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【文档说明】高中数学课时作业（人教A版选修第二册）详解答案.docx，共(73)页，412.481 KB，由小赞的店铺上传
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以下为本文档部分文字说明：
课时作业(一)数列的概念1．解析：因为数列是一类特殊的函数，其自变量n∈N*，故数列的图象是一群孤立的点，A正确；数列1，0，1，0，…与数列0，1，0，1，…的对应项不一样，故不是同一数列，B错误；观察数列12，23，34，45，…
的前四项规律，可知一个通项公式是an＝nn＋1()n∈N*，C正确；数列12，14，…，12n的每项越来越小，故数列是递减数列，D正确，故选B.答案：B2．解析：因为a1＝12＝12×1，a2＝14＝12×2，a3＝16＝12×3，a4＝18＝12×4，a5＝110＝12×5，…，所以an＝12n
.故选B.答案：B3．解析：根据数列的相关概念，可知数列4，7，3，4的第1项就是首项，即4，故A正确．同一个数在一个数列中可以重复出现，故B错误．由无穷数列的概念可知C正确．当a，b都代表数时，能构成
数列；当a，b中至少有一个不代表数时，不能构成数列，因为数列是按确定的顺序排列的一列数，故D错误．故选AC.答案：AC4．解析：(1)由an＝2n＋3，可得a1＝5，a2＝7，a3＝9，a4＝11，a5＝1
3.(2)由an＝3，可得a1＝3，a2＝3，a3＝3，a4＝3，a5＝3.(3)由an＝13()2n－1，可得a1＝13，a2＝1，a3＝73，a4＝5，a5＝313.(4)由an＝1，n为奇数2n－1，n为偶数，可得a1＝1，a2＝3，a3＝1，a4＝7，a5＝1.5．
解析：因为2，5，10，17，26，…的一个通项公式为an＝n2＋1，所以第100个数为1002＋1＝10001，故选C.答案：C6．解析：对于A，因为y＝－1x为单调递增函数，所以an＝－1n为递增数列，A正
确；对于B，因为a1＝－2＝a2，所以不是递增数列，B错误；对于C，因为y＝2－x为递减函数，所以an＝2－n为递减数列，C错误；对于D，an＝()－nn为摆动数列，D错误．故选A.答案：A7．解析：由通项公式得a2＝2×2－2＝2，a3＝3×
3＋1＝10，所以a2·a3＝20.故选BC.答案：BC8．解析：(1)由题意，分子是从1开始的奇数，分母是项的平方，an＝2n－1n2；(2)由题意，分子是从2开始的偶数，分母是分子加1、减1所得两数之积，an＝2n（2n－1）（2n＋1）；
(3)由题意，各项减1后是10的幂，an＝10n＋1；(4)由题意，29＝627，奇数项为正，偶数项为负，分子是项数乘以2，分母是3的幂，an＝(－1)n＋1·2n3n9题图9．解析：(1)a1＝1－8＋5＝－2，a2＝4－16＋5＝－7，a3
＝9－24＋5＝－10，a4＝16－32＋5＝－11，a5＝25－40＋5＝－10，图象如图：(2)an＝n2－8n＋5＝(n－4)2－11，当n＝4时，an取得最小值，a4＝－11为最小项．10．解析：(1)因为an
＝n3n－2，所以a1＝13×1－2＝1，a2＝23×2－2＝12，a3＝33×3－2＝37，a4＝43×4－2＝25，a5＝53×5－2＝513，所以前5项分别是1，12，37，25，513.(2)数列{an}是单调递减数列．因为an＋1－an＝n＋13()n＋1－2
－n3n－2＝－2()3n＋1()3n－2<0，所以an＋1<an，从而数列{an}是单调递减数列．11．解析：因为数列{an}的通项公式为an＝n2－2λn(n＝1，2，…)，且{an}为递增数列，所以an<an＋1对于∀n∈
N*都成立，所以n2－2λn<(n＋1)2－2λ(n＋1)对于∀n∈N*都成立，即n2－2λn<n2＋2n＋1－2λn－2λ，所以2λ<2n＋1对于∀n∈N*都成立，所以λ<n＋12对于∀n∈N*都成立，所以λ<1＋12＝32，即
λ的取值范围是－∞，32，故选D.答案：D12．解析：(1)由题得an＝2n－1n＝2－1n，所以a2＝2－12＝32.(2)证明：由题意得an＝2－1n，因为n为正整数，所以n≥1，0<1n≤1，∴1≤2－1n<2，所
以1≤an<2.(3)由题得{an}是递增数列，证明：an＝2n－1n＝2－1n，an＋1－an＝1n－1n＋1＝1n()n＋1>0，所以{an}是递增数列．课时作业(二)数列的递推公式1．解析：由an＝n
2＋1＝122得n＝11(－11舍去).故选C.答案：C2．解析：因为a1＝2，an＋1＝an－1an＋1，所以a2＝a1－1a1＋1＝13，所以a3＝a2－1a2＋1＝－12，所以a4＝a3－1a3＋1＝－3.故选C.答案：C3．解析：由Sn＝n2＋
1得，a1＝2，Sn－1＝(n－1)2＋1，所以an＝Sn－Sn－1＝n2－(n－1)2＝2n－1，所以an＝2，n＝12n－1，n≥2，故a8＝2×8－1＝15.故选A.答案：A4．解析：(1)因为an＋1－an＝n＋2，且a1＝1，所以a
2＝4，a3＝8，a4＝13.(2)b1＝4a1－68×1＝4×1－68×1＝－64，b2＝4a2－68×2＝4×4－68×2＝－120，b3＝4a3－68×3＝4×8－68×3＝－172，b4＝4a4－68×4
＝4×13－68×4＝－220.5．解析：因为an＋1＝1－1an，a7＝2，所以a7＝1－1a6，则a6＝－1＝1－1a5，则a5＝12＝1－1a4，则a4＝2＝1－1a3，则a3＝－1＝1－1a2，则a2＝12＝1－1a1，所以a1＝2.故选D.答案：
D6．解析：对该数列进行重新分组：p1∶1p2∶12，21p3∶13，22，31p4∶14，23，32，41，…pn∶1n，2n－1，…，n1，则57出现在p11∶111，210，39，48，57，…，其项数是1＋2＋3＋4＋5＋6＋7＋8＋9＋10＋5＝60，故选C.答案：C7．解析：当n＝1时
，a1＝S1＝－8；当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝n2－9n－[(n－1)2－9(n－1)]＝2n－10，当n＝1时，a1＝－8满足上式，∴an＝2n－10.由5<2k－10<8，得152<k<9.又k∈N*，∴k
＝8.故选AC.答案：AC8．解析：(1)由题可知a1＝1－p＋q＝0，a2＝4－2p＋q＝－4，解之得p＝7，q＝6.可得an＝n2－7n＋6，所以a5＝－4.(2)设数列{an}的第n项为66，则an＝n2－7
n＋6＝66，即n2－7n－60＝0，解之得n＝12或－5(舍去)，所以66是数列{an}的第12项．(3)因为an＝n2－7n＋6＝(n－72)2－254，当n＝3或4时，an最小．此时a3＝a4＝－6，故当n＝3或4时，an有最小值－
6.9．解析：(1)a1＝S1＝1－6＋1＝－4；a1＋a2＝S2＝22－6×2＋1＝－7，∴a2＝－3；a1＋a2＋a3＝S3＝32－6×3＋1＝－8，∴a3＝－1；(2)当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝n2－6n＋1－[(n－1)2－6(n－1)＋1]＝n2－6n＋1－(n2
－2n＋1－6n＋6＋1)＝2n－7，当n＝1时，a1＝－4，不满足上式，∴an＝－4，n＝1，2n－7，n≥2.10．解析：当n≥2时，由a1＋3a2＋32a3＋…＋3n－1an＝n3，得a1＋3a2＋32a3＋…＋3
n－2an－1＝n－13，两式相减得3n－1an＝n3－n－13＝13，则an＝13n.当n＝1时，a1＝13，满足an＝13n，所以an＝13n.11．解析：因为a1＝1，Sn＝（n＋1）an2，所以当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝（n
＋1）an2－nan－12，化为ann＝an－1n－1，从而ann＝an－1n－1＝…＝a22＝a11＝1，所以an＝n.适合n＝1.所以an＝n.故a2020＝2020.故选C.答案：C12．解析：若a3为奇数，则3a3
＋1＝4，a3＝1，若a2为奇数，则3a2＋1＝1，a2＝0(舍去)，若a2为偶数，则a22＝1，a2＝2.若a1为奇数，则3a1＋1＝2，a1＝13(舍去)，若a1为偶数，a12＝2，a1＝4；若a
3为偶数，则a32＝4，a3＝8，若a2为奇数，则3a2＋1＝8，a2＝73(舍去).若a2为偶数，则a22＝8，a2＝16.若a1为奇数，则3a1＋1＝16，a1＝5.若a1为偶数，则a12＝16，a1＝32.故m所有可能的取值为4，5，32.课时作
业(三)等差数列的概念和通项公式1．解析：因为an＋1－an＝1，所以数列{an}是等差数列，公差为1，所以an＝a1＋(n－1)d＝2＋(n－1)×1＝n＋1.故选B.答案：B2．解析：记等差数列为{an
}，则a1＝5，a2＝9，所以公差d＝a2－a1＝9－5＝4，所以an＝a1＋(n－1)d＝5＋4(n－1)＝4n＋1，所以a5＝4×5＋1＝21.故选D.答案：D3．解析：由等差中项的定义可得a＝2＋62＝4.答案：44．解析：(1)因为a1＝23，d＝－2，所以a8＝a1＋7d＝
23－14＝9.(2)an＝a1＋(n－1)d＝23＋(n－1)×(－2)＝－2n＋25，由an＝－2n＋25>0可得n<12.5，所以数列{an}中正数项的个数为12.5．解析：由题意知：设公差为d，则
a5＝a1＋4d＝9a10＝a1＋9d＝19，解得a1＝1d＝2，则an＝1＋2(n－1)＝2n－1，则a50＝2×50－1＝99.故选A.答案：A6．解析：设{an}的首项为a1，根据题意
得a1＋a1＋2d＋a1＋4d＝105a1＋d＋a1＋3d＋a1＋5d＝99，两式相减得d＝－2.故选C.答案：C7．解析：因点P(an，an＋1)在直线y＝x＋12上，所以an＋1－an＝12，所以数列{an}是以12为公差，1为首项的等差数列，所以a9＝1
＋8×12＝5，故选D.答案：D8．解析：若选择①，a1＝a2－d＝13，数列{an}的通项公式an＝a1＋(n－1)d＝13＋(n－1)×(－3)＝16－3n，即an＝16－3n；若选择②，a1＋2d＝7a1＋6d＝－5，解得：
a1＝13，d＝－3，数列{an}的通项公式an＝16－3n；若选择条件③2a1＋2d＝202a1＋4d＝14，解得：a1＝13，d＝－3，数列{an}的通项公式an＝16－3n.9．解析：(1)由题意，设等差数列{an}的首项为a1，公差为d.由a2＋a5＝24，a
17＝66，即a1＋d＋a1＋4d＝24，a1＋16d＝66，解得a1＝2，d＝4.所以，数列{an}的通项公式为an＝2＋4(n－1)＝4n－2.所以a2022＝4×2022－2＝8086.(2)令an＝4n－2＝2022，解得n＝506，
所以，2022是数列{an}中的第506项．10．解析：(1)由题可得1an＋1＝1an＋3，1an＋1－1an＝3，∴1an是以3为首项，3为公差的等差数列；(2)由(1)得，1an＝3＋3(n－1)＝3n，∴an＝13n；(3)令an＝13n＝12022，解得n＝67
4，674∈N*，故12022是数列{an}中的项﹒11．解析：∵数列{an}，{bn}均为公差大于零的等差数列，∴可设an＝p1n＋q1，(p1>0)，bn＝p2n＋q2(p2>0)，其中p1，q1，p2，q2为常数，∴an＋
bn＝(p1＋p2)n＋q1＋q2，∴an＋1＋bn＋1－(an＋bn)＝p1＋p2>0，∴数列{an＋bn}是等差数列，且为递增数列，故AC正确；设an＝n－2，bn＝n－3，则a1b1＝2，a2b2＝0，a3b3＝0，数列{anbn}不是递增数列，
故B错误；设an＝p1n＋q1，(p1>0)，bn＝p2n＋q2(p2>0)，其中p1，q1，p2，q2为常数，则anbn＝(p1n＋q1)(p2n＋q2)＝p1p2n2＋(p1q2＋p2q1)n＋q1q2，∴an＋
1bn＋1－anbn＝p1p2(n＋1)2＋(p1q2＋p2q1)(n＋1)＋q1q2－[p1p2n2＋(p1q2＋p2q1)n＋q1q2]＝p1p2(2n＋1)＋p1q2＋p2q1，由题可知p1p2>0，故an＋1bn＋1－anbn＝p1p2(2n＋1)＋p1q2＋p2q1不可能为常数，故
数列{anbn}不可能是等差数列，故D正确．故选ACD.答案：ACD12．解析：(1)证明：∵λSn＝anan＋1，∴λSn＋1＝an＋1an＋2，∴λ(Sn＋1－Sn)＝λan＋1＝an＋1(an＋2－an)，又an≠0，∴an＋2－an＝λ，∴(an＋3－an＋1)－(an＋2－an
)＝0，∴数列{an＋2－an}为等差数列；(2)∵a1＝1，λSn＝anan＋1，∴a2＝λ，又an＋2－an＝λ，∴a3＝1＋λ，若{an}是等差数列，则a1＋a3＝2a2，即1＋1＋λ＝2λ，解得λ＝2，当
λ＝2时，由an＋2－an＝λ＝2，∴数列{an}的奇数项构成的数列为首项为1，公差为2的等差数列，∴a2m－1＝2m－1，即an＝n，n为奇数，∴数列{an}的偶数项构成的数列为首项为2，公差为2的等差数列，∴a2m＝2m，即an＝n，n为偶数，综上可得，当λ＝2时，a
n＝n，an＋1－an＝1，故存在当λ＝2时，使数列{an}是等差数列．课时作业(四)等差数列的性质1．解析：等差数列{an}中，因a4＋a6＝6，a8＝4，而a2＋a8＝a4＋a6，于是得a2＋4＝6，解得a2＝2.故选B.答案：B2．解析：因为(an＋1＋an＋3)－(an＋an＋2)＝
(an＋1－an)＋(an＋3－an＋2)＝2d，所以数列a1＋a3，a2＋a4，a3＋a5，…，是公差为2d的等差数列．故选C.答案：C3．解析：由题意可知：每月还本金为2000元，设张华第n个月的还款金额为an元，则an＝2000＋[480000－(n－1)×2000]×0.4%＝3928
－8n，故选D.答案：D4．解析：设这三个数分别为a－d，a，a＋d，则有a－d＋a＋a＋d＝9，（a－d）2＋a2＋（a＋d）2＝35，解得a＝3，d＝±2.所以所求三个数分别为1，3，5或5，3，1.5．解析：因为(a2＋a3)＋(a5＋a6)＝(a2＋a6)＋(a3＋a
5)＝4a4＝12，所以a4＝3.故选C.答案：C6．解析：设冬至的日影子长为a1，则冬至、大寒、雨水的日影子长的和为a1＋a3＋a5＝40.5，根据等差数列的性质可知3a3＝40.5⇒a3＝13.5，芒种的日影子长为a12＝4.5，a1＋2d＝13.5a1＋11d＝4.5，解得
：a1＝15.5，d＝－1，所以冬至的日影子长为15.5尺．故选D.答案：D7．解析：用{an}表示自下而上各高度气温组成的等差数列，则a1＝8.5，a5＝－17.5，由a5＝a1＋4d＝8.5＋4d＝－17.5，解得d＝－6.5，∴an＝15－6.5n.∴a2
＝2，a4＝－11，a8＝－37，即2km，4km，8km高度的气温分别为2℃，－11℃，－37℃.答案：2℃－11℃－37℃8．解析：∵{an}是等差数列，且a2＋a3＋a4＝18,∴3a3＝18，a3＝6.∵a2＋a3＋a4＝18，a2a3a4＝66，
∴a2＋a4＝12，a2a4＝11，解得a2＝11，a4＝1或a2＝1，a4＝11.当a2＝11，a4＝1时，a1＝16，d＝－5.∴an＝a1＋(n－1)d＝16＋(n－1)(－5)＝－5n＋2
1，当a2＝1，a4＝11时，a1＝－4，d＝5.∴an＝a1＋(n－1)d＝－4＋(n－1)5＝5n－9.综上：an＝－5n＋21或an＝5n－9.9．解析：(1)1740，1823，1906，1989，…，构成等差
数列首项a1＝1740，公差d＝83，通项公式为an＝a1＋(n－1)d＝1740＋83(n－1)＝83n＋1657，故a8＝83×8＋1657＝2321，即彗星第8次出现是在2321年．(2)由83n＋1657
＝2500，解得n＝84383∉N，故这颗彗星不会在2500年出现．10．解析：设四个数为a－3d，a－d，a＋d，a＋3d(d>0)，则（a－3d）2＋（a＋3d）2＋（a－d）2＋（a＋d）2＝94，（a－
3d）（a＋3d）＋18＝（a－d）（a＋d），所以解得a＝±72，d＝32，此等差数列为－1，2，5，8或－8，－5，－2，1.11．解析：现有一个高阶等差数列，其前6项分别为1，3，6，12，23，41，
各项与前一项之差{}an＋1－an：a2－a1，a3－a2，a4－a3，a5－a4，a6－a5，…即2，3，6，11，18，…，3－2，6－3，11－6，18－11，…即1，3，5，7，…是等差数列，所以a7＝41＋(18＋9)＝68，a8＝68＋(18＋9＋
11)＝106.故选C.答案：C12．解析：(1)设等差数列{an}的公差为d，根据等差中项的性质可得a2与a8的等差中项为a5，所以a5＝8，又因为a3a7＝28，即(a5－2d)(a5＋2d)＝28.所以d2＝9，d＝±3，因为公差为正数
，所以d＝3.则a5＝a1＋4d＝8，则a1＝－4.∴{an}的通项公式an＝a1＋(n－1)d＝－4＋3(n－1)＝3n－7(n∈N*).(2)结合(1)可知b1＝a3＝2，b2＝a6＝11，b3＝a
9＝20，…，bn＝a3n＝9n－7(n∈N*).令938＝9n－7，即n＝105∈N*，符合题意，即b105＝938.所以938是数列{bn}中的项．课时作业(五)等差数列的前n项和1．解析：设公差为d，则d＝3－1＝2，则S10＝10×1＋10×92×2＝100.故选A.答案
