【文档说明】【精准解析】江苏省南通市西亭高级中学2020届高三下学期学情调研数学试题.doc，共(25)页，2.005 MB，由管理员店铺上传

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江苏省西亭高级中学2020届高三年级第二学期数学试卷一、填空题（本大题共14小题，每小题5分，计70分.不需写出解答过程，请把答案写在答题纸的指定位置上）1.已知集合{2,5},{3,5}AB==，则AB=

____________.【答案】2,3,5【解析】【分析】根据并集的定义计算即可.【详解】由集合的并集，知AB=2,3,5.故答案为：2,3,5【点睛】本题考查集合的并集运算，属于容易题.2.若复数122,2

zizai=+=−（i为虚数单位），且12zz为实数，则实数a=______________.【答案】4【解析】【分析】根据复数的乘法运算法则，求出12zz，由虚部为零，即可求解.【详解】1212,22,

(42)2ziizaizaaz=+=−=++−,12zz为实数，4a=.故答案为:4.【点睛】本题考查复数的代数运算以及复数的分类，属于基础题.3.如图是一个算法的流程图，则输出的a的值是．【答案】9【解析】:试题分析：由题意可得，a是在不断变大的，b是在不

断变小，当程序运行两次时，a=9,b=5，a>b,跳出程序，输出a="9;"考点：算法的流程图的计算4.若曲线(1)xyaxe=+在(0,1)处的切线斜率为-1，则a=___________.【答案】2−【解析】【分析】求出y，并

由0|1xy==−，建立a的方程，即可求解.【详解】,((1)1)xxyyaxeaxae=+=++，011,2xyaa==+=−=−.故答案为:-2.【点睛】本题考查导数的几何意义，属于基础题.5.某同学周末通过抛硬币的方式决定出去看电影还是在家学习，抛一枚硬币

两次，若两次都是正面朝上，就在家学习，否则出去看电影，则该同学在家学习的概率为____________.【答案】14【解析】【分析】采用列举法计算古典概型的概率.【详解】抛掷一枚硬币两次共有4种情况，即（正，正），（正，反），（反，正），（反，反）

，在家学习只有1种情况，即（正，正），故该同学在家学习的概率为14.故答案为：14【点睛】本题考查古典概型的概率计算，考查学生的基本计算能力，是一道基础题.6.已知函数()()()sin20fxx=+关于直线6x=−对称，则()0f=______．【答案】12

【解析】【分析】根据对称轴方程,2xkkZ=+，得到的表示，根据条件中的的范围结合k的取值即可求出的值，最后可计算()0f的值.【详解】因为正弦函数的对称轴为,2xkkZ=+，所以2,62kkZ−

+=+，所以5,6kkZ=+，又因为)0,，所以56=，此时0k=，所以()5sin26fxx=+，所以()510sin62f==.故答案为12.【点睛】已知正弦（或余弦）型函数的对称轴，求解函数中参数的方法：（

1）根据对称轴方程，再利用给定的参数范围去求解参数值；（2）根据对称轴对应的是函数的最值，并利用参数范围求解参数值.7.已知等比数列na的前n项和为nS，若264,,SSS成等差数列，则246aaa+的值为_

_________．【答案】2.【解析】分析：利用264,,SSS成等差数列求出1q=−，由()222144462112aqaaqaaqq+++===可得结果.详解：设na的首项1a，公比为q，1q=时，264,,SSS成等差数列，不合题意；

1q时，264,,SSS成等差数列，()()()6241112111111aqaqaqqqq−−−=+−−−，解得1q=−，()222144462112aqaaqaaqq+++===，故答案为2.点睛：本题主要考查等比数列的基本性质、等比数列的求和公式，意在考查函数与方程思想、计算能

力以及综合运用所学知识解决问题的能力，属于中档题.8.已知△ABC的三边上高的长度分别为2，3，4，则△ABC最大内角的余弦值等于________．【答案】1124−【解析】【分析】不妨设ABC的三边a，b，c上对应的高的长度

