【文档说明】广西钦州市2020-2021学年高二上学期期末考试教学质量监测数学（理）试题 【精准解析】.doc，共(21)页，1.600 MB，由小赞的店铺上传

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-1-钦州市2020年秋季学期教学质量监测高二数学（理科）（考试时间：120分钟；赋分：150分）第Ⅰ卷一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个备选项中，有且只有一项是符合题目要求的.（温馨提示：请在答题卡上作答，在本试卷上

作答无效.）1.下列语句能作为命题是（）A.3比5大B.太阳和月亮C.高二年级的学生D.220xy+=【答案】A【解析】【分析】根据命题定义逐个判断.【详解】根据命题定义：能判断真假的陈述句，A正确，B、C不是陈述句，D不能判断真假.故选：A.2.已知()1,2,1a=−−，()3,,1bm

=−，若ab⊥，则m等于（）A.1B.2C.3D.3【答案】B【解析】【分析】由条件0ab=，求m的值.【详解】ab⊥，0ab=，即()()()132110m+−+−−=，解得：2m=.故选：B3.命题“若29

x=，则3x=”的否命题是（）A.若29x=，则3xB.若29x，则3x-2-C.若3x=，则29xD.若3x，则29x【答案】B【解析】【分析】由题意，根据否命题的形式分析几科得到答案．【详解】否命题是条件和结论都否定，根据题意，命题“

若29x=，则3x=”的否命题是“若29x，则3x”．故选：B【点睛】写一个命题的逆命题、否命题、逆否命题的关键：分清楚原命题的条件和结论，可以先将原命题改写成“若p则q”的形式（写法不一定惟一），再写出其它三

种命题（大前提不变）．4.椭圆2212516xy+=与y轴的交点为P，两个焦点为1F，2F，则12PFF△的面积为（）A.6B.8C.10D.12【答案】D【解析】【分析】由椭圆的方程求出c的值、以及P的坐标，利用三角形的面积公式1112PSyFF

=即可求解.【详解】由椭圆2212516xy+=可得5,4ab==，所以2225163cab=−=−=，令0x=可得4y=，所以()0,4P，所以12PFF△的面积为1211461222PyFF=

=，故选：D5.某班有学生56人，现将所有学生按1，2，3，…，56随机编号，若采用系统抽样的方法抽取一个容量为4的样本，抽得编号为4，a，32，b的学生样本，则ab+=（）A.64B.60C.58D.36【答案】A【解析】-3-【分析】先求出样本间隔，再由样本间

隔求出,ab.【详解】因为样本容量为4，所以样本的间隔为56144=则41418,321446ab=+==+=即184664ab+=+=故选：A6.据统计，某产品的市场销售量y（万台）与广告费用投入x（万元）之间的对应数据的散点图如图所示，由图可知，y与x之间有较强的

线性相关关系，其线性回归方程是0.3yxa=+.预测广告费用投入为10万元时，估计该厂品的市场销售y约为（）A.6.1万台B.5.5万台C.5.2万台D.6万台【答案】B【解析】【分析】算出,xy，代入0.3yxa=+，求出a，即可求解

.【详解】解：由题意知：2456855x++++==，343545y++==，将(),xy代入0.3yxa=+，即40.35a=+，解得：2.5a=，-4-即0.32.5yx=+，将10x=代入得0.3102.55.5y=+=.故选：B.7.在“我爱你，中国”为主题的演讲比赛中，七位评委对

甲参赛选手的评分如图茎叶图所示，去掉一个最高分和一个最低分，所剩数据的方差为（）A.65B.75C.85D.95【答案】C【解析】【分析】根据茎叶图数据，去掉最低分78，最高分94，剩余数据为85，85，8

5，87，88，求出平均数，再求出方差．【详解】由茎叶图可知评委打出的最低分78，最高分94．其余得分为85，85，85，87，88，故平均分为()6858585875=888++++，方差为222183

(8586)(8786)(8886)55−+−+−=．故选：C【点睛】(1)平均数：是指在一组数据中所有数据之和再除以这组数据的个数，表示一组数据集中趋势的量数；(2)方差：是各个数据分别与其平均

数之差的平方的和的平均数，数据和其数学期望（即均值）之间的偏离程度，反映数据离散程度．8.阅读如图所示的程序框图，运行相应的程序，则输出s的值为（）-5-A.4B.8C.16D.32【答案】C【解析】【分析】根据程序框图计算,is，判定6i是否成立，不成立继续循环直到条件成

