【文档说明】广东省中山市2021届高三上学期期末考试数学试题 含答案.docx，共(15)页，865.166 KB，由小赞的店铺上传

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1中山市高三年级2020-2021学年度第一学期期末统一考试数学试卷本试卷共22题，满分150分.考试用时120分钟.注意事项：1.答卷前，考生务必将自己的姓名、统考考号、座位号填写在答题卡上.2.作答选择题时，选出每小题答案

后，用2B铅笔在答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案.答案不能答在试卷上.3.非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新答

案；不准使用铅笔和涂改液.不按以上要求作答无效.4.考生必须保持答题卡的整洁.考试结束后，将答题卡交回，试卷不用上交.第Ⅰ卷（选择题共60分）一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.设集合24AxZx=

，1,2,Ba=，且ABA=，则实数a的取值集合为（）A.2,1,0−−B.2,1−−C.1,0−D.2,1,1−−2.已知复数z满足2335zii=+−，则在复平面内，复数z所对应

的点位于（）A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限3.已知变量x，y的关系可以用模型kxyce=拟合，设lnzy=，其变换后对应的数据如下：x16171819z50344131由上表可得线性回归方程4zxa=−+，则c=（）2A.-4B.4e−C.109D.

109e4.下图为服用同等剂量的三种新药后血药浓度（mg/ml）的变化情况，其中点iA的横坐标表示服用第i种药后血药浓度达峰（最高浓度）时间，其它点的横坐标分别表示服用三种新药后血药浓度首次降到峰值一半时所用的时间（单位：h），点iA的纵坐标表示第i种药

的血药浓度的峰值（1,2,3i=）.记iV为服用第i种药后达到血药浓度峰值时，血药浓度提高的平均速度，记iT为服用第i种药后血药浓度从峰值首次降到峰值的一半所用的时间，则1V，2V，3V中最小的，1T，2T，3T中最大的分别是（）A.2V，3TB.2V，2TC.1V，3TD.1V，2

T5.已知椭圆1C：()222210xyabab+=的离心率与双曲线2C：22221xyab−=的离心率的一个等比中项为32，则双曲线2C的渐近线方程为（）A.14yx=B.12yx=C.74yx=D.472y

x=6.为应对新冠疫情，许多企业在非常时期转产抗疫急需物资.某工厂为了监控转产产品的质量，测得某批n件产品的正品率为98%，现从中任意有放回地抽取3件产品进行检验，则至多抽到1件次品的概率为（）A.0.998816B.0.9996C.0.057624D.0.0011847

.已知函数()sin1fxxx=+，则下列能正确表示函数()fx（粗线）及导函数'()fx（细线）图象的是（）3A.B.C.D.8.“大摆锤”是一种大型游乐设备（如图），游客坐在圆形的座舱中，面向外，通常“大摆锤”以压肩作为安全

束缚，配以安全带作为二次保险，座舱旋转的同时，悬挂座舱的主轴在电机的驱动下做单摆运动.假设小明坐在点A处，“大摆锤”启动后，主轴OB在平面内绕点O左右摆动，平面与水平地面垂直，OB摆动的过程中，点A在平面内绕点B作圆周运动，并且始终保持OB⊥，B.

设4OBAB=，在“大摆锤”启动后，下列结论错误的是（）A.点A在某个定球面上运动；B.与水平地面所成锐角记为，直线OB与水平地面所成角记为，则+为定值；C.可能在某个时刻，//AB；D.直线OA与平面所成角的正弦值的最大值为17

17.二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.9.经过点()4,2P−的抛物线的标准方程为（）A.2yx=B.28xy=C.28xy=−D.28yx=−10.函数

()()()2sin0,fxx=+的部分图象如图所示，则下列结论正确的是（）4A.1()2sin36fxx=−B.若把()fx的横坐标缩短为原来的23倍，纵坐标不变，得到的函数在,−上是增函数C.若把函数()fx的图像向左平移2个单位

，则所得函数是奇函数D.函数()yfx=的图象关于直线4x=−对称11.若随机变量()~0,1N，()()xPx=，其中0x，下列等式成立有（）A.()1()xx−=−B.()22()xx=C.()

2()1Pxx=−D.()2()Pxx=−12.由等边三角形组成的网格如图所示，多边形ABCDEFGHIJ是某几何体的表面展开图，对于该几何体（顶点的字母用展开图相应字母表示，对于重合的两点，取字母

表中靠前的字母表示），下列结论中不正确的是（）A.BJ⊥平面ADJB.平面//BCJ平面EAD5C.平面ECB⊥平面EADD.BEAJ⊥第Ⅱ卷（非选择题共90分）三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13.二项式61xx−的展开式中的常数项为_________.14.已知

1,1(),1xxfxxx+=，若()()1fxfx+，则x的取值范围是________.15.如图所示，直角坐标系中网格小正方形的边长为1，若向量a，b，c满足()0atbc+=，则t=________.16.数列na满足：12a=，111nnaa−=−，①4a=___

_____；②若na有一个形如()()sin0,0naAnBA=++的通项公式，则此通项公式可以为na=________.（写出一个即可）四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17.在

