【文档说明】【精准解析】河南省许昌济源平顶山2020届高三第二次质量检测数学（文）试题.doc，共(24)页，2.021 MB，由小赞的店铺上传

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许昌济源平顶山2020年高三第二次质量检测文科数学注意事项：1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上.2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号，回答非选择题时，将

答案写在答题卡上.写在本试卷上无效.3.考试结束后，将答题卡交回.一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知复数21izii=+−，则zz=（）A.5B.3C.1D.5【答案】D【解析】【分析】根

据复数的运算法则和共轭复数的概念先求出,zz，即可得解.．【详解】22(1)221121(1)(1)2iiiiziiiiiiiii+−=+=+=+=−+=−+−−+，则12zi=−−，则(12)(12)145zzi

i=−+−−=+=.故选：D．【点睛】本题主要考查复数的计算，结合复数的运算法则进行化简是解决本题的关键，属于基础题．2.设集合2|2Axxx=+−，2|log1Bxx=，则AB=（）A.(2,1)−B.(0,1)C.(

1,2)D.【答案】B【解析】【分析】先化简集合A,B,再利用交集的运算求解．【详解】由题得集合2{|20}(2,1)Axxx=+−=−，2{|log1}(0,2)Bxx==，则(0,1)AB=，故选：B．【点睛】本题主要考查不等式的解法和交集的运算，意在考查学生对

这些知识的理解掌握水平，属于基础题．3.已知数列na是等比数列，函数256yxx=−+的零点分别是2a，8a，则5a=（）A.2B.2−C.3D.6【答案】D【解析】【分析】由韦达定理可知286aa=，285aa+=，由此利用等比数列的性质

求解即可.【详解】函数256yxx=−+的零点分别是2a，8a，286aa=，285aa+=，20a，80a，又数列na是等比数列，25286aaa==，56a=，经检验满足要求.故选：D.【点睛】本题

考查了等比数列的性质，考查了计算能力，属于基础题.4.已知sin2a=，23log5b=，0.53c=，则（）A.abcB.bcaC.bacD.cba【答案】C【解析】【分析】利用正弦函数、对数函数、指数函数的单调性，比较大小即可.【详解】22，0sin21，即01a

，51，2013，23log50，即0b，31，0.50，0.531，即1c，bac.故选：C.【点睛】本题考查了利用函数单调性比较大小，属于基础题.5.已知圆C：2240xyxa+++=上存在两点关于直线:=2lykx+

对称，k=（）A.1B.1−C.0D.12【答案】A【解析】【分析】根据圆的对称性圆心在对称轴上，通过列方程解得结果.【详解】若圆上存在两点关于直线对称，则直线经过圆心，()Cl-2,0，220k−+=，得1k=.故选：A【点睛】本题考查圆的对称性，考查基本分析求解能力，属基础题.

6.三国时期，诸葛亮曾经利用自身丰富的气象观测经验，提前三天准确地预报出一场大雾，并在大雾的掩护下，演出了一场“草船借箭”的好戏，令世人惊叹.诸葛亮应用的是（）A.动力学方程的知识B.概率与统计的知识C.气象预报模型的知识D.迷信求助于神灵【答案】B【解析】【分析】应用丰富的气象观测

经验，预报天气，属于经验预报法，可知诸葛亮应用的是概率与统计的知识.【详解】诸葛亮曾经利用自身丰富的气象观测经验，提前三天准确地预报出一场大雾，属于气象业务实践中的经验预报法，利用的是概率与统计的知识.并未应用到动力学方程的知识和气象预报模型的知识.故选：B.