分别为2，3，4，由三角形的面积公式可得234abc==，设234abcx===，可得2xa=，3xb=，4xc=，可得A为三角形的最大角，由余弦定理即可计算得解．【详解】解：由题意，不妨设ABC的三边a，b，c上对应的高的长度分别为2，3，4

，由三角形的面积公式可得：111234222abc==，解得：234abc==，设234abcx===，则2xa=，3xb=，4xc=，可得a为三角形最大边，A为三角形的最大角，由余弦定理可得：222222()()(

)11342cos224234xxxbcaAxxbc+−+−===−．故答案为：1124−．【点睛】本题主要考查了三角形的面积公式，余弦定理在解三角形中的应用，考查了计算能力和转化思想，属于基础题．9.若圆柱的底面直径和高都与球的直径相等圆柱、球的表面积分别记为1S、2,S则有12:SS=【答

案】3:2【解析】试题分析：设球的直径为2R，则2212:(222):43:2.SSRRRR=+=考点：球的表面积10.已知椭圆2222:1(0)xyCabab+=和圆222:Oxyb+=,若C上存在点P,使得过点P引圆O的两条切线,切点分别为,AB,满足60APB=,则椭圆

C的离心率的取值范围是.【答案】3[,1)2【解析】【详解】试题分析：连接OP，30OPB=，OBb=，2OPb=，2ba，22244aca−，32e．考点：求椭圆离心率范围点评：求离心率问题关键是找到关于,,abc的齐次方程或不等式．11.在斜三角形A

BC中，63ACAB=，D是BC中点，E在边AB上，2AEBE=，AD与CE交与点O.若ABACAOEC=，则=_____.【答案】152【解析】【分析】作出图形，利用AB、AC表示向量AO、EC，然后利用平面向量数量积的运算律可求得实数的值.【详解】如下图所示，过点D作//DFCE

交AB于点F，则点F为BE的中点，2AEBE=，F为BE的中点，所以24AEBEEF==，45AEAF=，//CEDF，45AOAEADAF==，()()44125525AOADABACABAC==+

=+，23ECACAEACAB=−=−，所以，()()()2221232325315AOECABACACABACABABAC=+−=−+222223215315ABABABACABAC=−+=，由215ABACAOECABAC==，解得1

52=.故答案为：152.【点睛】本题考查利用平面数量积求参数值，考查平面向量数量积运算律的应用，属于中等题.12.已知0a，0b，且31126abab+++，则3abab+的最大值为______.【答案】19【解析】【分析】将不等

式两边同乘以31ab+，再将不等式两边化简，然后利用基本不等式即可求得最大值.【详解】∵0a，0b，且31126abab+++∴()23131126ababab++++∵()31361863631126312156babaababaabbabab+

++=+++++=++++∴()313631311261526276baababababab++++++=++，当且仅当6ab=时取等号.令()310ttab+=，原不

等式转化为2276tt+，解得9t.∴1113139ababtab==++故答案为：19.【点睛】本题考查了基本不等式在求最值中的应用.利用基本不等式求最值时，一定要正确理解和掌握“一正，二定，三相等”的内涵：一正是，

首先要判断参数是否为正；二定是，其次要看和或积是否为定值（和定积最大，积定和最小）；三相等是，最后一定要验证等号能否成立（主要注意两点，一是相等时参数否在定义域内，二是多次用或时等号能否同时成立）.13.设函数()()21fxxaxax

xa=−−−++（0a）．若存在011x−，，使0()0fx，则a的取值范围是____．【答案】[3,22]−−【解析】【分析】存在01,1x−,使()00fx，等价于()min0,1,1fxx−，化简()

fx的解析式，判断()fx的单调性，讨论()fx的单调区间与区间1,1−的关系，求出()fx在1,1−上的最小值，令最小值小于或等于零解出a即可.【详解】存在01,1x−,使()00fx，()min0,1,1fxx−，当xa时,()()()2221221

fxxaaxxaaxaa=−−+++=−++,()fx在(,a−上单调递减；当0ax时,()()2222212221fxxaxaxaxaa=−+++=−−++，()fx在,2aa上

