【文档说明】【精准解析】专题62变量间的相关关系、统计案例-（文理通用）【高考】.docx，共(36)页，1.508 MB，由小赞的店铺上传

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专题62变量间的相关关系、统计案例最新考纲1.会作两个相关变量的数据的散点图，会利用散点图认识变量间的相关关系．2.了解最小二乘法的思想，能根据给出的线性回归方程系数公式建立线性回归方程．3.了解独立性检验的基本思想、方

法及其初步应用．4.了解回归分析的基本思想、方法及简单应用.基础知识融会贯通1．两个变量的线性相关(1)正相关在散点图中，点散布在从左下角到右上角的区域，对于两个变量的这种相关关系，我们将它称为正相关．(2)负相关在散点图中，点散布在从左上角到右下角的区域，两个变量的这种相关关系称为负相关．(3)

线性相关关系、回归直线如果散点图中点的分布从整体上看大致在一条直线附近，就称这两个变量之间具有线性相关关系，这条直线叫做回归直线．2．回归方程(1)最小二乘法求回归直线，使得样本数据的点到它的距离的平方和最小的方法叫做最小二乘法．(2)回归方程方程y^＝b^x＋a^是两个具有线性相关

关系的变量的一组数据(x1，y1)，(x2，y2)，…，(xn，yn)的回归方程，其中a^，b^是待定参数．b^＝∑ni＝1xi－xyi－y∑ni＝1xi－x2＝∑ni＝1xiyi－nxy∑ni＝1x2i－nx2，a^＝y－b^x.3．回归分析(1)定义：对具有相关关系的两个变

量进行统计分析的一种常用方法．(2)样本点的中心对于一组具有线性相关关系的数据(x1，y1)，(x2，y2)，…，(xn，yn)，其中(x，y)称为样本点的中心．(3)相关系数当r>0时，表明两个变量正相关；当r

<0时，表明两个变量负相关．r的绝对值越接近于1，表明两个变量的线性相关性越强．r的绝对值越接近于0，表明两个变量之间几乎不存在线性相关关系．通常|r|大于0.75时，认为两个变量有很强的线性相关性．4．独立性检验(1)分类变量：变量的不同“值”表示个体所

属的不同类别，像这样的变量称为分类变量．(2)列联表：列出的两个分类变量的频数表，称为列联表．假设有两个分类变量X和Y，它们的可能取值分别为{x1，x2}和{y1，y2}，其样本频数列联表(称为2×2列联表)为2×2列联表y1y2总计x1a

ba＋bx2cdc＋d总计a＋cb＋da＋b＋c＋d构造一个随机变量K2＝nad－bc2a＋bc＋da＋cb＋d，其中n＝a＋b＋c＋d为样本容量．(3)独立性检验利用随机变量K2来判断“两个分类变量有关系”的方法称为独立性检验．重点难点突破【题型一】相关关系的判断【典型例题】两个变量

的相关关系有①正相关，②负相关，③不相关，则下列散点图从左到右分别反映的变量间的相关关系是（）A．①②③B．②③①C．②①③D．①③②【解答】解：对于（1），图中的点成带状分布，且从左到右上升，是正相关关系①；对于（2），图中的点没有明显的带状分布，是不相关的③；对于（3），图中的点成

带状分布，且从左到右是下降的，是负相关关系②．故选：D．【再练一题】对两个变量x，y进行线性相关检验，得线性相关系数r1＝0.7859，对两个变量u，v进行线性相关检验，得线性相关系数r2＝﹣0.9568，

则下列判断正确的是（）A．变量x与y正相关，变量u与v负相关，变量x与y的线性相关性较强B．变量x与y负相关，变量u与v正相关，变量x与y的线性相关性较强C．变量x与y正相关，变量u与v负相关，变量u与v的线性相关性较强D．变量x与y负相关，变量u与

v正相关，变量u与v的线性相关性较强【解答】解：由线性相关系数r1＝0.7859＞0知x与y正相关，由线性相关系数r2＝﹣0.9568＜0知u，v负相关，又|r1|＜|r2|，∴变量u与v的线性相关性比x与y的线性相关性强．故选：C．思维升华判定两个变量正，

负相关性的方法(1)画散点图：点的分布从左下角到右上角，两个变量正相关；点的分布从左上角到右下角，两个变量负相关．(2)相关系数：r>0时，正相关；r<0时，负相关．(3)线性回归方程中：b^>0时，正相关；

b^<0时，负相关．【题型二】线性回归分析【典型例题】已知某种商品的广告费支出x（单位：万元）与销售额y（单位：万元）之间有如表对应数据根据表中数据可得回归方程，其中，据此估计，当投入6万元广告费时，销售额约为（）x12345y1015304550A．60万元B．63万元C．65万元D．69万

元【解答】解：由表中数据，计算（1+2+3+4+5）＝3，（10+15+30+45+50）＝30，回归方程，其中，∴30﹣11×3＝﹣3，∴11x﹣3，x＝6，11×6﹣3＝63，据此估计，当投入6万元广告费时，销售

额约为63万元．故选：B．【再练一题】某市食品药品监督管理局开展2019年春季校园餐饮安全检查，对本市的8所中学食堂进行了原料采购加工标准和卫生标准的检查和评分，其评分情况如表所示：中学编号12345678原料采购加工标准评分x100

95938382757066卫生标准评分y8784838281797775（1）已知x与y之间具有线性相关关系，求y关于x的线性回归方程；（精确到0.1）（2）现从8个被检查的中学食堂中任意抽取两个组成一组，若两个中学食堂的原料采购加工标准和卫生标准的评分均超过80分，则组成“

