【文档说明】【精准解析】高中数学北师大必修4一课三测：1.9三角函数的简单应用含解析【高考】.docx，共(19)页，488.775 KB，由小赞的店铺上传

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以下为本文档部分文字说明：

§9三角函数的简单应用填一填1.三角函数模型的作用三角函数作为描述现实世界中________的一种数学模型，可以用来研究很多问题，在刻画________规律、预测未来等方面发挥重要作用．2．用函数模型解决实际问题的一般步骤收集________―→画________―→选择________

―→求解函数模型―→检验．3．三角函数模型在物理学中的应用在物理学中，当物体做简谐运动时，可以用正弦型函数y＝Asin(ωx＋φ)来表示物体运动的位移y随时间x的变化规律，如下表：符号名称含义A简谐运动的________物体运动时离开平衡位置的最大位移T＝2πω简谐运动的_

_______物体往复运动一次所需的时间f＝1T＝ω2π简谐运动的________单位时间内物体往复运动的次数判一判1.解答三角函数应用题的一般步骤：审题、建模、求解、检验、还原．()2．在解决实际问题时，利用收集的数据作散点图，可精确估计函数模型．(

)3．若函数y＝asinx＋1在x∈[0,2π]上有两个不同零点，则实数a的取值范围是[－1,1]．()4．已知某地区某一天从4～16时的温度变化曲线近似满足函数y＝10sinπ8x－54π＋20，x∈[4,16]，则该地区在这一时段的温差为20℃.(

)5．电流强度I(A)随时间t(s)变化的关系式是I＝5sin100πt＋π3，则当t＝1200s时，电流强度I为5A．()6．单摆从某点开始来回摆动，离开平衡位置O的距离s(cm)和时间t(s)的函数关系式为s＝6sin100πt＋π6，

那么单摆来回摆一次所需的时间为150s()想一想1.解三角函数应用问题的基本步骤是怎样的？2．三角函数的常见应用类型有哪些？提示：(1)三角函数在物理简谐运动问题中的应用．物体的简谐运动是一种常见的运动，它的特点是周而复始，因此可以用三角函数来模拟这种运动状态．(2)三角函数在几何、实际生

活中的圆周运动问题中的应用．物体的旋转显然具有周期性，因此也可以用三角函数来模拟这种运动状态．(3)三角函数在生活中的周期性变化问题中的应用．大海中的潮汐现象、日常生活中的气温变化、季节更替等也具有周期性，因此也常常用三角函数模型来解

决这些问题．思考感悟：练一练1.与图中曲线对应的函数解析式是()A．y＝|sinx|B．y＝sin|x|C．y＝－sin|x|D．y＝－|sinx|2.如图所示，单摆离开平衡位置O的位移s(单位：cm)和时间t(单位：s)的函数关系为s＝6sin2πt＋π6，则单摆在摆动时，

从最右边到最左边的时间为()A．2sB．1sC.12sD.14s3.如图所示为一质点做简谐运动时的图像，则下列判断正确的是()A．该质点的振动周期为0.7sB．该质点的振幅为－5cmC．该质点在0.1s和0.5s时的振动速度最大D

．该质点在0.3s和0.7s时的加速度为零4．振动量y＝2sin(ωx＋φ)(φ<0)的初相和频率分别为－π和32，则它的相位是________．知识点一函数解析式与图像的对应问题1.函数y＝x＋sin

|x|，x∈[－π，π]的大致图像是()2．已知a是实数，则函数f(x)＝1＋asinax的图像不可能是()知识点二三角函数在物理中的应用3.已知弹簧上挂着的小球做上下振动，它离开平衡位置(静止时的位置)的距离h(cm)与时间t(s)的函数关系式

为：h＝3sin(2t＋π4)．(1)求小球开始振动的位置；(2)求小球第一次上升到最高点和下降到最低点的时间；(3)经过多长时间小球往返振动一次？(4)每秒内小球能往返振动多少次？4．已知，如图表示电流强度I与时间t

的关系I＝Asin(ωt＋φ)t≥0，－π2<φ<π2的图像．(1)试根据图像写出I＝Asin(ωt＋φ)的解析式．(2)为了使I＝Asin(ωt＋φ)中t在任意一段1100秒的时间内电流强度I能同时取得最大值|A|与最小值－|A|，那么正整数ω的最小值是多少？知识点三三角函数在

生活中的应用5.车流量被定义为单位时间内通过十字路口的车辆数，单位为辆/分，上班高峰期某十字路口的车流量由函数F(t)＝50＋4sint2(0≤t≤20)给出，F(t)的单位是辆/分，t的单位是分，则下列哪个时

间段内车流量是增加的()A．[0,5]B．[5,10]C．[10,15]D．[15,20]6．某实验室一天的温度(单位：℃)随时间t(单位：h)的变化近似满足函数关系：f(t)＝10－2sinπ12t＋π3，t∈[0,24)，该实验室这一天的最大温差为_______

