【文档说明】专题55 和平行有关的大题证明（解析版）--2021-2022学年七年级数学下册常考点微专题提分精练（苏科版）.docx，共(32)页，1.365 MB，由管理员店铺上传

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专题55和平行有关的大题证明类型一和动点有关1．如图，已知直线12ll∥，直线3l和直线1l，2l交于点C和D，点A、点B分别在直线1l，2l上，点P是直线CD上的一个动点．(1)如果点P运动到C，D之间时

，试探究PAC，APB，PBD之间的关系，并说明理由．(2)若点P在C，D两点的外侧运动时（P点与点C，D不重合），PAC，APB，PBD之间的关系是否发生改变?请说明理由．【答案】(1)∠APB＝∠PAC+

∠PBD(2)∠APB＝∠PBD﹣∠PAC或∠PAC＝∠PBD+∠APB.【解析】【分析】∠APB＝∠PAC+∠PBD.如图（1）所示，过P点作PE∥l1，利用两直线平行内错角相等得到一对角相等，再由

与平行线中的一条平行，与另一条也平行得到PE∥l2，利用两直线平行内错角相等得到一对角相等，等量代换即可得证；∠APB＝∠PBD﹣∠PAC，如图（2）所示，过点P作PE∥l1，同理即可得证；∠PAC＝∠PBD+∠A

PB，如图（3）所示，过点P作PE∥l1，同理即可得证．(1)解：∠APB＝∠PAC+∠PBD.理由为：如图（1），过点P作PE∥l1，∴∠APE＝∠PAC，又∵l1∥l2，∴PE∥l2，∴∠BPE＝∠PBD，∴∠APE+∠BPE＝∠PAC+

∠PBD，即∠APB＝∠PAC+∠PBD；(2)解：分两种情况：第一种情况，当点P在直线l1的上方时，∠APB＝∠PBD﹣∠PAC理由为：如图（2），过点P作PE∥l1，∴∠APE＝∠PAC，又∵l1∥l2，∴PE∥l2，∴∠BPE＝∠

PBD，∴∠APB＝∠BPE﹣∠APE，即∠APB＝∠PBD﹣∠PAC；第二种情况，当点P在直线l2的下方时，∠PAC＝∠PBD+∠APB，理由如下：过点P作PE∥l1，∴∠APE＝∠PAC，又∵l1∥l2，∴PE∥l2，∴∠BPE＝∠PBD，∵∠BPE+∠A

PB＝∠APE，∴∠PAC＝∠PBD+∠APB．【点睛】此题考查了平行线的性质，熟练掌握平行线的判定定理与性质定理是解本题的关键．2．如图，//ABCD，点E是直线AB和直线CD之间动点．（1）图1中，试说明：AECBAEDCE=+．（2）图2

中，当BAE的角平分线与ECD的角平分线交于点F，请直接写出AEC与AFC的数量关系．（3）图3中，当点E在线段上AC，BAE的邻补角平分线与ECD的邻补角平分线交于点F．试判断AF与CF的位置关系，并说明理由．（4）图4

中，若BAE的邻补角平分线与ECD的邻补角平分线交于点F，写出AEC与AFC的数量关系，并说明理由．【答案】（1）证明见解析；（2）2AECAFC=；（3）AFCF⊥，理由见解析；（4）2360AFCAEC+=，理由见解析

【解析】【分析】（1）如图5中，过点E作//EGAB，如图1，由12BAEDCE==，，可得出结果；（2）如图2，由（1）的结论可得AFCBAFDCF=+，由条件可得()12AFCBAEDCE=+，即可得出结果；

（3）如图6，//180ABCDMACACN+=，，由条件和（1）中的结论可得出结果；（4）如图7，由（1）的结论可得到AECBAEDCE=+，()12AFCMAFNCFMAEECN=+=+，再由邻补角的定义可证出结论．【详解】解：（1）过点E作//EGAB，

如图5，////1212ABCDEGCDBAEDCEAECBAEDCE===+=+，，，，；（2）2AECAFC=，如图2，由（1）的结论可得AFCBAFDCF=+，BAE的角平分线与ECD的角平分线交于

