【文档说明】广东省中山市2021届高三上学期期末考试数学试题 含答案.docx，共(15)页，865.166 KB，由小赞的店铺上传

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1中山市高三年级2020-2021学年度第一学期期末统一考试数学试卷本试卷共22题，满分150分.考试用时120分钟.注意事项：1.答卷前，考生务必将自己的姓名、统考考号、座位号填写在答题卡上.2.作答选择题时，选出每

小题答案后，用2B铅笔在答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案.答案不能答在试卷上.3.非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新答案

；不准使用铅笔和涂改液.不按以上要求作答无效.4.考生必须保持答题卡的整洁.考试结束后，将答题卡交回，试卷不用上交.第Ⅰ卷（选择题共60分）一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项

中，只有一项是符合题目要求的.1.设集合24AxZx=，1,2,Ba=，且ABA=，则实数a的取值集合为（）A.2,1,0−−B.2,1−−C.1,0−D.2,1,1−−2.已知复数z满足2335zii=

+−，则在复平面内，复数z所对应的点位于（）A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限3.已知变量x，y的关系可以用模型kxyce=拟合，设lnzy=，其变换后对应的数据如下：x16171819z50344

131由上表可得线性回归方程4zxa=−+，则c=（）2A.-4B.4e−C.109D.109e4.下图为服用同等剂量的三种新药后血药浓度（mg/ml）的变化情况，其中点iA的横坐标表示服用第i种药后血药浓度达峰（最高浓度）时间，其它点的横坐标分别表示服用三种新药后血药浓度首次降到

峰值一半时所用的时间（单位：h），点iA的纵坐标表示第i种药的血药浓度的峰值（1,2,3i=）.记iV为服用第i种药后达到血药浓度峰值时，血药浓度提高的平均速度，记iT为服用第i种药后血药浓度从峰值首次降

到峰值的一半所用的时间，则1V，2V，3V中最小的，1T，2T，3T中最大的分别是（）A.2V，3TB.2V，2TC.1V，3TD.1V，2T5.已知椭圆1C：()222210xyabab+=的离心率与双曲线2C：22221xyab−=的离心率的一个等比中项为32

，则双曲线2C的渐近线方程为（）A.14yx=B.12yx=C.74yx=D.472yx=6.为应对新冠疫情，许多企业在非常时期转产抗疫急需物资.某工厂为了监控转产产品的质量，测得某批n件产品的正品率为98%，现从中任意有

放回地抽取3件产品进行检验，则至多抽到1件次品的概率为（）A.0.998816B.0.9996C.0.057624D.0.0011847.已知函数()sin1fxxx=+，则下列能正确表示函数()fx（粗线）及导函数'()fx（细线）图象的是（

）3A.B.C.D.8.“大摆锤”是一种大型游乐设备（如图），游客坐在圆形的座舱中，面向外，通常“大摆锤”以压肩作为安全束缚，配以安全带作为二次保险，座舱旋转的同时，悬挂座舱的主轴在电机的驱动下做单摆运动.假设小明坐在点A处，“大摆锤”启动后，主轴OB

在平面内绕点O左右摆动，平面与水平地面垂直，OB摆动的过程中，点A在平面内绕点B作圆周运动，并且始终保持OB⊥，B.设4OBAB=，在“大摆锤”启动后，下列结论错误的是（）A.点A在某个定球面上运动；B.与水平地面所成锐角记为，直线OB与水平地面所成角记为

，则+为定值；C.可能在某个时刻，//AB；D.直线OA与平面所成角的正弦值的最大值为1717.二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，

有选错的得0分.9.经过点()4,2P−的抛物线的标准方程为（）A.2yx=B.28xy=C.28xy=−D.28yx=−10.函数()()()2sin0,fxx=+的部分图象如图所示，则下列结论正确的是（）4A.1()2si

n36fxx=−B.若把()fx的横坐标缩短为原来的23倍，纵坐标不变，得到的函数在,−上是增函数C.若把函数()fx的图像向左平移2个单位，则所得函数是奇函数D.函数()yfx=的图象关于直线4x=−对称11.若随机变量()~

0,1N，()()xPx=，其中0x，下列等式成立有（）A.()1()xx−=−B.()22()xx=C.()2()1Pxx=−D.()2()Pxx=−12.由等边三角形组成的网格如图所示，多边形ABCDEFGHIJ是某几

何体的表面展开图，对于该几何体（顶点的字母用展开图相应字母表示，对于重合的两点，取字母表中靠前的字母表示），下列结论中不正确的是（）A.BJ⊥平面ADJB.平面//BCJ平面EAD5C.平面ECB⊥平面EADD.

