【文档说明】2025届高考数学一轮复习专练43 空间点、直线、平面之间的位置关系.docx，共(13)页，367.186 KB，由小赞的店铺上传

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温馨提示：此套题为Word版，请按住Ctrl,滑动鼠标滚轴，调节合适的观看比例，答案解析附后。关闭Word文档返回原板块。四十三空间点、直线、平面之间的位置关系(时间:45分钟分值:85分)【基础落实练

】1.(5分)已知两条不同的直线a,b及两个不同的平面α,β,下列说法正确的是()A.若α∥β,a⊂α,b⊂β,则a∥bB.若α∥β,a⊂α,b⊂β,则a与b是异面直线C.若α∥β,a⊂α,b⊂β,则a与b平行或异面D.若α∩β=b,a⊂α,则a与β一定相交【解析】选C.若α∥β,a⊂α,b⊂

β,则直线a,b没有交点,故a与b平行或异面,故A,B错误,C正确;若α∩β=b,a⊂α,当a∥b时,a与β平行,故D错误.2.(5分)(2023·南京模拟)如图所示,在正方体ABCD-A1B1C1D1中,O是底面正方形ABCD的中心,M是CC1的中点,N是C1D1的中点,则下列

说法正确的是()A.ON=BM,且直线ON,BM是异面直线B.ON=BM,且直线ON,BM是相交直线C.ON≠BM,且直线ON,BM是异面直线D.ON≠BM,且直线ON,BM是相交直线【解析】选A.根据题意,设正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为2a,取B

C的中点P,连接C1P,OP,由于OP∥NC1且OP=NC1,则四边形OPC1N是平行四边形,则有ON∥PC1且ON=PC1,在四边形BCC1B1中,边长为2a,P为BC的中点,M是CC1的中点,BM与PC1相交且BM=PC1=√4𝑎2+𝑎2=√5a,

故ON=BM,且直线ON,BM是异面直线.3.(5分)如图,在三棱锥D-ABC中,AC⊥BD,一平面截三棱锥D-ABC所得截面为平行四边形EFGH.已知EF=√2,EH=√5,则异面直线EG和AC所成角的正弦值是

()A.√147B.√77C.√357D.√27【解析】选A.由题意知EH∥FG,又FG⊂平面ADC,EH⊄平面ADC,所以EH∥平面ACD,所以EH∥AC,同理HG∥BD,因为AC⊥BD,所以EH⊥

HG,记EG与AC所成角∠GEH为θ,则sinθ=𝐻𝐺𝐸𝐺=𝐻𝐺√𝐻𝐺2+𝐸𝐻2=√2√7=√147.【加练备选】如图,圆柱的轴截面ABCD为正方形,E为𝐵𝐶⏜的中点,则异面直线AE与BC所成角的余弦值为()A.√33B.√55C.√3

06D.√66【解析】选D.由题意可知AD∥BC,所以∠EAD即为异面直线AE与BC所成的角,设圆柱上、下底面圆心为O,O1,连接OE,OA,ED,不妨设正方形ABCD的边长为2,则AO=√5,从而AE=ED=√6,则cos∠

EAD=1√6=√66,即AE与BC所成角的余弦值为√66.4.(5分)如图是一个正方体的展开图,则在该正方体中()A.直线AB与直线CD平行B.直线AB与直线CD相交C.直线AB与直线CD异面垂直D.直线AB与直线CD异面且所成的角为60°【解析】选D.还原

成几何体如图所示连接AH,BH,则CD∥AH,∠BAH为AB与CD所成的角,显然AB,CD异面且所成的角为60°.5.(5分)已知直三棱柱ABC-A1B1C1,若AB=BC=BB1,AB⊥BC,D是棱CC1的中点,则直线AC与直线B

1D所成角的正切值为()A.√33B.√23C.√62D.√156【解析】选C.若G为BB1的中点,连接CG,AG,又D是棱CC1的中点,所以在直三棱柱ABC-A1B1C1中,CD∥B1G且CD=B1G,即CDB1G为平行四边形,所以CG

∥B1D,则直线AC与直线B1D所成角即为∠ACG,若AB=BC=BB1=2,则CG=AG=√5,AC=2√2,所以cos∠ACG=𝐴𝐶2+𝐺𝐶2-𝐴𝐺22𝐴𝐶·𝐺𝐶=(2√2)2+(√5)2-(√5)22×

2√2×√5=√105,所以tan∠ACG=√62.6.(5分)(多选题)(2023·杭州模拟)如图所示,在正方体ABCD-A1B1C1D1中,O为DB的中点,直线A1C交平面C1BD于点M,则下列结论正确的是()A.C1,M,O三点共线B.C1,M,O,C四点共面C.C1