单调递减，在,02a上单调递增；当0x时，()()22221221fxxaxaaxaa=−+++=−+++，()fx在)0,+上单调递增，(1)若12a−，即2a−时，()fx在1,1−上单调递增,()()2min1430fxfaa=−=++,解

得31,32aa−−−−；(2)若102a−，即20a−时，()fx在1,2a−上单调递减，在,12a上单调递增，()2min21022aafxfa==++，解得2222,222aa−−−+−−+，

综上，a的取值范围是3,22−−+，故答案为3,22−−+.【点睛】本题主要考查不等式有解问题以及利用导数研究函数的单调性、求函数最值，考查了分类讨论思想的应用，属于难题.不等式有解问题不能只局限于判别式是

否为正，不但可以利用一元二次方程根的分布解题，还可以转化为()afx有解（max()afx即可）或转化为()afx有解（min()afx即可）.14.已知圆22:4Oxy+=，直线l与圆O交于PQ，两点，()2,2A，若2240APAQ+=，则弦PQ的长度的最大值

为___________.【答案】22【解析】【分析】取PQ的中点为M，由2240APAQ+=可得2216AMOM−=，可得M在20xy++=上，当OM最小时，弦PQ的长才最大.【详解】设M为PQ的中点，()22222(2)APAQAMPQ+=+，即222222APAQAMMQ+=+，即(

)2224022AMOQOM=+−，22204AMOM=+−，2216AMOM−=.设(),Mxy，则()2222(2)(2)16xyxy−+−−+=，得20xy++=.所以min222OM==，max22PQ=.故

答案为：22【点睛】本题考查直线与圆的位置关系的综合应用，考查学生的逻辑推理、数形结合的思想，是一道有一定难度的题.二、解答题（本大题共6小题，计90分.解答应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤，请把答案写在答题纸的指定区域内）15.如图，四棱锥P﹣ABCD的底面为矩形，AB＝2，BC＝

1，E，F分别是AB，PC的中点，DE⊥PA.（1）求证：EF∥平面PAD；（2）求证：平面PAC⊥平面PDE.【答案】（1）证明过程见详解；（2）证明过程见详解.【解析】【分析】（1）设PD的中点为H，连接,AHHF,利用三角形中位线定理、

矩形的性质、平行四边形的判定定理和性质定理，结合线面平行的判定定理进行证明即可；（2）利用相似三角形的判定定理和性质定理，结合线面垂直的判定定理和性质、面面垂直的判定定理进行证明即可.【详解】（1）设PD的中点为H，连接,AHHF,因为F是PC的中点，所以有1//,

2HFDCHFDC=,又因为四棱锥P﹣ABCD的底面为矩形,E是AB的中点,所以有1//,2AEDCAEDC=，因此有//,HFAEHFAE=,所以四边形AEFH是平行四边形，因此有//EFAH,AH平面PAD，EF平面PAD，所以EF∥平面PAD

；（2）在矩形ABCD中，设,ACDE交于点M，因为E是AB的中点,所以22AE=，因为22AEDAADCD==，所以RtDAE∽RtADC，因此ADEACD=，而90ADECDE+=，所以90ACDCDEACDE+=

⊥，而DE⊥PA，,,PAACAPAAC=平面PAC，所以DE⊥平面PAC，而DE平面PDE，因此平面PAC⊥平面PDE.【点睛】本题考查了线面平行的判定定理和面面垂直的判定定理的应用，考查了线面垂直的判定定理的应用，考查了平行四边形的判定和性质，考查了矩形

的性质，考查了相似三角形的判定和性质，考查了推理论证能力.16.已知函数2()13cos2sin()4fxxx=+−−，（1）求()fx的最小正周期和单调递减区间．（2）若方程()0fxm−=在区间[,]4上有两个不同的实数解