：A2．解析：设等差数列的首项为a1，由题意得，a1＋d＝7a1＋8d＝35，解得a1＝3d＝4，所以an＝3＋(n－1)×4＝4n－1，所以a5＝19，Sn＝2n2＋n，故选ACD.答案：ACD3．解析：根据等差数列前n项和的性质可得S
3，S6－S3，S9－S6成等差数列，所以2(S6－S3)＝S3＋S9－S6，即2×(12－3)＝3＋S9－12，所以S9＝27.答案：274．解析：(1)∵a1＝7，a10＝－43，∴S10＝10（a1＋a10）2＝10（7
－43）2＝－180；(2)∵a1＝100，d＝－2，∴S50＝50a1＋50×492d＝50×100＋50×492×(－2)＝2550.5．解析：由S5＝5a3＝15，解得a3＝3，设等差数列{an}的公差为d，则a6＋3a2＝a1＋5d＋3a1＋3d＝4
a3＝12.故选C.答案：C6．解析：设等差数列的公差为d，则由S5＝35，a10＝0，得5a1＋10d＝35a1＋9d＝0，解得a1＝9d＝－1，因为Sn＝S5，所以9n－n（n－1）2＝35，即n2－19n＋70＝0，解得n＝14或n＝5(舍去)，故选B.答案：B7．解析：
设等差数列公差为d，∵S12＝3(a3＋2a5＋ak)，∴12a1＋12×112·d＝3[a1＋2d＋2(a1＋4d)＋a1＋(k－1)d]，即4a1＋22d＝4a1＋(k＋9)d，即k＋9＝22，∴k＝13.答案：138．解析：(1)设等差数列{an}的公差为d，由题意可得a1＋d＝5a1
＋6d＝a1＋3d＋6，解得a1＝3d＝2.故an＝a1＋(n－1)d＝2n＋1.(2)由等差数列的前n项和公式可得Sn＝（a1＋an）n2＝n2＋2n.因为Sm＝99，所以m2＋2m＝99，即(m－9)(m＋11)＝0，解得m＝9(m＝－11舍去).9．解析：设
等差数列{an}共有(2n＋1)项，则奇数项有(n＋1)项，偶数项有n项，中间项是第(n＋1)项，即an＋1，∴S奇S偶＝12（a1＋a2n＋1）（n＋1）12（a2＋a2n）n＝（n＋1）an＋1nan＋1＝n＋1n＝4433＝43.∴n
＝3.∵S奇＝(n＋1)an＋1＝44，∴an＋1＝11.∴这个数列的中间项为11，共有2n＋1＝7(项).10．解析：(1)设等差数列{an}的公差为d(d≠0)，由a3＝a5a8a6＝1，得：
a1＋2d＝（a1＋4d）（a1＋7d）a1＋5d＝1，解得：a1＝－9d＝2，∴an＝－9＋2(n－1)＝2n－11.(2)由(1)得：Sn＝n（－9＋2n－11）2＝n2－10n，若Sn<an，∴n2－10n<2n－11，即n2－12n＋11＝(n－11)(
n－1)<0，解得：1<n<11；∴Sn<an成立的最大正整数n＝10.11．解析：根据题意，记第n个图形的点数为an，由题意知a1＝1，a2－a1＝4＝1＋3×1，a3－a2＝1＋3×2，a4－a3＝1＋3×3，…，an－an－1＝1＋3(n－1)，累加得an－a1＝4＋7＋…＋[1＋3(n－
1)]＝（n－1）（3n＋2）2，即an＝n2(3n－1)，所以a6＝51，又ann＝3n－12，所以a1＋a22＋a33＋…＋a2020＝12(2＋5＋8＋…＋59)＝12×2＋592×20＝305.答案：5130512．解析：(1)因为an和an＋1恰是方程x2＋nx
＋bn＝0的两个根，所以an＋an＋1＝－nanan＋1＝bn，所以an＋2＋an＋1－(an＋1＋an)＝－(n＋1)－(－n)＝－1，所以an＋2－an＝－1，所以a1，a3，a5，a7，…构成以a1
＝10为首项，－1为公差的等差数列，所以a21＝a1＋10×(－1)＝10－10＝0，所以b20＝a20a21＝0.(2)因为a1＋a2＝－1，a1＝10，所以a2＝－1－10＝－11，因为an＋2－an＝－1，所以数列a2
，a4，a6，a8，…，a2n，…是以a2＝－11为首项，－1为公差的等差数列，所以a2n＝－11－(n－1)＝－n－10，所以Sn＝na2－n（n－1）2＝－n2－21n2，所以S20＝－202－21×202＝－410.课时作业(六)等差数列的前n项和公式1．解析：若第一排座位数为a1，则a2
0＝a1＋19×2＝a1＋38，所以20×（2a1＋38）2＝680，可得a1＝15.故选A.答案：A2．解析：由an＝S1，n＝1，Sn－Sn－1，n≥2，n∈N*，得an＝2n－10.由5<2k－10<8得，7.5<k<9，∴k＝8.故选B.答案：B3．解析：数列{an}
是等差数列，且a1＋5a3＝S8，得a1＋5(a1＋2d)＝8a1＋28d，得a1＝－9d，则有a10＝0，又因为a1>0，公差d<0，所以n＝9或10时，Sn取得最大值．答案：9或104．解析：(1)设数列{an}的公差为d，∵a1＝
－7，S3＝－15，∴S3＝3×(－7)＋3×22·d，解得d＝2，∴an＝a1＋(n－1)d＝2n－9.(2)由(1)知d＝2，∴Sn＝na1＋n（n－1）2d，＝－7n＋n（n－1）2×2，＝(n－4)2－16，∴当n＝4时，Sn取得最小值－16.5．解
析：因为等差数列{an}的公差d<0，a5a7＝35，a4＋a8＝a5＋a7＝12，所以a5＝7，a7＝5，则d＝－1，所以an＝a7＋(n－7)d＝－n＋12，由an＝－n＋12≥0an＋1＝－n＋11<0，得11<n≤12，所以n＝11或12时，该数列的前n项和Sn取得最大值，最大值为
S11＝S12＝12（a1＋a12）2＝12（11＋0）2＝66，故选A.答案：A6．解析：由S7＝S11得，a8＋a9＋a10＋a11＝4a1＋34d＝0，∴a1＝－172d，∴an＝a1＋(n－1)·d＝n－192
·d，Sn＝（a1＋an）n2＝n（n－18）2·d，∵d<0，∴a10＝12d<0，A错；Sn对称轴为n＝9，开口向下，所以n＝9时，Sn最大，B对；S17＝－172d>0，S19＝192d<0，C对，D错，故选BC.答案：BC7．解析：因为{an}为等差数
列，且a11＋a12＋a13＋a14＋a15＝0，对于A：由性质可得a11＋a12＋a13＋a14＋a15＝5a13＝0，解得a13＝0，故A正确；对于B：|a15|＝|a13＋2d|＝|2d|，|a10|＝|a13－3d
|＝|3d|≠|a15|，故B错误；对于C：S25＝25（a1＋a25）2＝25a13＝0，故C正确；对于D：因为a13＝0，且公差d<0，所以Sn的最大值为S12或S13，故D正确．答案：ACD8．解析：(1)由a1＝1，nan＋1＝(n＋1)
an＋2n(n＋1)可得：an＋1n＋1－ann＝2，故由bn＝ann可知，bn＋1－bn＝2，故数列{bn}为等差数列．(2)由(1)知，数列{bn}为首项b1＝a11＝1，公差为2的等差数列，故bn＝1＋2(n－1)＝2n－1，即ann＝2n－1，an＝2n2
－n，由于an是数列{cn}的前n项和，故c1＝a1＝1，当n≥2时，cn＝an－an－1＝2n2－n－[2(n－1)2－(n－1)]＝4n－3，c1＝1适合上式，故cn＝4n－3.9．解析：(1)设等差数列{an}的公差为d(d≠
0)，由a3＝S3a2a4＝S4得：a1＋2d＝3a1＋3×22d（a1＋d）（a1＋3d）＝4a1＋4×32d，解得：a1＝－85d＝165，∴an＝－85＋165(n－1)＝16n－245.(2)由(1)得：Sn＝－85n＋n（n－1）2×1
65＝8n2－16n5；由Sn>an得：8n2－16n5>16n－245，化简得：n2－4n＋3>0；解得：n<1或n>3，又n∈N*，∴n的最小值为4.10．解析：(1)依题意，剧场座位数从第一排起的各排座位数依次
排成一列得等差数列{an}(n≤40，n∈N*)，首项a1＝20，公差d＝2，数列{an}前n项和Sn，则S40＝40a1＋40（40－1）2d＝40×20＋40×39＝2360，所以该剧场的座位数为2360
.(2)由(1)知，S10＝10a1＋10（10－1）2d＝10×20＋10×9＝290，S30＝30a1＋30（30－1）2d＝30×20＋30×29＝1470，剧场满座时，每场演出的总收入W＝200S10＋150(S30－S10
)＋100(S40－S30)＝200×290＋150(1470－290)＋100(2360－1470)＝324000(元)，所以剧场满座时，每场演出的总收入为324000元．11．解析：设成为等差数列的其中10层的塔数为：a1
，a2，…，a10，由已知得，该等差数列为递增数列，因为剩下两层的塔数之和为8，故剩下两层中的任一层，都不可能是第十二层，所以，第十二层塔数必为a10；故10×（a1＋a10）2＝108－8＝100，a1＋a10＝20①；又由a
10－a1＝9d②，d>0，且d∈N*，所以，①＋②得，2a10＝20＋9d，得a10＝10＋92d，又因为a10∈N*，则当且仅当d＝2时，a10满足条件，所以，a10＝19；所以，十二层的塔数，从上到下，可以如下排列：1，2，3，
5，6，7，9，11，13，15，17，19；其中第二层的2和第五层的6不组成等差数列，组成等差数列的塔数为：1，3，5，7，9，11，13，15，17，19；满足题意．答案：C12．解析：a1＝S1＝－32×12＋205
2×1＝101，当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝－3n＋104.∵n＝1也符合上式，∴数列{an}的通项公式为an＝－3n＋104(n∈N*).由an＝－3n＋104≥0，得n≤3423，即当n≤34时，an>0；当n≥35时，an<0.当n≤34时，Tn＝|a1|
＋|a2|＋…＋|an|＝a1＋a2＋…＋an＝Sn＝－32n2＋2052n；当n≥35时，Tn＝|a1|＋|a2|＋…＋|a34|＋|a35|＋…＋|an|＝(a1＋a2＋…＋a34)－(a35＋a36＋…＋an)＝2(a1
＋a2＋…＋a34)－(a1＋a2＋…＋an)＝2S34－Sn＝2(－32×342＋2052×34)－(－32n2＋2052n)＝32n2－2052n＋3502，故Tn＝－32n2＋2052n（n≤34），32n2－2052n＋3502（n≥35）.课时作业(七
)等比数列的概念和通项公式1．解析：因为a1＝1，a4＝8，所以a1q3＝8，所以q3＝8，解得q＝2.故选C.答案：C2．解析：由等比数列的性质知：a2a6＝a24＝9，因为{an}为正项等比数列，所以a4＝3.故选C.答案：C3．解析：设等比数列的公式为q，
则a9＝a1q8，即1243＝27q8，解得q＝±13，又a2a3＝a21q3<0，所以q<0，所以q＝－13.答案：－134．解析：设等比数列{an}的公比为q，则q≠0.a2＝a3q＝2q，a4＝a3q＝2q，∴2q＋2
q＝203，解得q1＝13，q2＝3.当q＝13时，a1＝18，∴an＝18×(13)n－1＝2×33－n.当q＝3时，a1＝29，∴an＝29×3n－1＝2×3n－3.综上，当q＝13时，an＝2×33－n，n∈N*；当q＝3时，an＝2×3n－3，n∈N*.5．解析：设等比数
列的公比为q(q>0)，∵2a3，12a5，a4成等差数列，∴a5＝2a3＋a4，即q2－q－2＝0，解得q＝2或q＝－1(舍去)，∴a8＋a9a6＋a7＝a1q7＋a1q8a1q5＋a1q6＝a1q7（1＋q）a1q5（1＋q）＝q2＝4，故选A.答案：A
6．解析：设数列{an}的公比为q，由a1a2a3＝a31q3＝4，a4a5a6＝a31q12＝12，可得q9＝3，又由a1a2a3＝a32＝4，a4a5a6＝a35＝12，所以AC错误；因为an＋1an＋2an＋3＝a3
n＋2＝(a2qn)3＝a32(qn)3＝4q3n＝324，可得q3n＝81＝34＝(q9)4＝q36，所以3n＝36，解得n＝12，所以BD正确．答案：BD7．解析：设公比为q，插入的三个数分别为a2，a3，a4，因为a1＝1，a5＝9，所以
q4＝9，得q2＝3，所以a2·a3·a4＝a1q·a1q2·a1q3＝a31(q2)3＝33＝27.答案：278．解析：(1)设等差数列{an}的公差为d，因为a1＋a5＝2a3＝－12，a4＋a8＝2a6
＝0，所以a3＝－6a6＝0，所以a1＋2d＝－6a1＋5d＝0，解得a1＝－10d＝2，所以an＝－10＋2(n－1)＝2n－12.(2)设等比数列{bn}的公比为q，因为b2＝a1＋a2＋a3＝－24，b1＝－8，所以－8q＝－24，即q＝3，因
此bn＝b1·qn－1＝－8×3n－1.9．解析：设该等比数列的公比为q，∵a1＋a1q＋a1q2＝168，a1q－a1q4＝42，∴a1（1＋q＋q2）＝168，①a1q（1－q3）＝42.②1－q3＝(1－q)(1＋q＋q2)，②÷①得q(1－q)＝14⇒q＝12，∴
a1＝42q－q4＝4212－（12）4＝96.设G是a5，a7的等比中项，则应有G2＝a5·a7＝a1q4·a1q6＝a21q10＝962·(12)10＝9，∴a5，a7的等比中项是±3.10．解析：方法一：设这个等比数列的前4项分别为a，aq，aq2，aq3，由题意，得a
4q6＝16，aq＋aq2＝5，即a2q3＝4，①aq（1＋q）＝5，②将②式平方后除以①式，得（1＋q）2q＝254，整理得4q2－17q＋4＝0，解得q＝4或q＝14.因为等比数列为各项均为正数，且单调递增的等比数列，所以a>0
，q>1，即q＝4，a＝14.所以这个等比数列的前4项分别为14，1，4，16.方法二：根据数列{an}是一个各项均为正数的等比数列，可设这个数列的前4项分别为aq3，aq，aq，aq3.其中aq>0
，公比为q2.由题意，得a4＝16，aq＋aq＝5，解得a＝2，q＝2或a＝2，q＝12或a＝－2，q＝－2或a＝－2，q＝－12．又因为数列{an}单调递增，所以q2>1，即a＝
2，q＝2或a＝－2，q＝－2，所以这个等比数列的前4项分别为14，1，4，16.11．解析：设等比数列{an}的公比为q，则a1>0，q>0，由已知2a1＝a3－a2，可得q2－q－2＝0，∵q>0，则q＝2，A对；因为am·an＝4
a1，则aman＝a21×2m＋n－2＝16a21，可得m＋n－2＝4，可得m＋n＝6，C对；因为m、n∈N*，且m＋n＝6，当m＝1，n＝5时，1m＋5n＝2；当m＝2，n＝4时，1m＋5n＝74；当m＝n＝3时，1m＋5n＝2；当m＝4，n
＝2时，1m＋5n＝114；当m＝5，n＝1时，1m＋5n＝265.综上所述，1m＋5n的最小值为74，B对D错．故选ABC.答案：ABC12．解析：(1)设等比数列{an}的公比为q，∵{an}是递增的等比数列且a3>0，∴q>1；则a2＋a4＝
a3q＋a3q＝2q＋2q＝203，解得：q＝13(舍)或q＝3；∴an＝a3qn－3＝2×3n－3.(2)由题意知：an＋1＝an＋(n＋2－1)dn，即dn＝an＋1－ann＋1＝2×3n－2－2×3n－3n＋
1＝4×3n－3n＋1；假设存在3项dm，dk，dp(其中m，k，p成等差数列)成等比数列，则d2k＝dmdp，即16×32k－6（k＋1）2＝16×3m＋p－6（m＋1）（p＋1）；∵m，k，p成等差数列，∴2k＝m＋p，代入上式得：(k＋1)2＝(m＋1)(
p＋1)，∴(m＋p2＋1)2＝(m＋1)(p＋1)，化简得：m＝p，∴m＝p＝k，不合题意．综上所述：不存在3项dm，dk，dp(其中m，k，p成等差数列)成等比数列．课时作业(八)等比数列的性质1．解析：因为a，b，c
成等比数列且公比为q，所以ba＝q，b2＝ac，可得1b2＝1ac，1b1a＝ab＝1q，由等比数列的中项可判断得1a，1b，1c成等比数列，并且公比为1q.故选C.答案：C2．解析：{an}是等比数列，所以a2a4＝a1a5＝64，a4＝644
＝16.故选C.答案：C3．解析：∵a7a12＝a8a11＝a9a10＝5，∴a8a9a10a11＝25.答案：254．解析：an＝Sn－Sn－1＝2n＋a－2n－1－a＝2n－1(n≥2).当n≥2时
，an＋1an＝2n2n－1＝2.当n＝1时，an＋1an＝a2a1＝22＋a.故当a＝－1时，数列{an}成等比数列，其首项为1，公比为2；当a≠－1时，数列{an}不是等比数列．5．解析：设A＝a1a4a7…a28，B＝a2a5a8…a29，C＝a3a6a9…a30，则A，B，C成等比数列
，公比为q10＝210，且B2＝A·C，由条件得A·B·C＝230，所以B3＝230，所以B＝210，所以C＝B·210＝220.故选B.答案：B6．解析：对于A，设数列{an}的公差为d，则2an＋12an＝2an＋1－an＝2d≠0，首项为2a1≠0，所
以{2an}为等比数列，故A正确；对于B，当an>0恒成立时，设公比为q，有lnan＋1－lnan＝lnan＋1an＝lnq，则{lnan}为等差数列，当an>0不恒成立时，设ak≤0则lnak无意义，故B不成立；对于C，若q＝0或an＝0时，{
an}不是等比数列，故C不成立；对于D，设数列{an}的公差为d，由bn＋1－bn＝()a2n＋1＋a2n＋2－()a2n－1＋a2n＝()a2n＋1－a2n－1＋()a2n＋2－a2n＝4d，所以{b
n}为等差数列，故D正确．故选AD.答案：AD7．解析：由题意，设等比数列公比为q，则a2＋a3＋a4＝()a1＋a2＋a3q，故q＝3，所以a6＋a7＋a8＝()a1＋a2＋a3q5＝35＝243.答案：2438．解析：设等比数列{an}的
公比为q.根据题意，得a2a5＝a3a4＝45，a2＋a5＝18，解得a2＝3，a5＝15或a2＝15，a5＝3.∴q＝513或q＝5－13.∴an＝3×5n－23或an＝3×55－n3.