立输出值即可.【详解】解：第一次循环：2,224,26isi==+==不成立，故进行第二次循环；第二次循环：4,4+48,46isi====不成立，故进行第三次循环；第三次循环：8,8+816,86isi====成立，结束循环，输出16；故选：

C.9.为考察A、B两名运动员的训练情况，下面是A、B两名运动员连续10天完成训练指标任务的综合得分的折线图，给出下列四个结论，其中错误的结论是（）A.第3天至第10天两名运动员综合得分均超过80分；-6-

B.第1天至第7天B运动员的得分逐日提高；C.第2天至第3天A运动员的得分增量大于B运动员的得分增量；D.A运动员第1天至第3天的得分方差大于第2天至第4天的得分的方差.【答案】D【解析】【分析】根据图象，逐一分析选项，即可得答案.【详

解】由图象可得，第3天至第10天两名运动员综合得分均超过80分，故A正确；由图象可得，第1天至第7天B运动员的得分逐日提高，故B正确；第2天至第3天，A运动员得分增量大于2，B运动员得分增量小于2，所以第2天至第3天A运动员的得分增量大于B运动员的得分增量，

故C正确；在1天至第3天的得分统计中，A运动员最小得分78最高得分80，在第2天至第4天的得分统计中，A运动员最小得分78最高得分高于80，所以第1天至第3天方差小于第2天至第4天的方差，故D错误.故选：D10.直三棱柱111ABCABC−中，1

ABACAA==，60BAC=，则1AC与面11BCCB成角的正弦值为（）A.64B.34C.63D.33【答案】A【解析】【分析】过A作AMBC⊥,可证AM⊥平面11BBCC，连接1CM,可知1ACM即为所求线面角，计

算即可求解.【详解】如图，过A作AMBC⊥，连接1CM，-7-在直三棱柱111ABCABC−中，因为11,BBAMBCBBB⊥=所以AM⊥平面11BBCC，故1AC在平面11BBCC上的射影为1MC,所以1ACM为直线1AC与平

面11BBCC所成的角，设1ABACAAa===，又60BAC=所以13,22AMaACa==故1362sin42aACMa==故选：A【点睛】方法点晴：求线面夹角一般有两种方法：（1）几何法：作平面的垂线，找到夹角再用三角函数求解；（2）向量法：建系用空间向量公式求解.11.()4,Mt是

抛物线22ypx=上一点，若点M到抛物线的焦点距离为6，则抛物线的准线方程是（）A.2x=−B.1x=−C.2y=−D.1y=−【答案】A【解析】【分析】利用抛物线的定义求解即可．-8-【详解】抛物线22ypx=的准线方程为2px=−其上一点()4,Mt到抛物线的焦点距离

为6，则462p−−=解得22p−=−，即抛物线的准线方程为2x=−故选：A12.已知双曲线()222210,0xyabab−=，过其右焦点F作x轴的垂线，交双曲线于A、B两点，若双曲线的左焦点

在以AB为直径的圆内，则双曲线离心率的取值范围是（）A.()1,2B.()1,12+C.()2,+D.()12,++【答案】D【解析】【分析】由题将xc=代入双曲线，可求出圆半径，再根据题意可得22bca，即可由此求出离心率

.【详解】由题可得ABx⊥轴，将xc=代入双曲线可得2bya=，以AB为直径的圆的半径为2bAFa=，双曲线的左焦点在以AB为直径的圆内，22bca，即22bac，即222caac−，两边除以2a可得2210ee−−，解得12e−（舍去）或12e+，故双曲线离心率的取值范围是(

)12,++.故选：D.【点睛】本题考查双曲线离心率的取值范围的求解，解题的关键是求出圆半径，根据题意得出22bca.-9-第Ⅱ卷二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.13.命题“xR，使20xa−”是真命题，则a的范围是____

____.【答案】0a.【解析】【分析】等价于2ax在xR恒成立，即得解.【详解】命题“xR，使20xa−”是真命题等价于xR时，2xa恒成立.所以2ax在xR恒成立，所以0a.故答案为：0a【点睛】本题主要考查全称命题的真假求参数的问题的求解，意在考查学生对该知识的理

解掌握水平.14.某高中各年级男、女生人数统计如表：年级人数性别高一高二高三男生592563520女生528517a按年级分层抽样，若抽取该校学生80人中，高二学生有27人，则表中a＝_____．【答案】480；【解析】【分析】

根据分层抽样满足每个个体被抽到的概率是相等的，建立等量关系式，求得结果.【详解】根据题意，由分层抽样方法得8027592528563517520563517a=++++++，解得480a=，-10-故答案为：480.【点睛】该题考查的是有关分层抽样的问题，涉及到的知识点有分层抽样