【点睛】本题考查了天气预报中的概率解释，属于基础题.7.函数1()ln1fxxx=−−的图象大致是()A.B.C.D.【答案】B【解析】【分析】根据函数表达式,把分母设为新函数,首先计算函数定义域,然后求导,根据导函数的正负判断函数单调性,对应

函数图像得到答案.【详解】设()ln1gxxx=−−，(1)0g=，则1()ln1fxxx=−−的定义域为(0,1)(1,)x+U.1()1gxx=−，当(1,)x+，()0gx，()gx单增，当(0,1)x，()0gx，()gx单减，则()(1)0gxg=.则

()fx在(0,1)x上单增，(1,)x+上单减，()0fx.选B.【点睛】本题考查了函数图像的判断,用到了换元的思想,简化了运算,同学们还可以用特殊值法等方法进行判断.8.给出下列四个结论：①若()fx在R上是奇函数，则()2fx在R上也是奇函数②若()fx不是正弦函数，则()fx不是周

期函数③“若3=，则3sin2=.”的否命题是“若3πθ，则3sin2.”④若p：20x−=；q：22xx−=−，则p是q的充分不必要条件其中正确结论的个数为（）A.1B.2C.3D.4【答案】C【

解析】【分析】对于①，利用函数奇偶性的定义可判断；对于②，举反例，例如()tanfxx=不是正弦函数，但是周期函数；对于③，由否命题的定义判断即可；对于④，根据充分条件和必要条件的定义加以判定即可.【详解】对于①，若(

)fx在R上是奇函数，则xR，()()fxfx−=−，则()()()222fxfxfx−=−=−，故()2fx在R上也是奇函数，故①正确；对于②，例如()tanfxx=不是正弦函数，但是周期函数，故②

错误；对于③，由否命题的定义可知，对于两个命题，若其中一个命题的条件和结论分别为另一个命题的条件的否定和结论的否定，则这两个命题互为否命题，如果把其中一个称为原命题，则另一个就叫做它的否命题，而3=的否

定为3πθ，3sin2=的否定为3sin2，故③正确；对于④，0222xxx−==−−，即pq，即p是q的充分条件，而2220xxx−=−−=或21x−=，因此q推不出p，即p是q的不必要条件，所以p是q的充分不必要条件，故④正确.故选：C.【点睛】本题考查了函数的奇偶性和周

期性、否命题的定义以及充分条件与必要条件，考查了推理能力，属于基础题.9.自新型冠状病毒疫情爆发以来，人们时刻关注疫情，特别是治愈率，治愈率=累计治愈人数／累计确诊人数，治愈率的高低是“战役”的重要数据，由于确诊和治愈人数在不断变化，那么人们就非常关心第n天的治愈率，

以此与之前的治愈率比较，来推断在这次“战役”中是否有了更加有效的手段，下面是一段计算治愈率的程序框图，请同学们选出正确的选项，分别填入①②两处，完成程序框图.（）ig：第i天新增确诊人数；iy：第i天新增治愈人数

；il：第i天治愈率A.iiigly=，1ii=+B.iiiylg=，1ii=+C.iSlZ=，1ii=+D.iZlS=，1ii=+【答案】D【解析】【分析】由治愈率的公式，结合程序框图可知Z和S的意义，可得①处正确选项，即可得解.【详解】∵治愈率=累计治愈人数／累计确诊人数，由程序

框图可知，Z表示累计治愈人数，S表示累计确诊人数，∴iZlS=，即①处填iZlS=.故选：D.【点睛】本题考查了补全程序框图，属于基础题.10.P为椭圆22110091xy+=上的一个动点，,MN分别为圆22:(3)1Cxy−+=与圆222:(3)(05

)Dxyrr++=上的动点，若||||PMPN+的最小值为17，则r=（）A.1B.2C.3D.4【答案】B【解析】【分析】圆外的点到圆上点的距离的最小值为：点到圆心的距离减去半径；从而得到两个不等式，再根据||

||PMPN+的最小值，得到关于r的方程，进而求得答案.【详解】因为(3,0)C，(3,0)D−恰好为椭圆的两个焦点，因为||||1,||||PMPCPNPDr−−，所以||||||||121PMP

NPCPDrar++−−=−−.因为2100a=，得10a=，所以20117r−−=，则2r=.故选：B.【点睛】本题考查圆外一点到圆上一点距离的最小值，考查数形结合思想的应用，求解时注意利用不等式结合最值进行运算求值.11.已

知函数()sincos(0,0)62afxxxa=++，对任意xR，都有()3fx，若()fx在[0,]上的值域为3[,3]2，则的取值范围是（）A.11,63B.12,33