BEAJ⊥第Ⅱ卷（非选择题共90分）三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13.二项式61xx−的展开式中的常数项为_________.14.已知1,1(),1xxfxxx+=，若()()1fxfx+

，则x的取值范围是________.15.如图所示，直角坐标系中网格小正方形的边长为1，若向量a，b，c满足()0atbc+=，则t=________.16.数列na满足：12a=，111nnaa−=−，①4a=________；②若na有一个形如(

)()sin0,0naAnBA=++的通项公式，则此通项公式可以为na=________.（写出一个即可）四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17.在锐角ABC△中，设角A，B，C所对的边长分别

为a，b，c，且3sin2bAa=.（1）求B的大小；（2）若2AB=，32BC=，点D在边AC上，__________，求BD的长.请在①ADDC=；②DBCDBA=；③BDAC⊥这三个条件中选

择一个，补充在上面的横线上，并完成解答（如选多个条件作答，按排列最前的解法评分）.618.在数1和100之间插入()*nnN个实数，使得这2n+个数构成递增的等比数列，将这2n+个数的乘积记作nT，令lgnnaT=.（1）求数列na的通项公式；（2）设()122nnnba−=−，求

数列nb的前n项和nS.19.如图，已知四棱锥PABCD−，底面ABCD为菱形，120ABCBCP==，2BCPC==，平面PCB⊥平面ABCD，M为BC的中点.（1）求证：PBDM⊥；（2）求直线DM与平面PAB所成角的

正弦值.20.随着社会的进步、科技的发展，人民对自己生活的环境要求越来越高，尤其是居住环境的环保和绿化受到每一位市民的关注.因此，2019年6月25日，生活垃圾分类制度入法，提倡每位居民做好垃圾分类储存、分类投放，

方便工作人员分类搬运，提高垃圾的资源价值和经济价值，力争物尽其用.莱市环卫局在A、B两个小区分别随机抽取6户，进行生活垃圾分类调研工作，依据住户情况对近期一周（7天）进行生活垃圾分类占用时间统计如下表：住户编号

123456A小区（分钟）220180210220200230B小区（分钟）200190240230220210（1）分别计算A、B小区每周进行生活垃圾分类所用时间的平均值和方差；7（2）如果两个小区住户均按照1000户计

算，小区的垃圾也要按照垃圾分类搬运，市环卫局与两个小区物业及住户协商，初步实施下列方案：①A小区方案：号召住户生活垃圾分类“从我做起”，为了利国利民，每200位住户至少需要一名工作人员进行检查和纠错生活垃圾分类，每位工作人员月工资按照30

00元（按照28天计算标准）计算，则每位住户每月至少需要承担的生活垃圾分类费是多少？②B小区方案：为了方便住户，住户只需要将垃圾堆放在垃圾点，物业让专职人员进行生活垃圾分类，一位专职工作人员对生活垃圾分类的效率相当于4位普通居民对生活垃圾分类效率，每位专职工作人员（每天工作

8小时）月工资按照4000元（按照28天计算标准）计算，则每位住户每月至少需要承担的生活垃圾分类费是多少？③市环卫局与两个小区物业及住户协商分别试行一个月，根据实施情况，试分析哪个方案惠民力度大，值得进行推广？21.已知

椭圆具有如下性质：若椭圆的方程为()222210xyabab+=，则椭圆在其上一点()00,Axy处的切线方程为00221xxyyab+=，试运用该性质解决以下问题：在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆C：()222210xyabab+=的离心率为22，且经过点21,2A

.（1）求椭圆C的方程；（2）设F为椭圆C的右焦点，直线l与椭圆C相切于点P（点P在第一象限），过原点O作直线l的平行线与直线PF相交于点Q，问：线段PQ的长是否为定值？若是，求出定值；若不是，说明理由.22.已知函数()sincos1fxxxx=+−，21()

()4gxxfx=−.（1）求()fx在区间()0,2上的极值点；（2）证明：()gx恰有3个零点.中山市2020—2021学年度高三级第一学期期末统一考试8数学参考答案一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项

中，只有一项符合题目要求的.1-5：ADDBD6-8：AAC二、选择题：本题共4小题，每小题5分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得2分.9.AC10.

ACD11.AC12.ACD三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.13.1514.(0,115.34−16.2213sin332n−+四、解答题：本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.17.解：（1）在ABC△中，由正弦定理sinsinab

AB=及3sin2bAa=，得3sinsinsin2BAA=.因为ABC△为锐角三角形，所以0,2A，所以sin0A.所以3sin2B=.又因为0,2B，所以3B=.（2）若选①.在ABC△中，由余弦定理，得2222cosACABBCA

BBCB=+−223313222cos2234=+−=，9所以132AC=，所以134ADDC==.在ABD△中，由余弦定理，得2222cosABBDDABDDAADB=+−，即213134cos16

2BDBDADB=+−，在DBC△中，由余弦定理，得2222cosBCBDDCBDDCCDB=+−，即291313cos4162BDBDCDB=+−.又ADBCDB+=，所以coscos0ADBCDB+=.所以2913424

8BD+=+，所以374BD=.若选②.在ABC△中，ABCABDCBDSSS=+△△△，即111sinsinsin232626BABCBABDBDBC=+，即133111312222222222BDBD

=+，解得637BD=.若选③.在ABC△中，由余弦定理，得2222cosACABBCABBCB=+−223313222cos2234=+−=，所以132AC=.10因为133sin24ABCSBABCB==△，又11324ABCSBDA

