【文档说明】第一次月考测试卷（考试范围：第一章、第二章）（解析版）-2022-2023学年高二数学新教材同步题型+能力+素养练（人教A版2019选择性必修第一册）.docx，共(18)页，1.464 MB，由管理员店铺上传

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第一次月考测试卷学校：班级：姓名：得分：考试范围：人教A版2019选择性必修第一册第一章、第二章一、单选题（每小题3分，共8小题，总计24分）1．空间四边形OABC中，OBOC=，3AOBAOC==，则cos,OABC的值是（）A．12B．22C．12−D．0【答案】D【详

解】解：OBOC=，所以()OABCOAOCOBOAOCOAOB=−=−()1coscos0332OAOCOAOBOAOCOB=−=−=所以0,cosBCOA=，故选：D．2．已知,,abc是空间一个基底，pab=+，qab=−，一定可以与向量p，q构成空间另

一个基底的是（）A．aB．bC．cD．123pq−【答案】C【详解】由题意和空间向量的共面定理，结合向量pq+=（ab+）+（ab−）＝2a，得a与pq，是共面向量，同理b与pq，是共面向量，所以a与b不能与p、q

构成空间的一个基底；又c与a和b不共面，所以c与p、q构成空间的一个基底．故选：C．3．已知空间向量()2,3,1a=−−，()2,0,4b=，()4,6,2c=−r，则下列结论正确的是（）A．ac∥且ab∥B．ab⊥且ac⊥C．

ac∥且ab⊥D．以上都不对【答案】C【详解】由题，因为2ca=−，故ac∥，又2230140ab=−−+=rr，故ab⊥故选：C4．如图所示，在正方体1111ABCDABCD−中，O是底面正方形ABCD的中心，M是1DD的中

点，N是11AB的中点，则直线NO，AM的位置关系是（）A．平行B．相交C．异面垂直D．异面不垂直【答案】C【详解】以D为坐标原点，DA，DC，1DD的方向分别为x，y，z轴的正方向建立空间直角坐标系.设正方体的棱长为2，则()2,0,0A，()0,0,1M，()1,1,0O，()2,1,2N

.∴()1,0,2NO=−−，()2,0,1AM=−，∴0NOAM=，∴直线NO，AM异面垂直.故选：C5．已知()3,1A，()1,2B，若直线20xay+−=与线段AB没有公共点，则实数a的取值范围是（）A．1(,1),2−−+B．11

,2−C．(,2)(1,)−−+D．(2,1)−【答案】A【详解】直线20xay+−=过点()2,0C，画出图象如下图所示，20212BCk−==−−，10132ACk−==−，由于直线20xay

+−=与线段AB没有公共点，当0a=时，直线2x=与线段AB有公共点，不符合题意，当0a时，直线20xay+−=的斜率为1a−，根据图象可知1a−的取值范围是()()2,00,1−，所以a的取值范围是1(,1),2−−+.故选：

A6．已知直线:10lxy+−=，则下列结论正确的是（）A．直线l的倾斜角为4B．向量(1,1)v=是直线l的一个方向向量C．过点(1,3)与直线l平行的直线方程为40xy++=D．若直线:10mxy−+=，则lm⊥【答案】D【详解】对于A

：:10lxy+−=的斜率为1k=−，所以直线l的倾斜角为34，故A错误；对于B：因为直线0axbyc++=的方向向量为(,)vba=−或(,)vba=−，所以:10lxy+−=的方向向量为(1,1)v=−或(1,1)v=−，故B错

误；对于C：因为与直线:10lxy+−=平行的直线方程可设为0xym++=，又直线过点(1,3)，故130m++=，解得4m=−，故所求直线为40xy+−=，故C错误；对于D：:10mxy−+=，:10lxy+−=

，则1,1,1lmlmkkkk=−==−，所以lm⊥，故D正确；故选：D7．若直线1:60lxay++=与()2:2320laxya−++=平行，则1l与2l之间的距离为（）A．23B．2C．3D．823【答案】D【详解】依题意，由(2)30aa−−=解