点F,()121212122BAFBAEDCFDCEAFCBAEDCEAECBAEDCEAFCAECAECAFC===+=+==，，，，，；（3）AFCF⊥，如图6，//180ABCDMACACN+=

，，BAE的邻补角平分线与ECD的邻补角平分线交于点F，1122MAFMACNCFACN==，，由（1）的结论得到()1902AFCMAFNCFAFCMAFNCFMACACN=+=+=+=，，AFCF⊥；（4）2360AFCAEC+=，如图7，由（1）

的结论可得到()12AECBAEDCEAFCMAFNCFMAEECN=+=+=+，，由邻补角的定义得，180180360MAEBAENCEDAEMAEBAENCEDCE+=+=+++=，，，由

等量代换得出2360AFCAEC+=．【点睛】本题主要考查平行线的性质，角平分线的定义等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造平行线解决问题，有一定的难度，这也属于中考常考题型．3．如图，已知//ABCDP，是直线ABCD，间的一点，PFCD⊥于点FPE，交AB

于点120EFPE=，．（1）求AEP的度数；（2）如图2，射线PN从PF出发，以每秒40的速度绕P点按逆时针方向旋转，当PN垂直AB时，立刻按原速返回至PF后停止运动：射线EM从EA出发，以每秒15的速度绕

E点按逆时针方向旋转至EB后停止运动，若射线PN，射线EM同时开始运动，设运动间为t秒．①当20MEP=时，求EPN的度数；②当//EMPN时，求t的值．【答案】（1）30°；（2）①2803或403；②185秒或5411或9011秒【解析】【分析】（1）通过延长PG

作辅助线，根据平行线的性质，得到90=PGE，再根据外角的性质可计算得到结果；（2）①当20MEP=时，分两种情况，Ⅰ当ME在AE和EP之间，Ⅱ当ME在EP和EB之间，由20MEP=，计算出EM的运动时间

t，根据运动时间可计算出FPN，由已知120FPE=可计算出EPN的度数；②根据题意可知，当//EMPN时，分三种情况，Ⅰ射线PN由PF逆时针转动，//EMPN，根据题意可知15AEMt=，40FPNt=，再平行线的性质可得AEMAHP=，再根据三角形外角和定理

可列等量关系，求解即可得出结论；Ⅱ射线PN垂直AB时，再顺时针向PF运动时，//EMPN，根据题意可知，15AEMt=，//MEPN，15GHPt=，可计算射线PN的转动度数1809015t+−，再根据PN转动可列等量关系，即可求出答案；Ⅲ射线PN垂直

AB时，再顺时针向PF运动时，//EMPN，根据题意可知，15AEMt=，940()2GPNt=−，根据（1）中结论，30PEG=，60PGE=，可计算出PEM与EPN代数式，再根据平行线的性质，可列等量关系，求解可得出结论．【详解

】解：（1）延长FP与AB相交于点G，如图1，PFCD⊥，90PFDPGE==，EPFPGEAEP=+，1209030AEPEPFPGE=−=−=；（2）①Ⅰ如图2，30AEP=，20MEP=，10AEM

=，射线ME运动的时间102153t==（秒)，射线PN旋转的角度2804033FPN==，又120EPF=，8028012033EPNEPFEPN=−=−=；Ⅱ如图3所

示，30AEP=，20MEP=，50AEM=，射线ME运动的时间5010153t==（秒)，射线PN旋转的角度104004033FPN==，又120EPF=，40040120

33EPNFPNEPF=−=−=；EPN的度数为2803或403；②Ⅰ当PN由PF运动如图4时//EMPN，PN与AB相交于点H，根据题意可知，经过t秒，15AEMt=，40FPNt=，/

/EMPN，15AEMAHPt==，又=FPNPGHPHA+，409015tt=+，解得185t=（秒)；Ⅱ当PN运动到PG，再由PG运动到如图5时//EMPN，PN与AB相交于点H，根据题意可知，经过t秒，15AE

Mt=，//EMPN，15GHPt=，9015GPHt=−，PN运动的度数可得，18040GPHt+=，解得5411t=；Ⅲ当PN由PG运动如图6时，//EMPN，根据题意可知，经过t秒，15AEMt=，40180GPNt=−，30A

EP=，60EPG=，1530PEMt=−，24040EPNt=−，又//EMPN，180PEMEPN+=，153040240180tt−+−=，解得9011t=（秒），当t的值为185秒或5

411或9011秒时，//EMPN．【点睛】本题主要考查平行线性质，合理添加辅助线和根据题意画出相应的图形时解决本题的关键．类型二和角分线有关4．已知：AB∥CD．点E在CD上，点F，H在AB上，点G在AB，CD之间，连接FG，EH，GE，

