【文档说明】内蒙古自治区2021届高三上学期12月联考数学试题 含解析【精准解析】.doc，共(22)页，1.770 MB，由小赞的店铺上传

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高三数学试题（理科）第Ⅰ卷一、选择题：本大题共12小题.在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的.1.设集合21Axx=−∣，2340Bxxx=−−+，则AB=（）A.()4,1−B.(2,1−C

.)1,+D.()2,1−【答案】D【解析】【分析】由一元二次不等式可得41Bxx=−∣，再由交集的概念即可得解.【详解】由题意，234041Bxxxxx=−−+=−∣，21Axx=−∣，所以()212,1A

Bxx=−=−∣故选：D.2.已知复数z满足((2)55izi+=−，则z=（）A.33i−B.13i−C.13i+D.33i+【答案】B【解析】【分析】由条件可得552izi−=+，根据复数的除法运算可得答案.【详

解】因为()255izi+=−.所以()()()()()()552551213222iiiziiiiii−−−===−−=−++−.故选：B3.523xx+的展开式中4x的系数是（）A.90B.80C.70D.60【答案】A【解析】【分析】根据二项式定理，得到

523xx+展开式的第1r+项，再由赋值法，即可求出结果.【详解】因为523xx+展开式的第1r+项为()521031553CC3rrrrrrrTxxx−−+==，令1034r−=，得2r=，则4x的系数为225C390=．故选：A.4.

函数ln||()eexxxfx−=+的部分图象大致为（）A.B.C.D.【答案】B【解析】【分析】先判断函数的奇偶性排除A、C，再通过特殊点排除D.【详解】因为lnln()()xxxxxxfxfxeeee−−−

−===++，所以fx（）是偶函数，所以fx（）的图象关于y轴对称，排除A，C；因为10f=（），排除D.故选：B.5.已知向量()2,4a=r，()1,bn=，若//ab，则3anb−=（）A.45B.12C.8D.5【答案】A【解析】【分析】根据//ab，求得n，再利用坐标

运算求得3anb−的坐标，然后利用向量的求模公式求解.【详解】因为向量()2,4a=，()1,bn=，且//ab，所以214n=，解得2n=，所以()34,8−=anb，所以345anb−=故选：A6.点P为抛物线2:2(0

)Cypxp=的准线上一点，直线2xp=交抛物线C于M，N两点，若PMN的面积为20，则p=（）A.1B.2C.2D.5【答案】C【解析】【分析】求得,MN两点的坐标，根据PMN的面积列方程，解方程求得p的值.【

详解】由题意不妨设2222MppNpp−（，）,（，），则PMN的面积为1542022pp=，解得2p=.故选：C7.已知直线l与直线20xy−+=平行，且与曲线2ln1yxx=−+相切，则直线l的方程是（）A.ln220xy++−=B.ln220x

y−+−=C.ln220xy−−−=D.ln220xy−++=【答案】B【解析】【分析】求导212yxx=+，根据直线l与直线20xy−+=平行，令2121yxx=+=，求得切点坐标，然后写出切点方程.【详解】因为

2ln1yxx=−+，所以212yxx=+，因为直线l与直线20xy−+=平行，令2121yxx=+=，解得2x=或1x=−（舍去），所以切点的坐标为()2,ln2，故直线l的方程为ln22yx−=−，即ln220xy−+−=故选：B.8.朱载堉是明太祖朱元璋的九世孙，虽然贵

为藩王世子，却自幼俭朴敦本，聪颖好学，遂成为明代著名的律学家，历学家、音乐家.朱载堉对文艺的最大贡献是他创建下十二平均律，亦称“十二等程律”.十二平均律是将八度的音程按频率比例分成十二等份，也就是说，半单比例应该是1122，如果1

2音阶中第一个音的频率是F，那么第二个音的频率就是1122F，第三个单的频率就是2122F，第四个音的频率是3122F，……，第十二个音的频率是11122F，第十三个音的频率是12122F，就是2F.在

该问题中，从第二个音到第十三个音，这十二个音的频率之和为（）.A.2FB.121212112F−C.112121F−D.112112221F−【答案】D【解析】【分析】分析题意，利用等比数列的求和公式即可计算得解.【详解】由题意知，第二个音到第十