9．解析：(1)由题设，3(1－a2n＋1)＝2(1－a2n)且an≠±1，即3bn＋1＝2bn且bn≠0，而b1＝1－a21＝34，所以bn＋1bn＝23且b1＝34，则{bn}是首项为34，公比为23的等比数列，得证．(2)由(1)可
得：bn＝34·(23)n－1，故a2n＝1－34·(23)n－1，则a2n＋1＝1－34·(23)n，所以cn＝a2n＋1－a2n＝98·(23)n－34·(23)n＝38·(23)n.则{cn}的通项公式为cn＝38·(23)n.10．解析：(1)设中低价
房面积形成数列{an}，由题意可知{an}是等差数列，其中a1＝250，d＝50，则Sn＝250n＋n（n－1）2×50＝25n2＋225n.令25n2＋225n≥4750，即n2＋9n－190≥0，n
是正整数，则n≥10.即到2030年底，该市历年所建中低价房的累计面积将首次不少于4750万平方米．(2)设新建住房面积形成数列{bn}，由题意可知{bn}是等比数列，其中b1＝400，q＝1.08，则bn＝400×(1.08)n－1.由题意可知an>0.85bn，有250＋(n
－1)×50>400×(1.08)n－1×0.85.n是正整数，则n的最小值为6.∴当2026年底，当年建造的中低价房的面积占该年建造住房面积的比例首次大于85%.11．解析：由图可知，每一个图形中小三角形的个数等于前一个图形小三角形个数的3倍加1，则当n＝1时，a1＝1；当n＝2时
，a2＝3＋1＝4；当n＝3时，a3＝3×4＋1＝13；当n＝4时，a4＝3×13＋1＝40；当n＝5时，a5＝3×40＋1＝121；当n＝6时，a6＝3×121＋1＝364.可以猜测an＋1＝3an＋1，可化为an＋1＋12＝3(an
＋12)，所以数列an＋12为首项为32，公比为3的等比数列，有an＋12＝32×3n－1，可得an＝3n－12，故当n＝i时，ai＝3i－12.答案：3i－1212．解析：(1)依题意，n∈N*，n≥2，an＝(1－4%)an－1＋(1－an－1)×16%＝0.96an－1＋
0.16－0.16an－1＝0.8an－1＋0.16＝45an－1＋425，所以an＝45an－1＋425，n≥2.(2)证明：由(1)知，n∈N*，n≥2，an＝45an－1＋425，即an－45＝45(an－1－45)，又a1＝310，
有a1－45＝－12，于是得an－45是以－12为首项，45为公比的等比数列，则an－45＝－12×(45)n－1，所以an＝－12×(45)n－1＋45.(3)由(2)知，an＝－12×(45)n－1＋45>35，即(
45)n－1<25，两边取常用对数得(n－1)lg45<lg25，则n－1>lg25lg45＝lg2－lg52lg2－lg5＝1－2lg21－3lg2＝1－2×0.3011－3×0.301＝0.3980.097≈4.1，即n>5.
1，所以第6年该地区的绿洲面积可超过60%.课时作业(九)等比数列的前n项和1．解析：由等比数列的求和公式可得a1[1－（12）6]1－12＝6332a1＝1894，解得a1＝24.故选D.答案：D2．解析：因为S
7＝3≠0，所以S7，S14－S7，S21－S14成等比数列，所以S7(S21－S14)＝(S14－S7)2，即3(18－x)＝(x－3)2，整理得x2－3x－45＝0.故选C.答案：C3．解析：因为Sn＝33－n＋k①，当n＝1
时a1＝S1＝33－1＋k＝9＋k，当n≥2时Sn－1＝34－n＋k②，①－②得an＝Sn－Sn－1＝33－n＋k－(34－n＋k)＝－2·33－n，因为{an}是等比数列，所以－2·33－1＝9＋k，解得k＝－27.答案：－27
4．解析：(1)设数列{an}的公比为q，因为a1＝12，a4＝4，所以a1q3＝4，所以q＝2，所以an＝2n－2.(2)因为{an}为等比数列且q＝2，所以{a2n}为等比数列，首项为a21＝14且公比为q2＝4，所以S5＝14（1－45）1－4＝3414.5．解析：设等比数列{an
}的公比为q，则a4－a2＝a1q3－a1q＝12a3－a1＝a1q2－a1＝6，解得a1＝2q＝2，则S6＝2×（1－26）1－2＝126，S3＝2×（1－23）1－2＝14，所以S6S3＝12614＝9.故选C.答案：C6．解析：因为
anan＋2＝a2n＋1，且S3＝13≠0，所以{an}各项均不为0，所以数列{an}为等比数列，设公比为q，则S3＝a1＋a1q＋a1q2＝13S6－S3＝a4＋a5＋a6＝a1q3＋a1q4＋a1q5＝351，解得a1＝1q＝3，所以an＝3n－1
，则3n－1<2022<2187＝37，解得n－1<7，即n<8，因为n∈N*，所以n的最大值为7.故选C.答案：C7．解析：单调递增的正项等比数列中，公比为q(q>1)，由a1q4－a1＝30a1q3－a1q＝12，可得a1＝2q＝2或
a1＝－32q＝12(舍)，则数列{an}的通项公式为an＝2n，前n项和Sn＝2（1－2n）1－2＝2n＋1－2.选项A：q＝2.判断正确；选项B：a8＝28＝256≠512.判断错误；选项C：2an－1＝2×2n－1＝2n＋1－1≠Sn.判断错误；选项D：an＋1＝2n＋
1>2n＋1－2＝Sn.判断正确．故选AD.答案：AD8．解析：(1)设正项等比数列{an}的公比为q(q>0)，由a3＝a4a2，可得a3＝q2，所以a2＝q，a1＝1，又由a3＋a5＝20，可得q2＋q4＝20，解得q2＝4，可得q＝2，所以a
n＝2n－1，即{an}的通项公式an＝2n－1，n∈N*.(2)由an＝2n－1，可得bn＝2anan＋1，所以b1＝2a1a2＝1，且bn＋1bn＝2an＋1an＋2·anan＋12＝anan＋2＝1q2＝14，故数列{bn}是以1为首项，14为公比的
等比数列，所以Tn＝b1＋b2＋…＋bn＝1－（14）n1－14＝43(1－14n).9．解析：(1)因为an＋1＋an＝3·2n，所以bn＋1＝an＋1－2n＋1＝－an＋3·2n－2n＋1＝－(an－2n)＝
－bn.因为a1＝1，所以b1＝a1－2＝－1，所以bn＋1＝－bn≠0，所以bn＋1bn＝－1，所以{bn}是首项和公比均为－1的等比数列．(2)由(1)易得：bn＝(－1)n，因为bn＝an－2n＝
(－1)n，所以an＝2n＋(－1)n，所以Sn＝(－1)1＋(－1)2＋(－1)3＋…＋(－1)n＋2＋22＋…＋2n＝（－1）[1－（－1）n]2＋2（1－2n）1－2＝（－1）n2＋2n＋1－52.
10．解析：(1)设等比数列{an}的公比为q，因为a2a3＝2a4＝32，所以a21q3＝322a1q3＝32，又因为等比数列{an}中a1，q均不为0，所以解得a1＝q＝2，所以an＝a1qn－1＝2×2n－1
＝2n.(2)证明：由(1)可得Sn＝a1（1－qn）1－q＝2（1－2n）1－2＝2n＋1－2，因为n≥2时，2n>3，所以a2n－Sn－5＝(2n)2－2n＋1－3＝(2n)2－2·2n－3＝(2n＋1)(2n－3)>0，所以n≥2时，a2n>Sn＋5.11．解析：由题
意，设等比数列的公比为q，则am·an＝a1qm－1·a1qn－1＝a21qm＋n－2，若m＋n为偶数时，m＋n－2为偶数，所以qm＋n－2>0，所以am·an＝a21qm＋n－2>0，若m＋n为奇数时，m＋n－2为奇数
，若q<0，则qm＋n－2<0，所以am·an＝a21qm＋n－2<0，若q>0，则qm＋n－2>0，所以am·an＝a21qm＋n－2>0，若q＝1时，am·an＝a21>0，故此时无法判断am·an正负．故A正确，B错误；若mn为
偶数时，则m、n为两偶或一奇一偶，当m、n为两偶数时，则m－1为奇数，若q∈(0，1)∪(1，＋∞)，则qm－1>0，1－qn1－q>0，此时am·Sn＝a21qm－1·1－qn1－q>0，若q∈(－1，0)，则
qm－1<0，1－qn1－q>0，此时am·Sn＝a21qm－1·1－qn1－q<0，若q∈(－∞，－1)，则qm－1<0，1－qn1－q<0，此时am·Sn＝a21qm－1·1－qn1－q>0，若q＝1
时，am·Sn＝na21>0，若q＝－1时，am·Sn＝0，故无法判断am·Sn的正负；同理，当m、n为一奇一偶时，也无法判断am·Sn的正负；故C错误；当mn为奇数时，m、n都为奇数，则m－1为偶数，若q≠－1且q≠0且q≠1时
，qm－1>0，1－qn1－q>0，所以am·Sn＝a21qm－1·1－qn1－q>0，若q＝1时，am·Sn＝na21>0，若q＝－1时，am·Sn＝a21>0，所以am·Sn＝a21qm－1·1－qn1－q>0，故
D正确．故选AD.答案：AD12．解析：(1)由题意得，b1＝a2＝2a1＝2，a3＝32a2＝3，b2＝a4＝2a3＝6；当n＝2k－1，k∈N*时，a2k＝2a2k－1；当n＝2k，k∈N*时，a2k＋1＝32a2k，当k>1时，a2(k－1)＋1＝32a2(k－1)，即
a2k－1＝32a2(k－1)，则a2k＝2a2k－1＝3a2(k－1)，所以bn＝a2n＝3a2(n－1)＝3bn－1，所以数列{}bn是以b1＝2为首项，3为公比的等比数列，故bn＝2×3n－1.(2)由(1)得，a2k＋1＝32×2a2k－1＝3a2k－1，即数列{a2n－1}
是以a1＝1为首项，3为公比的等比数列，由(1)知a2n＝3a2(n－1)，故{a2n}是以a2＝2为首项，3为公比的等比数列，故数列{an}的前100项和为(a1＋a3＋a5＋…＋a99)＋(a2＋a4＋a6＋…＋a100)＝1－3501－3＋2（1－350）1－3＝3（3
50－1）2.课时作业(十)等比数列的前n项和公式1．解析：设等比数列公比为q，由a2，3a5，9a8成等差数列可得，2×3a1·q4＝a1·q＋9a1·q7，化简得9q6－6q3＋1＝0，解得q3＝13，S6S3＝a1（1－q6）1－qa1（1－q3）1－q＝1＋
q3＝43.故选B.答案：B2．解析：设这个塔顶层有x盏灯，则问题等价于一个首项为x，公比为2的等比数列的前7项和为381，所以x（27－1）2－1＝381，解得x＝3，所以这个塔的最底层有3×27－1＝192盏灯．故选A.答案：A3．解析：由题意，设等比数列{an}首项为a1，
公比为q，可得a1（1－q3）1－q＝14且a1（1－q6）1－q＝126，所以1－q61－q3＝1＋q3＝12614＝9，解得a1＝2，q＝2，则a5＝2×24＝32，即第5个区域种植32棵．故选C.答案：C4．解析：(1)由题可知a1＋2d＝5，3a1＋3d＝9，解得
a1＝1，d＝2，∴an＝2n－1.(2)∵bn＝3an＝32n－1，∴bn＋1bn＝32n＋132n－1＝9，∴{bn}是首项为3，公比为9的等比数列，∴Tn＝3（1－9n）1－9＝38(9n－1)﹒
5．解析：∵S3，S9，S6成等差数列，∴S3＋S6＝2S9，当q＝1时，上式不成立，故q≠1，则a1（1－q3）1－q＋a1（1－q6）1－q＝2·a1（1－q9）1－q，a1≠0，整理可得，2q9－q6－q3＝0，即2q6－q3－1＝0，解得
，q3＝－12，A：a1＋a4＝a1(1＋q3)＝12a1，2a7＝2a1·q6＝12a1，即a1＋a4＝2a7，故A正确；B：a1a4＝a21q3＝－12a21，a27＝a21·q12＝116a21，a1≠0，故a1a4≠a27，故B不正确；C：a1＋a4＝a1
(1＋q3)＝12a1，4a7＝4a1·q6＝a1，a1≠0，a1＋a4≠4a7，故C不正确；D：a1a4＝a21q3＝－12a21，(2a7)2＝4a21·q12＝14a21，a1≠0，a1a4≠(2a7)2，故D不正确，故选A.答案：A6．解析：设该公司在2018年，2019年，……，202
8年的广告投入(单位：万元)分别为a1，a2，…，a11，依题意可得an＋1＝1.5an－2(n＝1，2，…，11)，则an＋1－4＝1.5(an－4)(n＝1，2，…，11)，所以数列{an－4}是首项为
1，公比为1.5的等比数列，则an－4＝1.5n－1，即an＝4＋1.5n－1.a1＋a2＋…＋a11＝4×11＋(1＋1.5＋…＋1.510)＝44＋1－1.510×1.51－1.5＝42＋3×1.510≈42＋3
×57.67＝215.01，故从2018年到2028年该公司对该产品的广告总投入约为215万元．故选A.答案：A7．解析：将相同的正方形看作同一“层”，自下而上每一“层”正方形个数成等比数列，且公比为2，根据等比数列前n项和可知an＝
2n－1.选项A：a5＝25－1＝31，A错误．选项B：又因自下而上每一“层”的正方形的边长也成等比数列，且公比为22，所以每“层”正方形边长bn＝(22)n－1，所以b5＝(22)5－1＝14，B正确．选项C：a1＋a2＋a3＋…＋a10＝21－1＋22－1＋23－1
＋…＋210－1＝21＋22＋23＋…＋210－10＝2036，C正确．选项D：an＝2n－1＝255解得n＝8，每一“层”的面积和cn＝2n－1[(22)n－1]2＝1，所以当n＝8时所有正方形的面积之和为8，D正确．故选BCD.答案：BCD8
．解析：(1)设等差数列{an}的公差为d(d≠0)，∵S4＝20，a1，a2，a4成等比数列，4a1＋6d＝20，（a1＋d）2＝a1（a1＋3d），解得a1＝2，d＝2，∴an＝a1＋(n－1)d＝2＋(n－1)×2＝2n.(2)由(1)得，
bn＝2an＝22n＝4n，∴b1＝4，bn＋1bn＝4n＋14n＝4，∴{bn}是首项为4，公比为4的等比数列，∴Tn＝4×（1－4n）1－4＝4×（4n－1）3＝4n＋1－43.9．解析：(1)设公比为q.因为2a1是a5与－3a3的等差中项，
所以a5－3a3＝4a1，所以q4－3q2－4＝0，解得q2＝4，从而q＝±2.当q＝2时，an＝2n－1；当q＝－2时，an＝(－2)n－1.所以{an}的通项公式为an＝2n－1或an＝(－2)n－1.(2)当a1＝1，q＝
2时，Sn＝1－2n1－2＝2n－1，由Sm＝2m－1＝127，得m＝7，当a1＝1，q＝－2时，Sn＝1－（－2）n1＋2＝1－（－2）n3，由Sm＝1－（－2）m3＝127，化简得(－2)m－2＝－95，无解．综上，m＝7.10．
解析：设第n个三角形边长为a，则第n＋1个三角形边长为a2，设第n个三角形面积为an，则an＝34a2，an＋1＝34·a22＝316a2，∵an＋1an＝14，a1＝S△ABC＝34×202＝1003，所以这些三角形面积成等比数列，且公比q＝14
，首项a1＝1003，所以前20个正三角形的面积和为：S20＝10031－14201－14＝40033(1－1420)cm2.11．解析：S1是边长为13的4个正方形的面积之和，故S1＝132×4＝49；S2是边长为132的
42个正方形的面积之和，故S2＝1322×42＝492；以此类推得：Sn＝132n×4n＝49n，从而S1＋S2＋…＋Sn＝49＋492＋…＋49n＝49－49n＋11－49＝45(1－4n9n)≥1725，所以4n9n≤320，函数
f(x)＝49x关于x单调递减，且n＝2时，4292＝1681>320，n＝3时，4393＝64729<320，故n最小值取3.答案：312．解析：(1)设第n年的旅游业收入估计为an万元，则a1＝400，a2＝(1＋14)a1＝54a1，a3＝(1＋14)a2＝54a2，…，an＋1＝
(1＋14)an＝54an，an＋1an＝54，即数列{an}是公比为54的等比数列，∴Sn＝a1（1－qn）1－q＝4001－54n1－54＝160054n－1，即前n年旅游业总收入为1600[(54)n－1].(
2)由(1)知Sn＝1600[(54)n－1]，令Sn>8000，即1600[(54)n－1]>8000，∴(54)n>6，即lg(54)n>lg6，∴n>lg6lg54≈8.02，∴大约第9年后，旅游业总收入超过8000万元．课时作业(十一)数列求和习题课1．解析：(1
)a1，a2，S3成等比数列，故a22＝a1S3⇒(1＋d)2＝3＋3d，化简得：d2－d－2＝0，因为d>0，所以d＝2，因此an＝2n－1.(2)bn＝an＋2an＝2n－1＋22n－1，因此Tn＝(a1＋a2＋…＋an
)＋(21＋23＋…＋22n－1)＝（1＋2n－1）n2＋2×（1－4n）1－4＝n2＋22n＋13－23.2．解析：(1)设等比数列{an}的公比为q，q>0，由2a1a2＝a3，a1＋a2＝3，于是2a21q＝a1q2a1（1＋q）＝3，解得a1＝1q＝2，所以，an＝2n－
1，n∈N*.(2)即bn＝log2an＋1＝log22n＝n，n∈N*.所以，1bnbn＋1＝1n（n＋1）＝1n－1n＋1，n∈N*.于是，Sn＝(1－12)＋(12－13)＋…＋(1n－1n＋1)＝nn＋1，n∈N*.3．解析：(1)设等差数列{an}的公差为d＞1，∵a2＝3，且
