【文档说明】天津市红桥区2023届高三二模数学试题含解析.docx，共(20)页，1.205 MB，由小赞的店铺上传

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高三数学本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，共150分，考试用时120分钟.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考号填写在答题卡上，并在规定位置粘贴考试用条形码.答题时，务必将答案涂写在答题卡上，答在试卷上的无效.参考

公式：柱体的体积公式VSh=柱体，其中S表示柱体的底面积，h表示柱体的高.锥体的体积公式13VSh=椎体，其中S表示锥体的底面积，h表示锥体的高.球的体积公式343VR=球，其中R表示球的半径.第Ⅰ卷注意事项：1.每小题选出答案后，

用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.2.本卷共9题，每小题5分，共45分.一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合

{0}Axx=∣，210Bxx=−∣，则AB=（）A.{01}xx∣B.{1}xx−∣C.{10}xx−∣D.{0}xx∣【答案】B【解析】【分析】利用一元二次不等式的解法及并集的定义即可求解.【详解】由210x−，即()()110xx

−+，解得11x−，所以11Bxx=−∣.所以111{0}AxBxxxxx==−−∣∣∣.故选：B.2.设Ra，则“0a”是“||0a”的（）A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条

件D.既不充分也不必要条件【答案】A【解析】【分析】利用绝对值的定义及充分条件必要条件的定义即可求解.【详解】由题意可知，00aa，0a0a或a<0，即0a不能推出0a，所以“0a”是“||0a

”的充分不必要条件.故选：A.3.用与球心距离为1的平面去截球，所得的截面面积为π，则球的体积为（）A.43π3B.42π3C.83π3D.82π3【答案】D【解析】【分析】利用圆的面积公式和球心到截面圆的距离、截面圆半径及球

的半径的关系，结合球的体积公式即可求解.【详解】设截面圆的半径为r，球的半径为R,由题意可知222ππ1rRr==+，解得1r=，2R=，所以球的体积为()334482ππ2π333VR===.故选：D.4.函数()()222cosx

xxfxx−+=+的部分图象大致为（）A.B.C.D.【答案】C【解析】【分析】根据题意，分析可得函数()fx为奇函数且当0x时，有()0fx，利用排除法分析可得答案.【详解】解：根据题意，对于函数(

)()222cosxxxfxx−+=+，有()()()()()()22222cos2cosxxxxxxfxfxxx−−−++−==−=−+−+，即函数()fx为奇函数，排除A、B；当0x时，有()()220

2cosxxxfxx−+=+，排除D；故选：C.【点睛】思路点睛：函数图象的辨识可从以下方面入手：(1)从函数的定义域，判断图象的左右位置；从函数的值域，判断图象的上下位置．(2)从函数的单调性，判断图象的变化趋

势；(3)从函数的奇偶性，判断图象的对称性；(4)从函数的特征点，排除不合要求的图象.5.若log2x•log34•log59=8，则x=A.8B.25C.16D.4【答案】B【解析】【分析】由换底公式将原式化为：lg2lg2lg2lg3x2l

g3lg5=8，进而得到lgx=2lg5=lg25.【详解】∵log2x•log34•log59=8，∴lg2lg2lg2lg3x2lg3lg5=8，∴lgx=2lg5=lg25，∴x=25．故选B．【点睛】对数化简的原则:（1）尽量将真数

化为“底数”一致的形式；（2）将同底的多个对数的和（差）合成积（商）的对数；（3）将积（商）的对数分成若干个对数的和（差）．对数的换底公式:loglog(0,1;0,1;0)logcbcNNbbccNb=且且.6.设函数()()sincos0fxxx=+的最小正周期为，将

()yfx=的图象向左平移8个单位得函数()ygx=的图象，则A.()02gx在，上单调递减B.()344gx在，上单调递减C.()02gx在，上单调递增D.()344gx在，上单调递增【答案】A【解析】【详解】，则，解得，即；()yf

x=的图象向左平移8个单位得函数的图象；当时，，所以()02gx在，上单调递减.7.已知双曲线22221(0,0)xyabab−=的右焦点F与抛物线28yx=的焦点重合，过F作与一条渐近线平行的直线l，交另一条渐近线于点A，交抛物线28yx=的准线于点