三个音的频率分别为12312121212122,2,2,,2LFFFF，显然以上12个数构成了以1122F为首项，以1122为公比的等比数列，由等比数列求和公式得：1211121211211121221221221

−=−−FF.故选：D.【点睛】关键点点睛：本题考查等比数列求和公式，解题的关键是分析题意将第二个音到第十三个音的频率构成以1122F为首项，以1122为公比的等比数列，再根据等比数

列求和公式可得，考查学生的分析解题能力与转化思想及运算能力，属于基础题.9.函数()()cosfxx=+（0，π2），其图象相邻两条对称轴间的距离为π2，将其图象向右平移π6个单位长度后所得图象关于y轴对称，则下列点是()fx图象的对

称中心的是（）A.π,024B.π,012C.π,06D.π,03【答案】B【解析】【分析】由题可得T=，继而求得2=，求得平移之后的解析式，根据关于y轴对称求得π3=，令ππ2π32xk+=+，

Zk，可得出对称中心.【详解】因为()fx图象的相邻两条对称轴间的距离为π2，所以2ππT==，所以2=.因为()fx的图象向右平移π6个单位长度后得到曲线πcos23yx=−+，又其图象关于y轴对称，所以ππ3k−+=，Zk，即ππ3k=+，Z

k.因为π2，所以π3=，故()πcos23fxx=+，令ππ2π32xk+=+，Zk，得ππ122kx=+，Zk.当0k=时，π12x=，所以点π,012是()fx图象的一个对称中心.故选：B.10.某流行病调查中心的疾控人员针对该地

区某类只在人与人之间相互传染的疾病，通过现场调查与传染源传播途径有关的蛛丝马迹，根据传播链及相关数据，建立了与传染源相关确诊病例人数()Ht与传染源感染后至隔离前时长t（单位：天）的模型：()+=ktHte.已知甲传染源感染后至隔离前时长为5

天，与之相关确诊病例人数为8；乙传染源感染后至隔离前时长为8天，与之相关确诊病例人数为20.若某传染源感染后至隔离前时长为两周，则与之相关确诊病例人数约为（）A.44B.48C.80D.125【答案】D【

解析】【分析】根据()()58,820HH==求得3ke，由此求得()14H的值.【详解】依题意得5(5)8+==kHe，8(8)20+==kHe，853(8)205(5)82++====kkkHeeHe，所以()1333455(14)81252++====

kkkHeee.故若某传染源感染后至隔离前时长为两周，则相关确诊病例人数约为125.故选：D11.如图，已知正方体1111ABCDABCD−的棱长为3，点H在棱1AA上，且11HA=，P是侧面11BCCB内一动点，13HP=，则CP的最小值为（）A.132−B.13

3−C.152−D.153−【答案】A【解析】【分析】作1HGBB⊥交1BB于点G，可得出点P的轨迹是以G为圆心，2为半径的圆弧，即可求出.【详解】如图，作1HGBB⊥交1BB于点G，则可得HG⊥平面11BC

CB，GP平面11BCCB，HGGP⊥，则3HG=，因为13HP=，所以2GP=，所以点P的轨迹是以G为圆心，2为半径的圆弧，所以CP的最小值为2132CG−=−．故选：A.【点睛】关键点睛：判断出

点P的轨迹是以G为圆心，2为半径的圆弧是解题的关键.12.已知1F，2F分别是双曲线22221(0,0)xyabab−=的左、右焦点，点P在双曲线右支上且不与顶点重合，过2F作12FPF的角平分线的垂线，垂

足为A．若15FAb=，则该双曲线离心率的取值范围为（）A.()1,2B.32,2C.()2,3D.3,32【答案】B【解析】【分析】根据题中的条件求出OAa=，根据三角形两边之和大于

第三边得到312e，再根据22OAF，得到2e，即可求出离心率的取值范围.【详解】解：如图所示：1F，2F是双曲线22221(0,0)xyabab−=的左右焦点，延长2FA交1PF于点Q，PA是12FPF的角平分线，2PQPF=，又点P在双曲线上