得3a=或1a=−，当3a=时，直线1:360lxy++=，2:360lxy++=，直线1l与2l重合，不符合题意，即3a，当1a=−时，直线1:60lxy−+=，22:03lxy−+=，直线1l与2l平行，则1a

=−，所以1l与2l之间的距离222|6|82331(1)d−==+−.故选：D8．在平面直角坐标系xOy中，已知()30M，，302N，，动点()Qxy，满足2QMQN=，直线l：()()()2141100mxmymm+−−+−=与动点Q

的轨迹交于A，B两点，记动点Q轨迹的对称中心为点C，则当ABC面积最大时，直线l的方程为（）A．yx=B．yx=−C．1yx=−+D．122yx=−【答案】A【详解】解：设()Qxy，，由题意得2222(3)23()2xyxy−+=

−+，化简可得动点Q的轨迹方程为22(1)1xy−+=，圆心为()10C，，半径为1r=．又由()()214110mxmym+−−+−=，可得()()12410xymxy+−+−+=．则由102410xyxy+−=−+=，，解得1212xy=

=，所以直线l过定点1122P，，因为22111(1)()1222−+=，所以点1122P，在圆C的内部．作直线CDl⊥，垂足为D，设02PCD=

，，因为22112(1)()222PC=−+=，所以2coscos2CDPC==，所以222121(cos)21cos22AB=−=−，所以()22211221121coscoscos1222222ABCS=−=−−+，所以当2cos

1=，即0=时，()max12ABCS=．此时CPl⊥，又1021112CPk−==−−，所以直线l的斜率为1k=，所以直线l的方程为yx=，故选：A．二、多选题（每小题3分，共4小题，总计12分）9．已知正三棱柱111ABCABC−中，2AB=，11A

A=，M为AB的中点，点P在线段1BC上，则下列结论正确的是（）A．直线1//BC平面1AMCB．A和P到平面1AMC的距离相等C．三棱锥1PAMC−的体积为33D．不存在点P，使得1APAC⊥【答案】ABD【详解】对于A中，如图所示，连

接11,ACAC交于点O，连接OM，因为111ABCABC−为正三棱柱，所以其侧面都是矩形，所以O为1AC的中点，又因为M是AB的中点，所以1//OMBC，由OM平面1AMC，且1BC平面1AMC，所以1//BC平面1AMC，所以A正确；对于B中，

在1ABC，因为AP交OM于点N，1//OMBC，AMMB=，所以ANNP=，因为AN与PN与平面1AMC成角相等，所以A和P到平面1AMC的距离相等，所以B正确；对于C中，因为底面是正三角形，且M为AB的中点，所以C

MAB⊥，所以22213CM=−=因为1//BC平面1AMC，且P在1BC上，所以111111131313326PAMCBAMCABMCBMCVVVSAA−−−=====，故C错误对于D中，假设存在点P，使得1APAC⊥，令1(1),0,1APABAC

=+−，可得1111(1)ACAPACABACAC=+−，易得1AC和AB所成角为锐角，1AC和1ACuuur所成角为锐角，所以1110,0ACABACAC，所以1111(1)0ACAPACABACAC=+−，，所以不存在点P，使得1APAC⊥，所

以D正确.故选：ABD10．下列说法正确的是（）A．直线()24yaxaaR=−+必过定点()24，B．直线13yx+=在y轴上的截距为1C．直线310xy++=的倾斜角为120°D．过点()23−，且垂直于直线230xy−

+=的直线方程为210xy++=【答案】AD【详解】对于A，直线()24yaxaaR=−+，即(2)4yax=−+，恒过点()24，，A正确；对于B，直线13yx+=，即31yx=−，在y轴上的截距为1−，B不正确；对于C，直线310xy++=的斜率3

3k=−，其倾斜角为150，C不正确；对于D，直线230xy−+=的斜率为12，则垂直于直线230xy−+=的直线斜率为2−，直线方程为：32(2)yx−=−+，即210xy++=，D正确.故选：AD11．圆上的点（2，1）关于直线x＋y＝0的对称点