CBD==△，所以133344BD=，解得33913BD=.18.解：（1）设构成递增的等比数列的这2n+个数为1c，2c，3c，…，2nc+，其中11c=，2100nc+=，则122221nnnTcccccc++==，且0nT.因为122121100nnnccccc

c+++====，所以22100nnT+=，即210nnT+=，所以2lglg102nnnaTn+===+.（2）()11222nnnnban−−=−=，01211222322nnSn−=++++，①12321222322nnSn=++

++，②①-②得0121121212122nnnSn−−=++++−()1122(1)2112nnnnn−=−=−−−，所以(1)21nnSn=−+.19.证明：（1）因为四边形ABCD为菱形，M为BC的中点，所以DMBC⊥.又因为平面PCB⊥平面ABCD，平面PCB平面ABC

DBC=，DM平面ABCD，所以DM⊥平面PBC，又PB平面PBC，所以PBDM⊥.（2）如图所示建立坐标系，易得()0,3,0A−，()1,0,0B，()0,3,0C，()1,0,0D−，13,,022M，11作PH垂直于面xOy与H，则1CH=，3PH=，得133

,,322P−，由题得()1,3,0AB=，33,3,322BP=−，设平面PAB的一个法向量为(),,nxyz=，所以333302230nBPxyznABxy=−++

==+=，不妨令1y=，则()3,1,3n=−−，又33,,022DM=，则直线DM与平面PAB所成角的正弦值.13sincos,13DMnDMnDMn===.所以直线DM与平面PAB所成角的正弦值为1313.20.解：（1）1(2201802102202

00230)2106Ax=+++++=（分钟），1(200190240230220210)2156Bx=+++++=（分钟），12222221[(220210)(180210)(210210)(220210)6As=−+−+−+−+22800(2

00210)(230210)]3−+−=，222221[(200215)(190215)(240215)(230215)6Bs=−+−+−+−+22875(220215)(210215)]3−+−=；（2）

①按照A方案，A小区一月至少需要5名工作人员进行检查和纠错生活垃圾分类，其费用是5300015000=元，每位住户每月需要承担的生活垃圾分类费为15000151000=（元），②由（1）知，B小区平均每位住户每周需要215分钟进行垃圾分类，一月需要2154860

=（分钟），B小区一月平均需要8601000860000=分钟的时间用于生活垃圾分类，∵一位专职工人一天的工作时间按照8小时作为计算标准，每月按照28天作为计算标准，一位专职工作人员对生活垃圾分类效果相当于4名普通居民对生活

垃圾分类的效果，∴B小区一月需要专职工作人员至少86000016860284（名），则每位住户每月需要承担的生活垃圾分类费为164000641000=（元），③根据上述计算可知，按照每位住户每

月需要承担的生活垃圾分类费来说，选择A方案惠民力度大，但需要住户平时做好生活垃圾分类事项；如果对于高档小区的居民来说，可以选择B方案，这只是方便个别高收入住户，综上，选择A方案推广，有利于国民热爱劳动及素质的提升.21.解：

（1）由题意知2222222112211caaabbabc==+===+，∴椭圆C的方程为2212xy+=.13（2）设()00,Pxy，依材料可知，切线l的方程为0022xxyy+=，过原点O且

与l平行的直线'l的方程为0020xxyy+=，椭圆C的右焦点()1,0F，所以直线PF的方程为()00010yxxyy−−−=，联立()000001020yxxyyxxyy−−−=+=，所以2000002,22yxyQxx−

−−，所以22220000000000022222222yxyxyxyxxxQxP−=−++=+−−−−()()()()22020022004141222222xxxxx−+−−===−−为定值.

22.解：（1）()()'()cos0,2fxxxx=，令'()0fx=，得2x=，或32x=.当0,2x时，'()0fx，()fx单调递增；当3,22x时，'()0fx，()

fx单调递减；当3,22x时，'()0fx，()fx单调递增.故2x=是()fx的极大值点，32x=是()fx的极小值点.14综上所述，()fx在区间()0,2上的极大值点为2x=，极小值点为32x=.（2）2211(

)()1sincos()44gxxfxxxxxxR=−=+−−，因为()00g=，所以0x=是()gx的一个零点.2()()1()sin()cos()4xgxxxx−−=+−−−−−211sincos()4xxxxgx=+−−=，所以()gx为偶函数.即要确定()gx在R上的零点个数，只需确

定0x时，()gx的零点个数即可.当0x时，11'()cos(12cos)22gxxxxxx=−=−.令'()0gx=，即1cos2x=，23xk=+或()523xkkN=+.0,3x时，'()0gx，()gx单调递减，又()00g=，所以03g

；5,33x时，'()0gx，()gx单调递增，且2525531033662g=++，所以()gx在区间50,3内有唯一零点.当53x时，由于sin1x，co

s1x.222111()1sincos11()444gxxxxxxxxxtx=+−−+−−=−=.而()tx在区间5,3+内单调递增，5()03txt，所以()0gx恒成立，故()gx在区间5,3+内无零点，所以()gx在区间()

0,+内有一个零点，由于()gx是偶函数，所以()gx在区间(),0−内有一个零点，而()00g=，15综上，()gx有且仅有三个零点.