，求实数m的取值范围．【答案】（1）T=；7[,]()1212kkkZ++.（2）(2,1]−.【解析】分析：（1）首先利用余弦倍角公式对2sin()4x−进行降次升角，之后借助于诱导公式以及辅助角公式，将函数解析式化简为()2sin(2)3fxx=+

，借助于正弦曲线的性质，利用整体角思维求得结果；（2）研究函数在给定区间上的性质，求得对应的结果.详解：（1）()213cos22sin4fxxx=+−−3cos2cos23cos2sin22xxxx=+−=+

2sin23x=+∴22T==由3222,232kxkkZ+++，解得：7,1212kxkkZ++∴()fx的单调递减区间为：()7,1212kkkZ+

+（2）即()yfx=在区间,4上的图象与直线ym=有两个不同的交点．由（1）知：()fx在7,412上单调减，在7,12上单调增，∴()min7212fxf==−，14f=，()3f=∴当21m−

时，()yfx=在区间,4上的图象与直线ym=有两个不同的交点，即方程()0fxm−=在区间,4上两个不同的实数解．∴m的取值范围为(2,1−．点睛：该题考查的是有关三角函数的综合题，涉及到的知识点有余弦的倍角公式，诱

导公式，辅助角公式，将函数解析式，之后利用整体角思维求得结果，关于第二问，注意应用整体角思维，研究对应区间上的函数图像的走向，从而求得结果.17.在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆C:22221xyab+=(a>b>0)的右焦点为F(1，0)，且过点(1，32)，过点

F且不与x轴重合的直线l与椭圆C交于A，B两点，点P在椭圆上，且满足(0)OAOBtOPt+=＞.(1)求椭圆C的标准方程；(2)若22t=，求直线AB的方程.【答案】(1)22143xy+=；(2)3(1)2yx=−.【解析】【分析】（1）3(1,)2代入椭圆方程，结合,,abc关系，即可求

出椭圆标准方程；（2）设直线l方程，与椭圆联立，利用韦达定理，得出,AB两点的坐标关系，进而求出P点坐标，代入椭圆方程，即可求出直线l方程.【详解】(1)由题意可知，c=1，且221914ab+=又因为222abc=+，解得

2a=，3b=，所以椭圆C的标准方程为22143xy+=；(2)若直线AB的斜率不存在，则易得31,2A，31,2B−，∴()22,02OAOBOP+==，得P(22，0)，显然点P不在椭圆上，舍去；因此设直线l的方程为(1)ykx=−

，设()11,Axy，()22,Bxy，将直线l的方程与椭圆C的方程联立22(1)143ykxxy=−+=，整理得2222(34)84120kxkxk+−+−=，∴2122834kxxk+=+，则由()12122,(2)2OAOBxxkxxOP+=++−=

得()1212,2(2)Pxxxx++−將P点坐示代入椭圆C的方程，得22212123()4(2)6xxkxx+++−=(*)；将2122834kxxk+=+代入等式(*)得234k=∴32k=因此所求直线AB的方程为3(1)2yx=−.【点睛】本题考查椭圆的标准方程，椭圆与

直线的位置关系，,用设而不求的方法解决有关相交弦的问题，属于中档题.18.如图是一幅招贴画的示意图，其中ABCD是边长为2a的正方形，周围是四个全等的弓形.已知O为正方形的中心，G为AD的中点，点P在直线OG上，弧AD是以P为圆心、PA为半径的圆的一部分，OG的延长线交

弧AD于点H.设弧AD的长为l，3()44APH=,,.（1）求l关于的函数关系式；（2）定义比值OPl为招贴画的优美系数，当优美系数最大时，招贴画最优美.证明：当角满足：tan()4=−时，招贴画最优美.【答案】（1）2sinal=，π3π(,)44；（2）证明

见解析【解析】【分析】（1）分类ππ(,)42时，点P在线段OG上，当π3π(,)24时，点P在线段GH上，当π2=时，APa=.求出半径AP后可得弦长；（2）由（1）的分类讨论求得sincos2OPl−=.3(,)44，