∠GFB=∠CEH．(1)如图1，求证：GF∥EH；(2)如图2，若∠GEH=α，FM平分∠AFG，EM平分∠GEC，试问∠M与α之间有怎样的数量关系（用含α的式子表示∠M）？请写出你的猜想，并加以证明．【

答案】(1)证明见解析过程(2)∠FME=90°-2，证明见解析过程．【解析】【分析】（1）由平行线的性质得到∠CEH=∠EHB，等量代换得出∠GFB=∠EHB，即可根据“同位角相等，两直线平行”得解；（2）过点M作MQ∥AB，过点G作GP∥AB，根据平行线的性

质及角平分线的定义求解即可．(1)）证明：∵AB∥CD，∴∠CEH=∠EHB，∵∠GFB=∠CEH，∴∠GFB=∠EHB，∴GF∥EH；(2)解：∠FME=90°-2，理由如下：如图2，过点M作MQ∥AB，过点G作GP∥AB

，∵AB∥CD，∴MQ∥CD，∴∠AFM=∠FMQ，∠QME=∠MEC，∴∠FME=∠FMQ+∠QME=∠AFM+∠MEC，同理，∠FGE=∠FGP+∠PGE=∠AFG+∠GEC，∵FM平分∠AFG，EM平分∠GEC，∴∠AFG=2∠AFM，∠GEC=2∠MEC，∴∠FGE=

2∠FME，由（1）知，GF∥EH，∴∠FGE+∠GEH=180°，∵∠GEH=α，∴∠FGE=180°-α，∴2∠FME=180°-α，∴∠FME=90°-2．【点睛】此题考查了平行线的判定与性质，熟记平行线的判定与性质及作出合理的辅助线是解题的关键．5

．已知直线12ll//，点A，C分别在1l，2l上，点B在直线1l，2l之间，且90BCNBAM．（1）如图①，求证：ABCBAMBCN=+．阅读并将下列推理过程补齐完整：过点B作//BGNC，因为12ll//，所以//AM________

__（）所以ABGBAM=，CBGBCN=（）所以ABCABGCBGBAMBCN=+=+．（2）如图②，点D，E在直线1l上，且DBCBAM=，BE平分ABC．求证：DEBDBE=；（3）在（2）的条件下，如果CBE的平分线BF与直线1l平行，试确定B

AM与BCN之间的数量关系，并说明理由．【答案】（1）BG；平行于同一条直线的两条直线平行；两直线平行，内错角相等；（2）见解析；（3）3BAMBCN=，理由见解析【解析】【分析】（1）根据平行于

同一条直线的两条直线平行可得//AMBG，再根据平行线的性质即可得结论；（2）过点B作//BGNC，根据12ll//，可得//AMBG，所以DEBEBG=，CBGBCN=，结合（1）即可进行证明；（3）根据DBCDBEEBFFBC=++，//BFAM，可得EB

FDEB=，根据BF平分CBE，可得CBFEBF=，结合（2）可得3DBCFBC=，中根据平行线的性质即可得结论．【详解】（1）解：如图①，过点B作//BGNC，因为12ll//，所以//AMBG（平行于同一条直线的两条直线平行）．所以ABGBAM=

，CBGBCN=（两直线平行，内错角相等）．所以ABCABGCBGBAMBCN=+=+．故答案为：BG，平行于同一条直线的两条直线平形，两直线平行，内错角相等；（2）证明：如图②，过点B作//BGNC，因为12ll//，所以//AMBG，所以DEBEBG=

，CBGBCN=，由（1）知：ABCBAMBCN=+．又DBCBAM=，所以ABCDBCBCN=+．因为ABCABDDBC=+．所以ABDBCN=，所以ABDCBG=，因为BE平分ABC．所以ABEEBC=，所以

DBEEBG=，所以DEBDBE=；（3）解：3BAMBCN=，理由如下：因为DBCDBEEBFFBC=++，//BFAM，所以EBFDEB=，因为BF平分CBE，所以CBFEBF=，由（2）知：DEBDBE=

，所以3DBCFBC=，因为1//CNl，所以//CNBF，所以FBCBCN=，3DBCBCN=，而BAMDBC=，所以3BAMBCN=．【点睛】本题考查了平行线的判定与性质，解答此题的关键是注意平行线的性质和判定定理的综合运用．6．如图，直线AB∥直线CD，线段EF