锐角ABC△中，设角A，B，C所对的边长分别为a，b，c，且3sin2bAa=.（1）求B的大小；（2）若2AB=，32BC=，点D在边AC上，__________，求BD的长.请在①ADDC=；②DBCDBA=；③BDAC⊥这三个

条件中选择一个，补充在上面的横线上，并完成解答（如选多个条件作答，按排列最前的解法评分）.618.在数1和100之间插入()*nnN个实数，使得这2n+个数构成递增的等比数列，将这2n+个数的乘积记作nT，令lgnnaT=.（1）求数列na

的通项公式；（2）设()122nnnba−=−，求数列nb的前n项和nS.19.如图，已知四棱锥PABCD−，底面ABCD为菱形，120ABCBCP==，2BCPC==，平面PCB⊥平面ABCD，M为BC的中点.（1）求证：PBDM⊥；（2）求直线DM与平面

PAB所成角的正弦值.20.随着社会的进步、科技的发展，人民对自己生活的环境要求越来越高，尤其是居住环境的环保和绿化受到每一位市民的关注.因此，2019年6月25日，生活垃圾分类制度入法，提倡每位居民做好垃圾分类储存、分类投放，方便工作人员分类搬运，提高垃圾的资源价值和经济价值，力争

物尽其用.莱市环卫局在A、B两个小区分别随机抽取6户，进行生活垃圾分类调研工作，依据住户情况对近期一周（7天）进行生活垃圾分类占用时间统计如下表：住户编号123456A小区（分钟）220180210220200230B小区（分钟）20019

0240230220210（1）分别计算A、B小区每周进行生活垃圾分类所用时间的平均值和方差；7（2）如果两个小区住户均按照1000户计算，小区的垃圾也要按照垃圾分类搬运，市环卫局与两个小区物业及住户协商，初步实施下列方案：①A小区方案：号召住户生活垃

圾分类“从我做起”，为了利国利民，每200位住户至少需要一名工作人员进行检查和纠错生活垃圾分类，每位工作人员月工资按照3000元（按照28天计算标准）计算，则每位住户每月至少需要承担的生活垃圾分类费是多少？②B小区

方案：为了方便住户，住户只需要将垃圾堆放在垃圾点，物业让专职人员进行生活垃圾分类，一位专职工作人员对生活垃圾分类的效率相当于4位普通居民对生活垃圾分类效率，每位专职工作人员（每天工作8小时）月工资按照4000元（按照28天计算标准）计算，则每位住户每月至少需要承担

的生活垃圾分类费是多少？③市环卫局与两个小区物业及住户协商分别试行一个月，根据实施情况，试分析哪个方案惠民力度大，值得进行推广？21.已知椭圆具有如下性质：若椭圆的方程为()222210xyabab+=

，则椭圆在其上一点()00,Axy处的切线方程为00221xxyyab+=，试运用该性质解决以下问题：在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆C：()222210xyabab+=的离心率为22，且经过点21,2A

.（1）求椭圆C的方程；（2）设F为椭圆C的右焦点，直线l与椭圆C相切于点P（点P在第一象限），过原点O作直线l的平行线与直线PF相交于点Q，问：线段PQ的长是否为定值？若是，求出定值；若不是，说明理由.22.已知函数()sincos1f

xxxx=+−，21()()4gxxfx=−.（1）求()fx在区间()0,2上的极值点；（2）证明：()gx恰有3个零点.中山市2020—2021学年度高三级第一学期期末统一考试8数学参考答案一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在

每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求的.1-5：ADDBD6-8：AAC二、选择题：本题共4小题，每小题5分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得2分.9.AC10.ACD11.

AC12.ACD三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.13.1514.(0,115.34−16.2213sin332n−+四、解答题：本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.1

7.解：（1）在ABC△中，由正弦定理sinsinabAB=及3sin2bAa=，得3sinsinsin2BAA=.因为ABC△为锐角三角形，所以0,2A，所以sin0A.所以3sin2B=.又

因为0,2B，所以3B=.（2）若选①.在ABC△中，由余弦定理，得2222cosACABBCABBCB=+−223313222cos2234=+−=，9所以132AC=，所以134A

DDC==.在ABD△中，由余弦定理，得2222cosABBDDABDDAADB=+−，即213134cos162BDBDADB=+−，在DBC△中，由余弦定理，得2222cosBCBDDCBDDCCDB=+−，即291313cos41

62BDBDCDB=+−.又ADBCDB+=，所以coscos0ADBCDB+=.所以29134248BD+=+，所以374BD=.若选②.在ABC△中，ABCABDCBDSSS=+△△△，即111sinsinsin232626BABCBAB

DBDBC=+，即133111312222222222BDBD=+，解得637BD=.若选③.在ABC△中，由余弦定理，得2222cosACABBCABBCB=+−223313222cos2234=+−=，所以132AC=.1