_________________________.综合知识三角函数模型的建立7.如图，一个水轮的半径为4m，水轮圆心O距离水面2m，已知水轮每分钟转动5圈，当水轮上点P从水中浮现(图中点P0)时开始计算时间．(1)将点P距离水面的高度z(m)表示为时间t(s)的函数；(2)点

P第一次到达最高点需要多长时间？基础达标一、选择题1．已知点P是单位圆上的一个质点，它从初始位置P012，－32开始，按逆时针方向以角速度1rad/s做圆周运动，则点P的纵坐标y关于运动时间t(单位：

s)的函数关系式为()A．y＝sint－π3，t≥0B．y＝sint－π6，t≥0C．y＝－cost－π3，t≥0D．y＝－cost－π6，t≥02.如图所示，单摆从某点开始来回摆动，离开

平衡位置O的距离scm和时间ts的函数关系式为s＝6sin100πt＋π6，那么单摆来回摆动一次所需的时间为()A.150sB.1100sC．50sD．100s3.如图，某港口一天6时到18时的水深变化曲线近似满足函数y＝3sinπ6x＋φ＋

k.据此函数可知，这段时间水深(单位：m)的最大值为()A．5B．6C．8D．104.电流强度I(安)随时间t(秒)变化的函数I＝Asin(ωt＋φ)A>0，ω>0，0<φ<π2的图像如图所示，则当t＝1100秒时，电流强度是()A．－5AB．5AC．53AD．10A

5．一根长l厘米的线，一端固定，另一端悬挂一个小球，小球摆动时，离开平衡位置的位移s(厘米)和时间t(秒)的函数关系是：s＝3cosglt＋π3.已知g＝980厘米/秒，要使小球摆动的周期是1秒，线的长度应当是()A.9

80πcmB.245πcmC.245π2cmD.980π2cm6.如图，设点A是单位圆上的一定点，动点P从点A出发在圆上按逆时针方向旋转一周，点P所经过的AP的长为l，弦AP的长为d，则函数d＝f(l)的图像大致是()7.如图所示是某市夏季某一天从6时到14时的温度变

化曲线，若该曲线近似地满足y＝Asin(ωx＋φ)＋B(A>0，ω>0)，则该市这一天中午12时天气的温度大约是()A．25℃B．26℃C．27℃D．28℃8．下表是某地近30年来月平均气温(℃)的数据统计表

：月份123456789101112平均气温－5.9－3.32.29.315.120.322.822.218.211.94.32.4则适合这组数据的函数模型是()A．y＝acosπx6B．y＝acos(x－1)π6＋k(a>0，k>0)C．y＝

－acos(x－1)π6＋k(a>0，k>0)D．y＝acosπx6－3二、填空题9．国际油价在某一时间内呈现正弦波动规律：P＝Asinωπt＋π4＋60(美元)(t(天)，A>0，ω>0)，现采集到下列信息：最高油价80美元，当t

＝150(天)时达到最低油价，则ω的最小值为________．10．已知某种交流电电流I(A)随时间t(s)的变化规律可以拟合为函数I＝52sin100πt－π2，t∈[0，＋∞)，则这种交流电在0.5s内往复运动的次数为________次．11．某港口在

一天24小时内的潮水的高度近似满足关系式f(t)＝2sin5π12t－π6，其中f(t)的单位为m，t的单位是h，则12点时潮水的高度是________m.12.如图，某地某一天从6h到14h的温度变化曲线近似满足y＝Asin(ωx＋φ)＋b(A>0，ω>0)，则8时

的温度大约为________℃(精确到1℃)．三、解答题13．已知某海滨浴场的海浪高度是时间t(h)的函数，记作y＝f(t).下表是某日各时的浪高数据.t(h)03691215182124y(m)1.51.00.51.01.51.00.50.991.5经

长期观测，y＝f(t)的曲线可近似地看成是函数y＝Acosωt＋b.(1)根据以上数据，求出函数y＝Acosωt＋b的最小正周期T、振幅A及函数表达式．(2)依据规定，当海浪高度高于1米时才对冲浪爱好者开放，请依据(1)的结论，判断一天内的上

午8时到晚上20时之间，有多长时间可供冲浪者进行运动？14．通常情况下，同一地区一天的温度随时间变化的曲线接近函数y＝Asin(ωx＋φ)＋b的图像.2018年1月下旬荆门地区连续几天最高温度都出现在14

时，最高温度为14℃；最低温度出现在凌晨2时，最低温度为零下2℃.(1)求出荆门地区该时段的温度函数y＝Asin(ωx＋φ)＋b(A>0，ω>0，|φ|<π，x∈[0,24))的表达式；(2)1月29日上午9时某高中将举行期末考试，如果温度低于