对比标兵食堂”，求该组被评为“对比标兵食堂”的概率．参考公式：，；参考数据：xiyi＝54112，xi2＝56168．【解答】解：（1）由题意，计算平均数得：（100+95+93+83+82+75+70+6

6）＝83，（87+84+83+82+81+79+77+75）＝81，则0.3，81﹣0.3×83＝56.1；故所求的线性回归方程为：0.3x+56.1；（2）从8个中学食堂中任选两个，共有共28种结果：12，13，1

4，15，16，17，18，23，24，25，26，27，28，34，35，36，37，38，45，46，47，48，56，57，58，67，68，78；其中原料采购加工标准的评分和卫生标准的评分均超过80分的有10种结果：12，13，14，15，

23，24，25，34，35，45；所以该组被评为“对比标兵食堂”的概率为P．思维升华线性回归分析问题的类型及解题方法(1)求线性回归方程①利用公式，求出回归系数b^，a^.②待定系数法：利用回归直线过样本点的中心求系数．(2)利用回归方程进行预测，把线性回归方程看作一次函数，

求函数值．(3)利用回归直线判断正、负相关；决定正相关还是负相关的是系数b^.(4)回归方程的拟合效果，可以利用相关系数判断，当|r|越趋近于1时，两变量的线性相关性越强．【题型三】独立性检验【典型例题】为便于对某知识竞赛的答卷进行对比研究，组委会抽取了1000名男生和1000名女生的答卷，他们

的考试成绩频率分布直方图如下：（注：试卷满分为100分，成绩≥80分的试卷为“优秀”等级）（Ⅰ）从现有1000名男生和1000名女生答卷中各取一份，分别求答卷成绩为“优秀”等级的概率；（Ⅱ）能否在犯错误的概率不超过0.025的前提下认为“答卷成绩为优秀等级与性别有关”？（Ⅲ

）根据男、女生成绩频率分布直方图，对他们成绩的优劣进行比较，并说明理由．P（K2≥K）0.0500.0250.0100.001K3.8415.0246.63510.828（，其中n＝a+b+c+d）【解答】解：（Ⅰ）男生答卷成绩优秀概率为P＝（0

.058+0.034+0.014+0.010）×5＝0.58，…女生答卷成绩优秀概率为P＝（0.046+0.034+0.016+0.010）×5＝0.53；…（Ⅱ）根据题意填写列联表如下；男女总计优秀5805301110非

优秀420470890总计100010002000…经计算K2的观测值为，所以能在犯错误概率不超过0.025的前提下认为“问卷成绩为优秀等级与性别有关”；…（III）由频率分布直方图表明：男生成绩的平均分（或中位数）在80到85之间，女生成绩的平均分（中位数）在75到80分之间，且

男生的成绩分布集中程度较女生成绩集中程度高，因此，可以认为男生的成绩较好且稳定…【再练一题】某工厂A，B两条生产线生产同款产品，若产品按照（1）根据已知数据，判断是否有99%的把握认为一等级产品与生产线有关？

（2）分别计算两条生产线抽样产品获利的方差，以此作为判断依据，说明哪条生产线的获利更稳定？（3）估计该厂产量为2000件产品时的利润以及一等级产品的利润．附：K2P（K2≥k）0.0500.0100.001k3.8416.63510.828【

解答】解：（1）根据题意完成下面的2×2列联表：一等品非一等品合计A生产线2080100B生产线3565100合计55145200将2×2列联表中的数据代入公式计算得：K25.643，∵5.643＜6.635，∴没有99%的把握认为一等级产

品与生产线有关；（2）A生产线随机抽取的100件产品获利的平均数为：（10×20+8×60+6×20）＝8，获利方差为[（10﹣8）2×20+（8﹣8）2×60+（6﹣8）2×20]＝1.6；B生产线随机抽取的1

00件产品获利的平均数为：（10×35+8×40+6×25）＝8.2，获利方差为[（10﹣8.2）2×35+（8﹣8.2）2×40+（6﹣8.2）2×25]＝2.36；所以，说明A生产线的获利更稳定；（3）A、B生产线共随机抽取的200件产品获利的平均数为：[10×（20+35）+

8×（60+40）+6×（20+25）]＝8.1（元），由样本估计总体，当产量为2000件产品时，估计该工厂获利为2000×8.1＝16200（元），又因为A、B生产线共随机抽取的200件产品中，一等品的A线产品有20件，B线产品有35件，由样本的频率估计总体的概率，则该工

厂生产产品为一等品的概率为，当产量为2000件产品时，估计该工厂一等品获利为200010＝5500（元）．思维升华(1)比较几个分类变量有关联的可能性大小的方法①通过计算K2的大小判断：K2越大，两变量有关联的可能性越大．②通过计算|ad－bc|的大小判断：|ad－bc|越大，两变

量有关联的可能性越大．(2)独立性检验的一般步骤①根据样本数据制成2×2列联表．②根据公式K2＝nad－bc2a＋ba＋cb＋dc＋d计算K2的观测值k.③比较k与临界值的大小关系，作统计推断．基础知识训练1．下列说法中错误的是（）A．从某社区65户高收入家庭，280户中等收入

家庭，105户低收入家庭中选出100户调查社会购买力的某一项指标，应采用的最佳抽样方法是分层抽样B．线性回归直线ybxa=+$$$一定过样本中心点(,)xyC．若两个随机变量的线性相关性越强，则相关系数r的值越接近于1

D．若一组数据1、a、2、3的众数是2，则这组数据的中位数是2【答案】C【解析】对于选项A,由于样本的个体差异比较大，层次比较多，所以应采用的最佳抽样方法是分层抽样，所以该选项是正确的；对于选项B,线性回归直线ˆˆˆybxa=+一定过样本中心点(

),xy,所以该选项是正确的；对于选项C,两个随机变量的线性相关性越强，则相关系数r的绝对值越接近于1，所以该选项是错误的；对于选项D,若一组数据1、a、2、3的众数是2，则这组数据的中位数是2,所以该选项是正确的.故选：C2．根据如下样本

数据：x12345y1a−-10.51b+2.5得到的回归方程为ˆybxa=+.样本点的中心为(3,0.1)，当x增加1个单位，则y近似（）A．增加0.8个单位B．减少0.8个单位C．增加2.3个单位D．减少2.3个单位【答案】A【解析】由题得110.512.50.