中按照成比例建立等量关系式求参数，属于基础题目.15.长方体1111ABCDABCD−中，2AB=，11BCAA==，则异面直线BD与1AD所成的角余弦值为__________.【答案】66【解析】【分析】连接11BD，因为11//BDB

D所以11ADB或补角为异面直线BD与1AD所成的角，由余弦定理求解.【详解】如图所示，连接11BD和1AB因为11//BDBD，所以11ADB或补角为异面直线BD与1AD所成的角因为2AB=，11BCAA==，所以22113ABABBB=+

=，12AD=，113BD=由余弦定理得112336cos6223ADB+−==故答案为：66.【点睛】方法点晴：求线线夹角可用几何法：先平移相交找角再用三角知识求解；也可用空间向量公式求解.16.明朝著名易学家来知德创立了以太极图解释一

年、一日之象的图式，一年气象图将二十四节气配以太极图，说明一年之气象.他认为“万古之人事，一年之气象也，春作夏长秋收冬藏，-11-一年不过如此”.下图是来氏太极图，其大圆半径为6，大圆内部的同心小圆半径为2，两圆之间的图案是对称的，若在大圆内随机取一点，则该点落在空

白区域的概率为__________.【答案】59【解析】【分析】设大圆面积为1S，小圆面积为2S，并求出1S、2S，进而求得白色区域的面积()1212SS+，结合面积比即可求解.【详解】设大圆面积为1S，小圆面积2S，则21636S==，2224S==，可得白色区域的面积

为()121202SS+=，所以落在白色区域的概率为()12112052369SSPS+===.故答案为：59.【点睛】本题主要考查了几何概型的概率的计算问题，解决此类问题的步骤：求出满足条件A的基本事件对应的“几何度量()NA”，再求出总的基本事件对应的“几何度量N

”，然后根据()NAPN=求解，着重考查了分析问题和解答问题的能力，属于基础题．三、解答题：本大题共6题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17.已知命题p：2680xx−+，命题q：21mxm−+.(1)若p为假命题，求实数x的取值范围；-12-(2)若p是q的充分条件

，求实数m的取值范围.【答案】(1)(),24,−−+；（2）34mm.【解析】【分析】(1)求解一元二次不等式即可求出实数x的取值范围；(2)把p是q的充分条件，转化为集合的包含关系，列不等式组求解．【详解】解：(1)∵p为假命题，则2

680xx−+成立，解2680xx−+得2x或4x，∴实数x的取值范围是(),24,−−+.(2)∵p是q的充分条件，又∵p：24x，q：21mxm−+，∴2421xxxmxm−+，∴2241mm−+.解得34m≤≤.∴实数m的取值范围是

34mm.【点睛】结论点睛：有关充要条件类问题的判断，一般可根据如下规则判断：(1)若p是q的必要不充分条件，则q对应集合是p对应集合的真子集；(2)若p是q的充分不必要条件，则p对应集合是q对应集合的真子集；(3)若p是q的充分必要条件，则p对应集合与q对应集合

相等；(4)若p是q的既不充分又不必要条件，q对应集合与p对应集合互不包含．18.已知ABC中，点A，B的坐标分别是()1,0A−，()10B,，动点C满足2CACB=.（1）求顶点C的轨迹方程；（2）根据（1）所求得的轨迹方程，求ABC

面积的最大值.【答案】（1）22516()(0)39xyy−+=；（2）43.【解析】【分析】-13-（1）设动点C的坐标为(),xy根据2CACB=，列方程化简即可；（2）因为动点C的轨迹方程是以5,03为圆心，以

43为半径的圆，故当ABC的高为圆的半径时，ABC的面积最大.【详解】解：（1）设动点C的坐标为(),xy，则22(1)CAxy=++，22(-1)CBxy=+，∵2CACB=，所以2222(1)2(1)xyxy++=−

+，化简得22331030xyx+−+=，即动点C的轨迹方程为22516()(0)39xyy−+=.（2）由（1）知，动点C的轨迹是以5,03为圆心，以43为半径的圆（除该圆与x轴的交点之外）.因此，当ABC的高为圆的半径时，ABC的面积最大，此

时114422233ABCSABr===△.【点睛】方法点睛：求轨迹方程的常用方法（1）直接法：如果动点满足的几何条件本身就是一些几何量，如（距离和角）的等量关系，或几何条件简单明了易于表达，只