10℃，教室就要开空调，请问届时学校后勤应该开空调吗？能力提升15.如果某地夏天从8～14时的用电量变化曲线近似满足y＝Asin(ωx＋φ)＋bA>0，ω>0，|φ|<π2，如图所示．(1)求这一段时间的最大用电量和最小用电量；(2)写出这段曲线的函数解析式．

16．估计某一天的白昼时间的小时数D(t)的表达式是D(t)＝k2sin2π365(t－79)＋12，其中t表示某天的序号，t＝0表示1月1日，以此类推，常数k与某地所处的纬度有关．(1)如在波士顿，k＝6，求在波士顿哪

一天白昼时间最长？哪一天最短？(2)估计在波士顿一年中有多少天的白昼时间超过10.5小时？§9三角函数的简单应用一测基础过关填一填1．周期现象周期变化2．数据散点图函数模型3．振幅周期频率判一判1．√2.×3.×4.√5.×6.√练一练1．C2.C3.D4.3πx－π二测考

点落实1．解析：由函数奇偶性的定义可知函数y＝x＋sin|x|，x∈[－π，π]既不是奇函数也不是偶函数.选项A，D中图像表示的函数为奇函数，选项B中图像表示的函数为偶函数，选项C中图像表示的函数既不是奇函数也不是偶函数．答案：C2．解析：本题中函数f(x)＝1

＋asinax的图像受到参数a的影响，这里的a既是振幅变换，也是周期变换，因此必须兼顾处理.当|a|>1时，T＝2π|a|<2π，此时选项B符合要求，而选项D不符合要求.当0<|a|<1时，T＝2π|a

|>2π，此时选项A符合要求.当a＝0时，f(x)＝1，显然选项C符合要求.综上可知，函数f(x)＝1＋asinax的图像不可能是选项D中的图像．答案：D3．解析：(1)令t＝0，得h＝3sinπ4＝322，所以开始振动的位置为平衡位置上方距离平衡位置322cm处．(2)由题意知

，当h＝3时，t的最小值为π8，即小球第一次上升到最高点的时间为π8s；当h＝－3时，t的最小值为5π8，即小球第一次下降到最低点的时间为5π8s.(3)T＝2π2＝π≈3.14，即经过约3.14s小球往返振动一次

．(4)f＝1T≈0.318，即每秒内小球往返振动约0.318次．4．解析：(1)由题图知，A＝300，T＝160－－1300＝150，所以ω＝2πT＝2π150＝100π.因为－ω300

＋φ＝2kπ，k∈Z，所以φ＝ω300＋2kπ＝π3＋2kπ.因为φ∈－π2，π2，所以φ＝π3.所以I＝300sin100πt＋π3(t≥0)．(2)问题等价于T≤1100，即2πω≤1100，所以ω≥200π.所以最小的正整数ω为629.

5．解析：由2kπ－π2≤t2≤2kπ＋π2得4kπ－π≤t≤4kπ＋π(k∈Z)，由于0≤t≤20，所以0≤t≤π或3π≤t≤5π，从而车流量在时间段[10,15]内是增加的．答案：C6．解析：因为f(t)＝10－2sinπ12t＋π

3，所以π3≤π12t＋π3<7π3，当π12t＋π3＝3π2时，即t＝14时，函数f(t)取得最大值为10＋2＝12，当π12t＋π3＝π2时，即t＝2时，函数f(t)取得最小值为10－2＝8，所以一天的最大温差为12－8＝4.答案：4℃7．解析：(1)如图，建立直角坐标

系，设角φ－π2<φ<0是以Ox为始边，OP0为终边的角，OP每秒钟所转过的弧度为5×2π60＝π6，又水轮的半径为4m，圆心O距离水面2m，所以z＝4sinπ6t＋φ＋2.当t＝0时，z＝0，得sinφ＝－12，即

φ＝－π6.故所求的函数表达式为z＝4sinπ6t－π6＋2.(2)令z＝4sinπ6t－π6＋2＝6，得sinπ6t－π6＝1.取π6t－π6＝π2，得t＝4.故点P第一次到达最高点需要4s.三测学业达标1．解析：由题

意，知圆心角∠POP0的弧度数为t·1＝t，则∠POx的弧度数为t－π3，则由任意角的三角函数的定义知，点P的纵坐标y＝sint－π3，t≥0，故选A.答案：A2．解析：依题意得T＝2π100π＝150(s)，故选A.答案：A3．解析：由图可知－3＋k＝2，则k＝5，∴y

＝3sinπ6x＋φ＋5，∴ymax＝3＋5＝8.答案：C4．解析：由图像知A＝10，T2＝4300－1300＝1100.所以ω＝2πT＝100π，所以T＝10sin(100πt＋φ).

