【文档说明】黑龙江省嫩江市高级中学2021届高三12月月考数学（文）试卷含答案.doc，共(9)页，1.037 MB，由小赞的店铺上传

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高三数学（文科）试题注意事项:1.答卷前，考生务必将自己的姓名和准考证号填写在答题卡上.2.回答选择题时，选出每道小题答案后，用B2铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效.第I

卷（选择题共60分）一、选择题：（本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1.设{|5}AxZx=„，|1BxRx=，则AB=（）A.1,2,3,4,5B.2,3,4,5C.25xxD.15xx2．设(),

−，且1cos2=−，则=（）A．23−或23B．3−或3C．3−或23D．23−或33．复数12zi=−(其中i为虚数单位)，则3zi+=（）A．5B．2C．2D．264．算盘是中国传统的计算工具，是一项伟大的、重要的发明，在阿拉伯数字出现前

是全世界广为使用的计算工具.“珠算”一词最早见于东汉徐岳所撰的《数术记遗》，其中有云：“珠算控带四时，经纬三才.”北周甄鸾为此作注，大意是：把木板刻为3部分，上、下两部分是停游珠用的，中间一部分是作定位用的.下图是一把算盘的初

始状态，自右向左，分别是个位、十位、百位、，上面一粒珠（简称上珠）代表5，下面一粒珠（简称下珠）是1，即五粒下珠的大小等于同组一粒上珠的大小.现在从个位和十位这两组中随机选择往下拨一粒上珠，往上拨2粒下珠，算盘表示的数

为质数（除了1和本身没有其它的约数）的概率是（）A．13B．12C．23D．165．已知集合3,AxxkkN==,6,BxxzzN==，则“xA”是“xB”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不

充分也不必要条件6．已知等差数列na的前n项和为nS且公差0d，若743Sa=，则（）A．34SS=B．35SS=C．45SS=D．46SS=，7．若x>1，则121xx+−的最小值为（）A．22

2+B．22−C．222−+D．228．若圆22()()4xaya−+−=上有且仅有两个点到原点的距离为2，则实数a的取值范围为（）A．(220)−，B．(220)(022)−，，C．(221)(122)−−，，D．(022)，9．某医学团队研制出预防新冠病毒的新药服用x小时后

血液中的残留量为y毫克，如图所示为函数()yfx=的图象，当血液中药物残留量不小于240毫克时，治疗有效．设某人上午8：00第一次服药，为保证疗效，则第二次服药最迟的时间应为（）A．上午10：00B．中午12：00C．下午4：00D．下午6：0010.已知双曲线2221(0)12x

yaa−=的一条渐近线方程为30xy−=，左焦点为F，当点M在双曲线右支上，点N在圆22(3)1xy+−=上运动时，则MNMF+的最小值为（）A．8B．7C．6D．511．四棱锥PABCD−的顶点都在球O的球面上，ABCD是边长为32的正方形，若四棱锥PAB

CD−体积的最大值为54，则球O的表面积为（）A．36B．64πC．100D．14412．点P在函数y＝ex的图象上．若满足到直线y＝x+a的距离为2的点P有且仅有3个，则实数a的值为（）A．22B．23C．

3D．4第Ⅱ卷（非选择题共90分）本卷包括必考题和选考题两部分.第13题～21题为必考题，每个试题考生都必须作答.第22题、第23题为选考题，考生根据要求作答.二．填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）13．

如下一组数据：10，12，25，10，30，10，13；则该组数据的中位数与众数的差为_________.14．下列命题中正确的是__________（填序号）①若直线l与平面相交，则l与平面内的任意直线都是异面直线；②若两条异面直线中的一条与一个

平面平行，则另一条一定与该平面相交；③若直线l与平面平行，则l与平面内的直线平行或异面15.设I为ABC的内心，5,6,ABACBCAImABnBC====+，则+mn为.16．斐波那契数列，指的是这样一个数列：1,1,2,3,5,8,13,21,