∥CD，连接BF、CF．（1）求证：∠ABF+∠DCF＝∠BFC；（2）连接BE、CE、BC，若BE平分∠ABC，BE⊥CE，求证：CE平分∠BCD；（3）在（2）的条件下，G为EF上一点，连接BG，若∠BFC＝∠BCF，∠FBG＝2∠ECF，∠

CBG＝70°，求∠FBE的度数．【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析；（3）∠FBE＝35°．【解析】【分析】（1）根据平行线的性质得出∠ABF＝∠BFE，∠DCF＝∠EFC，进而解答即可；（2）由（1）的结论和垂直的定义解答即可；（3）由（

1）的结论和三角形的角的关系解答即可．【详解】证明：（1）∵AB∥CD，EF∥CD，∴AB∥EF，∴∠ABF＝∠BFE，∵EF∥CD，∴∠DCF＝∠EFC，∴∠BFC＝∠BFE+∠EFC＝∠ABF+∠DCF；（2）∵BE⊥EC，∴∠BEC＝90°，∴∠EBC+∠BCE＝9

0°，由（1）可得：∠BFC＝∠ABE+∠ECD＝90°，∴∠ABE+∠ECD＝∠EBC+∠BCE，∵BE平分∠ABC，∴∠ABE＝∠EBC，∴∠ECD＝∠BCE，∴CE平分∠BCD；（3）设∠BCE＝β，∠ECF＝γ，∵CE平分∠BCD，∴∠DCE＝∠

BCE＝β，∴∠DCF＝∠DCE﹣∠ECF＝β﹣γ，∴∠EFC＝β﹣γ，∵∠BFC＝∠BCF，∴∠BFC＝∠BCE+∠ECF＝γ+β，∴∠ABF＝∠BFE＝2γ，∵∠FBG＝2∠ECF，∴∠FBG＝2γ，∴∠ABE+∠DCE＝∠BEC＝90°，∴∠ABE＝90°﹣β，∴∠GBE＝∠ABE﹣∠AB

F﹣∠FBG＝90°﹣β﹣2γ﹣2γ，∵BE平分∠ABC，∴∠CBE＝∠ABE＝90°﹣β，∴∠CBG＝∠CBE+∠GBE，∴70°＝90°﹣β+90°﹣β﹣2γ﹣2γ，整理得：2γ+β＝55°，∴∠FBE＝∠FBG+∠G

BE＝2γ+90°﹣β﹣2γ﹣2γ＝90°﹣（2γ+β）＝35°．【点睛】本题主要考查平行线的性质，解决本题的关键是根据平行线的性质解答．类型三和倍角有关7．如图，AB∥CD，定点E、F分别在直线AB、CD上．（1）如图1，若∠PEB=70°，∠PFD=60°，则∠EPF=______．

（2）如图2，若∠BEQ=13∠BEP，∠DFQ=13∠DFP，探究∠EPF与∠EQF的数量关系，请说明理由．【答案】（1）130°；（2）∠EQF=13∠EPF【解析】【分析】（1）过P点作PH∥AB，进而利用平行线的性质解答即可；（2）过P作PM∥AB，过Q作QN∥AB，进而

利用平行线的性质和解答即可．【详解】解：（1）过P点作PH∥AB，∵AB∥CD，∴PH∥CD，∴∠PEB=∠EPH，∠PFD=∠FPH，∴∠EPF=∠PEB+∠PFD，∵∠PEB=70°，∠PFD=60°，∴∠EPF=70°+60°=130°，故答案

为：130°；（2）∠EPF与∠EQF的数量关系为∠EQF=13∠EPF，过P作PM∥AB，过Q作QN∥AB，∵AB∥CD，∴AB∥CD∥PM，AB∥CD∥QN，∴∠BEP=∠MPE，∠DFP=∠MPF，∠BEQ=∠NQE，∠DF

Q=∠FQN，∴∠BEP+∠DFP=∠MPE+∠MPF=∠EPF，∠BEQ+∠DFQ=∠NQE+∠NQF=∠EQF，∵∠BEQ=13∠BEP，∠DFQ=13∠DFP，∴∠BEQ+∠DFQ=13（∠BEP+∠DFP），∴∠EQF=13∠EPF．