C.1,6+D.1,12【答案】A【解析】【分析】先化简函数，根据正弦函数性质求最大值，解得a；再根据()fx在[0,]上的值域确定3x+取值范围，解得结果.【详解】()sincos62afxxx=++=31si

ncos22axx++22max31()3()()22afx+==+，02aa=，()3sin()3fxx=+0,0x，333x++，3()32fx，2233+，1163.故选：

A【点睛】本题考查辅助角公式以及正弦函数性质，考查综合分析求解能力，属中档题.12.已知函数321()1(1)3fxxaxaxa=−++在1212,()tttt处的导数相等，则不等式12(+)0fttm+恒成立时，实数m的取值范围是（）A.)1−+，B.(1−−，C.(1−

，D.(43−，【答案】A【解析】【分析】先求导数，根据条件解得12+=2tta，代入化简不等式；再将不等式恒成立问题转化为对应函数最值问题，最后利用导数求对应函数最值，即得结果.【详解】由题得2'()2(1)fxxaxaa=−+，由已知得12,tt为220xaxa−+=两个不等实根，

所以12+=2tta，12(+)0fttm+恒成立，(2),(1)mfaa−恒成立.令324()(2)21,(1)3gafaaaa==−++，则2'()444(1)gaaaaa=−+=−−，当(,0),'()0aga−，当(0

,1),'()0;aga()(,0)ga−在上单调递减，在(0,1)上单调递增.min()(0)1,1,1.gagmm==−−故选：A【点睛】本题考查利用导数研究不等式恒成立问题，考查综合分析求解能力，属

中档题.二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.13.已知,ab均为单位向量，若23ab−=，则a与b的夹角为________.【答案】3【解析】【分析】由已知模平方后可求得两向量的数量积，然后根据数量积的定义可求得夹角．【详解】由题意22

222(2)441443ababaabbab−=−=−+=−+=，12ab=，∴1cos,2ababab==，1cos,2ab=rr，,3ab=．故答案为：3．【点睛】本题考查平面向量的数量积与模的关系，考查求向量夹角，掌

握数量积的定义是解题基础．14.数列na中，11a=，且131nnaan+=++，则通项公式na=__________.【答案】()2132nn−【解析】【分析】把题干中的递推关系式进行转换，构造出新数列2322nnan−+，即可求解.【详解】131nnaa

n+=++，整理得，()22131312222nnnnanan++−++=−+，数列2322nnan−+为常数列，又11a=，则131022a−+=，2322nnan=−.故答案为：()2132nn−.

【点睛】本题考查了由递推关系求通项公式，考查了构造法求数列通项，属于基础题.15.设曲线lnyxx=在点(,)ee处的切线与直线10axy++=垂直，则————．【答案】12【解析】试题解析：()lnln1yxxx==+

，曲线在点（e，e）处的切线斜率为()2fe=，∴2×（－a）＝－1，解得12a=．考点：考查了利用导数求曲线的切线的斜率．点评：解本题的关键是正确求导，切点横坐标的导数值等于切线的斜率，两条互相垂直的直线的斜率乘积等于

－1．16.在棱长为6的正方体1111ABCDABCD−中，M是BC的中点，P是该正方体侧面11DCCD上的点，且满足APDMPC=，则三棱锥PBCD−的体积最大值是__________.【答案】123【解析】【分析】由题意易知RtADPRtMCP，由此可得2PD

PC=，在平面11DCCD上，作POCD⊥，垂足为O，设DOx=，POh=，求出PO的最大值，说明PO⊥底面BCD，即可得三棱锥PBCD−的体积最大值.【详解】如图，在棱长为6的正方体1111ABCDABCD−中，，则AD⊥平面11DCCD，BC⊥平面11DCCD，又DP，PC在平面11DC

CD上，所以ADDP⊥，BCCP⊥，又APDMPC=，所以RtADPRtMCP，所以2PDADPCMC==，即2PDPC=，作POCD⊥，垂足为O，设DOx=，POh=，所以()222226xhxh+=−+，化简整理得()22816hx=−−+，06x，则6x=时，2max1