a1＋1，a3－1，a6－3成等比数列，∴a1＋d＝3，(a3－1)2＝(a1＋1)(a6－3)，即(a1＋2d－1)2＝(a1＋1)(a1＋5d－3)，解得a1＝1，d＝2.∴an＝1＋2(n－1)＝2n－1.(2)证明：1anan＋1＝1（2n－1）（2n＋1）＝12(12
n－1－12n＋1)，∴Sn＝12(1－13＋13－15＋…＋12n－1－12n＋1)＝12(1－12n＋1)，∵Sn＋1－Sn＝12(12n＋1－12n＋3)＞0，∴数列{Sn}单调递增，∴S1≤Sn＜1
2，即13≤Sn＜12.4．解析：(1)设f(1)＝a1＋a2＋…＋an＝Sn＝n（n＋1）2，则an＝Sn－Sn－1＝n（n＋1）2－（n－1）n2＝n，n≥2，当n＝1时，a1＝1，S1＝1成立，所以an＝n(n∈N*).(2)由(1)知f(x)＝x＋2x2＋…＋nxn，
所以f12＝12＋2×122＋3×123＋…＋n×12n，①12f12＝122＋2×123＋3×124＋…＋(n－1)12n＋n×12n＋1，②由①－②得12f12＝12＋122＋…＋12n－n×12n＋1＝12
1－12n1－12－n×12n＋1＝1－12n－n2n＋1，所以f12＝2－12n－1－n2n<2.5．解析：(1)因为Sn＝n2an①，所以当n≥2时，Sn－1＝(n－1)2an－1②，①－②可得：an＝n2an－(n－1)2an－1
，整理可得anan－1＝n－1n＋1，则a2a1×a3a2×a4a3×…×anan－1＝13×24×35×…×n－2n×n－1n＋1，所以ana1＝2n（n＋1），所以当n≥2时an＝2n（n＋1），易知n＝1时上式也成立，所以数列{an}的通项公式为an＝2n（n＋1）.(
2)记等差数列{bn}的公差为d，由题可得nb1＋n（n－1）d2＝n（n＋1）2，即dn2＋(2b1－d)n＝n2＋n，所以d＝12b1－d＝1，解得d＝1，b1＝1，所以bn＝n，所以cn＝(－1)n·2n，所以Mn＝－2＋4－6＋8
－…＋(－1)n·2n，当n为奇数时，Mn＝－2＋(4－6)＋(8－10)＋…＋[(－1)n－1·2(n－1)＋(－1)n·2n]＝－2－2×n－12＝－n－1；当n为偶数时，Mn＝(－2＋4)＋(－6
＋8)＋(－10＋12)＋…＋[(－1)n－1·2(n－1)＋(－1)n·2n]＝2×n2＝n.综上Mn＝－n－1（n为奇数）n（n为偶数）.6．解析：(1)由an＋1＝4an－3得：an＋1－1＝4(an－1)，故{an－1}为等比数列，公比是4，首项为3－1＝2，故
an－1＝2×4n－1，所以an＝2×4n－1＋1＝22n－1＋1.(2)证明：bn＝n2an－1＝n222n－1，则b1＋b2＋b3＋…＋bn＝Tn＝12＋423＋925＋…＋n222n－1①，①乘以14得：14Tn＝123＋425＋927＋…＋n222n＋
1②，则①－②得：34Tn＝12＋323＋525＋727＋…＋2n－122n－1－n222n＋1③，记Sn＝12＋323＋525＋727＋…＋2n－122n－1④，④乘以14得：14Sn＝123＋325＋527＋729＋…＋2n－122n＋1⑤，④－⑤得：34Sn＝1
2＋223＋225＋…＋222n－1－2n－122n＋1＝12＋14－122n1－14－2n－122n＋1＝56－2n＋5322n＋1，所以Sn＝109－2n＋5322n＋1×43，故34Tn＝109－
2n＋5322n＋1×43－n222n＋1，所以Tn＝4027－2n＋5322n＋1×169－n222n＋1×43<4027，其中4027<542，故b1＋b2＋b3＋…＋bn<542.课时作业(十二)数学归纳法1．解析：由题意知，n的最小值为3，所以第一步验证
n＝3是否成立．故选C.答案：C2．解析：将n＝1代入a2n＋1得a3，故选C.答案：C3．解析：因为已知n为正偶数，故当n＝k时，下一个偶数为k＋2.故选B.答案：B4．证明：①当n＝1时，左边＝12
，右边＝1－12＝12，等式成立．②假设当n＝k(k≥1，k∈N*)时，等式成立，即12＋122＋123＋…＋12k－1＋12k＝1－12k，那么当n＝k＋1时，左边＝12＋122＋123＋…＋12k－1＋12k＋12k＋1＝1－12k＋12k＋1＝1－12k＋1.所以当n＝k＋1时，等式也成立
．根据①和②，可知等式对任意n∈N*都成立．5．解析：在n＝k＋1时，没有应用n＝k时的归纳假设，不是数学归纳法．故选D.答案：D6．解析：取n＝1，则2n－12n＋1＝13，nn＋1＝12，2n－12n＋1
>nn＋1不成立；取n＝2，则2n－12n＋1＝35，nn＋1＝23，2n－12n＋1>nn＋1不成立；取n＝3，则2n－12n＋1＝79，nn＋1＝34，2n－12n＋1>nn＋1成立；取n＝4，则2n－12n＋1＝15
17，nn＋1＝45，2n－12n＋1>nn＋1成立；下证：当n≥3时，2n－12n＋1>nn＋1成立．当n＝3，则2n－12n＋1＝79，nn＋1＝34，2n－12n＋1>nn＋1成立；设当n＝k(k≥3)时，有2k－12k＋1>kk＋1成立，则当n＝k＋1时，有2k＋1－12k＋1＋1
＝32k－12k＋1＋12k－12k＋1＋3，令t＝2k－12k＋1，则2k＋1－12k＋1＋1＝3t＋1t＋3＝3－8t＋3，因为t>kk＋1，故2k＋1－12k＋1＋1>3－8kk＋1＋3＝4k＋14k＋3，因为4k＋14
k＋3－k＋1k＋2＝2k－1（4k＋3）（k＋2）>0，所以2k＋1－12k＋1＋1>k＋1k＋2＝k＋1（k＋1）＋1，所以当n＝k＋1时，不等式也成立，由数学归纳法可知，2n－12n＋1>nn＋1对任意的n≥3都成立．故选CD.答案：CD7．解析：f(2k＋1)＝1＋12＋13＋
…＋12k＋12k＋1＋12k＋2＋…＋12k＋1＝f(2k)＋12k＋1＋12k＋2＋…＋12k＋1，∴f(2k＋1)－f(2k)＝12k＋1＋12k＋2＋…＋12k＋1.答案：12k＋1＋12k＋2＋…＋12k＋18．证
明：①当n＝1时，左边＝2，右边＝13×1×2×3＝2，等式成立．②假设当n＝k(k∈N*)时，等式成立，即(12＋1)＋(22＋2)＋…＋(k2＋k)＝13k(k＋1)(k＋2)，那么当n＝k＋1时，(12＋1)＋(22＋2)＋…＋(k2＋k)＋[(k＋1)2＋(k＋1)]
＝13k(k＋1)(k＋2)＋(k＋1)2＋(k＋1)＝13k(k＋1)(k＋2)＋(k＋1)(1＋k＋1)＝13(k＋1)(k＋2)(k＋3)＝13(k＋1)[(k＋1)＋1][(k＋1)＋2].故当n＝k＋1时
，等式也成立．综上可知等式对任意正整数n都成立．9．解析：(1)由a2n＝an＋1＋3nan－3可得an＋1＝a2n－3nan＋3，又a1＝4，则a2＝a21－3a1＋3＝7，a3＝a22－6a2＋3＝1
0，则a2＝7，a3＝10，猜想an＝3n＋1.(2)证明：由(1)得an＋1＝a2n－3nan＋3，当n≥2时，an＝a2n－1－3(n－1)an－1＋3，①当n＝1时，猜想显然成立；②假设当n＝k(k≥2，k∈N*)时成立，即ak＝3k＋1；当n＝k＋1时，ak＋
1＝a2k－3kak＋3＝(3k＋1)2－3k(3k＋1)＋3＝3k＋4＝3(k＋1)＋1，猜想成立，由①②知猜想恒成立，即an＝3n＋1.10．解析：(1)根据题意可得：2bn＝an＋an＋1，a2n＋1＝bnbn＋1，令n＝1，则2b1＝a1＋a2，a22＝b1b2，可得a2＝6，b2＝9，令
n＝2，则2b2＝a2＋a3，a23＝b2b3，可得a3＝12，b3＝16，令n＝3，则2b3＝a3＋a4，a24＝b3b4，可得a4＝20，b4＝25，猜想：an＝n(n＋1)，bn＝(n＋1)2，当n＝1，a1＝2，b
1＝4成立．假定当n＝k(k≥1)，ak＝k(k＋1)，bk＝(k＋1)2，当n＝k＋1时，2bk＝ak＋ak＋1，即2(k＋1)2＝k(k＋1)＋ak＋1，则ak＋1＝(k＋1)(k＋2)，a2k＋1＝bkbk＋1，即[(k＋1)(k＋2)]2＝(k＋1)2bk＋1，则bk＋1＝(k＋
2)2成立，∴an＝n(n＋1)，bn＝(n＋1)2.(2)1an＋bn＝1n（n＋1）＋（n＋1）2＝1（n＋1）（2n＋1）<12n（n＋1）＝12(1n－1n＋1)，1a1＋b1＋1a2＋b2＋…＋1
an＋bn<12(1－12＋12－13＋…＋1n－1n＋1)＝12(1－1n＋1)<12，即1a1＋b1＋1a2＋b2＋…＋1an＋bn<12.11．解析：①n＝2时，两条直线相交把平面分成4个区域，命题成立．②假设当n＝k(k≥2，k∈N*)时，k条直线将
平面分成k2＋k＋22块不同的区域．当n＝k＋1时，设其中的一条直线为l，其余k条直线将平面分成k2＋k＋22块区域，直线l与其余k条直线相交，得到k个不同的交点，这k个点将l分成k＋1段，每段都将它所在的区域分成两部分，故新增区域为k＋1
块．从而k＋1条直线将平面分成k2＋k＋22＋k＋1＝（k＋1）2＋（k＋1）＋22块区域．所以n＝k＋1时命题也成立．由①②可知，原命题成立．答案：n2＋n＋22(n≥2，n∈N*)12．解析：(1)设等差数列{
an}的公差为d，等比数列{bn}的公比为q，依题意，2q2＝2＋6d2＋2q＋2q2＝8＋6d，整理得：q2＝1＋3dq＋q2＝3＋3d，解得d＝1，q＝2，所以an＝n＋1，bn＝2n.(2)由(1)知，1bn＝12n，数列1bn是首项为12，公
比为12的等比数列，则Pn＝121－12n1－12＝1－12n，2anan＋1＝2（n＋1）（n＋2）＝2(1n＋1－1n＋2)，Qn＝2[(12－13)＋(13－14)＋(14－15)＋…＋(1n＋1－1n＋2)]＝2(12－
1n＋2)＝1－2n＋2，则Pn－Qn＝1n2＋1－12n，用数学归纳法证明2n>n2＋1，n∈N*，①当n＝1时，左边＝2，右边＝32，左边>右边，即原不等式成立，②假设当n＝k，k∈N*时，不等式
成立，即2k>k2＋1，则2k＋1>2k2＋1＝k＋12＋1＋k＋12>k＋12＋1，即n＝k＋1时，原不等式成立，综合①②知，∀n∈N*，2n>n2＋1成立，因此，Pn－Qn＝1n2＋1－12n>0，即Pn>Qn，所以Pn>Qn.课时作业(十三)变化率问题1．解析：由题得该质
点从x＝2到x＝3的平均速度为f()3－f()23－2＝－5.故选A.答案：A2．解析：f（2）－f（－1）2－（－1）＝（4＋2C）－（1＋2C）3＝1.故选A.答案：A3．解析：函数f(x)＝x2在区间[
1，t]上的平均变化率为t2－12t－1＝t＋1＝3，所以t＝2.答案：24．解析：依题意，物体在t＝1到t＝1＋Δt这段时间内的位移增量为：Δs＝s(1＋Δt)－s(1)＝[(1＋Δt)2＋2(1＋Δt)＋3]－(12＋2×1＋3)＝(Δt)2＋4Δt，于是得ΔsΔt＝（Δt）
2＋4ΔtΔt＝4＋Δt，所以物体在t＝1到t＝1＋Δt这段时间内的平均速度为4＋Δt.5．解析：由题意可知t＝1s时小球的瞬时速度为limΔt→0－4.9（1＋Δt）2＋4.9Δt＝limΔt→0(－9.8－4.9Δt)＝－9.8m/s.
故选B.答案：B6．解析：由题意，得9.8m/s是物体在t＝1s这一时刻的速度，故C正确，A、B、D错误．故选ABD.答案：ABD7．解析：因为平均速度为ΔsΔt＝s（t0＋Δt）－s（t0）Δt＝v（t0
＋Δt）－vt0Δt＝v，瞬时速度为limΔt→0ΔsΔt＝limΔt→0s（t0＋Δt）－s（t0）Δt＝limΔt→0v（t0＋Δt）－vt0Δt＝limΔt→0vΔtΔt＝v.所以平均速度与任何时刻的瞬时速度相等．答案：相等8．解析：(1)因为P(1，2)，Q(5，7)，所以kl＝7－
25－1＝54.(2)当Q沿曲线向点P靠近时，直线的倾斜角α(锐角)在变大，又k＝tanα，所以直线l的斜率变大了．9．解析：因为f（2＋Δx）－f（2）Δx＝3（Δx）2＋8ΔxΔx＝3Δx＋8，所以k＝li
mΔx→0(3Δx＋8)＝8，则切线方程y－3＝8(x－2)，即8x－y－13＝0.10．解析：质点M在t＝2时的瞬时速度即为函数在t＝2处的瞬时变化率．∵质点M在t＝2附近的平均速度为ΔsΔt＝s（2＋Δt）－s（2）Δt＝a（2＋Δt）2
－4aΔt＝4a＋aΔt，∴limΔt→0ΔsΔt＝4a＝8，即a＝2.11．解析：由f（1）－f（1－Δx）2Δx→－1得：f（1）－f（1－Δx）Δx→－2，即f′(1)＝－2，∴曲线y＝f(x)上点(1，f(1))处的切线斜率为－2，C错误；D正确
；f（1＋Δx）－f（1－Δx）Δx＝2×f（1＋Δx）－f（1－Δx）2Δx＝2×f（1）－f（1－Δx）Δx→－4，A正确；B错误．故选AD.答案：AD12．解析：(1)由已知在t∈[]3，5时，其时间变化量为Δt＝2，其位移变化量为Δs＝f(5)－f(3)＝
3×25＋2－(3×9＋2)＝48，故所求平均速度为ΔsΔt＝482＝24m/s.(2)求物体的初速度v0，即求物体在t＝0时的瞬时速度．因为物体在t＝0附近位移的平均变化率为ΔsΔt＝f（0＋Δt）－f（0）Δt＝29＋3（0＋Δt－3
）2－29－3（0－3）2Δt＝3Δt－18.所以物体在t＝0处位移的瞬时变化率为limΔt→0ΔsΔt＝limΔt→0(3Δt－18)＝－18，即物体的初速度v0＝－18m/s.(3)因为物体在t＝1附近位移的平均变化率为ΔsΔt＝f（1＋Δt）－f（1）Δt＝29＋3（1＋Δt－3）2
－29－3（1－3）2Δt＝3Δt－12，故物体在t＝1时的瞬时速度为limΔt→0ΔsΔt＝limΔt→0()3Δt－12＝－12，即物体在t＝1时的瞬时速度为－12m/s.课时作业(十四)导数的概念及其几何意义1．解析：根据题意，函数y＝f(x)在x＝x0处的导数为f′(x0)＝－1，而l
imΔx→0f（x0＋Δx）－f（x0）Δx＝f′(x0)＝－1，故选A.答案：A2．解析：因为切线方程为：y＝－2x＋10，故f′(4)＝－2，且f(4)＝2，故f(4)＋f′(4)＝0.故选A.答案：A3．解析：根据导数
的几何意义及切线的定义知曲线在(x0，y0)处有导数，则切线一定存在，但反之不一定成立，故A、B、D错误．故选ABD.答案：ABD4．解析：令y＝f(x)，则ΔyΔx＝f（x＋Δx）－f（x）Δx＝（x＋Δx）2－2（x＋Δx）
－x2＋2xΔx＝2x－2＋Δx，于是得f′(x)＝limΔx→0ΔyΔx＝limΔx→0(2x－2＋Δx)＝2x－2，f′(2)＝2×2－2＝2，所以f′(x)＝2x－2，f′(2)＝2.5．解析：函数f(x)在(1，f(1))处的切线为
l1，在(2，f(2))处的切线为l3，f(2)－f(1)＝f（2）－f（1）2－1为过(1，f(1))，(2，f(2))两点的直线l2的斜率，由图可知，直线kl1<kl2<kl3，即f′(1)<f(2)－f(1)
<f′(2).故选A.答案：A6．解析：f′(x)＝limΔx→0f（x＋Δx）－f（x）Δx＝9limΔx→01x＋Δx－1xΔx＝－9limΔx→01（x＋Δx）x＝－9x2，所以f′(3)＝－1
.又切线的倾斜角α的范围为0°≤α<180°，所以所求倾斜角为135°.故选C.答案：C7．解析：y′＝limΔx→0ΔyΔx＝2x－1，在点P处的切线斜率为2×(－2)－1＝－5.因为点P的横坐标是－2，所以点P的纵坐标
是6＋c，故直线OP的斜率为－6＋c2，根据题意有－6＋c2＝－5，解得c＝4.答案：48．解析：显然点P(1，2)在曲线上，根据导数的几何意义，可知切线的斜率为k＝limΔx→0f（1＋Δx）－f（1）Δx＝l
imΔx→0（1＋Δx）2＋1－（12＋1）Δx＝limΔx→0（Δx）2＋2ΔxΔx＝limΔx→0(Δx＋2)＝2.故切线方程为y－2＝2(x－1)，即y＝2x.9．解析：y′＝limΔx→0（x＋Δx）2－x2Δx＝limΔx→0(2x＋Δx)＝2x.设抛物线上点P(x
0，y0)处的切线平行于直线4x－y＋1＝0，则y′|x＝x0＝2x0＝4，解得x0＝2，所以y0＝x20＝4，即P(2，4)，经检验，符合题意．则y′|x＝x1＝2x1＝－14，解得x1＝－18，所以y1＝x21＝164，即Q(－18，164)，经检验，符合题意．故抛物线y＝x2在点(2
，4)处的切线平行于直线4x－y＋1＝0，在点(－18，164)处的切线垂直于直线4x－y＋1＝0.10．解析：球的体积公式为：V(r)＝43πr3，ΔV＝V(3＋Δr)－V(3)＝43π(3＋Δr)3－43π×33＝43π·(27Δr＋9Δr2＋(Δr)3)，在r＝3时的瞬时变化率为
：limΔr→0ΔVΔr＝limΔr→043π（27Δr＋9Δr2＋（Δr）3）Δr＝43πlimΔr→0(27＋9Δr＋(Δr)2)＝36π.这一瞬时变化率的实际意义为球的表面积．11．解析：由题设，f′(1)＝limΔx→0f