【点睛】本题考查了平行线的性质和判定的应用，注意：①两直线平行，同位角相等，②两直线平行，内错角相等，③两直线平行，同旁内角互补，反之亦然，题目比较好，难度适中．8．点A，C，E在直线l上，点B不在直线l上，把线段AB沿直线l向右平移得到线段CD．（1）如图1，若点E在线

段AC上，求证：B+D=BED；（2）若点E不在线段AC上，试猜想并证明B，D，BED之间的等量关系；（3）在（1）的条件下，如图2所示，过点B作PB//ED，在直线BP，ED之间有点M，使得ABE=EBM，CDE=EDM，同时点F使得ABE=nEBF，CD

E=nEDF，其中n≥1，设BMD=m，利用（1)中的结论求BFD的度数（用含m，n的代数式表示）．【答案】（1）见解析；（2）当点E在CA的延长线上时，∠BED=∠D-∠B；当点E在AC的延长线上时，∠BED=∠BET-∠

DET=∠B-∠D；（3）()12mnn−【解析】【分析】（1）如图1中，过点E作ET∥AB．利用平行线的性质解决问题．（2）分两种情形：如图2-1中，当点E在CA的延长线上时，如图2-2中，当点E在AC的延长线上时，构造平行线，利用平行线的性质求解即可．（3）利用（1）中结论，可得∠B

MD=∠ABM+∠CDM，∠BFD=∠ABF+∠CDF，由此解决问题即可．【详解】解：（1）证明：如图1中，过点E作ET∥AB．由平移可得AB∥CD，∵AB∥ET，AB∥CD，∴ET∥CD∥AB，∴∠B

=∠BET，∠TED=∠D，∴∠BED=∠BET+∠DET=∠B+∠D．（2）如图2-1中，当点E在CA的延长线上时，过点E作ET∥AB．∵AB∥ET，AB∥CD，∴ET∥CD∥AB，∴∠B=∠BET，∠TED=∠D，∴∠BED=∠DET-∠BET=∠D-∠B．如图2-2中，当点E在AC的延长

线上时，过点E作ET∥AB．∵AB∥ET，AB∥CD，∴ET∥CD∥AB，∴∠B=∠BET，∠TED=∠D，∴∠BED=∠BET-∠DET=∠B-∠D．（3）如图，设∠ABE=∠EBM=x，∠CDE=∠EDM=y，∵AB∥CD，∴∠BMD=

∠ABM+∠CDM，∴m=2x+2y，∴x+y=12m，∵∠BFD=∠ABF+∠CDF，∠ABE=n∠EBF，∠CDE=n∠EDF，∴∠BFD=()111nnnxyxynnn−−−+=+=112nmn−=()12mnn−．【点睛】本题属于几何变换综合题，考查了平行线的性质，角平分线的定义

等知识，解题的关键是学会条件常用辅助线，构造平行线解决问题，属于中考常考题型．9．直线AB∥CD，点P为平面内一点，连接AP，CP．（1）如图①，点P在直线AB，CD之间，当∠BAP＝60°，∠DCP＝20°时，求∠A

PC的度数；（2）如图②，点P在直线AB，CD之间，∠BAP与∠DCP的角平分线相交于K，写出∠AKC与∠APC之间的数量关系，并说明理由；（3）如图③，点P在直线CD下方，当∠BAK＝23∠BAP，∠DCK＝23∠DCP时，写出∠AKC与∠A

PC之间的数量关系，并说明理由．【答案】（1）80°；（2）∠AKC＝12∠APC，理由见解析；（3）∠AKC＝23∠APC，理由见解析【解析】【分析】（1）先过P作PE∥AB，根据平行线的性质即可得到∠APE＝∠BAP，∠CPE＝∠DCP，再根据∠APC＝∠APE+∠

CPE＝∠BAP+∠DCP进行计算即可；（2）过K作KE∥AB，根据KE∥AB∥CD，可得∠AKE＝∠BAK，∠CKE＝∠DCK，进而得到∠AKC＝∠AKE+∠CKE＝∠BAK+∠DCK，同理可得，∠AP

C＝∠BAP+∠DCP，再根据角平分线的定义，得出∠BAK+∠DCK＝12∠BAP+12∠DCP＝12（∠BAP+∠DCP）＝12∠APC，进而得到∠AKC＝12∠APC；（3）过K作KE∥AB，根据KE∥AB∥CD，可得∠BAK＝∠AKE，∠DCK＝∠C