B，若三角形AOB（O为原点）的面积33，则双曲线的方程为（）A.221124xy−=B.221412xy−=C.2213xy−=D.2213yx−=【答案】D【解析】【分析】由抛物线方程得出焦点坐标和准线方程，联立直线l与渐近线方程得出A的坐标，联立直线与准线方程得出B的坐标，根据三角形的

面积得出3ba=，再结合2c=，222cab=+，可解得结果.【详解】由28yx=得4p=，所以(2,0)F，所以直线:(2)blyxa=−，抛物线的准线为：2x=−，联立(2)byxabyxa=−=−可得1xbya==−，所以(1,)bA

a−，联立(2)2byxax=−=−可得24xbya=−=−，所以4(2,)bBa−−，所以14141()(12)21222OABbbbbSaaaa=++−−3ba=，所以333ba=，所以3ba=，即3ba=，又2c=，222cab=+，所以2243aa

=+，所以21a=，所以2233ba==，所以双曲线的方程为2213yx−=.故选：D.【点睛】本题考查了抛物线和双曲线的几何性质，考查了三角形的面积，考查了运算求解能力，属于基础题.8.已知()fx是定义在R上的

偶函数且在[0,)+上为减函数，若12log3af=，()1.10.9bf=，()1.20.9cf=，则（）A.cbaB.bacC.cabD.bca【答案】A【解析】【分析】根据偶函数的定义及对数的运算，利用指数对数函

数的性质及函数的单调性即可求解.【详解】因为()fx是偶函数，所以()()1222log3log3log3afff==−=，由22log3log21=，由指数函数的性质知，函数0.9xy=在R上单调递减，且1.11.2，所以1.11.210.9

0.90，所以1.11.22log310.90.90，因为()fx在[0,)+上为减函数，所以()()()1.11.22log30.90.9fff，即abc.故选：A.9.已知菱形ABCD的边长为2，120BAD=，点E在边BC

上，3BCBE=，若G为线段DC上的动点，则AGAE的最大值为（）A.2B.83C.103D.4【答案】B【解析】【分析】利用向量数量积的定义及数量积的运算，结合向量的线性运算即可求解.【详解】由题意可知，如图所示因

为菱形ABCD的边长为2，120BAD=，所以2ABAD==,1cos1202222ABADABAD==−=−，设,0,1DGDC=，则的AGADDGADDCADAB=+=+=+，因为3BCBE=，所以1133BE

BCAD==,13AEABBEABAD=+=+,()2211(1)333AGAEADABABADADABADAB=++=+++()22110222123333=+++−=−,当1=时，AGAE的最大值为83.故选：B.【点睛

】关键点睛：解决此题的关键是利用向量的线性运算求出,AGAE，结合向量数量积定义和运算即可.第Ⅱ卷二、填空题：本大题共6个小题，每小题5分，共30分.10.若i是虚数单位，则复数1i1i+=−______.【答案】i【解析】【分析】直接根据复数的除法运算即可得解.【详解】解：()()()

()1i1i1ii1i1i1i+++==−−+.故答案为：i.11.若二项式22()nxx+的展开式共7项，则展开式的常数项为__________.【答案】60【解析】【分析】根据二项展开式中的项数比二项式指数多1，求

出n，再求出二项式的通项公式并整理后可令x的指数为0，即可求得常数项．【详解】∵二项式22()nxx+的展开式共7项，∴6n=，∴该二项式展开式的通项公式为666136222rrrrrrrTCxCxx+−−==，令

630r−=，解得2r=，则该二项式展开式的常数项为2206260Cx=.故答案为：60.12.已知直线380xy−+=和圆222(0)xyrr+=相交于,AB两点．若||6AB=，则r的值为_____

____．【答案】5【解析】【分析】根据圆的方程得到圆心坐标和半径，由点到直线的距离公式可求出圆心到直线的距离d，进而利用弦长公式22||2ABrd=−，即可求得r．【详解】因为圆心()0,0到直线380xy−+=的距离8413d==+，由2

2||2ABrd=−可得22624r=−，解得=5r．故答案为：5．【点睛】本题主要考查圆的弦长问题，涉及圆的标准方程和点到直线的距离公式，属于基础题．13.已知x，Ry+，451xy+=，则11332xyxy+++的最小值______．【答