1,1.55abab−−++++=+=−因为0.1=3b+a,所以解方程组得a=-2.3,b=0.8.所以ˆy=0.8x-2.3,所以当x增加1个单位，则y近似增加0.8个单位.故选：A3．某企业的一种商品的产量与单位成本数据如下表：产量x（万件）1416182022

单位成本y（元/件）12107a3若根据表中提供的数据，求出y关于x的线性回归方程为ˆ1.1528.1yx=−+，则a的值等于（）A．4.5B．5C．5.5D．6【答案】B【解析】1416182022901855x++++===1210733255

aay+++++==()xy，在线性回归方程ˆ1.1528.1yx=−+上1.151828.1=7.4y\=-?则32=7.45a+解得5a=故选B4．下列说法错误．．的是（）A．在回归模型中，预报变量y的值不能由解释变量x唯一确定B．若变量x，y

满足关系0.11yx=−+，且变量y与z正相关，则x与z也正相关C．在残差图中，残差点分布的带状区域的宽度越狭窄，其模型拟合的精度越高D．以模型kxyce=去拟合一组数据时，为了求出回归方程，设lnzy=，将其变换后得到线性方程0.34zx=+，则4ce=，0.3

k=【答案】B【解析】对于A，y除了受自变量x的影响之外还受其他因素的影响，故A正确；对于B，变量x，y满足关系0.11yx=−+，则变量x与y负相关，又变量y与z正相关，则x与z负相关，故B错误；对于C，由残差图的意义可知正确；对于D，∵y＝

cekx，∴两边取对数，可得lny＝ln（cekx）＝lnc+lnekx＝lnc+kx，令z＝lny，可得z＝lnc+kx，∵z＝0.3x+4，∴lnc＝4，k＝0.3，∴c＝e4．即D正确；故选B.5．对具有线性相关关系的变量x，y，有一组观测数据(),(1,2,3,,12)iixyi=，其

回归直线方程为ˆˆ2yxa=+，且12312yyyy++++()12312324xxxx=++++=，则实数ˆa的值是（）A．18−B．13C．23D．83−【答案】C【解析】由12312yyyy++++()12312324xxxx=++++=

知：82123x==，24212y==，又回归直线一定过样本点的中心(),xy，故2223a=+，2ˆ3a=.故选C6．已知某种商品的广告费支出x（单位：万元）与销售额y（单位：万元）之间有如下表对应数据根据表中数据可得回归方程ybˆˆˆxa=+其中ˆ11

b=据此估计，当投入6万元广告费时，销售额约为（）x12345y1015304550A．60万元B．63万元C．65万元D．69万元【答案】B【解析】解：由表格数据可知：1234535x++++==，1015304550305y++++=

=因为回归方程过点(),?xy，所以ˆ0ˆ33ba=+，且ˆ11b=，得ˆ3a=−所以ˆy11x3=−，代入x=6，得ˆy63=故选：B7．已知某种商品的广告费支出x（单位：万元）与销售额y（单位：万元）之间

有如表对应数据根据表中数据可得回归方程ybxa=+$$$，其中11b=，据此估计，当投入6万元广告费时，销售额约为（）万元x12345y1015304550A．60B．63C．65D．69【答案】B【解析】由表

中数据可得1(12345)35x=++++=，1(1015304550)305y=++++=，又回归方程ybxa=+$$$中11b=，∴ˆ301133aybx=−=−=−，∴回归方程为113yx=−．当6x=时116363y=−=，所以可估计当

投入6万元广告费时，销售额约为63万元．故选B．8．下列四个结论：①在回归分析模型中，残差平方和越大，说明模型的拟合效果越好；②某学校有男教师60名、女教师40名，为了解教师的体育爱好情况，在全体教师中抽取20名调查

，则宜采用的抽样方法是分层抽样；③线性相关系数r越大，两个变量的线性相关性越弱；反之，线性相关性越强；④在回归方程0.52yx=+中，当解释变量x每增加一个单位时，预报变量y增加0.5个单位.其中正确的结

论是（）A．①②B．①④C．②③D．②④【答案】D【解析】根据残差的意义，可知当残差的平方和越小，模拟效果越好，所以①错误；当个体差异明显时，选用分层抽样法抽样，所以②正确；根据线性相关系数特征，当相关系数r越大，两个变量的线性相关性越强，所以③错误；根据回归方程的系数为0.5，所以当解释

变量x每增加一个单位时，预报变量y增加0.5个单位.综上，②④正确，故选D.9．鑫冠模具厂采用了新工艺后，原材料支出费用x与销售额y（单位：万元）之间有如下数据，由散点图可知，销售额y与原材料支出费用x有较好的线性相关关系，其