34,55,89，...，在数学上，斐波那契数列na定义为12211,1,nnnaaaaa++===+，斐波那契数列有种看起来很神奇的巧合，如根据21nnnaaa++=+可得：21nnnaaa++=−，所以1232432122+++()()()nnnnaaa

aaaaaaaa+++=−+−+−=−，类比这种方法，请计算2221210+++=aaa三、解答题（本大题共6小题，共70分，解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤.）17．已知函数2()sin

12sin62xfxx=++−（1）求()fx的单调递增区间；（2）记ABC的内角A､B､C的对边长分别为a，b，c，若()3,1,3fBba===，求c.18．在疫情这一特殊时期，教育行政部门部署了“停课不停学”的行动，全力帮助学生在线学习.复课后进行了摸底考试，我校

数学教师为了调查高三学生这次摸底考试的数学成绩与在线学习数学时长之间的相关关系，对在校高三学生随机抽取45名进行调查.知道其中有25人每天在线学习数学的时长是不超过1小时的，得到了右侧的等高条形图：（1）将频率视为概率，求学习时长不超过1小时但

考试成绩超过120分的概率；（2）依题意，完成以下22列联表（直接填写表格即可）：在线时长数学成绩不超过120分超过120分合计不超过1小时25超过1小时20合计202545是否有99%的把握认为“高三学生的

这次摸底考试数学成绩与其在线学习时长有关”.()()()()()22nadbcKabcdacbd−=++++19．如图，在边长为2的菱形ABCD中，60ADC=，现将ADC沿AC边折到APC△的位置．()20PKk0.0500.0100.

0010k3.8416.63510.828（1）求证：PBAC⊥；（2）求三棱锥PABC−体积的最大值．20．已知椭圆E：22221(0)xyabab+=过点(0,2)，且离心率为22．（1）求椭圆E的方程；（2）设直线1xmy=−，()mR交椭圆E于A，B两点，判断点9(,0

)4G−与以线段AB为直径的圆的位置关系，并说明理由．21．已知函数()2xfxeaex=−.（1）讨论()fx的单调区间；（2）当0a时，证明：()2lnfxex.请考生在第22、23两题中任意选一题作答，如果多做

，则按所做的第一题记分.作答时，用2B铅笔在答题卡上把所选题目对应的题号涂黑.22．(本小题满分10分)选修4-4：坐标系与参数方程在平面直角坐标系xOy中，圆C的参数方程为5cos,5sinxay=+

=（为参数），直线l的参数方程为2,2,xtyt==（t为参数），设原点O在圆C的内部，直线l与圆C交于M、N两点；以坐标原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系.（1）求直线l和圆C的极坐标方程，并求a的取值范围；（2）求证：22OMON+为定值.23．（本小题满分

10分）选修4-5：不等式选讲已知函数()211fxxx=−++.（1）解不等式()6fx；（2）记函数()()1gxfxx=++的最小值为m，若,,abcR，且230abcm++−=，求222abc++的最小值.参考答案一．选择题题号123456789101112选项BABABAABCA

CC二、填空题13.214.③15.151616.4895三、解答题17.（1）3133()sincoscossincos3sin22223fxxxxxxx=++=+=+，利用正弦函数的单调增区间易得()fx的单调增区间为52,2()66kkkZ−++

，（2）()3sin33fBB=+=，所以sin13B+=，因为角B是ABC的内角，所以6B=由余弦定理知：2222313cos2223acbcBacc+−+−===，解得1c=或2c=.19.（1）如图所示，取AC的中点为O，连接POOB、，易得ACPOACOB⊥⊥

，，POOBO=ACPOB⊥平面,又PB面POBACPB⊥（2）由（1）知ACPOB260?AC2POOB3ABCDADC⊥====平面，且在边长为的菱形中，，所以，，PABCAPOBCPOB

VVV−−−=+体积转化为ΔPOB1ACS3==11233sinsin32POBPOB=,当POB90=时，PABCV−的最大值为1.20.（1）由已知得2222,2,2,bcaabc===+解

得222abc===，所以椭圆E的方程为22142xy+=．（2）设点()()1122,,AxyBxy，则112299(,),G(,)44GAxyBxy=+=+．由221142xmyxy=−+=得()222230mymy+−−=，所以12122223,22myyyymm+==−