，122PFPFa−=，112PFPQQFa−==，又O是的12FF中点，A是2FQ的中点，OA是12FFQ△的中位线，122QFaOA==，即OAa=，在1FOA△中，OAa=，15FAb=，1OFc=，由

三角形两边之和大于第三边得：5acb+，两边平方得：()225acb+，即()222225acacca++−，两边同除以2a并化简得：2230ee−−，解得：312e−，又1eQ，312e，在1FOA△中，由余弦定理可知，2222211

1112cos2255AFFOAOcAFAFFObaObc+−+−==，在12FAF中，22222211222111254cos245AFFFAFbcAFAFAFFFbcO+−==−+，即22222225425455bcAFccbab

bc+−+−=，又222bca=−，解得：222273AFac=−，又22OAF，2222OAAFOC+,即222273aacc+−，2e，综上所述：32,2e.故选：B.【点睛】方法点睛：求双曲线的离心率(或离心率的取值范围)，常

见有两种方法：①求出a，c，代入公式cea=；②只需要根据一个条件得到关a，b，c的齐次式，结合222bca=−转化为a，c的齐次式，然后等式(不等式)两边分别除以a或2a转化为关于e的方程(不等式)，解方

程(不等式)即可得e(e的取值范围)．第Ⅱ卷二、填空题：本大题共4小题，把答案填在答题卡上.13.已知函数2,0()(3),0xxfxfxx=−，则(6)f=______.【答案】1【解析】【分析】根据分段函数

每一段的定义域求解.【详解】因为函数2,0()(3),0xxfxfxx=−，所以0(6)(3)(0)21fff====.故答案为：114.在等差数列na中，1242,8aaa=+=−，则数列na的公差为_______

__.【答案】3−【解析】【分析】设数列na的公差为d.，根据等差数列下标和性质得到3a，再根据nmaadnm−=−计算可得；【详解】解：设数列na的公差为d.因为248aa+=−，所以34a=−，则31423312aad−−−===−−.故答案为：3

−15.将一个斜边长为4的等腰直角三角形以其一直角边所在直线为旋转轴旋转一周，所得几何体的表面积为_________.【答案】(882)+【解析】【分析】先求出等腰直角三角形的直角边长，进而求出旋转体圆锥的底面半径和母线，再利用圆锥的表面积公式即

可求出结果.【详解】因为等腰直角三角形的斜边长为4，所以直角边长为22，由题意可知所得几何体是圆锥，其底面圆的半径22r=，母线长4l=，则其表面积为()2882rrl+=+.故答案为：(882)+.【点睛】关键点点睛：该题考查的是

有关圆锥的表面积的问题，正确解题的关键点是：（1）要确定旋转后所得到的几何体是圆锥；（2）要明确圆锥的各个量：底面圆的半径以及母线长；（3）要熟练掌握圆锥的表面积公式.16.“养国子以道，乃教之六艺”出自《周礼·保氏》，其中六艺是指礼、乐、射、御、书、

数，是中国周朝时期贵族教育体系中要求学生所必需掌握的六种基本才能，而一般商贾之家，因受当时的生产力、经济等各方面条件制约，在教育方面只能为孩童挑选部分才能进行培养，已知某商贾觉得“君子不学礼无以立”，而其两个孩童对“数”均有浓厚兴趣，商贾依据自己的能力，只能为每个孩童择四艺进行培

养.若令商贾和两个孩童都满意，其余二艺随机选取，那么两个孩童至少有一个选到“御”的概率为______.【答案】34【解析】【分析】根据商贾和两个孩童都满意，得到“礼”“数”为必选，然后利用古典概型，先求得两个孩童都不选“御”的概率，再利用

对立事件概率求解.【详解】由题意得，“礼”“数”为必选，所以两个孩童都不选“御”的概率为2233224414CCCC=，故两个孩童至少有一个选到“御”的概率为13144−=.故答案为：34三、解答题：本大题共6小题.解答应写

出必要的文字说明、证明过程或演算步骤.17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答，第22，23题为选考题，考生根据要求作答.（一）必考题：17.在ABC中，角,,ABC所对的边分别为,,abc.已知3B=.（1）若4,3ac==，求sin