2h=，max23h=，在正方形11DCCD中，因为POCD⊥，所以1//POCC，又在正方体1111ABCDABCD−中，1CC⊥平面ABCD，所以PO⊥平面ABCD，所以三棱锥PBCD−的体积最大值为11662312332=.故答案为：123.【点睛

】本题考查了空间几何体的最值问题，考查了线面垂直的性质定理，考查了空间想象能力与计算能力，属于中档题.三、解答题：共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第17~21题为必考题，每个试题考生都必须作答.第22、23题为选考题，考生根据要求作答.（一）必考

题：60分.17.ABC内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且3cossin3aCcAb+=.（1）求角A；（2）若13a=，且ABC面积为33，求sinsinBC+的值.【答案】（1）3A=（2）73926【解析】【

分析】（1）利用正弦定理化简已知等式，利用两角和的正弦定理及诱导公式进行化简，再根据sin0C，求出tanA的值，即可确定角A的大小；（2）利用余弦定理及三角形的面积公式，求出b和c，结合正弦定理即可得sinsinBC+的值.【详解】（1）∵3cos

sin3aCcAb+=，∴由正弦定理可得3sincossinsin3sinACCAB+=，又ABC++=，∴()BAC=−+，则()()sinsinsinBACAC=−+=+，∴()3sincossinsin3sinACCAA

C+=+，即sinsin3cossinACAC=，∵0C，则sin0C，∴tan3A=，又∵0A，∴3A=.（2）∵13a=，∴由余弦定理得，2222cosabcbcA=+−，即2213bcbc=+−，∵ABC面积为33，∴

12bc.3332=，即12bc=，∴221312bcbcbc=+−=，解得43bc==或34bc==，由正弦定理得，()sin3739sinsinsinsin726213bcABCAA

bcaaa+=+=+==.【点睛】本题考查了正弦定理和余弦定理在解三角形中的应用，考查了三角形的面积计算公式，考查了转化能力和计算能力，属于中档题.18.某校在高一部分学生中调查男女同学对某项体育运动的喜好情况，其二维条形图如图（黑色代表喜好，白色代表不喜

好）.（1）写出22列联表；（2）能否有99%的把握认为喜好这项体育运动与性别有关；（3）在这次调查中从喜好这项体育活动的一名男生和两名女生中任选两人进行专业培训，求恰是一男一女的概率.附：()()()()()22nadbcKabcdacbd−=++++()20PKk0.250.0100.00

50.0010k5.0246.6357.87910.83【答案】（1）见解析（2）没有99%把握认为喜好这项体育运动与性别有关（3）23【解析】【分析】（1）观察二维条形图得到所需数据，由此写出22列

联表即可；（2）根据列联表中的数据计算2K，对照数表即可得出结论；（3）通过列举法分别写出任选两人的情况和选一名男生和一名女生的情况，再由古典概型的概率公式计算即可.【详解】（1）观察二维条形图可得，男生总共45人，其中

喜好这项运动的有15人，不喜好的有30人；女生总共45人，其中喜好这项运动的有5人，不喜好的有40人.由此写出列联表如下：列联表：单位；人喜欢不喜欢总计男153045女54045总计207090（2）()229015403056.4296.63545452070K−=.所以没有

99%把握认为喜好这项体育运动与性别有关.（3）设喜好这项体育活动的一名男生和两名女生记为A，B，C.任选两人的情况为：(),AB，(),AC，(),BC，选一名男生和一名女生的情况为：(),AB，(),AC

，所以23P=，即恰是一男一女的概率为23.【点睛】本题考查了列联表的应用以及独立性检验的应用，考查了古典概型的概率计算公式，属于基础题.19.如图，四棱锥PABCD−中，//ABCD，33ABCD==，

2PAPDBC===，90ABC=，且PBPC=.（1）求证：平面PAD⊥平面ABCD；（2）求点D到平面PBC的距离.【答案】（1）证明见解析（2）33【解析】【分析】（1）由线面垂直的判定定理证明BC⊥平面PME，由线面垂直的性质定理可

得PMBC⊥，由线面垂直的判定定理得PM⊥平面ABCD，再由面面垂直的判定定理证明平面PAD⊥平面ABCD即可.（2）由PBCDDBCPVV−−=，利用等体积法，即可求出点D到平面PBC的距离.【详解】（1）解：取AD、BC的中点分别为M、E，连结PM，PE，ME，因为//ABCD，