（1）－f（1－3Δx）3Δx＝－23.故选B.答案：B12．解析：设P(x0，y0)，则y0＝x20＋1，f′(x0)＝limΔx→0＝（x0＋Δx）2＋1－（x20＋1）Δx＝2x0，所以过点P的切线方程为y－y0＝2x0(x－x0)，即y＝2x
0x＋1－x20，而此直线与曲线y＝－2x2－1相切，所以切线与曲线y＝－2x2－1只有一个公共点，由y＝2x0x＋1－x20，y＝－2x2－1，得2x2＋2x0x＋2－x20＝0，则Δ＝4x20－8(2－x20)＝0，解得x0＝±233，则y0＝73，所以点P的坐标为(233，73
)或(－233，73).课时作业(十五)基本初等函数的导数1．解析：由f(x)＝x，得f′(x)＝12x，所以f′(16)＝18.故选A.答案：A2．解析：∵y′＝－sinx，∴y＝cosx在(π2，0)处的切线斜率k＝－sinπ2＝－1，∴所求切线方
程为：y＝－(x－π2)，即y＝－x＋π2.故选A.答案：A3．解析：∵y＝ex，∴y′＝ex，则在x＝0处的切线的斜率为k＝e0＝1，又x＝0，y＝1，∴切线方程为：y－1＝x，即：x－y＋1＝0.答案：x－y＋1＝04．解析：(
1)y′＝8x7.(2)y′＝(12)xln12＝－(12)xln2.(3)∵y＝xx＝x32，∴y′＝32x12.(4)y′＝1xln13＝－1xln3.5．解析：因为y′＝1x·ln2，所以点A处切线方程为y－0＝1ln2·(x－1)，令x＝0，得y
＝－1ln2，所以B的坐标为(0，－1ln2)，则S△AOP＝12×1ln2×1＝12ln2，故选A.答案：A6．解析：设过点(－1，3)的直线与曲线y＝f(x)相切的切点为(x0，1x0)，由f(x)＝1x
求导得f′(x)＝－1x2，于是得切线方程为y－1x0＝－1x20(x－x0)，即y＝－1x20x＋2x0，则3＝1x20＋2x0，解得x0＝1或x0＝－13，因此得切线方程为y＝－x＋2或y＝－9x－6，所以所求切线的方程是y＝－x＋2或y＝－9x－6.故选AB.答案：AB7．
解析：函数f(x)＝x2(x∈R)，①当x∈(0，＋∞)时，f′(x)＝2x>0；②x∈R，f(－x)＝x2＝f(x)，所以f(x)＝x2是偶函数，函数f(x)＝x2(x∈R)同时满足条件．答案：f(x)＝x2(答案不唯一)8．解析：设切点为(x0，lnx0)，由y＝lnx得y′＝
1x.因为曲线y＝lnx在x＝x0处的切线方程为x－y＋c＝0，其斜率为1.所以y′|x＝x0＝1x0＝1，即x0＝1，所以切点为(1，0).又切线过切点(1，0)，∴1－0＋c＝0，得c＝－1.9．解析：设切点为(m，n)，因为
y＝5x，所以y′＝52x，因为曲线的切线与直线y＝2x－4平行，所以52m＝2，解得m＝2516，又点(m，n)在曲线y＝5x上，则n＝5m＝254，所以切点坐标为(2516，254)，所以曲线y＝5x的与直线y＝2x
－4平行的切线方程为：y－254＝2(x－2516)，即16x－8y＋25＝0.10．解析：因为y＝cosx，所以y′＝－sinx，令y′＝－sinx＝1，解得x＝－π2＋2kπ，k∈Z，此时cos(－π2
＋2kπ)＝0，k∈Z，所以曲线y＝cosx在点(－π2＋2kπ，0)，k∈Z处的斜率为1；令y′＝－sinx＝0，x＝2kπ，k∈Z或x＝π＋2kπ，k∈Z，当x＝2kπ，k∈Z时，cos(2kπ)＝1，k∈Z；当x＝π＋2kπ，k∈Z时，cos(π＋2kπ
)＝－1，k∈Z；所以曲线y＝cosx在点(2kπ，1)，k∈Z或(π＋2kπ，－1)，k∈Z处的切线平行于x轴．11．解析：∵f1(x)＝sinx，∴f′1(x)＝(sinx)′＝cosx，f2(x)＝f′1(x)＝cosx，f3(
x)＝f′2(x)＝(cosx)′＝－sinx，f4(x)＝f′3(x)＝(－sinx)′＝－cosx，f5(x)＝f′4(x)＝(－cosx)′＝sinx，由此可知：f2022(x)＝f2(x)＝cosx.故选C.答案：C12．解析：假设存在
这样的公共点，并设这两条曲线的一个公共点为P(x0，y0)，∴两条曲线在P(x0，y0)处的切线斜率分别为k1＝y′|x＝x0＝cosx0，k2＝y′|x＝x0＝－sinx0.若使两条切线互相垂直，必须有cosx0·(－sinx
0)＝－1，即sinx0·cosx0＝1，也就是sin2x0＝2，这是不可能的，∴两条曲线不存在公共点，使在这一点处的两条切线互相垂直．课时作业(十六)导数的四则运算法则1．解析：∵f(x)＝x＋1x，∴f′(x)＝1－1x2，
∴f′(1)＝1－112＝0.故选A.答案：A2．解析：由已知f(x)＝(ex)′cosx＋ex(cosx)′＝excosx－exsinx，故选D.答案：D3．解析：易知f(1)＝1，又f′(x)＝1＋1x，
所以切线的斜率k＝f′(1)＝2，所以函数f(x)在点(1，f(1))处的切线方程为y－1＝2(x－1)，化简得y＝2x－1.答案：y＝2x－14．解析：(1)函数f(x)＝exlnx＋3x定义域为(0，
＋∞)，所以函数f′(x)＝exlnx＋ex·1x＋3＝ex(lnx＋1x)＋3.(2)由(1)知，f′(1)＝e＋3，而f(1)＝3，于是得y－3＝(e＋3)(x－1)，即y＝(e＋3)x－e，所以函数f(x)的图象在点(1，f(1
))处的切线方程是y＝(e＋3)x－e.5．解析：设切点为(x0，x0lnx0).∵y＝xlnx，∴y′＝lnx＋1，∴y′|x＝x0＝lnx0＋1.易知曲线在点(x0，x0lnx0)处的切线的斜率为2.∴lnx0＋1＝2，
∴x0＝e，∴切点为(e，e).把(e，e)代入切线方程，得e＝2e＋b，∴b＝－e.故选C.答案：C6．解析：由f(x)＋f(－x)＝0可得2x3＋(a－2)x2－3x＋2(－x)3＋(a－2)(－x)2－3(－x)＝0，整理得2(a－2)x2＝0，则a＝2；则f(x)＝2x3－3x，f′
(x)＝6x2－3，f(1)＝－1，f′(1)＝3，则曲线y＝f(x)在点(1，f(1))处的切线方程为y＋1＝3(x－1)，整理得3x－y－4＝0.故选B.答案：B7．解析：函数f(x)＝lnx＋f′(1)x2＋2x，则f′(x)＝1x＋
2f′(1)x－2x2，当x＝1时，f′(1)＝1＋2f′(1)－2，因此f′(1)＝1，所以f(x)＝lnx＋x2＋2x，则f(1)＝3.答案：38．解析：(1)由题知f′(x)＝ax＋1x2，因为f′(2)＝1，所以f′(2)＝a2＋14＝1，解得a＝32，所以a＝32.(2)由(1)
知f′(x)＝ax＋1x2，因为f(x)在()1，f（1）处的切线与直线2x－y＝0平行，所以f′(1)＝a＋1＝2，解得a＝1.此时f(1)＝－1，切线方程为：y＋1＝2(x－1)，即y＝2x－3，满足与直线2x－y＝0平行，所以a＝1.9．解析：由f(x)的图象经过P(
0，2)，知d＝2，所以f(x)＝x3＋bx2＋cx＋2，f′(x)＝3x2＋2bx＋c.由在M(－1，f(－1))处的切线方程是6x－y＋7＝0，知－6－f(－1)＋7＝0，即f(－1)＝1，f′(－1)＝6.所以3－2b＋c＝6，－1＋b－c＋2＝1，即2b－c＝
－3，b－c＝0.解得b＝c＝－3.故所求的解析式是f(x)＝x3－3x2－3x＋2.10．解析：由f(x)＝x3＋x－16得f′(x)＝3x2＋1，因为切线与直线y＝－14x＋3垂直，所以切线斜率为k＝4.设切点为(x1，y1)，则k＝f′(x1)＝3x21＋1＝4，解得x
1＝±1，所以x1＝1y1＝－14或x1＝－1y1＝－18，即切点坐标为(1，－14)或(－1，－18).所以切线方程为y＝4(x－1)－14或y＝4(x＋1)－18，即y＝4x－18或y＝4x－14.11．解析：由xf′(x)＋f(x)＝[xf(x)]′，可
得[xf(x)]′＝ex，设xf(x)＝ex＋m，又由f(1)＝2e，有f(1)＝e＋m＝2e，得m＝e，可得f(x)＝ex＋ex，f′(x)＝xex－（ex＋e）x2＝（x－1）ex－ex2，f′(1)＝－e，故所求切线方程为y－2e＝－e(x－1)，整理为y＝－ex＋3e.答案：y＝－ex＋3
e12．解析：(1)由题意，函数的定义域为(0，＋∞)，由f(x)＝ax2＋lnx，得f′(x)＝2ax＋1x，所以f(1)＋f′(1)＝3a＋1.(2)因为曲线y＝f(x)存在垂直于y轴的切线，故此时切线斜率为0，问题转化为在x∈(0，＋∞)内导函数f′(x)＝2ax＋1x存在
零点．令f′(x)＝0，即2ax＋1x＝0有正实数解，即2ax2＝－1有正实数解，故有a<0，所以实数a的取值范围是(－∞，0).课时作业(十七)简单复合函数的导数1．解析：由复合函数求导法则，f′(x)＝
－sin(x－1)·(x－1)′＝－sin(x－1)，故选B.答案：B2．解析：由已知得f′(x)＝2cos(2x＋π3)，f′(π3)＝2cos(2×π3＋π3)＝－2，故选A.答案：A3．解析：[ln
(2x＋1)]′＝22x＋1，(e5x－4)′＝5e5x－4，(2x－1)′＝12·12x－1·(2x－1)′＝12x－1，[sin(2x＋π3)]′＝2cos(2x＋π3).故选AC.答案：AC4．解析：令y＝lnu，u＝2x＋3，则y′x＝(lnu)′·(2x＋3
)′＝1u·2＝22x＋3.当x＝－12时，y′＝23－1＝1，即在点(－12，ln2)处切线的倾斜角的正切值为1，所以倾斜角为π4.5．解析：y′＝ex－1－πcos(π2x)，当x＝1时，y′＝1，所以所求切线方程为y＋1＝x－1，即x－y－2＝0.故选
D.答案：D6．解析：依题意，曲线f(x)＝－asinx－ln(x＋1)，求导得：f′(x)＝－acosx－1x＋1，则f′(0)＝－a－1，因曲线y＝f(x)在(0，0)处的切线方程为y＝x，则f′(0)＝1，即－a－1＝1，解得a＝－2，所以a的值为－2.故选A.答案：A7．
解析：因为y＝16sin(5π6t＋π2)＝16cos5π6t，所以求导得y′＝－16×5π6sin5π6t＝－40π3sin5π6t，所以根据导数的几何意义得该振子在t＝6s时的瞬时速度为y′|t＝6＝－16×5π6sin5π＝0.答案：08．解析：(1)由题意，
函数f(x)＝k(x＋1)e－x＋x2，可得f′(x)＝k[]e－x－（x＋1）e－x＋2x＝－kxe－x＋2x.(2)当k＝e时，可得f(1)＝3，由(1)得f′(x)＝－exe－x＋2x，所以f′(1)＝1，所以函数f(x)的图象在点(1，f(1))处的切线
方程y－3＝1·(x－1)，即y＝x＋2.9．解析：由曲线y＝f(x)过(0，0)点，可得ln1＋1＋b＝0，故b＝－1.由f(x)＝ln(x＋1)＋x＋1＋ax＋b，得f′(x)＝1x＋1＋12x＋1＋a，则f′(0)＝1＋12＋a＝32＋a，即为曲线y＝f(x)
在点(0，0)处的切线的斜率．由题意，得32＋a＝32，故a＝0.10．解析：由y′＝(e2xcos3x)′＝(e2x)′cos3x＋e2x(cos3x)′＝2e2xcos3x＋e2x(－3sin3x)＝e2x(2cos3x－3sin3x)，得y′|x＝0＝2.则切线方程为y－1＝2(x－0)，
即2x－y＋1＝0.若直线l与切线平行，可设直线l的方程为2x－y＋c＝0，两平行线间的距离d＝|c－1|5＝5，得c＝6或c＝－4.故直线l的方程为2x－y＋6＝0或2x－y－4＝0.11．解析：因为f(x)＋f(2－x)＝2022，所以f′(x)＋f′(2－x)
·(2－x)′＝0，所以f′(x)－f′(2－x)＝0，所以f′(2022)－f′(2－2022)＝0，所以f′(－2020)－f′(2022)＝0.答案：012．解析：易得f′(x)＝ex－ae－x，x
∈R.∵f′(x)为奇函数，∴f′(x)＋f′(－x)＝0对任意x∈R恒成立，即(1－a)(ex＋e－x)＝0对任意x∈R恒成立，∴a＝1，∴f(x)＝ex＋e－x，f′(x)＝ex－e－x，设切点的横坐标为x0，由题可得ex0－
e－x0＝32，令ex0＝t(t>0)，则t－1t＝32，解得t＝2或t＝－12(舍去)，∴ex0＝2，∴x0＝ln2.课时作业(十八)函数的单调性1．解析：∵f(x)在(－∞，1)，(4，＋∞)上单调递减，在(1，4)上单调递增，∴当x＜1或x＞4时，f′(x)＜
0；当1＜x＜4时，f′(x)＞0.故选C.答案：C2．解析：由f′(x)＝x－1x且x>0，当f′(x)<0且0<x<1，故f(x)递减区间为(0，1).故选D.答案：D3．解析：A：由f(x)＝x2＋sinx⇒f′
(x)＝2x－cosx，令g(x)＝f′(x)＝2x－cosx，因为g′(x)＝2＋sinx>0，所以函数f′(x)是实数集上的增函数，符合题意；B：由f(x)＝x2⇒f′(x)＝2x，因为一次函数f′(x)＝2x是实数集上的增函数，所以符合题意；C：由f(x)＝1＋cosx⇒f′(x)＝－sin
x，因为函数f′(x)＝－sinx是周期函数，所以函数f′(x)＝－sinx不是实数集上的增函数，因此不符合题意；D：由f(x)＝x2＋lnx⇒f′(x)＝2x＋1x，令g(x)＝f′(x)＝2x＋1x，则g′(x)＝2－1x2＝2x2－1x2，当x∈(0，22)时，g′(x)<0
，g(x)单调递减，因此不符合题意，故选AB.答案：AB4．解析：f(x)＝x3＋x2－x，则f′(x)＝3x2＋2x－1＝(3x－1)·(x＋1)，由f′(x)>0，可得x>13或x<－1；由f′(x)<
0，可得－1<x<13，则函数f(x)＝x3＋x2－x的单调递增区间为(13，＋∞)和(－∞，－1)，单调递减区间为(－1，13).答案：(－1，13)5．解析：根据f′(x)>0时，y＝f(x)递增，f′(x)<0时，y＝f(
x)递减可得，①②中函数的图象的增减趋势与导函数的正负区间是吻合的，可能正确；而③中导函数为负的区间内相应的函数不为递减，故错误，④中导函数为负的区间内相应的函数不为递减，故错误．故选A.答案：A6．解析：由y＝x＋alnx⇒y′＝1＋ax，因为函数y＝x＋alnx在区间[1，＋∞)内单调递
增，所以有y′≥0在[1，＋∞)上恒成立，即1＋ax≥0在[1，＋∞)上恒成立，因为x∈[1，＋∞)，所以由1＋ax≥0⇒x＋a≥0⇒a≥－x，因为x∈[1，＋∞)，所以－x∈(－∞，－1]，于是有a≥－1.故选D.答案：D7．
解析：f′(x)＝x2－27x＝x3－27x，x>0，令f′(x)≤0，得0<x≤3，而因为函数f(x)＝13x3－27lnx在区间[a－1，a＋1]上单调递减，故a－1>0a＋1≤3，故1<a≤2.答案：1<a≤28．解析：函数f(x)＝kx－lnx的定义
域为(0，＋∞)，f′(x)＝k－1x＝kx－1x.当k≤0时，kx－1<0，∴f′(x)<0，则f(x)在(0，＋∞)上单调递减．当k>0时，由f′(x)<0，即kx－1x<0，解得0<x<1k；由f′(x)>0，即kx－1x>0，解得x>
1k.∴当k>0时，f(x)的单调递减区间为(0，1k)，单调递增区间为(1k，＋∞).综上所述，当k≤0时，f(x)的单调递减区间为(0，＋∞)，无单调递增区间；当k>0时，f(x)的单调递减区间为(0，1k)，单调递增区间为(
1k，＋∞).9．解析：(1)由题意知，f′(x)＝3x2－6ax，又f(2)＝8，f′(2)＝0，即23－3a×22＋b＝83×22－6a×2＝0，解得a＝1，b＝12.(2)已知f′(x)＝3x2－6ax，令f′(x)＝0，知x1＝0，x
2＝2a，当a＝0时，f′(x)＝3x2≥0，此时函数f(x)在R单调递增，当a>0时，令f′(x)>0⇒x<0或x>2a，令f′(x)<0⇒0<x<2a，所以函数f(x)在(－∞，0)、(2a，＋∞)上单调递增，在(0，2a)上单调递减，当a<0时，令f′(x)>0⇒x<2a或x
>0，令f′(x)<0⇒2a<x<0，所以函数f(x)在(－∞，2a)、(0，＋∞)上单调递增，在(2a，0)上单调递减．10．解析：(1)当a＝2时，f(x)＝ex－2x－1,∴f′(x)＝ex－2.令f′
(x)>0，即ex－2>0，解得x>ln2；令f′(x)<0，即ex－2<0，解得x<ln2；∴当a＝2时，函数f(x)的单调递增区间是(ln2，＋∞)，递减区间为(－∞，ln2).(2)∵f(x)＝ex－
ax－1，∴f′(x)＝ex－a.∵f(x)在R上单调递增，∴f′(x)＝ex－a≥0恒成立，即a≤ex在x∈R恒成立，∵x∈R时，ex∈(0，＋∞)，∴a≤0.即a的取值范围为(－∞，0].11．解析：∵f(x)＝lnx＋ax2－2，∴f′(x)＝1x＋2ax，若f(x)在区间(12，2)内存在
单调递增区间，则f′(x)>0，x∈(12，2)有解，故a>－12x2，令g(x)＝－12x2，则g(x)＝－12x2在(12，2)单调递增，∴g(x)>g(12)＝－2，故a>－2.故选D.答案：D12．解析：(1)∵f′(x)＝1