线性回归方程是ˆˆ48ybx=+，则当原材料支出费用为时，预估销售额为（）A．252B．268C．272D．288【答案】C【解析】由题意得20,160xy==，将点(),xy代入回归方程48ybx=+$$中，得5.6b=$，回归方程为5.648yx=+$，当40x=时，272

y=$，故选C.10．已知变量x，y之间具有线性相关关系，其散点图如图所示，回归直线l的方程为ybxa=+，则下列说法正确的是（）A．0a，0bB．0a，0bC．ˆ0a，0bD．ˆ0a，0b【答案】D【解析】由题图可知，回归直线的斜率是正

数，即ˆb＞0；回归直线在y轴上的截距是负数，即ˆa＜0，故选：D．11．已知变量x与y负相关，且由观测数据得到样本的平均数3x=，2.7y=，则由观测数据得到的回归方程可能是（）A．0.23.3yx=−+B．

0.41.5yx=+C．23.3yx=−D．28.6yx=−+【答案】A【解析】解：因为变量x与y负相关，而B，C正相关，故排除选项B，C；因为回归直线方程经过样本中心，把3x=代入0.23.3yx=−+解得，0

.233.32.7yy=−+==故A成立，把3x=代入28.6yx=−+解得，238.62.6yy=−+=，故D不成立，故选：A．12．对于线性相关系数r，叙述正确的是（）A．||(0,)r+，||r越大相关程度越大，反之相关程度越小B．(,)r−+，

r越大相关程度越大，反之相关程度越小C．||1r„，且||r越接近1相关程度越大，||r越接近0，相关程度越小D．以上说法都不对【答案】C【解析】用相关系数r可以衡量两个变量之间的相关关系的强弱，r的绝对值越接近于1，表示两个变量的线性相关

性越强，r的绝对值接近于0时，表示两个变量之间几乎不存在相关关系，故选：C．13．如图是某地区2000年至2016年环境基础设施投资额y（单位：亿元）的折线图.为了预测该地区2018年的环境基础设施投资额，建立了y与时间变量t的两个线性回归模型.根据2000年至2016年的数据（时

间变量t的值依次为1，2，…，17）建立模型①30.413.5yt=−+；根据2010年至2016年的数据（时间变量t的值依次为1，2，…，7）建立模型②9917.5yt=+.利用这两个模型，该地区2018年的环境基础设施投资额的预测值分别为_____，_____；并且可以判断利用模型_____

得到的预测值更可靠.【答案】226.1（亿元）256.5（亿元）②【解析】①3.0413.519226.1y=−+=（亿元）.②9917.59256.5y=+=（亿元）.当年份为2016对于模型①：17t=，3.0413.517199.1y=−+=（亿元）对于模型②：7t

=，9917.57221.5y=+=（亿元）所以②的准确度较高，①偏差较大，所以选择②得到的预测值更可靠.本题正确结果：226.1（亿元）；256.5（亿元）；②14．为了规定工时定额，需要确定加工零件所花费的时间，为此进行了5次试验，得到5组数据：11(

,)xy，22(,)xy，33(,)xy，44(,)xy，55(,)xy，根据收集到的数据可知12345150xxxxx++++=，由最小二乘法求得回归直线方程为0.6754.9yx=+，则12345yyyyy++++=______．【答案】375【解析】由题

意：12345305xxxxxx++++==则：0.6754.920.154.975yx=+=+=123455755375yyyyyy++++===本题正确结果：37515．某公司对2019年1~4

月份的获利情况进行了数据统计，如下表所示：月份x1234利润y/万元566.58利用线性回归分析思想，预测出2019年8月份的利润为11.6万元，则y关于x的线性回归方程为________.【答案】ˆ0.954yx=+.【解析】设线性回归方程为ˆˆ

ˆybxa=+，因为52x=，518y=，由题意可得551ˆ288ˆ11.6ˆˆbaba+=+=，解得ˆ0.95b=，ˆ4a=，即ˆ0.954yx=+.故答案为ˆ0.954yx=+16．某产品的广告费

用x（万元）与销售额y（万元）的统计数据如下表：根据上表可得回归方程中的为9.4，则：①回归方程__________；②据此模型预报广告费用为6万元时销售额为___________万元。【答案】【解析】∵回归方程中的为9.4，根据线性回

归直线过样本中心点，，则，解得，即回归方程为据此模型预报广告费用为6万元时，销售额为即答案为(1).(2)..17．下表是某地一家超市在2017年一月份某一周内周2到周6的时间x与每天获得的利润y（单位：万元）的有关数据．星期x星期2星期3星期4星期5星期6利润y23569（1）根据上表提供的

数据，用最小二乘法求线性回归直线方程ybxa=+；（2）估计星期日获得的利润为多少万元．参考公式：回归直线方程是：ybxa=+,()()()1122211ˆˆˆnniiiiiinniiiixxyyxynxybxxxnxaybx====−−−==−−=−

【答案】（1）1.71.8yx=−（2）星期日估计活动的利润为10.1万元【解析】（1）由题意可得2345645x++++==，2356955y++++==，因此，22334556695451.7491

62536516b++++−==++++−，所以56.81.8aybx=−=−=−，所以1.71.8yx=−；（2）由（1）可得，当7x=时，1.771.810.1y=−=（万元），即星期日估计活动的利润为10.1万元。18．现代研

究表明，体脂率BFR（体脂百分数）是衡量人体体重与健康程度的一个标准．为分析体脂率BFR对人体总胆固醇TC的影响，从女性志愿者中随机抽取12名志愿者测定其体脂率BFR值及总胆固醇TC指标值（单位：mmol/L），得到的数据如表所示：(1)利用表中的数据，是