33ABCD==，所以四边形ABCD为梯形，又M、E为AD、BC的中点，所以ME为梯形的中位线，所以//MEAB，又90ABC=，所以MEBC⊥，因为PBPC=，E为BC的中点所以PEBC⊥，又PEMEE=，PE平面PME，ME

平面PME，所以BC⊥平面PME，又PM平面PME，故PMBC⊥，因为PAPD=，M为AD中点，所以PMAD⊥，又AD，BC不平行，必相交于某一点，且AD，BC都在平面ABCD上，所以PM⊥平面ABCD，又PM平面PAD，则平面PAD⊥平面ABCD

.（2）由（1）及题意知，PM为三棱锥PBCD−的高，22AD=，2ME=，2PM=，故6PE=，1126622PBCSBCPE===△，而1121122BCDSBCCD===△，设点D到平面PBC的距离为h，由等体积法知：11

111263333PBCDDBCPBCDPBCVVSPMShh−−=====△△，解得33h=，所以点D到平面PBC的距离为33.【点睛】本题考查了线面垂直的判定定理、性质定理和面面垂直的

判定定理，考查了三棱锥的体积公式以及利用等体积法求点到面的距离，考查了转化能力与推理能力，属于中档题.20.己知函数()()()lnfxxaxaR=−，它的导函数为()fx.（1）当1a=时，求()fx的零点；（2）若函数()fx存

在极小值点，求a的取值范围.【答案】（1）1x=是()fx的零点；（2）()2,e−−+【解析】【分析】（1）求得1a=时的()fx，由单调性及()10f=求得结果.（2）当0a=时，()1lnfxx=+

，易得()fx存在极小值点，再分当0a时和当0a时，令()()gxfx=，通过研究()gx的单调性及零点情况，得到()gx的零点及分布的范围，进而得到()fx的极值情况，综合可得结果.【详解】（1）

()fx的定义域为()0,+，当1a=时，()()1lnfxxx=−，()1ln1fxxx+=−.易知()1ln1fxxx+=−为()0,+上的增函数，又()1ln1110f=+−=，所以1

x=是()fx的零点.（2）()ln1lnxaafxxxxx+−−==+，①当0a=时，()1lnfxx=+，令()0fx，得1xe；令()0fx，得10xe，所以()fx在10,e上单调递减，在1,e+

上单调递增，符合题意.令()1lnagxxx=−+，则()221axagxxxx+==+.②当0a时，()0gx，所以()gx在()0,+上单调递增.又10gaee=−，()11110aaaageaaee

=−+=+−，所以()gx在()0,+上恰有一个零点0x，且当()00,xx时，()()0fxgx=；当()0,xx+时，()()0fxgx=，所以0x是()fx的极小值点，符合题意.③当0a时，令()0gx=，得xa=−.当()0,xa−）时，()0gx

；当(),xa−+时，()0gx，所以()()()min2lngxgaa=−=+−.若()()2ln0gaa−=+−，即当2ae−−时，()()()0fxgxga=−恒成立，即()fx在()0,+上单调递增，无极值点，不符合题意.若()()2ln0gaa−=+

−，即当20ea−−时，()()11ln101agaaa−=−+−−，所以()()10gaga−−，即()gx在(),a−+上恰有一个零点1x，且当()1,xax−时，()()0fxgx=；当()1xx+时，()()0fxgx

=，所以1x是()fx的极小值点，符合题意.综上，可知2ae−−，即a的取值范围为()2,e−−+.【点睛】本题主要考查导数的综合应用，考查了函数的极值，单调性和函数的导数之间的关系，构造函数研究函数的单调性是解决本题的关键．综合性较强，运算量较大，有一定的难度．21.设抛物线

C:22(0)ypxp=与直线:02plxmy−−=交于A、B两点.（1）当AB取得最小值为163时，求p的值.（2）在（1）的条件下，过点(3,4)P作两条直线PM、PN分别交抛物线C于M、N（M、N不同于点P）两点，且MPN的平分线与x轴平行，求证：直线