0因为133sin24ABCSBABCB==△，又11324ABCSBDACBD==△，所以133344BD=，解得33913BD=.18.解：（1）设构成递增的等比数列的这2n+个数为1c，2c，3c，…，2nc+，其中11c=，2100n

c+=，则122221nnnTcccccc++==，且0nT.因为122121100nnncccccc+++====，所以22100nnT+=，即210nnT+=，所以2lglg102nnnaTn+==

=+.（2）()11222nnnnban−−=−=，01211222322nnSn−=++++，①12321222322nnSn=++++，②①-②得0121121212122nnn

Sn−−=++++−()1122(1)2112nnnnn−=−=−−−，所以(1)21nnSn=−+.19.证明：（1）因为四边形ABCD为菱形，M为BC的中点，所以DMBC⊥.又因为平面P

CB⊥平面ABCD，平面PCB平面ABCDBC=，DM平面ABCD，所以DM⊥平面PBC，又PB平面PBC，所以PBDM⊥.（2）如图所示建立坐标系，易得()0,3,0A−，()1,0,0B，()0,3,0C，

()1,0,0D−，13,,022M，11作PH垂直于面xOy与H，则1CH=，3PH=，得133,,322P−，由题得()1,3,0AB=，33,3,322BP=−，设平面PAB的一个法向量为(),,

nxyz=，所以333302230nBPxyznABxy=−++==+=，不妨令1y=，则()3,1,3n=−−，又33,,022DM=，则直线DM与平面PAB所成角的正弦值.13sincos,13DMnDMnDMn===.所以直线DM

与平面PAB所成角的正弦值为1313.20.解：（1）1(220180210220200230)2106Ax=+++++=（分钟），1(200190240230220210)2156Bx=+++++=（分钟），1222222

1[(220210)(180210)(210210)(220210)6As=−+−+−+−+22800(200210)(230210)]3−+−=，222221[(200215)(190215)(240215)(230215)6Bs=−+−+−+−+22875(2202

15)(210215)]3−+−=；（2）①按照A方案，A小区一月至少需要5名工作人员进行检查和纠错生活垃圾分类，其费用是5300015000=元，每位住户每月需要承担的生活垃圾分类费为15000151000=（元），②由（1）知，B小区平均每位住户每周需要215分钟

进行垃圾分类，一月需要2154860=（分钟），B小区一月平均需要8601000860000=分钟的时间用于生活垃圾分类，∵一位专职工人一天的工作时间按照8小时作为计算标准，每月按照28天作为计算标准，一位专职工作人员对生活垃圾分类效果相当于4名普通居民对生活垃圾分类的效果，∴B小区一月需

要专职工作人员至少86000016860284（名），则每位住户每月需要承担的生活垃圾分类费为164000641000=（元），③根据上述计算可知，按照每位住户每月需要承担的生活垃圾分类费来说，选择A方案惠民力

度大，但需要住户平时做好生活垃圾分类事项；如果对于高档小区的居民来说，可以选择B方案，这只是方便个别高收入住户，综上，选择A方案推广，有利于国民热爱劳动及素质的提升.21.解：（1）由题意知2222222112211caaabb

abc==+===+，∴椭圆C的方程为2212xy+=.13（2）设()00,Pxy，依材料可知，切线l的方程为0022xxyy+=，过原点O且与l平行的直线'l的方程为0020xxyy+=

，椭圆C的右焦点()1,0F，所以直线PF的方程为()00010yxxyy−−−=，联立()000001020yxxyyxxyy−−−=+=，所以2000002,22yxyQxx−−−，所以22220000000000022222222yxyxy

xyxxxQxP−=−++=+−−−−()()()()22020022004141222222xxxxx−+−−===−−为定值.22.解：（1）()()'()cos0,2fxxxx=，令'()0fx=，得2x=，或32x=.当0

,2x时，'()0fx，()fx单调递增；当3,22x时，'()0fx，()fx单调递减；当3,22x时，'()0fx，()fx单调递增.故2x=是()fx的极大值点，32x=是()fx的极小值点.14综上所述，()fx

在区间()0,2上的极大值点为2x=，极小值点为32x=.（2）2211()()1sincos()44gxxfxxxxxxR=−=+−−，因为()00g=，所以0x=是()gx的一个零点.2()()1()sin()cos()4xgxxxx−−=+−

−−−−211sincos()4xxxxgx=+−−=，所以()gx为偶函数.即要确定()gx在R上的零点个数，只需确定0x时，()gx的零点个数即可.当0x时，11'()cos(12cos)22gxxxxxx=−=−.令'()0gx=，即1cos2x=，23x

k=+或()523xkkN=+.0,3x时，'()0gx，()gx单调递减，又()00g=，所以03g；5,33x时，'()0gx，()gx单调递增，且2525531033662g=++，所以

()gx在区间50,3内有唯一零点.当53x时，由于sin1x，cos1x.222111()1sincos11()444gxxxxxxxxxtx=+−−+−−=−=.而()tx在区间5,3+内单调递增，

5()03txt，所以()0gx恒成立，故()gx在区间5,3+内无零点，所以()gx在区间()0,+内有一个零点，由于()gx是偶函数，所以()gx在区间(),0−内有一个零点，而()00g=，15综上，()gx有且仅有三个零点.