否可用线性回归模型拟合y与x的关系？请用相关系数r加以说明.（若0.75r，则线性相关程度很高，可用线性回归模型拟合）(2)求出y与x的线性回归方程，并预测总胆固醇TC指标值为9.5时，对应的体脂率BFR值

x为多少？（上述数据均要精确到0.1）(3)医学研究表明，人体总胆固醇TC指标值y服从正态分布2()Nu，，若人体总胆固醇TC指标值y在区间(22)uu−+，之外，说明人体总胆固醇异常，该志愿者需作进一步医学观察.现用样本的y作为u的估

计值，用样本的标准差s作为的估计值，从这12名女志愿者中随机抽4人，记需作进一步医学观察的人数为X，求X的分布列和数学期望．附：参考公式：相关系数12211()()()()niiinniiiixxyyrxxyy===−−=−−，121()()ˆ()niiiniixxyybxx==−−=−

，ˆˆaybx=−．参考数据：121()()95.8iiixxyy=−−=，1221()342iixx=−=，1221()31.56iiyy=−=，12211()1.612iisyy==−，10793.521

03.89．【答案】（1）见解析；（2）见解析；（3）见解析【解析】(1)相关系数12211()()95.8=0.920.75103.89()()niiinniiiixxyyrxxyy===−−=−−所以线性相关程度很高，可用线性回归模型拟合.(2)121(

)()95.8ˆ0.3342()niiiniixxyybxx==−−==−，又1417181920222326272930312312x+++++++++++==，2.44.44.74.85.45.55.76.06.36.87.09.45.712

y+++++++++++==所以ˆˆ5.70.3231.2aybx=−=−=−，所以回归直线0.31.2yx=−，当9.5y=时，10735.73x=(3)12211()1.612iisyy==−，所以1.6=，5.7uy==

则(2,2)(2.58.9)uu−+=，，所以在这12人中，有2人是胆固醇异常，需要进一步作医学观察的.所以变量0,1,2X=41041214(0)33CPXC===,3110241216(1)33CCPXC===,22102412

31(2)3311CCPXC====所以X的分布列为X012P14331633111数学期望1612()1233113EX=+=19．近年来，随着我国汽车消费水平的提高，二手车流通行业得到迅猛发展．某汽车交易市场对2017年成交的二手车交易前的使用时间（以下简称“使用时间”）

进行统计，得到频率分布直方图如图1．附注：①对于一组数据()11,uv，()22,uv，…，(),nnuv，其回归直线vu=+的斜率和截距的最小二乘估计分别为()()()121niiiniiuuvvuu==−−=−，ˆavu=−；②参考数据：2.9519.1e，

1.755.75e，0.551.73e，0.650.52e−，1.850.16e−．（Ⅰ）记“在2017年成交的二手车中随机选取一辆，该车的使用年限在(8,16]”为事件A，试估计A的概率；（Ⅱ）根据该汽车交易市场的历史资料，得到散

点图如图2，其中x（单位：年）表示二手车的使用时间，y（单位：万元）表示相应的二手车的平均交易价格．由散点图看出，可采用abxye+=作为二手车平均交易价格y关于其使用年限x的回归方程，相关数据如下表（表中lniiYy=，1110niiYY==）：xyY101iiixy=101iiix

Y=1021iix=5.58.71.9301.479.75385①根据回归方程类型及表中数据，建立y关于x的回归方程；②该汽车交易市场对使用8年以内（含8年）的二手车收取成交价格4%的佣金，对使用时间8年以上（不含8年）的二手车收取成交价格10%的佣金．在图1对使

用时间的分组中，以各组的区间中点值代表该组的各个值．若以2017年的数据作为决策依据，计算该汽车交易市场对成交的每辆车收取的平均佣金．【答案】（1）0.40（2）①3.550.3xye−=，②0.29万元【解析】解：（1）由题得，二

手车使用时间在(8,12]的频率为0.0740.28=，在(12,16]的频率为0.0340.12=，∴()0.280.120.40PA=+=；（2）①由题得，lnyabx=+，即Y关于x的线性回归方程为ˆYabx=+．∵101210211010iiiiixYxY

bxx==−==−279.75105.51.90.3385105.5−=−−，ˆ1.9(0.3)5.53.55aYbx=−=−−=，∴Y关于x的线性回归方程为ˆ3.550.3Yx=−，即Y关于x的回归方程为3.550.3xye−=；②根据①中的回归方程3.550.3xye

−=和图1，对成交的二手车可预测：使用时间在(0,4]的平均成交价格为3.550.322.9519.1ee−=，对应的频率为0.2；使用时间在(4,8]的平均成交价格为3.550.361.755.75ee=，对应的频率为0.36；使用时间在(8,12]的平均成交价格为3.5

50.3100.551.73ee−=，对应的频率为0.28；使用时间在(12,16]平均成交价格为3.550.3140.650.52ee−−=，对应的频率为0.12；使用时间在(16,20]的平均成交价格为3.550.3181.850.16ee

−−=，对应的频率为0.04．∴该汽车交易市场对于成交的每辆车可获得的平均佣金为(0.219.10.365.75)4%++(0.281.730.120.520.040.16)10%0.290920.2

9++=万元．20．已知某商品每件的生产成本x（元）与销售价格y（元）具有线性相关关系，对应数据如表所示：x（元）5678y（元）15172127（1）求出y关于x的线性回归方程ybxa=+；（

2）若该商品的月销售量z（千件）与生产成本x（元）的关系为221zx=−+，[2,10]x，根据（1）中求出的线性回归方程，预测当x为何值时，该商品的月销售额最大．附：121()()()niiiniixxyybxx==−−=−，a

ybx=−.【答案】（1）ˆ46yx=−；（2）预计当6x=时，该商品的销售额最大为162元【解析】（1）根据题意，56786.54x+++==，15172127204y+++==，41515617721827540iixy=++