仍在圆上，且圆的半径为5，则圆的方程可能是（）A．225xy+=B．()()22135xy−+−=C．()2225xy+−=D．()()22115xy−++=【答案】AD【详解】由题意可知圆心在直线x＋y＝0上，设圆心坐标为（a，－a），则()()22215aa−++=，解得a＝0或a＝1

，∴所求圆的方程为()()22115xy−++=或225xy+=,故选：AD．12．已知圆C：()()22532xy−+−=，直线l：1yax=+，则下列说法正确的是（）A．当0a=时，直线l与圆C相离B．若直线l是圆C的一条对称轴，则25a=C

．已知点N为圆C上的动点，若直线l上存在点P，使得45NPC=，则a的最大值为67D．已知()5,32M+，(),Ast，N为圆C上不同于M的一点，若90MAN=，则t的最大值为52124+【答案】ABD【详解】解：当0a=时，直线l：1y=，圆心()5,3C，半径2，圆心C到

直线l的距离22d=，所以直线l与圆心C相离，故A正确；若直线l是圆C的一条对称轴，则直线过圆C的圆心，即351a=+，解得25a=，故B正确；当PN与圆C相切时，NPC取得最大值，只需此时45NPC，即2PC时，故圆心C到直线l的距离251321ada+−=+，解得2

0021a，故C错误；设MN的中点为()00,Qxy，QMC=，则0002costyQAyQMy+=+=+，03sinyCQ=+=232sin+，故2211252125232sin2cos2cos244t++++=−−+，当且仅当60=且点A在点Q正

上方时，等号成立，故D正确．故选：ABD．三、填空题（每小题3分，共4小题，总计12分）13．如图，已知正方体1111ABCDABCD−的棱长为1，E为棱11BC上的动点，则向量AE在向量AC方向上的投影

数量的取值范围为______．【答案】2,22【详解】由已知E为棱11BC上的动点，设111(01)BEBC=uuuruuuur，因为11111111AEABBEABBCABBBBC=+=+=++uuuruu

uruuuruuuruuuuruuuruuuruuuur，所以111111()AEACABBBBCACABACBBACBCAC=++=++uuuruuuruuuruuuruuuuruuuruuuruuuruuuruuuruuuuruuur12cos4512co

s451=+=+，所以向量AE在向量AC方向上投影数量为12+，又01≤≤，112+，21222+，所以向量AE在向量AC方向上投影的数量的取值范围为2,2.2故答案为：2

,2.214．已知()2,Pm−，(),4Qm，()2,3Mm+，()1,1N，若直线//PQ直线MN，则m=_____．【答案】0或1【详解】当2m=−时，直线PQ的斜率不存在，而直线MN的斜率存在，MN与PQ不平行，不合题意；当1m=−时，直线M

N的斜率不存在，而直线PQ的斜率存在，MN与PQ不平行，不合题意；当2m−且1m−时，()4422PQmmkmm−−==−−+，312211MNkmm−==+−+,因为直线//PQ直线MN，所以PQMNkk=，即

4221mmm−=++，解得0m=或1m=,经检验，当0m=时，32,4PQMNPMkkk===,即MN，PQ不重合，同理当1m=时，直线MN，PQ不重合．综上，m的值为0或1．故答案为：0或1．15．已知点PQ，分别在直线1l：20xy++=与直线2l

：10xy+−=上，且1PQl⊥，点()313,3?22AB−−，，，则APPQQB++的最小值为____．【答案】32132+【详解】由平行线距离公式得：33222PQ==，设()2Paa，－－，则3122Qaa+−

，－，所以222232(3)(1)(1)2APPQQBaaaa++=++−+++−−+222232(3)(1)(1)2aaaa=++−++++，设点()()()1310MaaCD，，，－，－，，如下图：则有：2222(3)(1)(1)13a

aaaMCMDCD++−+++=+=(即当DMC、、三点共线时等号成立)，综上，32132APPQQB+++．故答案为：32132+16．已知圆1C：22(1)(1)2xy−+−=，2C：22(4)(2)