,O,A,M四点共面D.D1,D,O,M四点共面【解析】选ABC.在正方体ABCD-A1B1C1D1中,O为DB的中点,直线A1C交平面C1BD于点M,在选项A中,因为直线A1C交平面C1BD于点M,所以M∈平面C1BD,M∈直线A1C,

又A1C⊂平面ACC1A1,所以M∈平面ACC1A1,因为O为DB的中点,BD⊂平面C1BD,所以O∈平面C1BD,且O∈平面ACC1A1,又C1∈平面C1BD,且C1∈平面ACC1A1,所以C1,M,O三点共线,故选项A正确;在选项B中,因为C1,M,O三点共线,

所以C1,M,O,C四点共面,故B正确;在选项C中,因为C1,M,O三点共线,所以C1,M,O,A四点共面,故C正确;在选项D中,因为直线OM∩CC1=C1,DD1∥CC1,所以D1,D,O,M四点不共面,故D错误.7.

(5分)如图,在正三棱柱ABC-A1B1C1中,AB=2,AA1=6,D为B1B的中点,则A1B与C1D所成角的余弦值为________.【解析】如图,取A1B1的中点E,连接DE,EC1,在△A1BB1中

,D为B1B的中点,所以DE为中位线,所以DE∥A1B,所以∠EDC1或其补角为A1B与C1D所成的角,在△EDC1中,ED=√32+12=√10,DC1=√32+22=√13,EC1=√22-12=√3,所以cos∠EDC1=

𝐸𝐷2+𝐷𝐶12-𝐸𝐶122𝐸𝐷·𝐷𝐶1=10+13-32×√10×√13=√13013,所以A1B与C1D所成角的余弦值为√13013.答案:√130138.(5分)如图所示,在正三棱柱ABC-A1B1C1中,D是AC的中点,AA1∶AB=√2∶1,则异面直线

AB1与BD所成的角为________.【解析】取A1C1的中点E,连接B1E,ED,AE,在Rt△AB1E中,∠AB1E即为所求,设AB=1,则A1A=√2,AB1=√3,B1E=√32,AE=32,故∠AB1E=60°.答案:60°9.(1

0分)如图,圆锥的顶点为P,底面圆心为O,线段AB和线段CD都是底面圆的直径,且AB⊥CD,取劣弧BC上一点E,使∠COE=π3,连接PE.已知OA=1,PA=2.(1)求该圆锥的体积;【解析】(1)由勾股定理可知:PO=√𝑃𝐴2-𝑂𝐴2

=√4-1=√3,所以圆锥的体积为13·π·12·√3=√3π3;9.(10分)如图,圆锥的顶点为P,底面圆心为O,线段AB和线段CD都是底面圆的直径,且AB⊥CD,取劣弧BC上一点E,使∠COE=π3,连接PE.已知OA=1,PA=2.(2)求异面直线PE

,BD所成角的余弦值.【解析】(2)连接BD,过E作EF∥BD,连接PF,所以∠PEF是异面直线PE,BD所成的角(或其补角),如图所示,因为线段AB和线段CD都是底面圆的直径,且AB⊥CD,所以∠BFE=∠DBO=π4,即∠OFE=3π4,而∠C

OE=π3,所以∠FOE=π6,因此∠OEF=π12,在△OEF中,由正弦定理可知:𝑂𝐹sinπ12=𝑂𝐸sin3π4=𝐸𝐹sinπ6⇒𝑂𝐹sin(π3-π4)=1√22=𝐸𝐹12⇒EF=√22,OF=√2(√22×√32-√22×12

)=√3-12,PF=√𝑃𝑂2+𝑂𝐹2=√3+4-2√34=√4-√32.由余弦定理可知:cos∠PEF=𝑃𝐸2+𝐸𝐹2-𝑃𝐹22𝑃𝐸·𝐸𝐹=4+12-8-√322×2×√22=√2+√68

.【误区警示】空间图形中作出的角无法直观确定是否是锐角,也可能是钝角,书写步骤时应注明,不然容易混淆.【能力提升练】10.(5分)在棱长均相等的四面体OABC中,M,N分别是棱OA,BC的中点,则异面直线MN与AB所成角的大小为()A.30°B.45°C.60°D.90°【解析】选B.取

OB的中点P,AB的中点Q,连接MP,PN,CQ,OQ,由中位线定理可知MP∥AB,则∠PMN(或补角)为异面直线MN与AB所成角,MP∥AB,PN∥OC,OQ⊥AB,CQ⊥AB,且CQ∩OQ=Q,所以AB⊥平面OCQ,则AB

⊥OC,所以PM⊥PN,四面体OABC棱长均相等,则PM=PN,所以△MPN为等腰直角三角形,所以∠PMN=45°.11.(5分)三棱柱ABC-A1B1C1中,AA1与AC,AB所成的角均为60°,∠BAC=90°,且A