+=，42222215678174ix=+++=，所以4142221454046.520417446.54iiixyxybxx−−===−−，所以2046.56aybx=−=−=−，所以y关于x的线性回归方程ˆ46yx=−.（2）依题意，销售额2()(221)(4

6)896126([2,10])fxxxxxx=−+−=−+−.其对称轴为9662(8)x=−=−，又因为()fx为开口向下的抛物线，故当6x=时()fx最大，最大值()836966126162fx=−+−=.答：预计当6x=时，该商品的销售额最大为16

2元．21．李克强总理在2018年政府工作报告指出，要加快建设创新型国家，把握世界新一轮科技革命和产业变革大势，深入实施创新驱动发展战略，不断增强经济创新力和竞争力.某手机生产企业积极响应政府号召，大力研发新产品，争创世界名牌.为了对研发的一批最新

款手机进行合理定价，将该款手机按事先拟定的价格进行试销，得到一组销售数据(),(1,2,,6)iixyi=，如表所示：单价x（千元）345678销量y（百件）7065625956t已知611606iiyy=

==.（1）若变量,xy具有线性相关关系，求产品销量y（百件）关于试销单价x（千元）的线性回归方程ˆˆˆybxa=+；（2）用（1）中所求的线性回归方程得到与ix对应的产品销量的估计值iy.当销售数据(),iixy对应的残差的绝对值ˆ

1iiyy−时，则将销售数据(),iixy称为一个“好数据”.现从6个销售数据中任取3个子，求“好数据”个数的分布列和数学期望()E.（参考公式：线性回归方程中ˆˆ,ba的估计值分别为1221ˆˆˆ,)niiiniixynxybaybxxnx=−=−

==−−.【答案】(1)ˆ482yx=−+(2)见解析【解析】（1）由611606iiyy===，可求得48t=，故11910niiixy==，=1980nxy，21199niix==，2=181.

5nx，代入可得122119101980704199181.517.5niiiniixynxybxnx==−−−====−−−，ˆˆ6045.582aybx=−=+=，所以所求的线性回归方程为ˆ482yx=

−+．（2）利用（1）中所求的线性回归方程ˆ482yx=−+可得，当13x=时，170y=；当24x=时，266y=；当35x=时，362y=；当46x=时，458y=；当57x=时，554y=；当68x=时，650y=．与销售数据对比可知满足||1

(1,2,,6)iiyyi−=的共有4个“好数据”：(3,70)、(4,65)、(5,62)、(6,59)于是的所有可能取值为1,2,31242361(1)5CCPC===，2142363(2)5CCPC===，3042361(3)5CCPC===，∴的分布列为：123P1

53515所以1311232555E=++=．22．李克强总理在2018年政府工作报告指出，要加快建设创新型国家，把握世界新一轮科技革命和产业变革大势，深入实施创新驱动发展战略，不断增强经济创新力和竞争力.某手机生产企业积极响应政府号

召，大力研发新产品，争创世界名牌.为了对研发的一批最新款手机进行合理定价，将该款手机按事先拟定的价格进行试销，得到一组销售数据(,)(1,2,...,6)iixyi=，如表所示：单价x（千元）345678销量y（百件）7065625956t已知

611606iiyy===.（1）若变量x，y具有线性相关关系，求产品销量y（百件）关于试销单价x（千元）的线性回归方程ybxa=+$$$；（2）用（1）中所求的线性回归方程得到与ix对应的产品销量的估计值ˆiy.当销售数据(,)iixy对应的残差的绝对值ˆ1iiyy−时，则将销售数

据(,)iixy称为一个“好数据”.现从6个销售数据中任取3个，求“好数据”至少2个的概率.（参考公式：线性回归方程中b，a的估计值分别为1221niiiniixynxybxnx==−=−，aybx=−$$）.【答案】（1）ˆ

482yx=−+；（2）45.【解析】（1）由611606iiyy===，可得：7065625956606t+++++=，解得：48t=11910niiixy==，=1980nxy，21199niix==，2=181.5nx代入可得1221191019807

04199181.517.5niiiniixynxybxnx==−−−====−−−ˆˆ6045.582aybx=−=+=线性回归方程为ˆ482yx=−+（2）利用（1）中所求的线性回归方程ˆ

482yx=−+可得：当13x=时，1ˆ70y=；当24x=时，2ˆ66y=；当35x=时，3ˆ62y=；当46x=时，4ˆ58y=；当57x=时，5ˆ54y=；当68x=时，6ˆ50y=与销售数据对比可知满足()ˆ||11,2,,6iiyyi−=的共有4个“好数据”：(3,70)、

(4,65)、(5,62)、(6,59)6个销售数据中任取3个共有：3620C=种取法其中只有1个好数据的取法有14C4=种取法至少2个好数据的概率为：441205P=−=能力提升训练1．如图是某地区2000年至2016年环境基础

设施投资额（单位：亿元）的折线图．则下列结论中表述不正确．．．的是()A．从2000年至2016年，该地区环境基础设施投资额逐年增加；B．2011年该地区环境基础设施的投资额比2000年至2004年的投资总额还多；C．2

012年该地区基础设施的投资额比2004年的投资额翻了两番；D．为了预测该地区2019年的环境基础设施投资额，根据2010年至2016年的数据（时间变量t的值依次为）建立了投资额y与时间变量t的线性回归模型，根据该模型预测该地区2019的环境基础设施投资额为256.5亿元

.【答案】D【解析】对于选项，由图像可知，投资额逐年增加是正确的.对于选项，投资总额为亿元，小于年的亿元，故描述正确.年的投资额为亿，翻两翻得到，故描述正确.对于选项，令代入回归直线方程得亿元，故选项