案】4【解析】【分析】将()1111332332332xyxyxyxyxyxy+=++++++++展开，利用基本不等式即可求解.【详解】()1111332332332xyxyxyxyxyxy+=++++++

++3233232224332332xyxyxyxyxyxyxyxy++++=+++=++++，当且仅当323332451xyxyxyxyxy++=+++=即11417xy==，11332xyxy+++的最小值为4，故答案为：414.随着我国经济发展越来越好，外出

旅游的人越来越多，现有两位游客慕名来天津旅游，他们分别从“天津之眼摩天轮、五大道风景区、古文化街、意式风情街、海河观光游船、盘山风景区”这6个景点中随机选择1个景点游玩，记事件A为“两位游客中至少有一人选择天津之眼摩天

轮”，事件B为“两位游客选择的景点不同”，则()PA=________，()PBA=∣________.【答案】①.1136②.1011【解析】【分析】根据古典概型概率公式求出(),()PAPAB，再由条件概率公式()(

)()PABPBAPA=∣求解即可.【详解】由题意，两位游客从6个景点中随机选择1个景点游玩，每人都有6种不同的选法，故共有6636=(种)不同的选法.两人都不选择天津之眼摩天轮的方法有5525=(种)，故两位游客中至少有一人选择天津之眼摩天轮的方法共有362511−

=(种)，所以故两位游客中至少有一人选择天津之眼摩天轮的概率11()36=PA.AB表示两位游客中至少有一人选择天津之眼摩天轮，且两位游客选择的景点不同，即一人选择天津之眼摩天轮，另一人选择其它景点，共有1125AA10=(

种)选法，故105()3618PAB==，所以5()101811(1())136∣===PABPAPBA.故答案为：1136；1011.15.若函数()0.52log,0143,1xxfxxxx=−+−，

函数()()gxfxkx=−有两个零点，则实数k的取值是__________．【答案】0和423−【解析】【分析】根据图象以及判别式求得正确答案.【详解】由()()0gxfxkx=−=得()fxkx=，即()yfx=与ykx=

的图象有两个公共点，画出(),yfxykx==的图象如下图所，由图可知，当0k=时，()yfx=与ykx=有两个公共点，当0k时，()yfx=与ykx=有一个公共点，当0k时，由243ykxyxx==−+−消去y并化简得()2430xkx+−+=，由()22443840kkk

=−−=−+=，解得423k=−或423k=+（结合图象可知不符合，舍去），综上所述，()()gxfxkx=−有两个零点，则实数k的值是0和423−故答案为：0和423−三、解答题：本大题共5个小题，共75分.解答写出文字说明、证明过程或演算步骤.16.在△ABC中,内角A

,B,C所对的边分别是a,b,c.已知sin3sinbAcB=,a=3,2cos3B=.(Ⅰ)求b的值;(Ⅱ)求sin23B−π的值.【答案】(Ⅰ)6b=(Ⅱ)45318+【解析】【详解】(Ⅰ)在△ABC中，由sinsinabAB=可得，sinsin,bAaB=又由sin3sin,bA

cB=可得3ac=，又3a=，故1c=，由22222cos,cos3bacacBB=+−=，可得6b=.(Ⅱ)由2cos3B=得，5sin3B=，进而得21cos22cos19BB=−=，45sin22sincos9

BBB==，所以sin23B−=453sin2coscos2sin3318BB+−=.本题第（Ⅰ）问，因为sin3sinbAcB=,所以由边角互化结合余弦定理即可求出边b；第(Ⅱ)问，由平方关系、二倍角公式、两

角差的正弦公式可以求出结果.在解三角形中，遇到边角混和式，常常想边角互化.对三角函数及解三角形的题目，熟练三角部分的公式是解答好本类题的关键，日常复习中加强基本题型的训练.【考点定位】本小题主要考查同角三角函数的基本关系、二倍角的正弦与余弦公式、两

角差的正弦公式以及正弦定理、余弦定理等基础知识，考查基本运算求解能力.17.如图，在底面是矩形的四棱雉PABCD−中，PA⊥平面ABCD，2PAAB==，4BC=，E是PD的中点.（1）求证：平面PCD⊥平面PAD；（2）求平面EAC与平

