【文档说明】江西省新余市第四中学2021-2022学年高二上学期开学考试数学试题 含答案.docx，共(12)页，612.504 KB，由小赞的店铺上传

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新余四中高二年级上学期开学考试数学试卷试卷满分：150分考试时间：120分钟一、单选题（每题5分，满分60分）1．已知全集U=R，集合20Mxxx=−，集合sin,Nyyxx==R，则()=NMCU（）A．

)1,0−B．(0,1)C．(,0)−D．2．22π5πcoscos1212−=（）A．12B．33C．22D．323．已知向量(),1a=，()4,b=．若22abab−=+，则实数=（）A．2或2−B．2C．0D．2−4．平面上三条直线210,10,0xyxxky−+=−=+=，若这

三条直线将平面划分为六个部分，则实数k可能的取值情况是（）A．只有唯一值B．有两个不同值C．有三个不同值D．无穷多个值5．实数,xy满足不等式组00220yxyxy−−−，则11yx−=+的取值范围是（）A．11[,]23

−B．1[1,]3−C．[1,1)−D．1[,1)2−6．小雨利用几何画板探究函数()ayxbxc=−−图象，在他输入一组,,abc的值之后，得到了如图所示的函数图象，根据学习函数的经验，可以判断，小雨输入的参数值满足（）

A．0,0,0abc=B．0,0,0abc=C．0,0,0abc==D．0,0,0abc=7．若存在正数x，使()31xxa−成立，则实数a的取值范围是（）A．)3,−+B．)1,−+C．

()1,−+D．()0,+8．将函数23()3sincoscos2fxxxx=+−的图象向右平移6个单位长度得到函数()gx的图象，则（）A．()gx的最小正周期为2B．()gx图象的一条对称轴方程为76x=C．()gx的单调递增区间为45,()33k

kkZ++D．()gx的单调递减区间为5,()36kkkZ++9．《九章算术》中记载，堑堵是指底面为直角三角形的直三棱柱，阳马是指底面为矩形且一条侧棱垂直于底面的四棱锥，如图，在堑堵111ABCA

BC−中，ABBC⊥，1AA=3，当阳马11CABBA−的体积为8时，堑堵111ABCABC−的外接球表面积的最小值是（）A．8B．25C．83D．25310．已知数列{}na的首项为11a=，2aa=

，且121(2,)nnaannnN++=+，若数列{}na单调递增，则a的取值范围为（）A．1<a<3B．23aC．3522aD．1322a11.已知为等腰三角形，顶角A为，腰长为2，P为平面A

BC内一点，则的最小值是（）A.B.C.D.12．已知43a=，3log4b=，4log5c=，则a、b、c的大小关系为（）A．abcB．cbaC．bacD．acb二、填空题（每题5分，满分20分）

13.已知函数，若在区间上任意取一个数t，则在上为单调函数的概率为__________．14．已知函数π()sin3fxx=+（0），若()fx的图像在2π0,3上与x轴恰有两个交点，则的取值范围是___________.15.已知a，b为正实数，且a+b+ab=3

,则2a+b的最小值为__________.16．设(),()fxgx是定义在R上的两个周期函数，()fx的周期为4，()gx的周期为2，且()fx是奇函数.当2(]0,x时，2()1(1)fxx=−−

，(2),01()1,122kxxgxx+=−，其中0k.若在区间(0]9，上，关于x的方程()()fxgx=有8个不同的实数根，则k的取值范围是__________.三、解答题（第17题满

分10分，第18~22题每题满分12分，共计70分）17．已知na是等差数列，nb是等比数列，且15a=−，25a+，33a+，41a+成等比数列，14ba=，248bba=．（1）求na的通项公式和na的前n项和nS及n

S的最小值；（2）求和：12531−++++nbbbb．18．在△ABC中，a、b、c分别是三个内角A、B、C的对边,若b=3,c=4,C=2B,且ab.(1)求cosB及a的值；(2)求cos(2)3B

+的值.19．如图，在三棱柱中，，，，在底面ABC的射影为BC的中点，D是的中点．1证明：平面；2求直线和平面所成的角的正弦值．20．为开学生视野，丰富学生的数学学习方式，某高校数学学院学生会创办了微信公众号《数学乐园》，设定了“

数学史料”“趣题妙解”等栏目，定期发布文章．为了扩大微信公众号的影响力，后台统计了反映读者阅读情况的一些数据，其中阅读跳转率f(x)记录了在阅读某文章的所有读者中，阅读至该篇文章总量的x%时退出该页面的读者占阅读此文章所有读者的百分比．例如：阅读跳转率f

（20）＝5%表示阅读某篇文章的所有读者中，阅读量至该篇文章总量的20%时退出该页面的读者占阅读此篇文章的所有读者的5%．现从“数学史料”“趣题妙解”专栏中各随机选取一篇文章．分别记为篇目A，B，其阅读跳转率的折线图如图所示．用频

率来估计概率．（1）随机选取一名篇目A的读者，估计他退出页面时阅读量大于文章总量的80%的概率；（2）现用比例分配的分层随机抽样的方法，在阅读量没有达到30%的篇目B的读者中抽取6人，任选其中2人进行访谈，求这两人退出页面时阅读量都为文章总量的10%的概率；（3）请依据图中的数据，比较篇