A的值（2）若ABC的面积为43，求ABC周长的最小值.【答案】（1）23913；（2）12【解析】【分析】（1）由余弦定理得13b=，再根据正弦定理得239sin13A=；（2）由题知16ac=，进而由余弦定理得222bacac=+−，再结合

基本不等式得4b，由于()223464acbacac+=+=，进而得8ac+，故12abc++，当且仅当ac=是等号成立，进而得周长的最小值.【详解】解：（1）由余弦定理可得22212cos169243132bacacB=+−=+−

=，则13b=.由正弦定理可得sinsinabAB=，则34sin2392sin1313aBAb===.（2）因为ABC的面积为43，所以13sin4324acBac==，则16ac=.由余弦定理可得222222cosbacacBacac=+−

=+−，则216bac=（当且仅当ac=时，等号成立），即4b.因为()22223bacacacac=+−=+−，所以()223464acbacac+=+=，所以8ac+（当且仅当ac=时，等号成立），

故12abc++，即ABC周长的最小值为12.【点睛】本题第二问解题的关键在于根据余弦定理，结合基本不等式得22216bacacac=+−=，()223464acbacac+=+=，当且仅当ac=时，等号成立，进而求得答案.18.为了解生猪市场与当地居民人均收人水平的关系农业农村部对160城

镇当月的猪肉价格(元/千克)与居民人均收入(元/月)进行了随机调研得到如下表格：猪肉价格(元/千克)人均收入(元/月)(0,40](40,50](50,60](0,3000]6150(3000,4000]2275(4000,5000]94516(5000,6000]

01619（1）估计全国各地猪肉价格在(50,60](元/千克)内的概率；（2）估计这160个城镇的居民人均收人(元/月)的中位数(计算结果保留整数)；（3）根据所给数据完成下面的列联表并根据列联表判断

是否有99.5%的把握认为当月的猪肉价格与当地居民人均收入水平有关.附：22()()()()()nadbcKabcdacbd−=++++，其中nabcd=+++.()2PKk0.050.0100.005k3.8416.

6357.879猪肉价格(元/千克)人均收入(元/月)(0,50](50,60]合计(0,4000](4000,6000]合计【答案】（1）14；（2）中位数约为4357；（3）列联表见解析，有99.5%的把握认为当月的猪肉价格与当地居民人均收入水平有关.【解析】【分析】（1）根据频率的定义即可求

出样本的频率，即可估计全国各地猪肉价格在（50，60]（元/千克）内的概率；（2）根据中位数的定义即可求出；（3）根据题目所给的数据填写2×2列联表，计算K的观测值K2，对照题目中的表格，得出统计结论．【详解】（1）因为这160个城镇的猪肉价格在(50.60](元/千克)内的频率为5161911

604++=，所以据此得全国各地猪肉价格在(50.60](元/千克)内的概率约为14；（2）因为居民人均收入(元/月)在(0,4000的频率为6152275111160322++++−，居民人均收入

(元/月)在(0,5000]内的频率为5594516251160322+++=，所以居民人均收入(元/月)的中位数在(4000,5000]之间，因为11130500232400010004357251173232−+=−.所以中位数约为4357；（3）列联表如下：猪肉价格(元/千

克)人均收人(元/月)(0,50](5060，合计(0,400050555(4000,6000]7035105合计12040160因为22160(5035705)112011.3137.879551051204099K−==

，所以有99.5%的把握认为当月的猪肉价格与当地居民人均收入水平有关.【点睛】方法点睛：在频率分布中中位数的求法是：中位数的两边频率和都为0.5.19.如图，在三棱柱ABC—A1B1C1中，B1C1⊥平面AA1C1C，D是AA1的中点，ACD是边长为1的等边三角形.（1）求证：CD⊥B1D；

（2）若BC=3，求二面角B—C1D—B1的大小.【答案】（1）证明见解析；（2）6【解析】【分析】（1）根据计算，利用勾股定理逆定理得1CDDC⊥;根据B1C1⊥平面AA1C1C，得11CDBC⊥,最后

根据线面垂直判断定理以及性质定理证明结果；（2）建立空间直角坐标系，利用空间向量数量积求二面角大小.【详解】（1）因为ACD是边长为1的等边三角形，所以11111121,1,33CDADACDACCD=====22211112CCCCCDCDCDDC=