面ACD夹角的余弦值；（3）求B点到平面EAC的距离.【答案】（1）证明见解析（2）23（3）43【解析】【分析】（1）根据已知条件建立空间直角坐标系，求出相关点的坐标，利用两向量的数量积的坐标表示及线面垂直的判定定理，结合面面垂直的判定定理即可求解；（2）求出平面EAC与平面ACD的法向量，利用

向量的夹角公式及面面角的定义即可求解；（3）根据（2）得出平面EAC的法向量，利用点到平面的距离公式即可求解.【小问1详解】由题可知，以A为原点，建立空间直角坐标系Axyz−，如图所示则(0,0,0),(2,0,0),(2,4,0),(0,4,0),(0,2,1),(0,0,2).ABCD

EP所以(2,0,0),(0,4,0),(0,0,2),(2,0,0),ABADAPCD====−(0,2,1),(2,4,0),AEAC==所以()2004000,CDAD=−++=即CDAD⊥,所以()2000020,CDAP=−++

=即CDAP⊥,又ADAPA=,,ADAP平面PAD,所以CD⊥平面PAD,又CD平面PCD，所以平面PCD⊥平面PAD.【小问2详解】设平面AEC的法向量为(),,nxyz=，则.0.0nAEnAC==，即20240yzxy+=+=

，令2x=，则1,2xz=−=，所以()2,1,2n=−，由题意知，PA⊥平面ABCD，平面ACD的法向量为()0,0,2AP=,设平面EAC与平面ACD夹角的，则42coscos,323||||nAPnAP

nAP====，所以平面EAC与平面ACD夹角的余弦值为23.【小问3详解】由（2）知，平面AEC法向量为()2,1,2n=−，()2,0,0AB=设B点到平面EAC的距离为h，则()()22222102043212nABhn+−+===+−+，所以B点到

平面EAC的距离为43.18.已知椭圆()222210xyabab+=，点52,52Paa在椭圆上，（1）求椭圆的离心率.（2）设A为椭圆的右顶点，O为坐标原点，若Q在椭圆上且满足AQAO=，求直线OQ的斜率的值.【答案】（1）64（2）5【解析】【分析】（1）根据椭圆过点

52,52Paa，代入方程即可化简求出离心率；（2）设直线OQ的斜率为k，点Q坐标为00(,)xy，联立椭圆方程可得0x，再由AQAO=得出0x，即可建立关于k的方程求解即可.【小问1详解】∵点P（55a,22a）在椭圆上

,∴225aa+222ab=1整理得22ba=58.∴e=ca=22ca=222aba−的=221ba−=518−=64.【小问2详解】由题意可知，点A坐标(,0),||.aAOa−=设直线OQ的斜率为k，则其方程为ykx=，设点Q坐标为00(,)xy，则00220

0221ykxxyab=+=，消去0y，整理得2220222abxkab=+①由||||AQAO=得222200()xakxa++=.整理得2200(1)20kxax++=.由于00x,得0

221axk=−+②把②代入①得()22241ak+=22222abkab+,整理得22222(1)44akkb+=+由(1)知22ab=85,故22232(1)45kk+=+即42522150kk−−=,解得25k=.为∴直线OQ的斜率5k=.19.

已知等差数列na满足32341,2,SSaa=+=+其中nS为na的前n项和，递增的等比数列nb满足：11b=，且1b，2b，34b−成等差数列．（1）求数列na、nb的通项公式；（2）设nnab的前n项和为nT，求nT（3）设1(4)()nnnnaCSnb+++=，

nC的前n项和为nA，若1nAn+恒成立，求实数的最大值．【答案】（1）21nan=−；13nnb−=；（2）(1)31nnTn=−+；（3）53．【解析】【分析】(1)设等差数列的公差为d，由已知条件，结合等差数列的通项公式和求和公式可得11112213

23322adaddaad+=+++=++，从而可求出首项和公差，即可求出通项公式；设等比数列nb公比为q，由已知条件结合等比数列的通项公式即可求出公比，从而可求出nb的通项公式.(2)由错位相减法即可求出前n项和nT.(3)由(1)可知2nSn=