1xy−+−=，过原点O作一条射线与圆1C相交于点A，在该射线上取点B，使得2OAOB?，圆2C圆周上的点到点D的距离的最小值为12，则满足该条件的点D所形成的轨迹的周长为___________；BD的最小值为_________.【答案】4.5232−.【详解】第一空：①当点D在圆2

C内时，设(),Dxy，由题意有：()()2211422xy−−+−=，化简得()()221424xy−+−=，即点D的轨迹为以()4,2为圆心，12为半径的圆，故周长为1222r==；②当点D在

圆2C外时，设(),Dxy，由题意有：()()2214212xy−+−−=，化简得()()229424xy−+−=，即点D的轨迹为以()4,2为圆心，32为半径的圆，故周长为32232r==；故所求轨迹的长度为4.故答案为：4第二空：设(),

Bxy，则22OBxy=+，故222OAxy=+，所以2222222222,xyAxyxyxyxy++++即222222,xyAxyxy++，因为A在1C上，故22222222112xyxyxy−+−=++，整理得到：10xy

+−=，故B的轨迹为直线且方程为10xy+−=.①点D的轨迹为以()4,2为圆心，半径12r=的圆时：2C到直线10xy+−=的距离为4215222+−=，故min521521222BD−=−=.②点D的轨

迹为以()4,2为圆心，32为半径的圆时：同①可得，min5232BD-=.综上所述：BD的最小值为5212−或5232−.因为52152322−−，故BD的最小值为5232−.故答案为：4；5232−.四、解答题（共6大题，第

17题～第20题每题8分，第21、22题每题10分，共52分）17．已知三角形的三个顶点的坐标分别是()3,8A､()3,2B−､()3,0C−.(1)求BC边所在直线的方程；(2)求BC边上的中线所在直线的方程.【答案】(1)330xy++=(2)310xy−−=【详

解】(1)解：因为()3,2B−､()3,0C−，所以()21333BCk−==−−−，所以直线BC的方程为()133yx=−+，即330xy++=；(2)解：因为()3,8A，()3,2B−､()3,0C−，所以BC的中点为()0,1D−，所

以()81330ADk−−==−，所以中线AD的方程为13yx+=，即310xy−−=；18．如图，在正四棱柱1111ABCDABCD−中，已知2ABAD==，15AA=，E，F分别为1DD，1BB上的点，且11DEBF==．(

1)求证：BE⊥平面ACF：(2)求点B到平面ACF的距离．【答案】(1)证明见详解.；(2)43.【详解】（1）以D为坐标原点，DA为x轴，DC为y轴，1DD为z轴建立空间直角坐标系，如下图所示：则()()()

()()2,0,0,2,2,0,0,2,0,0,0,1,2,2,4ABCEF,设面ACF的一个法向量为()=,,nxyz，()()=2,2,0,0,2,4ACAF−=，可得00nACnAF==，即22024

0xyyz−+=+=，不妨令1z=则()=2,2,1nBE−−=,BE⊥平面ACF.（2）()=0,2,0AB，则点B到平面ACF的距离为43ABnn=.19．已知圆C经过点A（3，1）、B（－1，3），且它的圆心在直线320xy−−=上.(1)求圆C的标准方程；

(2)若点D为圆C上任意一点，且点E（3，0），求线段ED中点M的轨迹方程.【答案】(1)()()222410xy−+−=；(2)()2255222xy−+−=.【详解】(1)由题可设圆C的标准方程为()()222xaybr−+−

=，则()()()()2222223113320abrabrab−+−=−−+−=−−=，解之得22,4,10abr===，所以圆C的标准方程为()()222410xy−+−=；(2)设M（x，y），D()11,xy，则，由E(3，0)及M为线段ED的中点得：113202

xxyy+=+=，解得11232xxyy=−=又点D在圆C：22(2)(4)10xy−+−=上，所以有()()222322410xy−−+−=，化简得：()2255222xy−+−=．故所求的轨迹方程为()2255222xy−+−=

．20．已知ABC三个顶点分别为()1,7A−−，()3,3B−−，()2,8C−．(1)求经过两边AB和AC的中点的直线的方程；(2)求ABC的外接圆方程．【答案】(1)70xy++=(2)()()222325xy−++=【详解】(1)A