=+⊥因为B1C1⊥平面AA1C1C，CD平面AA1C1C，所以11CDBC⊥因为111,DCBC为平面B1C1D内两相交直线，所以CD⊥平面B1C1D因为1BD平面B1C1D,所以CD⊥B1D；（2）以D为坐标原点，1,,D

CDC过D平行BC直线为,,xyz轴建立如图所示空间直角坐标系，则11(0,0,0),(3,0,0),(3,0,3),(0,1,3),DCBB设平面BC1D的一个法向量为1(,,)nxyz=，平面C1DB1的一个法向量为2111(,,)nxyz=由11100nDCnDB=

=得300,30xxyz==+=令1,3zy==−1(0,3,1)n=−由212100nDCnDB==得300,330xxzxz===+=令1,y=2(0,1,0)n=1212

1212335cos,,2126||||nnnnnnnn−===−=因为二面角B—C1D—B1为锐二面角，所以二面角B—C1D—B1为6【点睛】本题考查线面垂直判定与性质定理、利用

空间向量求二面角，考查综合分析论证与求解能力，属中档题.20.已知函数()(1)exfxx=−（1）求()fx的最值；（2）若()elnxfxxxa+++对(0,)x+恒成立，求a的取值范围.【答案】（1）最小值为1−，无最大值；（2）(,1−.【解析】【分析】（1）求导()exfx

x=，因为得定义为R，分别令()0fx，()0fx求得极值即为最值.（2）转化为elnxaxxx−−在(0,)+上恒成立，令()elnxgxxxx=−−，用导数求得其最小值即可.【详解】（1）(

)exfxx=，令()0fx，得0x；令()0fx，得0x.所以()fx在(),0−上单调递减，在()0,+上单调递增，所以()fx的最小值为(0)1f=−，无最大值.（2）由题知，elnxaxxx−

−在(0,)+上恒成立，令()elnxgxxxx=−−，则1()(1)exgxxx=+−，因为0x，所以10x+.设1()exhxx=−，易知()hx在(0,)+上单调递增.因为1e2

02h=−，(1)e10h=−所以存在1,12t，使得()0ht=，即1ett=.当,()0xt时，()0gx，()gx在(0,)t上单调递减；当(,)xt+时，()0gx，()gx在(,)t+上单调递增.所以min()()e

ln11tgxgtttttt==−−=+−=，从而1a，故a的取值范围为(,1−.【点睛】方法点睛：恒（能）成立问题的解法：若()fx在区间D上有最值，()()min,00xDfxfx；()()max,00xDfxfx；若能分离常

数，即将问题转化为：()afx（或()afx），则()()maxafxafx；()()minafxafx；21.已知12,FF分别是椭圆2222:1(0)xyCabab+=的左，右焦点，

过点1F的直线l与椭圆C交于A，B两点，点(2,1)M在椭圆C上，且当直线l垂直于x轴时，||2AB=.（1）求椭圆C的标准方程；（2）是否存在实数t，使得1111AFBFtAFBF+=恒成立.若存在，求出t的值；若不存在，说明理由【答案】（1）22142xy+=；（2）存在；2t=.

【解析】【分析】（1）根据题意得到关于,ab的方程组，求解出22,ab的值，则椭圆方程可求；（2）根据条件可得1111AFBFtAFBF+=，当直线l的斜率不存在时，直接计算即可；当直线l的斜率存在时，设()2:lykx=+，联立直线l与

椭圆方程，根据韦达定理形式表示出t，由此确定出是否存在t满足条件.【详解】解：（1）由题意可得()222222211bABaab==+=，解得224,2ab==.故椭圆C的标准方程为22142xy+=.（2）由（1）可知()()122,02

,0FF-，.当直线l的斜率不存在时，2111bAFBFa===，则11112AFBFtAFBF+==.当直线l的斜率存在时，设其斜率为k，则直线l的方程为()()()11222,,,,ykxAxyBxy=+.联立()222142ykxxy=++=，整

理得()22222142440kxkxk+++−=，则221212224244,2121kkxxxxkk+=−−=++，从而()2212121224+1421kxxxxxxk−=+−=+故221112244121kAFBFABkxxk++==+−=+由题意可得