描述不正确.所以本题选D.2．某产品的广告费用x与销售额y的统计数据如表：广告费用万元1245销售额万元6142832根据上表中的数据可以求得线性回归方程中的，据此模型预报广告费用为10万元时销售额为A．万元B．万元C．万元D．万元【答案】A【解析】解：根

据表中数据，得；且回归方程过样本中心点，所以，解得，所以回归方程；当时，，即广告费用为10万元时销售额为万元．故选：A．3．在一组样本数据为不全相等）的散点图中，若所有样本点都在直线上，则这组样本数据的相关系数为（）A．B．C．1D．-1【答案】D【解析】根据回归直线

方程是yx+2，可得这两个变量是负相关，故这组样本数据的样本相关系数为负值，且所有样本点（xi，yi）（i＝1，2，…，n）都在直线上，则有|r|＝1，∴相关系数r＝﹣1．故选：D．4．为了规定工时定额，需要确定加工某

种零件所需的时间，为此进行了5次试验，得到5组数据：()()()()()1122334455,,,,,,,,,xyxyxyxyxy，由最小二乘法求得回归直线方程为0.6754.9yx=+．若已知12345150xxxxx

++++=，则12345yyyyy++++=A．75B．155.4C．375D．466.2【答案】C【解析】由题意，可得150305x==，代入回归直线的方程，可得0.673054.ˆ975y=+，所以1234575ˆ53yyyyyy++++==，故选C。5．下列

说法中正确的个数是（）①相关系数r用来衡量两个变量之间线性关系的强弱，||r越接近于1，相关性越弱；②回归直线^^^ybxa=+过样本点中心(,)xy；③相关指数2R用来刻画回归的效果，2R越小，说明模型的拟合效果越不好.A．0B．1C．2D．

3【答案】C【解析】①线性相关关系r是衡量两个变量之间线性关系强弱的量，r越接近于1，这两个变量线性相关关系越强，r越接近于0，线性相关关系越弱，故①错误；②回归直线ybxa=+过样本点中心(),xy，故②正确；③用相关指数2R来刻画回归的效果，2R越大，说明模型的拟合效果越好；2R越小，说

明模型的拟合效果越不好，故③正确.综上，说法中正确的个数是2.故选C.6．某研究机构在对具有线性相关的两个变量x和y进行统计分析时，得到如下数据：x1234y123223由表中数据求得y关于x的回归方程为0.8yxa=+，则在这些样本点中任取一点，该点落在回归直线上方的概率为（）A．14B

．12C．34D．45【答案】B【解析】132312345722,4244xy++++++====751=0.8424ˆˆaa+=−,因此点3(4,3),(2,)2在回归直线上方，概率为21=42，选B.

7．混凝土具有原材料丰富、抗压强度高、耐久性好等特点,是目前使用量最大的土木建筑材料.抗压强度是混凝土质量控制的重要技术参数,也是实际工程对混凝土要求的基本指标.为了解某型号某批次混凝土的抗压强度(单位:MPa)随龄期(单位:天)的发展规律,质检部门在标准试验条件下

记录了10组混凝土试件在龄期(1,2,,10)ixi=分别为2,3,4,5,7,9,12,14,17,21时的抗压强度iy的值,并对数据作了初步处理,得到下面的散点图及一些统计量的值.表中lniiwx=,10111

0iiww==.(1)根据散点图判断yabx=+与lnycdx=+哪一个适宜作为抗压强度y关于龄期x的回归方程类型?选择其中的一个模型,并根据表中数据,建立y关于x的回归方程；(2)工程中常把龄期为28天的混凝土试件的抗压强度28f视作混凝土抗压强度标准值.已知该型号混凝土设置的

最低抗压强度标准值为40MPa.(ⅰ)试预测该批次混凝土是否达标?(ⅱ)由于抗压强度标准值需要较长时间才能评定，早期预测在工程质量控制中具有重要的意义.经验表明，该型号混凝土第7天的抗压强度7f与第28天的抗压强度28f具有线性相关

关系2871.27ff=+，试估计在早期质量控制中，龄期为7天的试件需达到的抗压强度.附:()()()121ˆniiiniixxyybxx==−−=−,ˆˆaybx=−，参考数据:ln20.69,ln71.95.【答案】（1）9.71

0lnyx=+（2）(i)达标.(ii)估计龄期为7天的混凝土试件需达到的抗压强度为27.5MPa.【解析】解：（1）由散点图可以判断，lnycdx=+适宜作为抗压强度y关于龄期x的回归方程类型.令lnwx=，先建立y关于w的线性回归方程.由于1011021()()

55105.5()iiiiiwwyydww==−−===−，29.71029.7cydw=−=−=，所以y关于w的线性回归方程为9.710yw=+，因此y关于x的线性回归方程为9.710lnyx=+.（2）(i)由（1）知，当龄期为28天，即28x=时

，抗压强度y的预报值y=9.710ln289.710(2ln2ln7)43+=++.因为4340，所以预测该批次混凝土达标.(ii)令2871.2740ff=+，得727.5f.所以估计龄期为7天的混凝土试件需达到的抗压强度为27.5MPa.