++，从而121212129955()()()()4444GAGBxxyymymyyy=+++=+++()()()()()22221212222315255251721041621622162mmmmyymyymmm++=++++=−+=+++所以cos,0GAGB，又,GA

GB不共线，所以AGB为锐角．故点9(,0)4G−在以AB为直径的圆外．21.（1）解：()fx的定义域为(),−+，()2xfxeae=−．当0a时，()0fx¢>，则()fx的增区间为(),−+，无减区

间．当0a时，由()0fx¢=，得2lnxa=+．当(),2lnxa−+时，()0fx¢<；当()2ln,xa++时，()0fx¢>，所以()fx的减区间为(),2lna−+，增区间()2ln,a++．（2）证明：法一：要证明22lnxaexexe−．由

于当0a时，20aex，只要证2ln0xeex−．设()2lnxgxeex=−，则()2xgxeex=−，()220xgxexe=+，所以()gx在()0,+?上是增函数．又()210gee=−，()222202

2egee=−=，所以存在()01,2x，使得()02000xgexex=−=，即020xeex=，00ln2xx=−．所以当()00,xx时，()0gx¢<；当()0,xx+时，()0gx¢>，因此()gx在()00,x上是减函数，在()0,x+上是增函数，所

以()gx有极小值，且极小值为()()022222222000000ln22220xgxeexexexeeexexe=−=−−=+−−=．因此()0gx，即2ln0xex−−．综上，当0a时，()2lnfxex．法二

：要证明22lnxaexexe−，只要证22lnxexxexae−．设()()20xgxaexxe=−，则()()21xxegxx−=．当01x时，()0gx¢<；当1x时，()0gx¢>，所以()gx在()0,1上是减函数，在(

)1,+?上是增函数，所以1x=是()gx的极小值点，也是最小值点，且()()2min1gxgeae==−．令()()2ln0xhxexx=，则()()221lnxhxxe−=．当0xe时，()0hx；当ex时，()0hx，所以()hx在()0,e上是增函数，在(),

e+上是减函数，所以xe=是()hx的极大值点，也是最大值点，且()()maxhxhee==，所以当0a时，()()2gxeaeehx−，即22lnxexxexae−．综上，当0a时，()2lnfxex．法三：要证明22lnxaexexe−．由于当0a

时，20aex，只要证2ln0xeex−．设()()()222222lnlnxxgxeexexexeeeex=−=−++−−，令()()220xhxeexex=−+，则()2xhxee=−，当02x时，()0hx

；当2x时，()0hx，所以()hx在()0,2上是减函数，在()2,+?上是增函数，所以2x=是()hx的极小值点，也是()hx的最小值点，即()()min20hxh==．设()222lnmxexeex=−−，则()()2221xemxexxe−=

−=．当01x时，()0mx；当2x时，()0mx，所以()mx在()0,1上是减函数，在()1,+?上是增函数，所以1x=是()mx的极小值点，也是()mx的最小值点，即()()min10mxm==．综上，()0hx（当且仅当2x=时取等号），()0mx（当且仅当1x=时取等

号），所以()()()0gxhxmx=+，故当0a时，()2lnfxex．22.解（1）将直线l的参数方程化为直角坐标方程，得yx=，所以直线l的极坐标方程为()4R=；将圆C的参数方程化为直角坐标方程，

得()225xay−+=，所以圆C的极坐标方程为()222cos50aa−+−=.由原点O在圆C的内部，得()22005a−+，解得55a−，故a的取值范围是()5,5−.（2）将4=代入()222cos50aa−+−=，得22250aa−+−=.则122a+=

，2125a=−，所以()222221212122OMON+=+=+−()()2222510aa=−−=，故22OMON+为定值.23．解：（1）()161216xfxxx−−−−或1121216xxx−−++或1

22116xxx−++，解得22x−，即不等式()6fx的解集为22xx−.（2）()()1212221223gxfxxxxxx=++=−++−−−=，当且仅当()()21220xx−+时取等号，∴3m=.故233ab

c++=.由柯西不等式()()()2222222123239abcabc++++++=，整理得222914abc++，当且仅当123abc==，即314a=，614b=，914c=时等号成立.所以222abc++的最小值为914.