令sincos()2f−=，用导数的知识求它的最大值即可得．【详解】解：（1）当ππ(,)42时，点P在线段OG上，sinaAP=；当π3π(,)24时，点P在线段GH上，sin(π)sinaaAP==−；当π2=时，APa=.综上所述，sinaAP=，π3π(,)4

4.所以，弧AD的长22sinalAP==，故所求函数关系式为2sinal=，π3π(,)44.（2）当ππ(,)42时，costansinaaOPOGPGaa=−=−=−；当

π3π(,)24时，costan(π)tansinaaaOPOGGHaaa=+=+=−=−−；当π2=时，OPa=.所以，cossinaOPa=−，π3π(,)44.从而，sincos2OPl−=.记sincos()2f−=，π3π(,)44.

则2(cossin)(sincos)()2f+−−=.令()0f=，得(cossin)sincos+=−.因为π3π(,)44，所以cossin0+，从而sincosc

ossin−=+，显然π2，所以sincostan1πtan()cossintan14−−===−++.记满足πtan()4=−的0=，下面证明0是函数()f的极值点.设()(cossin)(

sincos)g=+−−，π3π(,)44.则()g=(cossin)0−在π3π(,)44上恒成立，从而()g在π3π(,)44上单调递减，所以，当0π(,)4时，()0g，即()0f，()f在0π(,)4

上单调递增；当03π(,)4时，()0g，即()0f，()f在03π(,)4上单调递减.故()f在0=处取得极大值，也是最大值.所以，当满足πtan()4=−时，函数()f即OPl取得最大值，此时招贴画最优美.【点睛

】本题考查三角函数的应用，考查导数的实际应用，用导数求函数的最值．解题关键用分类讨论的方法求出弦的半径和OP．19.设函数()3()()fxxtmxt=−−−，其中t，Rm.（1）若9m=，求()fx的极值；（2）若

曲线()yfx=与直线()42yxt=−−−有三个互异的公共点，求实数m的取值范围.【答案】（1）极大值为63，极小值为63−；（2）()7,+【解析】【分析】（1）把9m=代入()fx后求导，判断()fx的单调性，进而可以求得极值；（2）将公共点转

化为零点问题，构造函数()()3142gxxmx=+−+，求导判断()gx的单调性，结合零点定理即可求出m的取值范围.【详解】（1）当9m=时，()()()39fxxtxt=−−−，()()()()239333fxxtxtxt=−−=−+−−，令()0fx¢=，解得3xt=+，或3x

t=−；当x变化时，()fx¢，()fx的变化情况如下表；x(),3t−−3t−()3,3tt−+3t+()3,t++()fx¢+0﹣0+()fx单调增极大值单调减极小值单调增∴()yfx=的极大值为()()()3339363ft−=−−−=，极小值为()()3339363ft+=+−=−

；（2）由题意，曲线()yfx=与直线()42yxt=−−−有三个互异的公共点，可转化为()()420fxxt+−+=令uxt=−，可得()31420umu+−+=；设函数()()3142gxxmx=+−+，即函数()ygx=有三个不同的零点；()()

231gxxm=+−，当1m£时，()0gx¢³恒成立，此时()gx在R上单调递增，不合题意当1m>时，令()0gx¢=，解得113mx−=−，213mx−=；()0gx¢>，解得1xx，或2xx，()0gx¢<，解得12xx

x，∴()gx在()1,x−和()2,x+上单调递增，在()12,xx上单调递减，∴()gx的极大值为()()321231142039mmgxg−−=−=+；极小值为()()3222

3114239mmgxg−−−==+若()20gx，由()gx的单调性可知，函数()gx至多有两个零点，不合题意；若()20gx，即()32166m−，解得7m此时21mx−，()1

420gm−=，121mx−−，()()21611420gmmm−−=−−−+从而由零点定理知，()ygx=在区间()121,mx−−，()12,xx，()2,1xm−内各有一个零点，符合题意；∴m的