1300，10为五点中的第二个点，所以100π×1300＋φ＝π2.所以φ＝π6，所以I＝10sin100πt＋π6，当t＝1100秒时，I＝－5A.答案：A5．解析：由周期T＝2πω＝2πgl＝2πlg，所以小球的摆动周期T＝2πlg，所以l＝g

T2π2，代入g＝980，T＝1，得l＝98012π2＝245π2cm.答案：C6．解析：∵AP为单位圆上的弧，∴l＝∠POA，过O作PA的垂线，则该垂线平分∠POA，则由解直角三角形得|PA|＝2sinl2，则d＝2sinl2，其图像是周期为4π的正弦曲线，故选C.答案：C7

．解析：由题图知，A＝10，B＝20，T＝16，则ω＝π8.由题图不妨取π8×6＋φ＝－π2，则φ＝－5π4，所以y＝10sinπ8x－5π4＋20，所以x＝12时，y≈27，选择C.答案：C8．解析：由题表易知当x＝1时图像处于最低点，且“平衡位置”k>0.故

选C.答案：C9．解析：因为Asinωπt＋π4＋60＝80，sinωπt＋π4≤1，所以A＝20，当t＝150(天)时达到最低油价，即sin150ωπ＋π4＝－1，此时150ωπ＋π4＝

2kπ－π2，k∈Z，因为ω>0，所以当k＝1时，ω取最小值，所以150ωπ＋π4＝32π，解得ω＝1120.答案：112010．解析：因为f＝1T＝ω2π＝100π2π＝50，所以0.5s内往复运动的次数为0.5×50＝25.答案：25

11．解析：当t＝12时，f(12)＝2sin5π－π6＝2sin5π6＝1.答案：112．解析：由图像可得b＝20，A＝10，12T＝14－6＝8，∴T＝16＝2πω⇒ω＝π8，故y＝10s

inπ8x＋φ＋20.∵最低点坐标为(6,10)，∴10sinπ8×6＋φ＋20＝10，得sin3π4＋φ＝－1，于是3π4＋φ＝32π＋2kπ(k∈Z)，∴φ＝34π＋2kπ(k∈Z)，取φ＝34π，得y＝10sinπ8x＋34π＋20.当x

＝8时，y＝10sinπ＋34π＋20＝20－52≈13.故8时的温度大约为13℃.答案：1313．解析：(1)依题意，得T＝12，A＝ymax－ymin2＝0.5，b＝ymax＋ymin2＝1，所以ω＝2π12

＝π6，故y＝12cosπ6t＋1.(2)令y＝12cosπ6t＋1>1，则2kπ－π2<π6t<2kπ＋π2(k∈Z)，所以12k－3<t<12k＋3(k∈Z)，又因为8<t<20，所以9<t<15，所以从9点到15点适合对冲浪爱好者开放

，一共有6个小时．14．解析：(1)由题意知A＋b＝14，－A＋b＝－2，解得A＝8，b＝6，易知T2＝14－2，所以T＝24，所以ω＝π12，则y＝8sinπ12x＋φ＋6.易知8sinπ12·2＋φ＋6＝－2，则sinπ6＋φ＝－1，故π6＋

φ＝－π2＋2kπ，k∈Z，又|φ|<π，得φ＝－2π3，所以y＝8sinπ12x－2π3＋6(x∈[0,24))．(2)当x＝9时，y＝8sinπ12·9－2π3＋6＝8sinπ12＋6<8sinπ6＋6＝10.所以届时学校后勤应该开空调．

15．解析：(1)观察图像知8～14时这一段时间的最大用电量为50万度，最小用电量为30万度．(2)观察图像可知，12T＝14－8＝6，∴T＝12，∴ω＝2πT＝π6.b＝12×(50＋30)＝40，A＝12×(50－30)＝10，∴y＝10sinπ6x＋

φ＋40.将x＝8，y＝30代入上式，解得φ＝π6＋2kπ(k∈Z)，又|φ|<π2，∴φ＝π6.∴所求解析式为y＝10sinπ6x＋π6＋40，x∈[8,14]．16．解析：(1)当k＝6时，D(t)＝3sin2π365(t－79)＋12，当日

昼时间最长时，D(t)取得最大值，即sin2π365(t－79)＝1.此时2π365(t－79)＝π2⇒t≈170，即6月20日(闰年除外)白昼时间最长；当sin2π365(t－

79)＝－1，即2π365(t－79)＝3π2，t＝353时，D(t)取得最小值，也就是12月20日白昼最短．(2)令D(t)＝3sin2π365(t－79)＋12>10.5，即sin2π3

65(t－79)>－12，t∈[0,365]，此时49<t<292，由于292－49＝243，所以在波士顿一年中有243天的白昼时间超过10.5小时．获得更多资源请扫码加入享学资源网微信公众号www.xiangxue100.com