x－a，g′(x)＝－bx2，∴f′(1)＝1－a，g′(1)＝－b，∵y＝f(x)与y＝g(x)在交点(1，c)处具有公共切线，∴1－a＝－b；又c＝－a＝b－3，∴由1－a＝－b－a＝b－3得a＝2b＝1
.(2)当b＝1－a时，设h(x)＝f(x)＋g(x)＝lnx－ax＋1－ax－3(x>0)，∴h′(x)＝1x－a－1－ax2＝－ax2＋x－1＋ax2＝－（ax＋a－1）（x－1）x2；设t(x)＝－ax2＋x－1＋a(x>0)，当a＝0时，t(x
)＝x－1；当x∈(0，1)时，t(x)<0；当x∈(1，＋∞)时，t(x)>0；∴h(x)的单调递减区间为(0，1)，单调递增区间为(1，＋∞)；当a≠0时，令t(x)＝0，解得x1＝1－aa＝1a－1，x2＝1；①当a＝12时，1a－1＝1时，t(x)≤0恒成立，即h′(x)≤0，∴h(
x)的单调递减区间为(0，＋∞)，无单调递增区间；②当0<a<12时，1a－1>1，当x∈(0，1)∪(1a－1，＋∞)时，t(x)<0，则h′(x)<0；当x∈(1，1a－1)时，t(x)>0，则h′(x)>0；∴h(x)的单调递减区间为(0，1)，(1a
－1，＋∞)；单调递增区间为(1，1a－1)；综上所述：当a＝0时，h(x)的单调递减区间为(0，1)，单调递增区间为(1，＋∞)；当a＝12时，h(x)的单调递减区间为(0，＋∞)，无单调递增区间；当0<a<12时，h(x)的单调递减区间为(0
，1)，(1a－1，＋∞)；单调递增区间为(1，1a－1).课时作业(十九)函数的极值1．解析：A：因为函数y＝ex是实数集上的增函数，所以函数y＝ex没有极值；B：因为函数y＝lnx是正实数集上的增函数，所以函数y＝lnx没有极值；C：因为函数y＝2x在区间(0，＋∞
)、(－∞，0)上是减函数，所以函数y＝2x没有极值；D：因为y＝x2－2x＝(x－1)2－1，所以该函数在(1，＋∞)上是增函数，在(－∞，1)上是减函数，因此x＝1是函数的极小值点，符合题意，故选D.答案：D2．解析：对于A，在(－2，－1)，f′(x)>0，f(x)单
调递增，故A错误；对于B，在(0，2)，f′(x)不恒为正或负，故f(x)不单调，故B错误；对于C，在(1，＋∞)，f′(x)≥0恒成立，故f(x)单调递增，故x＝3不是极值点，故C错误；对于D，在(－3，－1)，f′(x)>0，f(x)单调递增，在(－1，1)，f′(x)<0，f(x)单调递减
，故x＝－1是f(x)的极大值点，且是唯一的极大值点，故D正确．故选D.答案：D3．解析：由f(x)＝sinx＋ax知：f′(x)＝cosx＋a.因为x＝π3是f(x)＝sinx＋ax的极值点，故f′(π3)＝cosπ3＋
a＝0⇒a＝－12.答案：－124．解析：(1)f′(x)＝6x－9，令f′(x)＝6x－9<0，解得x<32，故函数f(x)的单调递减区间是(－∞，32).(2)令f′(x)>0得x>32，故f(x)在(－∞，32)单调递减，在(32，＋∞)单调递增，所以f(x)在x＝32处取得极小值，f(3
2)＝3×94－9×32＋5＝－74，所以f(x)的极小值为－74，无极大值．5．解析：对A，x＝2是y＝g(x)的零点，不一定为y＝f(x)的零点，故A错误；对B，因为g(2)＝0，在x＝2左侧，()x－2f′(x)<0，故
f′(x)>0，在x＝2右侧，()x－2f′(x)>0，故f′(x)>0，故x＝2两侧f′(x)>0，故x＝2不是y＝f(x)的极大值点，故B错误；对C，因为g(1)＝0，在x＝1左侧，()x－2f′(x)>0，故f′(x)<0，在x＝1右侧，()x－2f′(x
)<0，故f′(x)>0，故是y＝f(x)的极小值点，故C错误；对D，因为g()－2＝0，在x＝－2左侧，()x－2f′(x)<0，故f′(x)>0，在x＝－2右侧，()x－2f′(x)>0，故f′(x)<0，故x＝
－2是y＝f(x)的极大值点，故D正确，故选D.答案：D6．解析：∵函数f(x)＝x3－2cx2＋x有极大值点，∴f′(x)＝3x2－4cx＋1＝0有两个不同的根，∴Δ＝(－4c)2－12>0，解得c<－32或c>32，即实数c的范围是(－∞，
－32)∪(32，＋∞).故选D.答案：D7．解析：由f(x)＝x3－3x2－9x，得f′(x)＝3x2－6x－9，令f′(x)>0⇒x<－1或x>3，令f′(x)<0⇒－1<x<3，所以函数f(x)在(－∞，－1)和(3，＋∞)上单调递增，在(
－1，3)上单调递减，且f(－1)＝5，f(3)＝－27，如图，由图可知函数f(x)在x＝－1处取得极大值，在x＝3处取得极小值，又函数f(x)在(a，＋∞)内有极大值，故a<－1.故选A.答案：A8．解析：(1)因为f(x)＝13x3＋ax2＋bx，所以f′(x)＝
x2＋2ax＋b，由f′（－1）＝－4f′（1）＝0，得1－2a＋b＝－41＋2a＋b＝0，解得a＝1，b＝－3.(2)由(1)得f(x)＝13x3＋x2－3x，x∈R，f′(x)＝x2＋2x－3＝(x－1)(x＋3).由f′(x)>0得x>1或x<
－3；由f′(x)<0得－3<x<1.由f′(x)＝0得x＝1或x＝－3；∴f(x)的单调递增区间为(－∞，－3)，(1，＋∞)，单调递减区间为(－3，1)，∴f(x)在x＝－3处取得极大值9，在x＝1处取得极小值－53.9．解析：(1)设y＝f(
x)＝ax3＋bx2，则f′(x)＝3ax2＋2bx.由题意，知f（1）＝3，f′（1）＝0，即a＋b＝3，3a＋2b＝0，解得a＝－6，b＝9.(2)由(1)，知y＝－6x3＋9x2.所以y′＝
－18x2＋18x＝－18x(x－1).令y′＝0，解得x1＝1，x2＝0.因为当x<0时，y′<0；当0<x<1时，y′>0；当x>1时，y′<0.所以当x＝0时，y有极小值，其极小值为0.10．解析：(1)当a＝0，f(x)＝13x
3,则f(1)＝13，即切点为(1，13).又f′(x)＝x2,f′(1)＝1即切线斜率k＝1.所以切线方程为：y＝x－23，整理得：3x－3y－2＝0，曲线y＝f(x)在x＝1处的切线方程为：3x－3y－2＝0.(
2)f′(x)＝x2－ax＝x()x－a，令f′(x)＝0，解得：x＝0，x＝a.由于x＝1是函数f(x)的极大值点，所以f′(1)＝0，即a＝1，但此时x∈(－∞，0)，f′(x)>0，f(x)在(－∞，0)上单调递增；x∈(0，1)，f′(x)<0，f(x)在(0，1)上单调递减；x∈(
1，＋∞)，f′(x)>0，f(x)在(1，＋∞)上单调递增；所以x＝1是函数f(x)的极小值点．故a的取值范围为∅.11．解析：由f(x)＝ex－a2x2－ax，得f′(x)＝ex－ax－a，令f′
(x)＝0，得ex－ax－a＝0，当x＝－1时，方程无解，所以x≠－1，化简得a＝exx＋1，令g(x)＝exx＋1，则g′(x)＝ex（x＋1）－ex（x＋1）2＝xex（x＋1）2，当x>0时，g′(x)>0，当－1<x<0或x<－1时，g′(x)<0，所以g(x)在(0，＋
∞)上递增，在(－1，0)和(－∞，－1)上递减，作出g(x)的图象，g(0)＝1，因为函数f(x)＝ex－a2x2－ax有两个极值点，所以方程a＝exx＋1有两个变号的实根，即y＝a与y＝exx＋1的图象有两
个不同的交点，所以由图可得a>1，即实数a的取值范围是(1，＋∞).故选B.答案：B12．解析：(1)当a＝1时，f(x)＝exx－1，f(2)＝e22－1＝e2，f′(x)＝ex（x－1）－ex（x－1）2＝（x－2）ex（x－1）2，f′(2)＝0，所以f(x)在(2，f(2))处的切线方程
为y＝e2.(2)f′(x)＝ex（ax－1）－aex（ax－1）2＝（ax－1－a）（ax－1）2·ex，当a＝0时，f(x)＝－ex，f(x)在R上递减，没有极值．当a≠0时，f(x)的定义域为x|x≠1
a，令f′(x)＝（ax－1－a）（ax－1）2·ex＝0，解得x＝1＋1a.当a>0时，f(x)在区间(－∞，1a)，(1a，1＋1a)，f′(x)<0，f(x)递减；在区间(1＋1a，＋∞)，f′(x)>0，f(x)递增；f(x)的极
小值为f(1＋1a)＝e1＋1aa，无极大值．当a<0时，f(x)在区间(－∞，1a)，(1a，1＋1a)，f′(x)>0，f(x)递增；在区间(1＋1a，＋∞)，f′(x)<0，f(x)递减；f(x)的极大值为f(
1＋1a)＝e1＋1aa，无极小值．课时作业(二十)函数的最大(小)值1．解析：由f(x)＝lnx－x，得f′(x)＝1x－1＝1－xx，当0<x<1时，f′(x)>0，当1<x≤e，f′(x)<0，所以f(x)在(0，1)上单调递增，在(1，e]上单
调递减，所以当x＝1时，f(x)取得最大值f(1)＝ln1－1＝－1，故选A.答案：A2．解析：f′(x)＝8x＋1x2＝8x3＋1x2，令f′(x)＝0，得x＝－12.当－1≤x<－12时，f′(x)<0；当－12<x<0时，f′(x)>0.f(x)在[－
1，－12)上单调递减，在(－12，0)上单调递增，所以f(x)的最小值为f(－12)＝3.答案：33．解析：因为f(x)＝13x3－4x＋4，x∈[0，3]，所以f′(x)＝x2－4＝(x＋2)(x－2)，所以当0<x<2时f′(x)<0
，当2<x<3时f′(x)>0，所以f(x)在[0，2]上单调递减，在(2，3]上单调递增，所以f(x)min＝f(2)＝－43，又f(0)＝4，f(3)＝1，所以f(x)max＝f(0)＝4.答案：4－434．解析：(1)由题意可得f(x)＝x3－12x定义域
为R，f′(x)＝3x2－12，令f′(x)＝0，得x＝－2或x＝2.列表如下：所以f(x)单调递增区间为(－∞，－2)和(2，＋∞)，单调递减区间为(－2，2).(2)由(1)知f(x)在[－3，－2]，[2，5]单调递增，在[－2，2]单调递减，又因为f(－3)＝9，f(－2)
＝16，f(2)＝－16，f(5)＝65.所以f(x)在区间[－3，5]上的最大值为65，最小值为－16.5．解析：由题意，函数f(x)＝－x3＋3x2＋9x＋a，x∈[－2，2]，可得f′(x)＝－3x2＋6x＋9，令f′(x)＝0
，即－3x2＋6x＋9＝0，解得x＝－1或3(舍去).当－2<x<－1时，f′(x)<0，f(x)单调递减；当－1<x<2时，f′(x)>0，f(x)单调递增，所以当x＝－1时取最小值，而f(2)＝22＋a>f(－2)＝2＋a，即最大值为22＋a＝
20，所以a＝－2，所以此函数在区间[－2，2]上的最小值为f(－1)＝－5－2＝－7.故选B.答案：B6．解析：函数f(x)＝lnx－|x－2|＝lnx＋x－2，0<x≤2lnx－x＋2，x>2，所以当0<x≤2时，f(x)＝lnx＋x－2单调
递增，所以f(x)max＝ln2，当x>2时，f(x)＝lnx－x＋2，f′(x)＝1x－1＝1－xx<0，函数单调递减，所以f(x)<ln2；综上，函数的最大值为ln2.答案：ln27．解析：函数f(x
)＝(x＋a)ex的定义域为R，f′(x)＝(x＋a＋1)ex.所以当x∈(－∞，－a－1)时，f′(x)<0，y＝f(x)单调递减；当x∈(－a－1，＋∞)时，f′(x)>0，y＝f(x)单调递增，所以函数f
(x)＝(x＋a)ex的最小值为f(－a－1)＝(－a－1＋a)e－a－1＝－e2，解得a＝－3.答案：－38．解析：(1)因为f(x)＝13x3＋ax＋b，所以f′(x)＝x2＋a.依题意可得f′（2）＝0f（2）＝－43，即4＋a＝083＋
2a＋b＝－43，解得a＝－4b＝4，所以f(x)＝13x3－4x＋4，经检验符合题意．(2)由(1)知f(x)＝13x3－4x＋4，则f′(x)＝x2－4，令f′(x)＝0，解得x＝2或x＝－2，所以当－4
<x<－2时f′(x)>0，当－2<x<1时f′(x)<0，所以f(x)在[－4，－2]上单调递增，在(－2，1]上单调递减．又f(－2)＝283，f(1)＝13，f(－4)＝－43，所以f(x)最大值为283，最小值为－43.9．解析：∵f′(x)＝
3x2＋2x＋a，∴Δ＝4－12a，又－83<a<0，∴Δ>0；令f′(x)＝0，解得：x1＝－1－1－3a3，x2＝－1＋1－3a3；则x，f′(x)，f(x)变化情况如下表：x(－∞，x1)x1(x1，x2)x2(x2，＋∞)f′(x)＋0－0＋f(x)极大值极小值∴
f(x)在(－∞，x1)，(x2，＋∞)上单调递增，在(x1，x2)上单调递减，∵－83<a<0，x1<0<x2<2，∴f(x)min＝f(x2)，又f(0)＝0，f(2)＝12＋2a>0，∴f(x)在[0，2]
上的最大值为f(2)＝12＋2a＝10，解得：a＝－1；∴f(x)min＝f(x2)＝f(13)＝127＋19－13＝－527.10．解析：(1)f′(x)＝ex－1－1，由f′(x)＝0得x＝1.当x变化时，f′(x)，f(x)的变化如下表所示：x
(－∞，1)1(1，＋∞)f′(x)－0＋f(x)极小值由上表可知f(x)在x＝1处取得极小值f(1)＝－1，无极大值．(2)证明：g(x)＝ex－1x＋1，令h(x)＝（x＋1）24ex－1(x≥1)，h
′(x)＝2（x＋1）－（x＋1）24ex－1＝1－x24ex－1≤0，所以h(x)在[1，＋∞)单调递减，所以当x≥1时，h(x)≤h(1)＝1.所以当x≥1时，（x＋1）24ex－1≤1，即ex－1
x＋1≥x＋14，故当x≥1时，g(x)≥x＋14.11．解析：由f(x)＝x3－3a2x2＋4，得f′(x)＝3x2－3ax＝3x(x－a)，当a≤0时，f′(x)>0在[1，2]上恒成立，所以f(x)在[1，2]上递增，所以f(x
)min＝f(1)＝1－3a2＋4＝0，解得a＝103(舍去)，当a>0时，由f′(x)＝0，得x＝0或x＝a，当0<a≤1时，f′(x)>0在[1，2]上恒成立，所以f(x)在[1，2]上递增，所以f(x)min＝f(1)＝1－3a2＋4＝0，解得a＝103(舍去)，当1<a<2时，当1<x<a
时，f′(x)<0，当a<x<2时，f′(x)>0，所以f(x)在(1，a)上递减，在(a，2)上递增，所以当x＝a时，f(x)取得最小值，所以f(a)＝a3－3a2a2＋4＝0，解得a＝2(舍去)，当a≥2时，当1≤x≤2时，f′(x)<0，所以f(x)在[1，2]上递减，所以f
(x)min＝f(2)＝23－3a2×4＋4＝0，解得a＝2，综上，a＝2.故选C.答案：C12．解析：(1)因为f(x)＝x2(x－3)＋acos2x＋2，所以f′(x)＝(x2)′(x－3)＋x2(x－3)′＋a·(－sin2x)·(2x)′＝3x2－6x－2asin2x，即f′(x)
＝3x2－6x－2asin2x.(2)当a＝0时，f(x)＝x2(x－3)＋2，且f′(x)＝3x2－6x＝3x(x－2)，因为f(x)＝x2(x－3)＋2的定义域为[0，m]，令f′(x)＝0，得x＝0，x＝2
，①若0<m≤2，则当x∈[0，m]时，f′(x)<0，f(x)为单调递减函数，所以f(x)的最大值为f(0)＝2；②若m>2，则当x∈(0，2)时，f′(x)<0；当x∈(2，m)时，f′(x)>0，所以
f(x)在区间[0，2]上单调递减，在区间(2，m]上单调递增；所以f(x)的最大值为f(0)＝2与f(m)＝m2(m－3)＋2中的较大值，考虑f(m)－f(0)＝m2(m－3)，易知当2<m≤3时，f(m)－f(0)≤0，即f(m)≤f(0)，所以f(x)的最大值为f(0
)＝2；当m>3时，f(m)－f(0)>0，即f(m)>f(0)，所以f(x)的最大值为f(m)＝m2(m－3)＋2＝m3－3m2＋2，综上所述，当0<m≤3时，f(x)的最大值为2；当m>3时，f(x)的最大值为m3－3m2＋2.课时作业(二十一)函数极值与最值的综合应用1．解析：(1)f′(x
)＝6x2－12x＝6x(x－2)，x－2(－2，0)0(0，2)2(2，3)3f′(x)＋－＋f(x)f(－2)＝－33f(0)＝7f(2)＝－1f(3)＝7∴f(x)的最大值为7，最小值为－33.(2)x(－
∞，0)0(0，2)2(2，＋∞)f′(x)＋－＋f(x)f(0)＝7f(2)＝－1当a＜－1或a＞7时，方程有一个根；当a＝－1或7时，方程有两个根；当－1＜a＜7时，方程有三个根．2．解析：(1)由题
可知，函数f(x)的定义域为(0，＋∞)，当a＝1时，f(x)＝xlnx－x＋1，f′(x)＝lnx，由f′(x)<0得f(x)在区间(0，1)上单调递减，由f′(x)>0得f(x)在区间(1，＋∞)上单调递增，所以函数f(x)在x＝1处取得极小值
f(1)＝0，无极大值．(2)由题可知，当x≥1时，f(x)≥0恒成立，即lnx－a＋ax≥0恒成立，设g(x)＝lnx－a＋ax(x≥1)，g′(x)＝1x－ax2＝x－ax2，当a≤1时，g′(x)≥0，∴g(x)在