B=AC=AA1,则A1B与AC1所成角的正弦值为()A.1B.13C.√33D.√63【解析】选D.如图所示,把三棱柱补形为四棱柱ABDC-A1B1D1C1,连接BD1,A1D1,则BD1∥AC1,则∠A1BD1就是异面直线A1B

与AC1所成的角,设A1B=a,在△A1BD1中,A1B=a,BD1=√3a,A1D1=√2a,所以sin∠A1BD1=√63.12.(5分)(2023·沈阳模拟)我国古代大多数城门楼的底座轮廓大致为上、下两面互相平行,且都是矩形的六面体(如图),现从某城楼中抽象出一几何体ABCD-EFGH,其中

ABCD是边长为4的正方形,EFGH为矩形,上、下底面与左、右两侧面均垂直,EF=4,FG=2,AE=BF=CG=DH,且平面ABCD与平面EFGH的距离为4,则异面直线BG与CH所成角的余弦值为________.【解析】如图,把此六面体补成正

方体,连接AH,AC,由题可知AH∥BG,所以∠AHC是异面直线BG与CH所成角或其补角,在△AHC中,AH=√32+42=5,CH=√12+42+42=√33,AC=4√2,则cos∠AHC=𝐴𝐻2

+𝐶𝐻2-𝐴𝐶22×𝐴𝐻×𝐶𝐻=25+33-322×5×√33=13√33165.答案:13√3316513.(5分)如图,在底面为正方形,侧棱垂直于底面的四棱柱ABCD-A1B1C1D1中,AB=1,若异面直线A1B与AD1所成角的余弦值为910

,则𝐴𝐴1𝐴𝐵的值为________.【解析】连接BC1,A1C1,因为AD1∥BC1,所以异面直线A1B与AD1所成角为∠A1BC1或其补角,令AA1=t(t>0),则A1B=BC1=√𝑡2+1,A1C1=√2,|cos∠A1

BC1|=|(√𝑡2+1)2+(√𝑡2+1)2-(√2)22(𝑡2+1)|=𝑡2𝑡2+1=910,所以t2=9,t=3,即AA1=3,所以𝐴𝐴1𝐴𝐵=3.答案:314.(10分)如图所示,三棱锥P-A

BC中,PA⊥平面ABC,∠BAC=60°,PA=AB=AC=2,E是PC的中点.(1)求证AE与PB是异面直线;【解析】(1)假设AE与PB共面,设平面为α,因为A∈α,B∈α,E∈α,所以平面α即为平面ABE,所以P

∈平面ABE,这与P∉平面ABE矛盾,所以AE与PB是异面直线.14.(10分)如图所示,三棱锥P-ABC中,PA⊥平面ABC,∠BAC=60°,PA=AB=AC=2,E是PC的中点.(2)求异面直线AE与PB所成角的余弦值.【

解析】(2)取BC的中点F,连接EF,AF,则EF∥PB,所以∠AEF(或其补角)就是异面直线AE与PB所成的角.因为∠BAC=60°,PA=AB=AC=2,PA⊥平面ABC,所以AF=√3,AE=√2,EF=√2,cos∠AEF=𝐴𝐸2+𝐸𝐹2-𝐴

𝐹22·𝐴𝐸·𝐸𝐹=2+2-32×√2×√2=14,故异面直线AE与PB所成角的余弦值为14.【素养创新练】15.(5分)“曲池”是《九章算术》记载的一种几何体,该几何体是上、下底面均为扇环形的柱体(扇环是指圆环被扇形截得的部分).现有一个如图所示的曲池,A

A1⊥平面ABCD,AA1=4,底面扇环所对的圆心角为π2,𝐴𝐷⏜的长度是𝐵𝐶⏜长度的2倍,CD=1,则异面直线A1D1与BC1所成角的正弦值为()A.√23B.13C.2√23D.√24【解析】选C.根据题意,连接BC,AD,设AB与CD延长后交于点O(图略),设𝐴𝐷⏜所在圆

的半径为R,𝐵𝐶⏜所在圆的半径为r,由于𝐴𝐷⏜的长度是𝐵𝐶⏜长度的2倍,则R=2r,则B,C分别是边OA和OD的中点,则有BC∥AD,又由AD∥A1D1,则有BC∥A1D1,又由AA1⊥平面ABCD,则CC1⊥平面ABCD,则有CC1⊥BC,△CBC1为直角三角形,故异面

直线A1D1与BC1所成角就是∠CBC1,又由CD=1,则OC=OB=1,故BC=√2,又CC1=4,则BC1=√2+16=3√2,则sin∠CBC1=𝐶𝐶1𝐵𝐶1=43√2=2√23.