需要把这种关系转化为,xy的等式，就能得到曲线的轨迹方程；（2）定义法：某动点的轨迹符合某一基本轨迹如直线、圆锥曲线的定义，则可根据定义设方程，求方程系数得到动点的轨迹方程；（3）几何法：若所求轨迹满足某些几何性质，如线段的垂直平分线，角平分

线的性质，则可以用几何法，列出几何式，再代入点的坐标即可；（4）相关点法（代入法）：若动点满足的条件不变用等式表示，但动点是随着另一动点（称之为相关点）的运动而运动，且相关点满足的条件是明显的或是可分析的，这时我们可以用动点的坐标表示相关点的坐标

，根据相关点坐标所满足的方程，求得动点的轨迹方程；（5）交轨法：在求动点轨迹时，有时会出现求两个动曲线交点的轨迹问题，这类问题常常通-14-过解方程组得出交点（含参数）的坐标，再消去参数参数求出所求轨

迹的方程.19.2020年新型冠状病毒肺炎疫情期间，某医院随着医疗工作的有序开展，从2020年3月1日算第一天起，该医院每日治愈的新型冠状病毒肺炎人数y（人）的近5天的具体数据如下表：第x天12345治愈的新型冠状病毒肺炎人数y（人）248m18若在一定时间内，该医院每日治愈的新型冠状

病毒肺炎病人数y与天数x具有相关关系，已知线性回归方程ybxa=+$$$恒过定点()3,9，且51176iiixy==，52155iix==.（1）求m的值和线性回归方程ybxa=+$$$；（2）预测该医院3月11日能否可以实现“单日治愈人数突破40人”的目标？参考公式：12

21niiiniixynxybxnx==−=−，aybx=−$$，x，y为样本平均值.【答案】（1）13m=，4.13.3yx=−；（2）能实现.【解析】【分析】（1）线性回归方程ybxa=+$$$恒过定点()3,9，知9y=故可求13m=；根据参数公式求回归方

程；（2）取11x=代入回归方程计算结果再与40比较即可有结论.【详解】解：（1）由题意，3x=，9y=，∴2481895my++++==，解得13m=，∵51176iiixy==，52155iix==，所以，515222151765394.155535iiiiixyxybxx==−

−===−−，94.133.3aybx=−=−=−，-15-所以线性回归方程为4.13.3yx=−.（2）在4.13.3yx=−中，3月11日即11x=，取11x=.4.1113.341.8y=−=.∵41.840，∴该医院3月11日能实现“单日治愈人数突破40

人”的目标.【点晴】关键点点晴：定点()3,9为回归方程中心点，即3x=，9y=，是求m的关键.20.如图所示，正三棱柱111ABCABC−内接于圆柱1OO，2AB=，14OO=，点P在轴1OO上运动.（1）证明：不论P在何处，总有111BC

PA⊥；（2）当点P为1OO的中点时，求平面1APB与平面111ABC所成的锐二面角的余弦值.【答案】（1）证明见解析；（2）55.【解析】【分析】（1）连接11AO并延长，交11BC于M，通过1111AOBC⊥和111AABC⊥证明11BC⊥平面1

1AOOA，即可得出.（2）以M为坐标原点建立空间直角坐标系，求出平面1APB与平面111ABC的法向量，利用向量关系即可求出.-16-【详解】（1）证明：连接11AO并延长，交11BC于M，∵111ABC△为正三角形，1O为111ABC△外接圆的圆心，∴

111AMBC⊥，∴1111AOBC⊥，又∵在圆柱1OO中，1AA⊥平面111ABC，因为11BC平面111ABC，所以111AABC⊥，又1111AOAAA=，11AO平面11AOOA，1AA平面11AOOA，∴11BC⊥平面11AOOA，不论P在何处，总有1PA平

面11AOOA，所以111BCPA⊥；（2）如图，设BC的中点为N，由已知得1MA，MN，1MB相互垂直，以M为坐标原点建立空间直角坐标系Mxyz−，-17-∵114OOAA==，则1111112ABBCAC===，M为11BC的中点

，求得13AM=，∴1(3,0,0)A，(0,1,4)B，3(,0,2)3P，∴123(,0,2)3AP=−，1(3,1,4)AB=−，设平面1APB的一个法向量为(),,nxyz=，则有1100nAPnAB==

，即23203340xzxyz−+=−++=，取1x=，解得33y=−，33z=，得33(1,,)33n=−，∵1OP⊥面111ABC，可得平面111ABC的一个法向量为()10,0,2mOP==，∴22223

53cos,5332133nmnmnm===+−+，-18-故所求锐二面角的余弦值为55.【点睛】利用法向量求解空间面面角的关键在于“四破”：第一，破“建系关”，构建恰当的空间直角坐标系；第