KE，进而得到∠AKC＝∠BAK﹣∠DCK，同理可得，∠APC＝∠BAP﹣∠DCP，再根据已知得出∠BAK﹣∠DCK＝23∠BAP﹣23∠DCP＝23∠APC，进而得到∠BAK﹣∠DCK＝23∠APC．【详解】（1）如图1，过P作P

E∥AB，∵AB∥CD，∴PE∥AB∥CD，∴∠APE＝∠BAP，∠CPE＝∠DCP，∴∠APC＝∠APE+∠CPE＝∠BAP+∠DCP＝60°+20°＝80°；（2）∠AKC＝12∠APC．理由：如图2，过K作KE∥AB，∵AB∥CD，∴KE

∥AB∥CD，∴∠AKE＝∠BAK，∠CKE＝∠DCK，∴∠AKC＝∠AKE+∠CKE＝∠BAK+∠DCK，过P作PF∥AB，同理可得，∠APC＝∠BAP+∠DCP，∵∠BAP与∠DCP的角平分线相交于点K，∴∠BAK+∠DCK＝12∠BAP+12∠DCP＝12（∠BAP+∠DCP）＝12∠AP

C，∴∠AKC＝12∠APC；（3）∠AKC＝23∠APC理由：如图3，过K作KE∥AB，∵AB∥CD，∴KE∥AB∥CD，∴∠BAK＝∠AKE，∠DCK＝∠CKE，∴∠AKC＝∠AKE﹣∠CKE＝∠BAK﹣∠DCK，过P作PF∥AB，同理可得，∠APC＝∠BAP﹣∠DCP，

∵∠BAK＝23∠BAP，∠DCK＝23∠DCP，∴∠BAK﹣∠DCK＝23∠BAP﹣23∠DCP＝23（∠BAP﹣∠DCP）＝23∠APC，∴∠AKC＝23∠APC．【点睛】本题考查了平行线的性质和角平分

线的定义，解题的关键是作出平行线构造内错角相等计算．10．如图1，//ABCD，在AB、CD内有一条折线EPF．（1）求证：AEPCFPEPF+=；（2）在图2中，画BEP的平分线与DFP的平分线，两条角平分线交于点Q，请你补全图形，试探索EQF与EP

F之间的关系，并证明你的结论；（3）在（2）的条件下，已知BEP和DFP均为钝角，点G在直线AB、CD之间，且满足1BEGBEPn=，1DFGDFPn=，（其中n为常数且1n），直接写出EGF与EPF的数量关系．【答案】（1）见解析；（2）2360EPFEQF+=；见解

析；（3）360EPFnEGF+=【解析】【分析】（1）过点P作//PGAB，根据平行线性质可得；（2）由（1）结论可得：EPFAEPCFP=+，EQFBEQDFQ=+，再根据角平分线性质可得EQFBEQDFQ=+()13602EPF=−；（3）由（２）结论

可得：()1EGFBEGDFGBEPDFPn=+=+()1360EPFn=−．【详解】（1）证明：如图1，过点P作//PGAB，∵//ABCD，∴//PGCD，∴1AEP=，2CFP=，又∵12EPF+=，∴AEP

CFPEPF+=；（2）如图2，由（1）可得：EPFAEPCFP=+，EQFBEQDFQ=+，∵BEP的平分线与DFP的平分线相交于点Q，∴1()2EQFBEQDFQBEPDFP=

+=+()11360()36022AEPCFPEPF=−+=−，∴2360EPFEQF+=；（3）由（２）可得：EPFAEPCFP=+，EGFBEGDFG=+，∵1BEGBEPn=，1

DFGDFPn=，∴1()EGFBEGDFnGBEPDFP=+=+()11360()360AEPCFPEPFnn=−+=−，∴360EPFnEGF+=；【点睛】考核知识点：平行线性质和判定的综合运用．熟练运用平行线性质和判定是关键．类型四探究不变

11．已知，如图1，射线PE分别与直线AB、CD相交于E、F两点，∠PFD的平分线与直线AB相交于点M，射线PM交CD于点N，设∠PFM=，∠EMF=，且2(35)−+−0=．（1）=____°，=______°；直线AB与CD的位置关系是_______；（

2）如图2，若点G是射线MA上任意一点，且∠MGH=∠PNF，试找出∠FMN与∠GHF之间存在的数量关系，并证明你的结论：（3）若将图中的射线PM绕着端点P逆时针方向旋转（如图3），分别与AB、CD相交于点M和点N，时，作∠PMB的角平分线MQ与射