B的中点坐标为()2,5−−，AC的中点坐标为115,22−，所以直线的斜率15521122k−+==−−−，将()2,5−−代入得直线方程为：()52yx+=−+，即70xy++=(2)设圆的一般方程为220xyDxEyF++++=，将三点代入得：1497099330464280

DEFDEFDEF+−−+=+−−+=++−+=解得：4612DEF=−==−，所以圆方程为：2246120xyxy+−+−=，化为标准方程为：()()222325xy−++=21．如

图，在四棱锥P-ABCD中，PC⊥底面ABCD，ABCD是直角梯形，AD⊥DC，AB∥DC，AB=2AD=2CD=2，点E是PB的中点.(1)证明：平面EAC⊥平面PBC；(2)若直线PB与平面PAC所成角的正弦值为33；①求三棱锥P-ACE的体积；②求二面角P-

AC-E的余弦值.【答案】(1)证明见解析；(2)①13；②63【详解】（1）证明：∵PC⊥平面ABCD，AC平面ABCD，∴PCAC⊥.∵2AB=，有1ADCD==，ADDC⊥且ABCD是直角梯形，∴2ACBC==，即222ACBCAB+=，∴ACBC⊥.∵PCBCC=，PC平

面PBC，BC平面PBC，∴AC⊥平面PBC.∵AC平面EAC，∴平面EAC⊥平面PBC（2）①由（1）易知BC⊥平面PAC，∴BPC即为直线PB与平面PAC所成角.∴23sin3BCBPCPBPB

===，∴6PB=，则2PC=∴11111((12)2)22323PACEPACBVV−−===.②取AB的中点G，连接CG，以点C为坐标原点，分别以CG、CD、CP为x轴､y轴､z轴正方向，建立如图所示的空间直角坐标系

，则()0,0,0C，()002P,,，()1,1,0A，()1,1,0B−，11,,122E−，∴()1,1,0CA=，()0,0,2CP=uur，11,,122CE=−设()111,,mxyz=为平面PAC的法向量，则110mCAxy=+=，120mCPz

==，得10z=，取11x=，11y=−，得()1,1,0m=−ur设()222,,nxyz=平面ACE的法向量，则220nCAxy=+=，22211022nCExyz=−+=，取21x=，21y=−，21z=−，得()1,1,1n=−−r.∴()()()1111016cos,323mn+−

−+−==.所求二面角为锐角，二面角PACE−−的余弦值为63.22．已知圆C过坐标原点O和点()6,23A，且圆心C在x轴上.(1)求圆C的方程：(2)设点()10,0M−.①过点M的直线l与圆C相交于P，Q两点，求当PCQ△的面积

最大时直线l的方程；②若点T是圆C上任意一点，试问：在平面上是否存在点N，使得32TMTN=.若存在，求出点N的坐标，若不存在，请说明理由.【答案】(1)22(4)16xy−+=(2)①941002xy++=或941002xy−+=；②不存在，理由见解析.【详解】(1)因为圆C过

坐标原点()0,0O和点()6,23A，且圆心C在x轴上，设圆心(,0)Ca，则()222(6)23aa−+=，解得4a=所以圆心(4,0)C，半径4r=故圆C的方程为22(4)16xy−+=(2)①设圆心到直线的距离为d，则2222216PQrdd=−=−222211616822PCQddSPQ

ddd−+==−=，当且仅当2216dd−=，即22d=时等号成立，设直线l的方程为10xmy=−，则圆心到直线的距离214221dm==+，解得942m=所以直线l的方程为94102xy

=−，即941002xy++=或941002xy−+=②假设存在(,)Nmn，(,)Txy，由32TMTN=，知2294TMTN=代入得22229(10)()()4xyxmyn++=−+−化简整理得222255(1880)18994000xymxn

ymn+−+−++−=又点T在圆上，2280xxy−+=，则22(1840)18994000mxnymn++−−+=所以2218400180994000mnmn+==−−+=解得0n=，但m无解，所以不存在点N，使得32TMTN=。