，整理可得()111313nnnCnn−=−+，由裂项相消法可得nA=()1113nn=−+，由1nAn+恒成立可得()113nn+−恒成立，结合()113nn+−的单调性即可求出实数的最大值.【详解】解：(1

)设等差数列的公差为d，32341,2,SSaa=+=+1111221323322adaddaad+=+++=++，11,2ad==，21nan=−.设等比数列nb公比为q（其中0q），因为11b=，由21324bbb=+−，可得2230qq−−=，

解得3q=或1−（舍去）；所以数列nb的通项公式为13nnb−=.（2）由（1）得()1213nnnabn−=−，则()1221133353233(21)3nnnTnn−−=++++−+−0①．()12313133353233(21)3nnnT

nn−=++++−+−②由①减去②得()123112(3333)213nnnTn−=+++++−−-2，则()()13131221313nnnTn−−=+−−−-2，所以nb的前n项和(1)31nnTn=−+.（3）由(1)可知，()()21112

22nnnnnSandnn−−=+=+=，则()()()()()12232311133133nnnnnnnCnnnnnn−++===−+++()1121111111232333313nnnAn

n−=−+−++−+()()11131nnn=−++恒成立，()113nn+−恒成立，()113nn+−单调递增，1n=时，()min15133nn+−=，5,3最大值为53.【点睛】方法点睛:常见数列求和的方法有：公式法；裂

项相消法；错位相减法；分组求和法等.20.已知函数()lnfxxax=−，()1(0)agxax+=−．（1）若1a=，求函数()fx的极值；（2）设函数()()()hxfxgx=−，求函数()hx的单调区间；（3）若存在01xe，，使得()()00f

xgx成立，求a的取值范围．【答案】（1）极小值为1，无极大值（2）单调递增区间为()1,a++，单调递减区间为()0,1a+.（3）21,1ee++−【解析】【分析】（1）研究()lnfxxx=−单调区间，进而求出

()fx的极值；（2）先求()hx，再解不等式()0hx与()0hx，求出单调区间，注意题干中的0a的条件；（3）先把题干中的问题转化为在1xe，上有()min0hx，再结合第二问研究的()hx的单调区间，对a进行分类讨论，求出

不同范围下的()minhx，求出最后结果【小问1详解】当1a=时，()lnfxxx=−，定义域为()0,+，()111xfxxx−=−=令()0fx=得：1x=，当1x时，()0fx¢>，()fx单调递增；当01x时，()0fx，()fx单调递减，故

1x=是函数()fx的极小值点，()fx的极小值为()11f=，无极大值【小问2详解】()()()()1ln0ahxfxgxxaxax+=−=−+，定义域为()0,+()()()222211111xxaaaxaxahxxxxx+−−+−−−=−−==因为0a，所以10a+，令

()0hx得：1xa+，令()0hx得：01xa+，所以()hx在()1,a++单调递增，在()0,1a+单调递减.综上：()hx单调递增区间()1,a++，单调递减区间为()0,1a+.【小问3详解】存在01xe，，使得()()00

fxgx成立，等价于存在01xe，，使得()00hx，即在1xe，上有()min0hx由（2）知，()hx单调递增区间为()1,a++，单调递减区间为()0,1a+，所以当1ae+，即1ae−时，()hx在1xe，上单调递减，故()hx在xe=处取得最小值，由()(

)min10ahxheeae+==−+得：211ea>e+−，因为2111eee+−−，故211ea>e+−.当11ae+，即01ae−时，由（2）知：()hx在()1,1xa+上单调递减，在()1,xae+上单调递增，()hx在1xe，上的最小值为的为令()()12ln

1haaaa+=+−+因为()0ln11a+，所以()0ln1aaa+，则()2ln12aaa+−+，即()12ha+，不满足题意，舍去综上所述：a的取值范围为21,1ee++−【点睛】导函数中常用的两种常用的转化方法：一是利用导数研究含参函数的单调性，常化

为不等式恒成立问题．注意分类讨论与数形结合思想的应用；二是函数的零点、不等式证明常转化为函数的单调性、极(最)值问题处理．获得更多资源请扫码加入享学资源网微信公众号www.xiangxue100.com