1,𝐶2都经过点(1,1),离心率分别记为𝑒1、𝑒2,设双曲线𝐶1,𝐶2的渐近线分别为𝑦=±𝑘1𝑥和𝑦=±𝑘2𝑥.若𝑘

1𝑘2=1,则𝑒1𝑒2=_____.四、解答题:本题共5小题,共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。15.(13分)已知在△𝐴𝐵𝐶中,sin2𝐴−sin2𝐵=sin2𝐶−√3sin𝐵sin𝐶,2cos𝐵=sin𝐶.(1)判断△𝐴𝐵𝐶的形状

,并说明理由;(2)若点𝐷在𝐴𝐵边上,且𝐵𝐷=2𝐴𝐷.若𝐶𝐷=2,求△𝐴𝐶𝐷的面积.16.(15分)在直角坐标系𝑥𝑂𝑦中,抛物线𝐶:𝑦2=2𝑝𝑥(𝑝>0)的焦点为𝐹,点𝑀在抛物线𝐶上,

若△𝑂𝐹𝑀的外接圆与抛物线𝐶的准线相切,且该圆的面积为9𝜋64.(1)求𝐶的方程;(2)若点(-1,1)关于直线𝑦=𝑘𝑥对称的点在𝐶上,求𝑘的值.17.(15分)一设随机变量𝑋所有可能的取值为𝑥1,𝑥2,⋯,𝑥𝑛,𝑃(

𝑋=𝑥𝑖)=𝑝𝑖>0(𝑖=1,2,⋯,𝑛),且𝑝1+𝑝2⋯+𝑝𝑛=1.定义事件𝑋=𝑥𝑖的信息量为𝐻𝑖=−ln𝑝𝑖,称𝑋的平均信息量𝐻(𝑋)=−(𝑝1ln𝑝1+𝑝2ln𝑝2+⋯+𝑝𝑛ln𝑝𝑛)为信息熵.

(1)若𝑛=3,𝑝𝑘+1=2𝑝𝑘(𝑘=1,2),求此时的信息熵;(2)最大熵原理:对一个随机事件的概率分布进行预测时,要使得信息熵最大.信息熵最大就是事物可能的状态数最多,复杂程度最大,概率分布最均匀,这才是风险最小(最合理)的决定.证明:𝐻(𝑋)≤ln𝑛,

并解释等号成立时的实际意义.(参考不等式:若𝑓(𝑥)=ln𝑥,则∑𝑝𝑖𝑛𝑖=1𝑓(𝑥𝑖)≤𝑓(∑𝑝𝑖𝑛𝑖=1𝑥𝑖))18.(17分)已知函数𝑓(𝑥)=𝑎𝑥ln𝑥−𝑥3−1.(1)若𝑎=

1,求𝑓′(𝑥)的单调区间;(2)若0≤𝑎≤3,求证:𝑓(𝑥)<0;(3)若ℎ(𝑥)=(𝑥−𝑥)+𝑥3+1𝑎,∃𝑥1≠𝑥2使得ℎ(𝑥1)=ℎ(𝑥2)=𝑏,求证:𝑏e+1<|𝑥1−𝑥2|<𝑏+1.19.(17分)已知正项有穷数列𝐴:𝑎1,𝑎2

,⋯,𝑎𝑁(𝑁≥3),设𝑇={𝑥∣𝑥=𝑎𝑗𝑎𝑖,1≤𝑖<𝑗≤𝑁},记𝑇的元素个数为𝑃(𝑇).(1)若数列𝐴:1,2,4,16,求集合𝑇,并写出𝑃(𝑇)的值;(2)若𝐴是递增数列或递减数列,求证:𝑢𝑃(𝑇)=𝑁−1”的充要条件是

“𝐴为等比数列”;(3)若𝑁=2𝑛+1,数列𝐴由2,4,8,⋯,2𝑛,4𝑛这𝑛+1个数组成,且这𝑛+1个数在数列𝐴中每个至少出现一次,求𝑃(𝑇)的取值个数.