22111212,12AFkxBFkx=++=++.则()()()2211121222112221kAFBFkxxxxk+=++++=+.因为1111AFBFtAFBF+=，所以()22112112442122121kAFBFktAFBFkk+++

===++.综上，存在实数2t=，使得1111AFBFtAFBF+=恒成立.【点睛】易错点睛：利用直线与圆锥曲线联立求解相关问题的易错点：（1）假设直线方程的时候，要注意分析直线的斜率是否存在；（2）利用公式2121kxx+−或21211yyk+−不仅可以求解弦长

，同时还可以求解两点之间的距离.（二）选考题：请考生在第22，23题中任选一题作答.选修4-4：坐标系与参数方程22.数学中有许多寓意美好的曲线，在极坐标系中，曲线C：sin3=（R，)0,2）被称为“三叶玫瑰线”（如图所示）

．（1）求以极点为圆心的单位圆与三叶玫瑰线交点的极坐标；（2）射线1l，2l的极坐标方程分别为0=，02=+（)00,2，0），1l，2l分别交曲线C于点M，N两点，求2211OMON+的

最小值．【答案】（1）1,6A，51,6B，31,2C；（2）4.【解析】【分析】（1）将单位圆与三叶玫瑰线联立sin31==，解得sin31=，求得的值，进而求得单位圆与三叶玫瑰线交点的极坐标；（2）代入极坐标方程，求得点,MN

所对应的极径分别为1，2，得到22,OMON，即可求得2211||||OMON+的最小值.【详解】（1）将单位圆与三叶玫瑰线联立sin31==，解得sin31=，所以32()2kk=+Z，2()63kk=+

Z，因为)0,2，取k=0，1，2，得6=，56，32，从而得到单位圆与三叶玫瑰线交点的极坐标为1,6A，51,6B，31,2C．（2）将0=，02=+代入C：)()s

in3,0,2R=，点M，N所对应的极径分别为1，2，所以10sin3=，20cos3=−，即220sin3OM=，220cos3ON=，2222001111||||sin3cos3OMON

+=+()2222000022220000sin3cos311sin3cos324sin3cos3cos3sin3=++=++当且仅当20tan31=时，取得最小值4．选修4-5

：不等式选讲23.已知函数()5fxxa=+−．（1）证明()5fxxa+−；（2）已知0a，若不等式()210fxx+−的解集为(),mn，且43nm−=，求a的值．【答案】（1）证明见解析；（2）3

a=.【解析】【分析】（1）由()|5||||5|5fxxaxaxa−+−=+−+−−，利用绝对值的几何意义知即可证明()5fxxa+−；（2）将原函数不等式转化为||2|1|5xax++−，令()21gxxax=++−，即()5gx的解集为(),mn，结合分段函数的性质有

1n且(1)5,()()5ggmgn==，讨论边界值()ga−与5的大小关系，从而确定m的所在区间，结合43nm−=即可求a值．【详解】（1）证明：()|5||||5|5fxxaxaxa−+−=+−+−−．由绝对值三角不等式知：|||5||()(5)|5xaxaxaxa+−+−+−+−

=，∴()|5|550fxxa−+−−=，即()5fxxa+−得证.（2）解：()2|1|0fxx+−，则||2|1|5xax++−，令32,()212,132,1xaxagxxaxxaaxxax−+−−=++−=−+

+−+−，min()(1)15()325gxgagnna==+=+−=，则0473aan−=，而()1g左侧有：①当()225gaa−=+时，有1am−，所以()25gmma=−++=，得3ma=−，即34274333aaa−−+=

，得3a=．②当()225gaa−=+时，有ma−，所以()325gmma=−+−=，得33am−−=，即302731043333aaa−−−−=，故此时a无解．综上，3a=．【点睛】关键点点睛：（1）将被证不等式转化为|||5|5xaxa+−+−，利用|

|||||abab−−即可证不等式；（2）令()21gxxax=++−，则原不等式等价于()5gx且(),mn为解集，根据分段函数的性质有(1)5()()51ggmgnn==，讨论()ga−与5的大小确定m的所在区间，求参数值.