二，破“求坐标关”，准确求解相关点的坐标；第三，破“求法向量关”，求出平面的法向量；第四，破“应用公式关”.21.为了了解某工厂生产的产品情况，从该工厂生产的产品随机抽取了一个容量为200的样本，测量它们的尺寸（单位：mm），数据分为)92,94，)94,96，)96

,98，)98,100，)100,102，)102,104，104,106七组，其频率分布直方图如图所示.（1）根据频率分布直方图，求200件样本中尺寸在)96,98内的样本数；（2）记产品尺寸在)98,102内为A等品，每件可获利6元；产品尺寸

在)92,94内为不合格品，每件亏损3元；其余的为合格品，每件可获利4元.若该机器一个月共生产2000件产品.以样本的频率代替总体在各组的频率，若单月利润未能达到9000元，则需要对该工厂设备实施升级改造.试判断是否需要对该工厂设备实施升级改造.【答案】（1）48件；（2）需要对该工厂

设备实施升级改造.【解析】【分析】（1）根据评论分布直方图面积之和为1列等式计算得0.12x=，用200乘以)96,98内的频率即可得出答案；-19-（2）根据题意计算A等品760件，不合格品有80件，进而

得合格品有1160件，根据题意计算其利润与9000比较判定需要对该工厂设备实施升级改造.【详解】解：（1）因为(0.020.040.060.070.090.10)21x++++++=，解得0.12x=，所以200件样本中尺寸在)96,98内的样本数为2000

.12248=（件）.（2）由题意可得，这批产品中优等品有2000(0.090.10)2760+=件，这批产品中不合格品有20000.02280=件，这批产品中合格品有2000760801160−−=件，760611

6048038960+−=元.所以该工厂生产的产品一个月所获得的利润为8960元，因为89609000，所以需要对该工厂设备实施升级改造.【点睛】频率分布直方图中的常见结论（1）众数的估计值为最高矩形的中点对应的横坐

标；（2）平均数的估计值等于频率分布直方图中每个小矩形的面积乘以小矩形底边中点的横坐标之和；（3）中位数的估计值的左边和右边的小矩形的面积和是相等的.22.已知椭圆标准方程为()222210xyabab+=，椭圆的左、右焦分别为()11,0F−、()21,0F，N

为椭圆上的点，且1222NFNF+=.过点2F且斜率为()0kk的直线l与椭圆交于P、Q两点.（1）求椭圆方程；（2）若1F在以PQ为直径的圆M上，求直线l的方程和圆M的方程.【答案】（1）2212xy+=；（2）7(1)

7yx=−，2227128()9981xy−++=.【解析】【分析】（1）根据焦点坐标，结合椭圆的定义以及椭圆的性质求出,ab的值，从而可得椭圆方程；-20-（2）设直线l方程为()(1)0ykxk=−，与椭圆方程联立，利用韦达定理结合110FPFQ=，求得77k=，从而可得

直线方程，利用中点坐标公式与直线方程求出圆心坐标，利用两点间距离公式求出半径，从而可得圆的方程.【详解】（1）由已知得1c=，12222NFNFa+==，∴22a=，2221bac=−=，所以椭圆标准方程为2212xy+=.（2）由已知，直线l过点()21,0F且斜率为()0kk，所

以可设直线l方程为()(1)0ykxk=−，设()11,Pxy、()22,Qxy，联立方程组()222222(1)12422012ykxkxkxkxy=−+−+−=+=，2122412kxxk+=+，21222212kxxk−=+，因为以PQ

为直径的圆M恰好经过点1F，∴11FPFQ⊥，∴110FPFQ=，所以()()1212110xxyy+++=，化简得()()()22212121110kxxkxxk++−+++=，()22222222241(1)102121kkkkkkk−++−++=++，化简得2710

k−=，解得77k=或77k=−（舍去），直线l的方程是7(1)7yx=−.-21-此时，2122222129Mxxkxk+===+，727(1)799My=−=−.2222127128(1)()9981rMF==++−=.∴圆M的方程是2227128()9981xy−++=

.【点睛】方法点睛：求椭圆标准方程的方法一般为待定系数法,根据条件确定关于,,abc的方程组，解出,,ab，从而写出椭圆的标准方程．解决直线与椭圆的位置关系的相关问题，其常规思路是先把直线方程与椭圆方程联立，消元、

化简，然后应用根与系数的关系建立方程，解决相关问题．涉及弦中点的问题常常用“点差法”解决，往往会更简单.