[1，＋∞)上单调递增，∴g(x)≥g(1)＝0，满足条件；当a>1时，令g′(x)＝0得x＝a，当1≤x<a时，g′(x)<0；当x>a时，g′(x)>0，∴g(x)在[1，a]上单调递减，在[a，＋∞)上单调递增，∴g(a)<g(1)＝0，与已知矛盾．综上，a的取值范围是(－∞，1].3．解析
：(1)设当2≤t<10时，减少的人数与(10－t)2成正比，比例系数为k，所以P(t)＝1200－k(10－t)2，2≤t<10，当t＝5时，P(5)＝950，即1200－k(10－5)2＝950，解得k＝
10，所以P(t)＝1200－10（10－t）2，2≤t<101200，10≤t≤20.(2)由题意可得：Q(t)＝700t－2048－2t3，2≤t<10900t－40t2－2048，10≤t≤20，所以Q
（t）t＝700－2t2－2048t，2≤t<10900－40t－2048t，10≤t≤20，令H(t)＝Q（t）t，当2≤t<10时，H′(t)＝－4t＋2048t2＝2048－4t3t2；令H′(t)＝0得t＝8；当2≤t<
8时，H′(t)>0，当8<t<10时，H′(t)<0，所以H(t)的最大值为H(8)＝316；当10≤t≤20时，H′(t)＝－40＋2048t2<0，所以H(t)最大值为H(10)＝295.2；因为295.2<316，所以单位时间的净收益最大
为316元；综上，当发车时间间隔为8分钟时，单位时间净收益最大，且最大为316元．4．解析：(1)函数f(x)的定义域为(0，＋∞)，f′(x)＝a－2x＝ax－2x.当a≤0时，f′(x)<0恒成立，所以f(x)在(0，＋∞)上
单调递减；当a>0时，令f′(x)<0，得0<x<2a，令f′(x)>0，得x>2a，所以f(x)在(0，2a)上单调递减，在(2a，＋∞)上单调递增．(2)令ax－2lnx＝0，得a＝2lnxx(x>0
).令g(x)＝2lnxx，则g′(x)＝2（1－lnx）x2，令g′(x)>0，得0<x<e；令g′(x)<0，得x>e，所以函数g(x)在(0，e)上单调递增，在(e，＋∞)上单调递减．所以g(x)max＝g(e)＝2
e；当0<x<e时，g(x)∈(－∞，2e)，当x>e时，g(x)>0，所以g(x)∈(0，2e)，所以函数g(x)的图象如图所示，由图可得，当a>2e时，直线y＝a与函数g(x)的图象没有交点，函数f(x
)没有零点；当a＝2e或a≤0时，直线y＝a与函数g(x)的图象有1个交点，函数f(x)有1个零点；当0<a<2e时，直线y＝a与函数g(x)的图象有2个交点，函数f(x)有2个零点．章末过关检测(一)数列1．解
析：数列的分母5，7，9，…形成首项为5，公差为2的等差数列，则通项公式为5＋(n－1)×2＝2n＋3，所以an＝（－1）n2n＋3.故选C.答案：C2．解析：设等差数列{an}的公差为d，由题意得a5＝a1＋4d＝4a2
＋a6＝2a1＋6d＝10，即a1＝8d＝－1.故选A.答案：A3．解析：由题意得：∵等差数列{an}中，a4＋a10＝a1＋a13＝6，∴S13＝13（a1＋a13）2＝13×62＝39.故选C.答案：C
4．解析：由题意知：{an}为等比数列，故a1a8a15＝(a8)3＝27，∴a8＝3，a3·a13＝(a8)2＝9，故选C.答案：C5．解析：因为等比数列{an}的前n项和为Sn，所以S8，S16－S8，S24－S
16成等比数列，因为S8＝12，S24＝36，所以(S16－12)2＝12×(36－S16)，解得S16＝24或S16＝－12，因为S16－S8＝q8S8>0，所以S16>0，则S16＝24.故选A.答案：A6．解析：不妨设插入两个正数为a，b，即3，a，b，9，∵
3，a，b成等比数列，则a2＝3b，a，b，9成等差数列，则a＋9＝2b，即a2＝3ba＋9＝2b，解得a＝92b＝274或a＝－3b＝3(舍去)，则a＋b＝454＝1114.故选B.答案：B7．
解析：等差数列{an}的首项为1，所以a1＝1，a2，a5，a14成等比数列，所以a25＝a2·a14，所以(a1＋4d)2＝(a1＋d)·(a1＋13d)，解得：d＝2，所以数列{an}的前6项和为：6a1＋6×52d＝6＋30＝36.故选C.答案：C8．解析：
由于an＋2＝an＋2，n＝2m－12an，n＝2m(m∈N＋)，所以当n为奇数时，是等差数列，即：a1＝2，a3＝2＋2×1，a5＝2＋2×2，a7＝2＋2×3，…，a19＝2＋2×9，共10项，和为2＋2＋2×92×1
0＝110；a2＝20，a4＝21，a6＝22，a8＝23，…，a20＝29，共10项，其和为20×1－2101－2＝210－1＝1023；∴该数列前20项的和S20＝1023＋110＝1133.故选C.答案：C9．解析：对于A，数列1，12，13，14，…为递减数列，故不符合题意；对于B，数
列sinπ7，sin2π7，sin3π7，…为周期数列，且sinπ7>sin8π7，故不符合题意；对于C，数列－1，－12，－14，－18，…为递增数列，故符合题意；对于D，数列1，2，3，…，21为递增数列，故符合题意．故选CD.答案：CD10．解析：由题设，a6＋a9＝a7＋a8<0，而a7>
0，∴a8＝a7＋d<0，则d<－a7<0，则{an}为递减数列，A错误，B正确；S13＝13（a1＋a13）2＝13a7>0，S14＝14（a1＋a14）2＝7(a6＋a9)<0，C正确，D错误．故选BC.答案：BC11．解析：an＝n，则a2n＝
n，{an}是等方差数列，但{an}不是等差数列，A错；an＝5，a2n＝25，a2n－a2n－1＝0，{a2n}是等差数列，{an}也是等差数列，B正确；an＝(－1)n，则a2n＝1，{a2n}是等差数列，C正确；若{an}是等方差数列，
则a2n＋1－a2n＝d是常数，因此a22（n＋1）－a22n＝a22（n＋1）－a22n＋1＋a22n＋1－a22n＝d＋d＝2d是常数，所以{a22n}是等方差数列，D正确．故选BCD.答案：BCD12．解析
：由图可知an＝an＋1(sin15°＋cos15°)＝an＋1×2sin(15°＋45°)＝62an＋1，所以an＋1an＝63，所以数列{an}是首项为1，公比为63的等比数列，故A错误；则an＝63n－1，由题可得Sn＝12·
an＋1sin15°·an＋1cos15°＝18a2n＋1＝18×23n，所以S1＝18×23＝112，故B正确；因为Sn＋1Sn＝23，所以数列{Sn}是公比为23的等比数列，故C错误；Tn＝1121－23n1－23＝1
4－14·23n<14，故D正确．故选BD.答案：BD13．解析：因为数列{an}的递推公式an＋1＝anan＋1，且首项a1＝1，则a2＝a1a1＋1＝12，a3＝a2a2＋1＝13，a4＝a3a3＋1＝14.答案：
1414．解析：当n＝1时，a1＝S1＝2＋3＋1＝6，当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝2n2＋3n＋1－[2(n－1)2＋3(n－1)＋1]＝4n＋1，检验：a1＝5≠S1，所以an＝6，n＝14n＋1，n≥
2.答案：an＝6，n＝14n＋1，n≥215．解析：设正项等比数列{an}的公比为q，则q>0，∵3a1，12a3，2a2成等差数列，∴a3＝3a1＋2a2，∴q2－2q－3＝0，∴q＝3或q＝－1(舍去)，∴a8＋a9a6
＋a7＝a1q7＋a1q8a1q5＋a1q6＝q2＝32＝9.答案：916．解析：令13－2n≤0，解得：n≥132，则当n≤6时，an>0；当n≥7时，an<0；∴当n≤6时，Tn＝n（a1＋an）2＝n（11＋13－2n）2＝－
n2＋12n；当n≥7时，Tn＝(a1＋a2＋…＋a6)－(a7＋a8＋…＋an)＝2(a1＋a2＋…＋a6)－(a1＋a2＋…＋a6＋a7＋a8＋…＋an)＝2(－36＋72)－(－n2＋12n)＝n2－12n＋72；∴T1
0＝102－120＋72＝52；∵Tnn＝－n＋12，n≤6n＋72n－12，n≥7，∴当n≤6时，Tnnmin＝T66＝6；当n≥7时，∵y＝x＋72x在(0，62)上单调递减，在(62，＋∞)上单调递增，又n∈N*，T88＝8＋9－12＝5，T99＝9＋8－12
＝5，∴当n≥7时，Tnnmin＝5；综上所述：Tnnmin＝5.答案：52517．解析：(1)设等比数列{an}的公比为q.∵a1，a2，a3－2成等差数列，a1＝2，∴2a2＝a1＋(a3－2)＝2＋(a3－2)＝a3，∴q＝a3a2＝2，∴an＝a1qn－1＝2n(n
∈N*)(2)bn＝1an＋2log2an－1＝12n＋2log22n－1＝12n＋2n－1则Sn＝12＋1＋[122＋3]＋[123＋5]＋…＋[12n＋(2n－1)]＝12＋122
＋123＋…＋12n＋[1＋3＋5＋…＋(2n－1)]＝121－12n1－12＋n[1＋（2n－1）]2＝n2－12n＋1(n∈N*)18．解析：(1)设等差数列{an}的公差为d，因为a8＝a2＋6d，a2＝22，a8＝4，所以4
＝22＋6d，所以d＝－3，a1＝25，所以an＝28－3n.(2)因为an＝28－3n，令28－3n<0，得n>913，所以当n≤9时，an>0；当n≥10时，an<0，故当n＝9时，Sn最大，且最大值为S9＝25×9＋
12×9×8×(－3)＝117.19．解析：(1)设等差数列{an}的公差为d，等比数列{bn}的公比为q，则2＋d＝2q2＋2q2＝2＋4d⇒d＝q＝2.所以an＝2n，bn＝2n.(2)Sn＝n（2
＋2n）2＝n(n＋1)，则1Sn＝1n（n＋1）＝1n－1n＋1，Tn＝(1S1＋1S2＋…＋1Sn)＋(b1＋b2＋…＋bn)＝(1－12＋12－13＋…＋1n－1n＋1)＋(2＋22＋…＋2n)＝1－1n
＋1＋2－2n＋11－2＝2n＋1－1n＋1－1.20．解析：(1)证明：因为Tn为数列{an}的前n项积，所以可得TnTn－1＝an(n≥2)，因为1Tn＋2an＝1，所以1Tn＋2Tn－1Tn＝1(n≥2)，
即1＋2Tn－1＝Tn(n≥2)，所以Tn＋1Tn－1＋1＝2(n≥2)，又1T1＋2a1＝1，所以a1＝T1＝3，故{Tn＋1}是以4为首项，2为公比的等比数列；(2)由(1)得：Tn＋1＝4×2n－1＝2n＋1，所
以Tn＝2n＋1－1，则nTn＝n·2n＋1－n，设An＝1×22＋2×23＋3×24＋…＋n·2n＋1，①∴2An＝1×23＋2×24＋3×25＋…＋n·2n＋2，②则①－②得：－An＝1×22＋(23＋24＋…
＋2n＋1)－n·2n＋2＝4＋23－2n＋21－2－n·2n＋2＝－4＋(1－n)2n＋2，则An＝4＋(n－1)2n＋2，所以{nTn}的前n项和Sn＝4＋(n－1)2n＋2－n（n＋1）2.21．解析：(1)设等差数列{an}的公差为d，则an＝a1＋(n－1)d，∵a2
＝3，且a2，a3＋1，a5＋3成等比数列，∴a1＋d＝3且(a1＋2d＋1)2＝3(a1＋4d＋3)，解得a1＝1d＝2或a1＝4d＝－1(舍)，∴an＝2n－1(n∈N*)，且Sn＝n（a1＋an）2＝n2.(2)由题意可知，新数列{bn}为1，2，3，22，22，5，23，23
，23，7，…按照此规律，假设第24项在ak与ak＋1(k＝1，2，…)之间，则M＝1＋2＋3＋…＋(k－1)＋k≤24，解得当k＝6时M＝21，∴数列{bn}的前24项和T24＝(2＋2·22＋3·23＋…＋5·25)＋(1＋3＋5＋7
＋9＋11)＋3×26＝(2＋4×26)＋62＋3×26＝38＋7×26＝486.22．解析：(1)依题意，小李在乙公司工作第n年的年薪为bn＝4.8×(1＋8%)n－1(n∈N*).所以小李在乙公司连续工作5年，则
b5＝4.8×(1＋8%)4≈6.72万元；(2)由题意，小李在甲公司工作连续工作n年的工资总收入为4.2n＋n（n－1）2×0.6，小李在乙公司工作10年的总收入4.8[1－（1＋8%）10]1－（1＋8%）＋7.2，则4.2n＋n（n－1）2×0.6≥4.8[1－（1＋8
%）10]1－（1＋8%）＋7.2，∴(n＋24)(n－11)≥0，∴n≥11，∴小李在甲公司至少要连续工作11年，他的工资总收入才不低于在乙公司工作10年的总收入．章末过关检测(二)一元函数的导数及其应用1．解析：由题意得，f′(x)＝2x－3，故f′
(1)＝2－3＝－1.故选A.答案：A2．解析：∵f(x)＝(x－1)ex，∴f′(x)＝ex＋(x－1)ex＝xex，令f′(x)<0，即xex<0，解得x<0，∴f(x)的单调递减区间为(－∞，0).故选A.答案：A3．解析：根据导函数的正负可判断，
原函数的单调性为先增后减再增，故排除AD；又C选项，递减区间斜率不变，故排除．故选B.答案：B4．解析：由f(x)＝(x＋a)ex，得f′(x)＝ex＋(a＋x)ex＝(x＋a＋1)ex，则f′(－1
)＝ae，因为曲线f(x)＝(x＋a)ex，在点(－1，f(－1))处的切线与直线2x＋y－1＝0垂直，所以ae＝12，故a＝e2.故选D.答案：D5．解析：由题意，设切点为(x0，x0－1)，所以x0－1＝ln(x0－a)，y′＝1x－a，所以1x0－a＝1⇒x0
－a＝1，所以x0－1＝0⇒x0＝1，则ln(1－a)＝0⇒a＝0.故选B.答案：B6．解析：因为f(x)＝x3－4x2－3x－5，所以f′(x)＝3x2－8x－3＝(3x＋1)(x－3)，所以当x>
3或x<－13时f′(x)>0，当－13<x<3时f′(x)<0，所以f(x)的单调递增区间为(－∞，－13)和(3，＋∞)，单调递减区间为(－13，3)，所以f(x)的极大值点为x＝－13，即a＝－13.故选B.答案：B7．解析：设f(x)＝lnxx(x>0)，则f′(x)＝1－lnxx
2，当0<x<e时，f′(x)>0，f(x)递增，当x>e时，f′(x)<0，f(x)递减，当x＝e时，函数取得最大值，由于e<3<8，故lnee>ln33>ln88，即b>a>c.故选A.答案：A8．解析：构造函数g(x)＝f（x）x(x≠0)，∵函数f(x)在R上可导，
且满足f(x)－xf′(x)<0，∴g′(x)＝xf′（x）－f（x）x2>0，∴x>0时，函数g(x)单调递增，∴g(3)>g(2)，即f（2）2<f（3）3，即3f(2)<2f(3).故选A.答案：A9．解析：A，因为f(x)＝sin(2x－1)，所以f′(x)＝2cos(2
x－1)，故正确；B，因为f(x)＝e－0.05x＋1，所以f′(x)＝－0.05e－0.05x＋1，故错误；C，因为f(x)＝xex，所以f′(x)＝1－xex，故错误；D，因为f(x)＝xlnx，所以f′(x)＝lnx＋1，故正确．故选AD.答案：AD10．解析：由导函数f′(x
)的图象可知，当x>2时，f′(x)<0；当x<2时，f′(x)≥0，即函数f(x)在(－∞，2)上单调递增，在(2，＋∞)上单调递减，即函数f(x)在x＝2出取得极大值．故选BD.答案：BD11．解析：因为直线y＝3x＋b能作为曲线f(x)的切线，所以f′(x)＝3
有解，对于A，由f(x)＝－1x，得f′(x)＝1x2，由f′(x)＝3，得1x2＝3，解得x＝±33，所以直线y＝3x＋b能作为曲线f(x)＝－1x的切线，所以A正确；对于B，由f(x)＝12x2＋4lnx，得f′(x)＝x＋4x(x>0)，由f′(x)＝3，得x＋
4x＝3，化简得x2－3x＋4＝0，因为Δ＝(－3)2－4×4<0，所以方程无解，所以直线y＝3x＋b不能作为曲线f(x)＝12x2＋4lnx的切线，所以B错误；对于C，由f(x)＝x3，得f′(x)＝
3x2，由f′(x)＝3，得3x2＝3，解得x＝±1，所以直线y＝3x＋b能作为曲线f(x)＝x3的切线，所以C正确；对于D，由f(x)＝ex，得f′(x)＝ex，由f′(x)＝3，得ex＝3，解得x＝ln3，所以直线y＝3x＋b能作为曲线f(x)＝ex的切线，所以D正确．故
选ACD.答案：ACD12．解析：由题意，函数f(x)＝xex－ax－1，可得f′(x)＝(x＋1)ex－a，当a＝1时，f′(x)＝(x＋1)ex－1，且f′(0)＝0，当x<0时，f′(x)<0，f(x)单调递减；当x>0时，f′
(x)>0，f(x)单调递增，所以当x＝0时，函数f(x)取得极小值f(0)，所以A正确；当a＝－1时，f′(x)＝(x＋1)ex＋1，令g(x)＝(x＋1)ex＋1，可得g′(x)＝(x＋2)ex，当x<－2时，g′(x)<0，f(x)单调递减
；当x>－2时，g′(x)>0，f(x)单调递增，又由g(－2)＝－e－2＋1>0，所以g(x)>0，即f′(x)>0，所以f(x)单调递增，所以f(x)没有极值点，所以B错误；由函数f(x)＝xex－ax－1，则f(0)＝－1，所以0不是f(x)的零点，令f(
x)＝0，即xex－ax－1＝0，所以a＝ex－1x，所以函数f(x)的零点，即为函数y＝a与h(x)＝ex－1x的交点横坐标，又由h′(x)＝ex＋1x2>0，可得函数h(x)单调递增，当x<0时，h(x)>0；当x→0时，h(x)→－∞；当x