取值范围是()7,+.【点睛】本题主要考查利用导数求函数的单调性和极值，构造函数和零点定理的应用，考查学生的转化和计算能力，属于中档题.20.已知数列｛na｝的首项a1＝2，前n项和为nS，且数列｛nSn｝是以12为公差的等差数列·（1）求数列｛na｝的通项公式；（2）设2nnnba=，*n

N，数列｛nb｝的前n项和为nT，①求证：数列｛nTn｝为等比数列，②若存在整数m，n(m＞n＞1)，使得()()mmnnTmSTnS+=+，其中为常数，且－2，求的所有可能值．【答案】（1）1nan=+；（2）①见证明；②

当n=2，m=4时，λ=-2，当n=2，m=3时，λ=-1.【解析】【分析】（1）先求解等差数列{}nSn的通项公式，再根据1(2)nnnSSan−−=求解{}na的通项公式；（2）①采用错位相减法先求nT，再根据1

1(0)nnTnccTn++=，证明{}nTn为等比数列；②将所给的等式变形，然后得到对应的等量关系，接着分析此等量关系（借助数列的单调性）在什么时候满足即mn、、取什么值时能满足要求.【详解】（1）因为12a=，

所以121S=所以1132(1)222nSnnn=+−=+即21322nSnn==+当2n时，2211311(1)(1)12222nSnnn−=−+−=+−∴11(2)nnnaSSnn−=−=+当n=1

时，12a=，符合上述通项，所以1()nannN=+(2）①因为1()nannN=+，所以2(1)nnbn=+所以23222324...2(1)nnTn=+++++则23412222324...2(1)nnTn+=+++++两式相减，可整理得12nnTn+=

∴+12nnTn=，+12+1nnTnnT=，且141T=所以数列nTn是以4为首项，2为公比的等比数列.②由①可知，12nnTn+=，且由（1）知21322nSnn==+，代入()()mmnnTmSTnS+=+可得21121322213222mnmm

mmnnnn++++=++整理得22232232mnmmnn++=++即：22323222nmnnmm++++=，设2322nnnnc++=，则mncc=则222111(1)3(1)23224222nnnnnnnnnnncc+++++++++

−−−+−=−=因为2−，所以当3n时，2112402nnnnncc++−−−+−=＜，即1nncc+＜因为1mn＞＞，且245143160288cc+++−=−=所以2(5)nccn＞所以24cc=或23c

c=，即n=2，m=4或3当n=2，m=4时，λ=-2，当n=2，m=3时，λ=-1.【点睛】（1）错位相减法求和：能使用错位相减法的数列的通项公式必须满足:（等差数列）（等比数列）的形式；（2）对于数列中探究等式成立的条件的问题解决方法：先

将等式化简，得到一个容易直接证明或者可利用函数或数列性质分析的式子，对此进行分析，然后得出对应结论.21.已知矩阵1031=A，向量18=.求向量，使得2A=.【答案】12=【解析】【分析】由矩阵乘法求出2A，设xy=

，由已知等式得出,xy的方程组，可解得,xy，得向量．【详解】解：因为1031=A，所以2101010313161==A设xy=，则2=A1061xy

=18168xxy=+所以1,68xxy=+=解得12xy==，所以12=.【点睛】本题考查矩阵的乘法运算，掌握矩阵乘法法则是解题基础．22.在

直角坐标系xOy中，直线l的参数方程为32112xtyt==+（t为参数），若以直角坐标系xOy的O点为极点，Ox所在直线为极轴，且长度单位相同，建立极坐标系，得曲线C的极坐标方程为22cos()4=−.（1）求曲线C的直角坐标方程；（2）若直线l与曲线C交于,

AB两点，求线段AB的长度.【答案】（1）22220xyxy+−−=；（2）7【解析】【分析】（1）由公式cossinxy==可得曲线C的直角坐标方程；（2）把直线参数方程化为普通方程，曲线C是圆，因此由垂径定理计算弦长，即求出圆心到直线的距离，由勾股定理计算弦长．【详解】