线FM相交于点Q，问在旋转的过程中1FPNQ的值变不变?若不变，请求出其值；若变化，请说明理由．【答案】（1）35；35；AB∥CD；（2）∠FMN+∠GHF=180°．证明见解析；（3）1FPNQ的值不变，1FPNQ

=2．【解析】【分析】（1）利用非负数的性质可知：==35，推出EMFMFN=∠∠即可解决问题；（2）结论180FMNGHF+=，只要证明//GHPN即可解决问题；（3）结论：1FPNQ的值不变，1FPNQ=2．如图3中，作∠PEM1的平分线交M1Q的延长线

于R，只要证明∠R=∠1FQM，∠1FPM=2∠R即可；【详解】（1）证明：∵2(35)0−+−=，∴==35，∴∠PFM=∠MFN=35°，∠EMF=35°，∴∠EMF=∠MFN，∴AB∥CD；故答案为：35；35；AB∥CD；（2）解：∠F

MN+∠GHF=180°．理由：∵AB∥CD，∴∠MNF=∠PME，∵∠MGH=∠MNF，∴∠PME=∠MGH，∴GH∥PN，∴∠GHM=∠FMN，∵∠GHF+∠GHM=180°，∴∠FMN+∠GHF=180°．（3）解：1FPNQ的值不变，1FPNQ=2．理由：如图3中，作∠PEM1的

平分线交M1Q的延长线于R．∵AB∥CD，∴∠PEM1=∠PFN，∵∠PER=12∠PEM1，∠PFQ=12∠PFN，∴∠PER=∠PFQ，∴ER∥FQ，∴∠1FQM=∠R，设∠PER=∠REB=x，11PMRRMBy==∠∠，则有：12

2yxRyxEPM=+=+，可得∠1FPM=2∠R，∴∠1EPM=2∠1FQM∴1FPNQ=2．【点睛】本题考查几何变换综合题、平行线的判定和性质、角平分线的定义、非负数的性质等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解

决问题，学会添加常用辅助线，构造平行线解决问题，属于中考压轴题．12．在平面直角坐标系中，直线l与x轴、y轴分别交于A（a，0）、B（0，b）两点，且满足3a+＋（a＋2b﹣5）2＝0（1）求A、B两点坐标；（2）如图1，把线段BA绕B点顺时针旋转，点A的

对应点为C点，使BC⊥y轴，E为线段AC上一点，EN⊥AB于N，EM⊥BC于M，求EM＋EN的值．（3）如图2，点D为y轴上点B上方一点，DE⊥AD交直线CB于点E，∠DEC的平分线EF与∠DAO的邻补角的平分线AF交点F，请问：D

点在运动的过程中∠AFE的大小是否变化，若不变，求出其值；若变化，请说明理由．【答案】（1）A（﹣3，0）、B（0，4）；（2）4；（3）不变，45°【解析】【分析】（1）由非负数的性质得出a＝﹣3，b＝4，即可得出A、B两点

坐标；（2）过A作AQ⊥BC于Q，连接BE，用面积法即可得出EM+EN的值；（3）先过G作GP∥AF，交EF于P，则∠F＝∠GPE，再用角平分线和三角形的外角即可得出结论．【详解】解：（1）∵3a++（a+2b﹣5）2＝0，∴a+3＝0，a+2b﹣5＝0，解得a＝﹣3

，b＝4，∴A（﹣3，0）、B（0，4）．（2）如图1所示，过A作AQ⊥BC于Q，连接BE，∵BC⊥y轴，AO⊥y轴，∴BC∥AO，∴AQ＝BO＝4，∵EN⊥AB于N，EM⊥BC于M，∴S△BCE＝12BC×EM，S△ABE＝12A

B×EN，∵S△ABC＝S△BCE+S△ABE，∴12BC×AQ＝12BC×EM+12AB×EN，又∵AB＝CB，∴AQ＝EM+EN＝4；（3）∠F的度数不变．如图2所示，过G作GP∥AF，交EF于P，则∠F＝∠GPE，∵DE⊥AD，∴∠EDG＝9