8．某手机厂商在销售200万台某型号手机时开展“手机碎屏险”活动、活动规则如下：用户购买该型号手机时可选购“手机碎屏险”，保费为x元，若在购机后一年内发生碎屏可免费更换一次屏幕．该手机厂商将在这200

万台该型号手机全部销售完毕一年后，在购买碎屏险且购机后一年内未发生碎屏的用户中随机抽取1000名，每名用户赠送1000元的红包，为了合理确定保费x的值，该手机厂商进行了问卷调查，统计后得到下表（其中y表示保费为x元时愿意购买该“手机

碎屏险”的用户比例）；（1）根据上面的数据求出y关于x的回归直线方程；（2）通过大数据分析，在使用该型号手机的用户中，购机后一年内发生碎屏的比例为0.2%．已知更换一次该型号手机屏幕的费用为2000元，若该手机厂商要求在这

次活动中因销售该“手机碎屏险”产生的利润不少于70万元，能否把保费x定为5元？x1020304050y0.790.590.380.230.01参考公式：回归方程ybxa=+中斜率和截距的最小二乘估计分别为1122ˆniiiniixynxybxnx==−=−，ˆˆaybx=−，参考数据：表中

x的5个值从左到右分别记为12345,,,,xxxxx，相应的y值分别记为12345,,,,yyyyy，经计算有51()()19.2iiixxyy=−−=−，其中5115iixx==，5115iiyy==．【答案】（1）0.01920.976yx=−+；

（2）能【解析】解：（1）由已知得300.4xy==，，()51()19.2iiixxyy=−−=−，521()1000iixx=−=，所以55121()ˆ0.0192()()iiiiibxyyxxx==−−−==−，ˆˆ0.976aybx=−=，

y关于x的回归直线方程为0.01920.976yx=−+；（2）能把保费x定为5元．理由如下：若保费x定为5元，则估计0.019250.9760.88y=−+=．估计该手机厂商在这次活动中因销售该“手机碎屏险”产生的

利润为620000000.88520000000.880.2%2000100010000.7610−−=元76=（万元）70（万元）.∴把保费x定为5元．9．已知某种细菌的适宜生长温度为10℃～25℃，为了研究该种细菌的繁殖数量y（单位：个）随温度x（单位

：℃）变化的规律，收集数据如下：温度x/℃12141618202224繁殖数量y/个2025332751112194对数据进行初步处理后，得到了一些统计量的值，如下表所示：xyk721()iixx=−721()iikk=−71()()iiixxyy=−−71()()iii

xxkk=−−18663.81124.3142820.5其中lniiky=，7117iikk==.（1）请绘出y关于x的散点图，并根据散点图判断ybxa=+与dxyce=哪一个更适合作为该种细菌的繁殖数量y关于温度x的回归方程类型（给出判断即可，不必说明理由）；（2

）根据（1）的判断结果及表格数据，建立y关于x的回归方程（结果精确到0.1）；（3）当温度为25℃时，该种细菌的繁殖数量的预报值为多少？参考公式：对于一组数据(),(1,2,3,,)iiuvin=，其回归直线vu=+的斜率和截距的最小二成估计分

别为121()()()niiiniiuuvvuu==−−=−，vu=−.参考数据：5.5245e.【答案】(1)dxyce=更适合作为y关于x的回归方程.(2)0.20.5xye+=.(3)245.【解析】（1）由题意，y关于x的散点图如下图所示.

dxyce=更适合作为y关于x的回归方程.（2）由（1）因为dxyce=，则ˆlnlnydxc=+，∴()()()7121lnlnˆiiiiixxyydxx==−−==−()()()71721iiiiixxkkxx==−−−20.50.2112=，∴lnlncydxkdx=−=−20.

53.8180.5112=−，∴y关于x的回归方程为0.20.5xye+=.（3）由（2）中的回归方程，令25x=，求得5.5245ye=，所以当温度为25C时，预报值为245.10．某手机厂商在销售200万台某型

号手机时开展“手机碎屏险”活动.活动规则如下：用户购买该型号手机时可选购“手机碎屏险”，保费为x元.若在购机后一年内发生碎屏可免费更换一次屏幕.该手机厂商将在这200万台该型号手机全部销售完毕一年后，在购买碎屏险且购机

后一年内未发生碎屏的用户中随机抽取1000名，每名用户赠送1000元的红包.为了合理确定保费x的值，该手机厂商进行了问卷调查，统计后得到下表（其中y表示保费为x元时愿意购买该“手机碎屏险”的用户比例）：x1020304050y0.790.590.380.230.01（1）根据上面的

数据求出y关于x的回归直线方程；（2）通过大数据分析，在使用该型号手机的用户中，购机后一年内发生碎屏的比例为0.2%.已知更换一次该型号手机屏幕的费用为2000元，若该手机厂商要求在这次活动中因销售该“手机碎屏险”产生的利润不少于70万元，能否把保费x定为5元？参

考公式：回归方程ybxa=+中斜率和截距的最小二乘估计分别为()()()121niiiniixxyybxx==−−=−，aybx=−.参考数据：表中x的5个值从左到右分别记为1x，2x，3x，4x，5x，相应的y值分别记为1y

，2y，3y，4y，5y，经计算有()()5119.2iiixxyy=−−=−，其中5115iixx==，515imyy=.【答案】(1)0.01920.976yx=−+(2)见解析【解析】（1）由30x=，0.4y=，()()5119.2iiixxyy=−

−=−，()5211000iixx=−=，得()()()51521ˆ0.0192iiiiixxyybxx==−−==−−，ˆˆ0.976aybx=−=，所以y关于x的回归直线方程为0.01920.976y

x=−+.（2）能把保费x定为5元.理由如下：若保费x定为5元，则估计0.019250.9760.88y=−+=估计该手机厂商在这次活动中因销售该“手机碎屏险”产生的利润为20000000.88520000000.880.2%200010001000−−60.7610=

（元）76=（万元）70（万元）所以能把保费x定为5元.获得更多资源请扫码加入享学资源网微信公众号www.xiangxue100.com