（1）因为22cos()4=−，所以()22coscossinsin2cossin44=+=+即()22cossin=+.因为222cos,sin,xyxy===+，所以222()xyxy+=+，所以曲

线C的直角坐标方程为22220xyxy+−−=（2）因为直线l的参数方程为32112xtyt==+（t为参数），所以333(3)322xytt−=−+=−，所以l的直角坐标方程为330xy−+=所以圆心()1,1到直线l的距离()21331213d−+=

=+，所以21222274ABd=−=−=，所以线段AB的长度为7【点睛】本题考查极坐标与直角坐标的互化，考查参数方程与普通方程的互化．考查圆的弦长问题．求圆弦长，一般用几何方法，即求出圆心到弦所在直线距离（弦心距），由勾股定理计算弦长．23.如图，在三棱锥P-ABC中，AC⊥BC，且，AC

=BC=2，D，E分别为AB，PB中点，PD⊥平面ABC，PD=3.(1)求直线CE与直线PA夹角的余弦值；(2)求直线PC与平面DEC夹角的正弦值.【答案】(1)20919；(2)3211.【解析】【分析】（1）建

立空间直角坐标系，确定各点坐标，求出,CEPA夹角，即可得结果；（2）求出平面DEC的法向量，其PC与法向量夹角的余弦的绝对值，即为所求角的正弦值.【详解】建立如图所示的空间直角坐标系，易知C(0，0，0)，

A(2，0，0)，D(1，1，0)，E(12，32，32)，P(1，1，3)，()1331,1,3,,,222PACE=−−=设直线CE与直线PA夹角为，则222222139222cos1331(1)(3)222PAC

EPACE−−==+−+−++整理得209cos19=；直线CE与直线PA夹角的余弦值20919；(2)设直线PC与平面DEC夹角为0，设平面DEC的法向量为(,,)mxyz=，因为()1,1,0CD=，133,,222CE=所以

有01330222xyxyz+=++=取1x=，解得1y=−，23z=，即面DEC的一个法向量为2(1,1,)3m=−，()1,1,3CP=，()022222211232sin112113113CPmCPm−+===+++−

+.直线PC与平面DEC夹角的正弦值为3211.【点睛】本题考查用空间向量法求空间角，注意空间角与空间向量角之间的关系，属于中档题.24.设*nN且4n，集合1,2,3,,Mn=的所有3个元素的子集记为312,,,nCAAA．（1）当4n=时，求集合312,,,nCAA

A中所有元素之和S；（2）记im为iA3(1,2,,)niC=中最小元素与最大元素之和，求32018132018CiimC=的值．【答案】（1）30；（2）2019.【解析】【分析】（1）当n=4时，因为含元素1的子集有23C个，同理含2,3,4的子集也各有23C个，从而得到结

果；（2）分类讨论明确最小元素的子集与最大元素的子集个数，从而得到31nCiim=，进而得到结果.【详解】（1）因为含元素1的子集有23C个，同理含2,3,4的子集也各有23C个，于是所求元素之和为()23123430C+++=；（2）集合1

,2,3,,Mn=的所有3个元素的子集中：以1为最小元素的子集有21nC−个，以n为最大元素的子集有21nC−个；以2为最小元素的子集有22nC−个，以1n−为最大元素的子集有22nC−个；以2n−为最小元素的子集有22C个，以3为

最大元素的子集有22C个．∴31nCiim=312nCmmm=+++()()2221221nnnCCC−−=++++()()222312331nnnCCCC−−=+++++()()222312441nnnCCC

C−−=+++++()31nnC==+，3131nCiinmnC==+．32018132018201812019CiimC==+=．【点睛】本题考查了子集的概念，组合的概念及性质，分类讨论的思想方法，考查推理、计算能力．两题中得出

含有相关数字出现的次数是关键．