→＋∞时，h(x)→＋∞；在直角坐标系中画出函数y＝a与h(x)＝ex－1x的图象，结合图象得：当a≤0时，函数f(x)有一个零点，这个零点为正数；当a>0时，函数f(x)有两个零点，其中一个是正数一个
是负数．故选ACD.答案：ACD13．解析：∵f(x)＝4lnx－xf′(2)，∴f′(x)＝4x－f′(2)，令x＝2，则f′(2)＝42－f′(2)，∴f′(2)＝1.答案：114．解析：因为函数f(x)＝x2cosx的导数为f′(x
)＝2xcosx－x2sinx，所以可得在x＝π2处的切线斜率k＝f′(π2)＝2×π2cosπ2－(π2)2sinπ2＝－π24.答案：－π2415．解析：由①f(x)－f(－x)＝0，即f(x)＝f(－x)，则f(x)是偶函数，由②f(xy)＝f(x)f(y)，可得f(x)可以是幂的形式
，由③当x∈(0，＋∞)时，f′(x)<0可得f(x)在(0，＋∞)单调递减，综上，可得f(x)的一个解析式可以为f(x)＝－x2.答案：f(x)＝－x2(答案不唯一)16．解析：由ex2－aex＝0，得a＝x2e1－x.设g(x)＝x2e1－x，则g′(
x)＝e1－xx(2－x).当x∈(－∞，0)时，g′(x)<0，当x∈(0，2)时，g′(x)>0，当x∈(2，＋∞)时，g′(x)<0，所以函数g(x)在区间(－∞，0)上单调递减，在区间(0，2)上单调递增，在区间(2，＋∞)上单调递减，又g(0)＝
0，g(2)＝4e，故函数g(x)＝x2e1－x的图象如图所示：故当0<a<4e时，函数f(x)＝e2－aex有三个零点，即a∈(0，4e).答案：(0，4e)17．解析：(1)因为f′(x)＝－x2＋2x，所以f′(1)＝－1＋2＝1，因此曲线y＝f(x)在点
1，23处的切线的斜率为1.(2)令f′(x)＝－x2＋2x＝0，解得：x＝0或2.x(－∞，0)0(0，2)2(2，＋∞)f′(x)－0＋0－f(x)极小值极大值所以f(x)在(－∞，0)，(2，＋∞)内是减函数，在(0，2)内是增函数．因此函数f(x)在x＝0处取得
极小值f(0)，且f(0)＝0，函数f(x)在x＝2处取得极大值，且f(2)＝43；综上：f(x)的单调递增区间为(0，2)，单调递减区间为(－∞，0)，(2，＋∞)，极小值为0，极大值为43.18．解析：(1)f′(x)＝(x－c)
2＋2x(x－c)＝(x－c)(3x－c)，由f′(－1)＝(－1－c)(－3－c)＝0得c＝－1或c＝－3，当c＝－3时，f(x)＝x(x＋3)2，f′(x)＝(x＋3)(3x＋3)，令f(x)>0，可得x>－1或x<－3，令f(x)<0，
可得－3<x<－1，所以函数f(x)在区间(－∞，－3)和(－1，＋∞)上单调递增，在区间(－3，－1)上单调递减，所以函数f(x)在x＝－1处取得极小值；当c＝－1时，f(x)＝x(x＋1)2，f′(x)＝(x＋1)(3x＋1)，令f(x)>0，可得x>－13或x<－1，令f(
x)<0，可得－1<x<－13，所以函数f(x)在区间(－∞，－1)和(－13，＋∞)上单调递增，在区间(－1，－13)上单调递减，所以函数f(x)在x＝－1处取得极大值，舍去；综上，c＝－3.(2)由(1)知函数f(x)在区间[－4，－3]和[－1，0]上
单调递增，在区间[－3，－1]上单调递减，又因为f(－4)＝－4，f(－3)＝0，f(－1)＝－4，f(0)＝0，所以f(x)的最大值为0，最小值为－4.19．解析：(1)依题意可得f(1)＝a＋4＝5，则a＝1，
∵f′(x)＝3x2＋8x，∴f′(1)＝11，∴曲线y＝f(x)在点(1，5)处的切线方程为y－5＝11(x－1)，即y＝11x－6.(2)设过原点的切线方程为y＝kx，则切点为(m，km)，则m3＋
4m2＝km，3m2＋8m＝k，消去k，整理得m3＋2m2＝0，解得m＝0或m＝－2，所以曲线y＝f(x)存在过坐标原点的切线，且切点的坐标为(0，0)或(－2，8).20．解析：(1)f′(x)＝x2＋x－a，因为在x＝0处切线的斜率为
－2，所以f′(0)＝－2，则a＝2.f′(x)＝x2＋x－2＝(x＋2)(x－1)，令f′(x)＝0，解得x＝－2或x＝1，当x变化时，f′(x)，f(x)变化情况如下：x(－∞，－2)－2(－2，1)1(1，＋∞)f′(x)＋0－0－f(x)单调递增133单调递减－
16单调递增故f(x)的极小值为f(1)＝－16.(2)由(1)知，f(x)在(－∞，－2)上单调递增，[－2，1]上单调递减，(1，＋∞)上单调递增．当x→＋∞时，f(x)→＋∞；当x→－∞时，f(x)→－∞.当m>133或m<
－16时，方程f(x)＝m有1个实数解；当m＝133或m＝－16时，方程f(x)＝m有2个实数解，当－16<m<133时，方程f(x)有3个实数解．21．解析：(1)因为f(x)＝xea－x＋bx，所以f′(x)
＝(1－x)ea－x＋b，依题意可得f（1）＝2f′（1）＝1，即ea－1＋b＝2（1－1）ea－1＋b＝1，解得a＝1b＝1.(2)证明：由(1)可得f(x)＝xe1－x＋x，则f′(x)＝(1－x)e1－
x＋1，令g(x)＝f′(x)＝(1－x)e1－x＋1，则g′(x)＝(x－2)e1－x，所以当x>2时g′(x)>0，当x<2时g′(x)<0，即g(x)在(2，＋∞)上单调递增，在(－∞，2)上单调递减，所以g(x)min＝g(2)＝
1－e－1，即g(x)≥1－e－1，即f′(x)≥1－e－1.22．解析：(1)依题意，速度是x(海里/时)，轮船每小时的燃料费0.6x2，总共行驶500x(小时)，所以全程运输成本y＝500x(960＋0.6x2)＝480000x＋300x，由题意知，函数的定义域为(
0，35]，即全程运输成本y(元)表示为速度x(海里/时)的函数为y＝480000x＋300x(0<x≤35).(2)由(1)知，y′＝－480000x2＋300＝300（x＋40）（x－40）x2，当0<x≤35时，y′<0，即y＝480000x
＋300x在(0，35]上单调递减，所以当x＝35时，y＝480000x＋300x取得最小值．故当轮船以35海里/时的速度行驶时，全程运输成本最小．本册过关检测1．解析：令an＝n2＋n＝12，解得：n＝3(n＝－4舍去).故选B.答案：B2．解析：由题意
，h′(t)＝－10t＋5，故该运动员在起跳后1秒时的瞬时速度为h′(1)＝－10＋5＝－5，故选D.答案：D3．解析：由题得S9＝92(a1＋a9)＝92(a3＋a7)＝92×6＝27.故选B.答案：B4．解析：因为{an}为等比数列，所以a1a5＝a2a4＝36，所
以1a2＋1a4＝a2＋a4a2a4＝a2＋a436＝1336，则a2＋a4＝13，又{an}单调递增，所以q>1，解得：a2＝4，a4＝9，则q2＝94，因为q>1，所以q＝32.故选A.答案：A5．解析：f′(x)＝cosx－m，由函数f(x)＝sinx－mx为增函数，所以f′(
x)＝cosx－m≥0恒成立，即m≤cosx，由－1≤cosx≤1，所以m≤－1.故选A.答案：A6．解析：由题意，W＝16bh2＝16b(d2－b2)＝－16b3＋16d2b，故W′＝－12b2＋16d2＝－12(b＋33d)(b－33d)，故当0<b<33d时，W′>0，当b>33d时，
W′<0，故当b＝33d时W取最大值．故选D.答案：D7．解析：第一次操作去掉的区间长度为13，第二次操作去掉两个长度为19的区间，长度和为29，第三次操作去掉四个长度为127的区间，长度和为427，……，第n次操作去掉2n－1个长度为13n的区间，长度和为2n－13n，于是进行了
n次操作后，所有去掉的区间长度之和为Sn＝13＋29＋…＋2n－13n＝131－23n1－23＝1－(23)n，由题意可知，1－(23)n≥45，即nlg23≤lg15，解得n≥3.97，又
n为整数，所以需要操作的次数n的最小值为4.故选A.答案：A8．解析：设切点为P(x0，y0)，y′＝ex，故过P(x0，y0)的切线方程为y－ex0＝ex0(x－x0)，即y＝ex0x＋(1－x0)ex0.故b＝(1－x0)ex
0有且仅有两根．设g(x)＝(1－x)ex，则g′(x)＝－xex，令g′(x)>0则x<0，令g′(x)<0则x>0，且g(0)＝e0＝1，又当x<0时，g(x)>0，g(1)＝0.故b＝(1－x0)ex0有且仅有两根，则b的取值范围为(0，1).故选A.答案：A9．解析：∵S
9＝S10，∴a10＝S10－S9＝0，所以B正确；又S10<S11，∴a11＝S11－S10＝a10＋d>0，∴d>0，所以A错误；∵a10＝0，d>0，∴a9<0，S18＝18（a1＋a18）2＝9(a1＋a18)＝9(a9＋a10)＝9a9<0，故C正确；∵a9<0，S
9＝S8＋a9，∴S8>S9，故D错误．故选BC.答案：BC10．解析：对于AB，若n是f′(x)的图象，则当0<x<2时，f′(x)<0，则f(x)在(0，2)上递减，与曲线m在(0，2)上不单调相矛盾，所以n是f(x)
的图象，m是f′(x)的图象，所以A错误，B正确；对于CD，由f（x）>f′（x）0<x<2，得0<x<10<x<2，解得0<x<1，所以不等式组的解集为(0，1)，所以C正确，D错误．故选BC.答案：BC11．解析：由题得f′
(x)＝1－lnxx2，x>0，所以当x∈(0，e)时，f′(x)>0，函数f(x)单调递增；当x∈(e，＋∞)时，f′(x)<0，函数f(x)单调递减．A．11<4，∴f(4)<f(11)，∵f(4)＝f(2)＝ln22，所以f(2)<f()11，所以该选项正确；B．因为0<e<π，所以f
()e<f()π，所以该选项正确；C．因为e<e2<8，所以f(8)<f(e2)，所以该选项正确；D．f(x)max＝f(e)＝1e，所以f()22<1e，所以该选项错误．故选ABC.答案：ABC12．解析：根据题意：经过1
年之后，该项目的资金为a1＝2000(1＋20%)－200＝2200万元，A正确；an＋1＝an×(1＋20%)－200＝1.2an－200，B不正确；∵an＋1＝1.2an－200，则an＋1－1000＝1.2(an－1000)，即数列{an－1000
}是以首项为1200，公比为1.2的等比数列，C正确；an－1000＝1200×1.2n－1＝1000×1.2n，即an＝1000(1.2n＋1)，令an＝1000(1.2n＋1)≥4000，则n≥log1.23＝lg32lg2＋lg3－1≈6，至少要经过6年，该项目的资金才可以达到或超过翻一
番(即为原来的2倍)的目标，D正确．故选ACD.答案：ACD13．解析：∵数列{an}为等差数列，∴a2＋a8＝2a5，又a2＋a5＋a8＝15，∴3a5＝15，解得a5＝5.答案：514．解析：由等比数列的
性质可得a1a5＝a2a4＝a23，则a1a2a3a4a5＝a53＝25＝32.答案：3215．解析：f′(x)＝ex－a，当a≤0时，f′(x)>0，f(x)在(－∞，＋∞)上为增函数，f(x)最多只有一个零点，不符合题意；当a>0时，令f′(x)<
0，得x<lna，令f′(x)>0，得x>lna，所以f(x)在(－∞，lna)上为减函数，在(lna，＋∞)上为增函数，所以f(x)在x＝lna时取得极小值为f(lna)＝elna－a(lna＋3)＝－2a－alna，也是最小值，因为当x趋近于正负无穷时，f(x)都是趋近于正无穷，所以要使f(
x)有两个零点，只要－2a－alna<0，即a>1e2就可以了．所以a的范围是(1e2，＋∞).答案：(1e2，＋∞)16．解析：由f(x)＝ex(x－1)，得f′(x)＝ex(x－1)＋ex＝xex
，令f′(x)＝0，得x＝0，列表如下：x(－∞，0)0(0，＋∞)f′(x)－0＋f(x)递减极小值递增所以，函数y＝f(x)的极小值为f(0)＝e0(0－1)＝－1；∀x1∈[－2，2]，∃x2∈[－1，2]，使得f(x1)>g(x2)，即f(x)min>g(x)min，∴g(
x)min<f(x)min＝－1.①当m>0时，函数y＝g(x)单调递增，g(x)min＝g(－1)＝－m－12，∴－m－12<－1，即m>12；②当m<0时，函数y＝g(x)单调递减，g(x)min＝g(2)＝2m－12，∴2m－
12<－1，即m<－14；③当m＝0时，g(x)＝－12，不符合题意．综上：m∈(－∞，－14)∪(12，＋∞).答案：－1(－∞，－14)∪(12，＋∞)17．解析：(1)设等差数列{an}首项为a1，公差为d.∵a3＝2
S4＝7，∴a1＋2d＝24a1＋4×（4－1）2d＝7，解得：a1＝1d＝12，∴等差数列{an}通项公式an＝1＋(n－1)×12＝12n＋12.(2)设等比数列{bn}首项为b1，公比为q
，∵b2＝a3＝2b4＝a15＝8，∴b1·q＝2b1·q3＝8，解得：q2＝4，即b1＝1q＝2或b1＝－1q＝－2，∴等比数列{bn}的通项公式为bn＝2n－1或bn＝－(－2)n－1.18．解析：(1)选择①，当n≥2时an＝Sn－Sn
－1＝n2＋3n2－（n－1）2＋3（n－1）2＝n＋1，而n＝1时，a1＝12＋3×12＝2满足左式，∴an＝n＋1.选择②，n≥2时，an＝anan－1·an－1an－2·an－2an－3…a3a2
·a2a1·a1＝n＋1n·nn－1…43×32×2＝n＋1，n＝1时，a1＝2满足上式．选择③，∵a2n＋1－a2n＝an＋1＋an，∴()an＋1＋an()an＋1－an－1＝0，∴an＋1－an＝1，从而得an＝n＋1.(2)∵1an·（an－1）＝1n×（n＋1）＝1n－1n＋1，∴Tn＝
(1－12)＋(12－13)＋(13－14)＋…＋(1n－1n＋1)＝1－1n＋1，∵n∈N*，∴1n＋1>0，∴1－1n＋1<1.∴Tn<1.19．解析：(1)函数f(x)的定义域为R，f′(x)＝－x2＋2x＋3＝－
(x－3)(x＋1).令f′(x)＝0，得x＝－1或x＝3.当x变化时，f′(x)，f(x)的变化情况如表所示．x(－∞，－1)－1(－1，3)3(3，＋∞)f′(x)－0＋0－f(x)单调递减－23单调递增10单调递减故f(x)的单调
增区间为[－1，3]，单调减区间为(－∞，－1)和(3，＋∞).当x＝－1时，f(x)有极小值f(－1)＝－23；当x＝3时，f(x)有极大值f(3)＝10.(2)由(1)可知，f(x)在[0，3]上单调递增，在
[3，6]上单调递减，所以f(x)在[0，6]上的最大值为f(3)＝10.又f(0)＝1，f(6)＝－17，f(6)<f(0)，所以f(x)在区间[0，6]上的最小值为f(6)＝－17.20．解析：(1)当n＝1时，
a2＝2a1－1＝57；当n＝2时，a3＝2a2－1＝37；当n＝3时，a4＝2a3＝67；∴数列{an}是以3为周期的周期数列；∴a2021＝a3×673＋2＝a2＝57，S2022＝674S3＝674×(67＋57＋37)＝674×2＝1348；(2)由(1)得：S3n＝
nS3＝2n，∴bn＝2n·2n－1＝n·2n，∴Tn＝21＋2×22＋3×23＋…＋(n－1)·2n－1＋n·2n，2Tn＝22＋2×23＋3×24＋…＋(n－1)·2n＋n·2n＋1，两式作差得：Tn＝n·2n＋1－2－(22＋23＋…＋2n)＝n·2n＋1－2（
1－2n）1－2＝(n－1)·2n＋1＋2.21．解析：(1)函数f(x)在区间(0，π2)上单调递增，f′(x)＝sinx＋xcosx，因为x∈(0，π2)，所以sinx>0，cosx>0，所以f′(x)>0，所以函数f(x)在区间(0，π2)上单调递增
．(2)证明：令h(x)＝f′(x)，则h′(x)＝2cosx－xsinx，当x∈π2，π时，h′(x)<0，h(x)单调递减，又因为f′π2＝1>0，f′(π)＝－π<0，所以存在唯一x0∈π2，π，使得f′(x0)＝0，随着x
变化f′(x)，f(x)的变化情况如下；x(π2，x0)x0(x0，π)f′(x)＋0－f(x)递增极大值递减所以f(x)在(π2，π)内有且只有一个极值点．22．解析：(1)证明：f(x)＝x－xlnx－1的定义域为(0，＋∞)，且f′(x)＝1－(lnx＋x·1x)＝－lnx.
令f′(x)＝0，得x＝1.当0<x<1时，f′(x)>0，f(x)单调递增；当x>1时，f′(x)<0，f(x)单调递减，所以f(x)max＝f(1)＝0，所以f(x)≤0.(2)令g(x)＝ex－ax－1，则g′(x)＝ex－a.当a≤0时，有g(－1)＝e－1＋a－1<
0，与题设矛盾，故舍去．当a>0时，令g′(x)＝0，得x＝lna.当x<lna时，g′(x)<0，g(x)单调递减；当x>lna时，g′(x)>0，g(x)单调递增，所以g(x)min＝g(lna)＝a－alna－1≥0.由(1)知
，a－alna－1≤0(当且仅当a＝1时，取等号)，所以a－alna－1＝0，所以a＝1.