目A和篇目B的阅读情况，写出一个结论，并选择其中一个栏目提出你的优化建议．21．已知点P在圆C：()()222316xy+++=上运动，点()4,3Q．（1）若点M是线段PQ的中点，求点M的轨迹E的方程；（2）过原点O且不与

y轴重合的直线l与曲线E交于()11,Axy，()22,Bxy两点，1211+xx是否为定值？若是定值，求出该值；否则，请说明理由．22．对于函数，若存在定义域中的实数a，b满足且，则称函数为“M类”函数．试判断，是否是“M

类”函数，并说明理由；试判断，是否是“M类”函数，并说明理由；若函数，，为“M类”函数，求n的最小值．新余四中高二年级上学期开学考试数学试卷（B卷）参考答案1~12.ADDCDBCDBCBA10．【详解】当2,nnN时，121(1)nnaan++=+，因此有2123(2)nn

aan+++=+，(2)(1)−得：22nnaa+−=，说明该数列从第2项起，偶数项和奇数项都成等差数列，且它们的公差都是2，由121nnaan++=+可得：345,2aaaa=−=+，因为数列{}na单调递增，所以有1234aaaa

，即152aaa−+，解得：3522a，故选：C12．A【详解】4133334log3log813a===，3133log4log64b==，因为>8164，所以11338164，所以1133

33log81log64，即ab，由3log4b=，4log5c=，443444413log51log5llogog53log4log3logbc−=−−=−=，因为4444log30,log50,log3log5，则()()222444441113log53logloglogl5

15214og44+==，所以4413lo0lgog5−，即0bc−，所以bc，所以abc.故选：A.13．9714．4,2515．324−16.12,34.15.16.【详解】当(0,2x时，()2()11,fxx=−−即()2211,0

.xyy−+=又()fx为奇函数，其图象关于原点对称，其周期为4，如图，函数()fx与()gx的图象，要使()()fxgx=在(0,9上有8个实根，只需二者图象有8个交点即可.当1g()2x=−时，函数()fx与()gx的图象有2个交点；当g()(

2)xkx=+时，()gx的图象为恒过点()2,0−的直线，只需函数()fx与()gx的图象有6个交点.当()fx与()gx图象相切时，圆心()1,0到直线20kxyk−+=的距离为1，即2211kkk+=+，得24k=，函数()fx与()gx的图象有3个交点；当g()(2)xkx=+过点1

,1（）时，函数()fx与()gx的图象有6个交点，此时13k=，得13k=.综上可知，满足()()fxgx=在(0,9上有8个实根的k的取值范围为1234，.17．解：（1）设na是公差为d的等差数列，由15a=−，25a+，33a+

，41a+成等比数列，可得()()()2324351aaa+=++，即()()()252355531ddd−++=−++−++，解得2d=，则()52127nann=−+−=−，()()2215276392nSnnnnn=−+−=−=−−，当3n=时，nS取得最小值﹣9

．（2）设nb是公比为q的等比数列，由141ba==，2489bba==，即39qq=，可得23q=，由nb的奇数项是首项为1，公比为3的等比数列，可得()13521131...31132nnnbbbb−−++++=

=−−．18．19．解：证明：，D是的中点．，，，面ABC，，，，，，平面建立坐标系如图，在三棱柱中，，，0，，，，0，即，，0，，设平面的法向量为y,，即得出得出0，，，，，，所以直线和平面所成的角的正弦值为.20．

解：（1）阅读量大于文章总量的80%的概率为0.30.10.4+=；（2）阅读量没有达到30%即为10%和20%的频率相等，因此抽取的6人各有3人，分别编号10%的编号为,,ABC，20%的编号为,,abc，任取2人的基本事件为：,,,,,,,,

,,,,,,ABACAaAbAcBCBaBbBcCaCbCcabacbc共15个，其中均为10%的有,,abacbc共3个，概率为31155P==；（3）由折线图，阅读量增大时，跳转率也增大，特别是A更需进行优化．建议：A从文中（阅读量50%）开

始需优化，因为越往后跳转率越高，说明质量问题较大，需提高特别是结尾质量．21．解：（1）圆C的圆心()2,3C−−，半径为4，设CQ的中点为N，则()1,0N，依题意，122MNCP==，所以点M的轨迹是以N

为圆心，2为半径的圆，即M的轨迹E的方程为()2214xy−+=；（2）因l过原点O且不与y轴重合，则可设直线l的方程为ykx=．由22(1)4ykxxy=−+=消去y并整理得22(1)230kxx+−−=，依题意知1x，2x是上述关

于x的一元二次方程的两根，则12221xxk+=+，12231xxk−=+，于是有2121212221121331xxkxxxxk+++===−−+，所以1211+xx是定值23−.22.解：是由题意可知，所以必有在二次函数

的对称轴直线的两侧，故，因此，所以；不是假设为M类函数，则存在，使得，则，或者，，由，当，时，有，，所以，可得，不成立；当，时，有，，所以，不成立，所以不为M类函数．则在单调递减，在单调递增，又因为是M类函数，所以存在，且，由等式可得

：，则，所以，则，所以得，从而，则有，即，所以，因此，由，则，令，当时，，且，，且连续不断，由零点存在性定理可得存在，使得，此时，因此n的最小值为7．