MN的斜率为定值.【答案】（1）83p=（2）证明见解析，定值23−.【解析】【分析】（1）先确定直线l过抛物线焦点，再根据抛物线定义求AB，最后根据AB最小值求p的值；（2）先确定PM、PN的斜率互

为相反数，再设直线PM方程，与抛物线联立解得M坐标，类似可得N点坐标，最后利用斜率公式求结果.【详解】（1）由题意知：直线:02plxmy−−=过定点(,0)2p，该点为抛物线焦点.联立222pxmyypx=+=，消去x得：2220ypmyp−−=设1122(,),(,)AxyBxy，

有122yypm+=，212yyp=−2121212()22(1)22ppABxxxxpmyyppm=+++=++=++=+…20,0pm，当0m=时，min2ABp=1623p=，解得83p=（2）证明：由已知可知直线PM

、PN的斜率存在，且互为相反数设3344(,),(,)MxyNxy，直线PM的方程为(3)4ykx=−+.联立2163(3)4yxykx==−+，消去x整理得：231664480kyyk−+−=.又4为方程的一个根，所以3644843

kyk−=，得3161216433kykk−==−同理可得41643yk=−−3434223434341611612333(8)3()16MNyyyykxxyyyy−−=====−−+−−所以直线MN的斜率为定值23−.【点睛】本题考查焦点弦长以及直线与抛物线位置关系，考

查综合分析求解与论证能力，属中档题.（二）选考题：共10分.请考生在第22、23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分.22.在直角坐标系xOy中，已知圆C的参数方程是1cossinxy=+=（为参数）.以O为极点，x轴的非负半轴为极轴建立极

坐标系，直线l的极坐标方程是()sin3cos63+=，射线OM：3=与圆C的交点为O、P两点，OM与直线l的交点为Q.（1）求圆C的极坐标方程；（2）求线段PQ的长.【答案】（1）2cos=（2）5【解析】【分析】（1）圆C的参数方程消去参数，求出圆C的普通方程，由222

xy+=，cosx=，siny=，即可求出圆C的极坐标方程；（2）设点P的极坐标为()11,，将圆C的极坐标方程与射线OM联立，求出P的极坐标，设Q点的极坐标为()22,，联立直线l的极坐标方程与射线

OM的极坐标方程，求出Q的极坐标，即可求得线段PQ的长.【详解】解：（1）由题可得，圆C的普通方程是()2211xy−+=，即2220xyx+−=，又222xy+=，cosx=，siny=，所以圆C的极坐标方程是2cos=.（2）设点P的

极坐标为()11,，则有1112cosπ3==，解得111π3==，1,3P，设Q点的极坐标为()22,，则有()2222sin3cos63π3+==，解得226π3=

=，6,3Q，由于12=，所以125PQ=−=，所以线段PQ的长为5.【点睛】本题考查了圆的参数方程和普通方程的互化以及直角坐标方程与极坐标方程的互化，考查了极坐标系中线段长的求法，考查了转化能力和计算能力，属于中档题.23.已知函数()|21|fxx=−

.（1）解不等式：()(1)4fxfx++；（2）设()(1)()22fxfxgx+=+，求()gx的最小值.【答案】（1）(x−，1][1−，)+；（2）4.【解析】【分析】（1）利用分类讨论法解不等式即可;（2）()(1

)()(1)()22222fxfxfxfxgx++=+…，利用绝对值三角不等式可得其最小值．【详解】（1）原不等式等价于|21||21|4xx−++…，①12x…时，原不等式化为：44x…，得，1x…，②1122x−时，原不等式化为：

24…，得，x，③12x−„时，原不等式化为：44x−…，得，1x−„，综上：(x−，1][1−，)+；（2）()(1)()(1)()22222fxfxfxfxgx++=+…()(1)|21||21|2222fxfxxx++−++==|(2

1)(21)|22xx−−+…2224==，当且仅当()(1)fxfx=+，且(21)(21)0xx−+„，即0x=时，等号成立，故()gx的最小值为4.【点睛】本题考查了绝对值不等式的解法和绝对值三角不等式，考查基本不等式求最值，意在考

查学生对这些知识的理解掌握水平．