0°，∵CB∥OH，∴∠HAG＝∠CGD，∵PG∥AF，AF平分∠HAG，∴∠PGD＝∠FAD＝12∠CGD，即PG平分∠CGD，∴∠CGP＝12∠CGD，∵FE平分∠DEC，∴∠PEC＝12∠DEC，∵∠PGC是△PEG的外角，∴∠EPG＝∠PGC﹣∠

PEC＝12∠CGD﹣12∠DEC＝12（∠CGD﹣∠DEC）＝12∠EDG＝1290°＝45°，∴D点在运动的过程中∠AFE的大小不变，其值为45°．【点睛】此题是几何变换综合题，主要考查了非负数的性质，旋转的性质，三

角形的面积的计算方法，平行线的性质，角平分线的定义，三角形的外角性质．解决问题的关键是利用面积法，运用平行线的性质以及三角形外角性质进行计算．13．已知//ABCD，P是截线MN上的一点，MN与CD、AB分别交于E、F．（1

）若50EFB=，35EDP=，求MPD的度数：（2）如图1，当点P在线段EF上运动时，CDP与ABP的平分线交于Q，问：QDPB是否为定值？若是定值、请求出定值：若不是，说明其范围（3）①如图2，当点P在线段EF的延

长线上运动时，CDP与ABP的平分线交于Q，则QDPB的值为______．②当点P在线段EF上运动时，CDP与ABP的n等分线交于Q，其中1CDQCDPn=，1ABQABPn=，设DPB=，求Q的度数（直接用含n，的代数式表示，不需说明理由

）．【答案】（1）15°；（2）是定值，12QDPB=；（3）①12；②BQDn=【解析】【分析】（1）过P作PG//AB,可得//PGCD，50EPGEFB==，35DPGEPD==，然后根据MPDEPGDPG=−

计算即可；（2）根据PG//AB，//ABCD，可得//PGCD，进而得出DPGCDP=，BPGABP=，进一步得出DPBDPGBPGCDPABP=+=+，同理得出QCDQABQ=+

，然后根据角平分线的性质即可得出结论；（3）①过P作PG//AB，过Q作QH//AB，根据//ABCD，可得//PGCD，QH//CD，从而得到DPGCDP=，BPGABP=，即DPBBPGDPGABPCDP=−=

−，同理得到BQDABQCDQ=−，根据角平分线性质可得结论；②分三种情况讨论Q的值：第一种当P在当点P在线段EF的延长线上运动时，根据图2分析Q的值；第二种当点P在线段EF的上运动时，根据图1求解Q的值；第三种当P在线段EF的延长线上运动时，根据

图3求解Q的值，综合判断即可．【详解】解：（1）如图1，过P作PG//AB，//ABCDQ，//PGCD，50EFB=，35EDP=，50EPGEFB==，35DPGEPD==，503515MPDEPGDPG=−=−

=；（2）12QDPB=如图1，∵PG//AB，//ABCDQ，//PGCD，DPGCDP=，BPGABP=DPBDPGBPGCDPABP=+=+，同理：QCDQABQ=+，又DQ，BQ分别平分CDP，ABP，12CDQCDP=，12ABQABP

=11()22QCDQABQCDPABPDPB=+=+=，12QDPB=．（3）①12BQDDPB=，详解：如图2，过P作PG//AB，过Q作QH//AB，//ABCDQ，//PGCD，QH//CD，DPGCDP=，BPGABP=DPBBPGDPGAB

PCDP=−=−，同理：BQDABQCDQ=−，又DQ，BQ分别平分CDP，ABP，12CDQCDP=，12ABQABP=11()22BQDABQCDQABPCDPDPB=

−=−=，12BQDDPB=．②BQDn=详解：（1）当P在当点P在线段EF的延长线上运动时，同图2易得DPBABPCDP=−，BQDABQCDQ=−，1CDQCDPn=，1ABQABPn=1BQDDPBn=，即BQ

Dn=（2）当点P在线段EF的上运动时，同图1易得DPBABPCDP=+，BQDABQCDQ=+，1CDQCDPn=，1ABQABPn=1BQDDPBn=，即BQDn=（3）当P在线段EF的延长线上运动时，同图3，易得DPBABPCDP=+，BQDAB

QCDQ=+，1CDQCDPn=，1ABQABPn=1BQDDPBn=，即BQDn=综上所述，BQDn=．【点睛】本题主要考查平行线的性质以及三角形内角和定理，解题的关键是做出合理辅助线熟练运用平行线性质表示相关角的等量．获得更多资源请扫码加入享学

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