【文档说明】3.3 幂函数-2022-2023学年高一数学课后培优分级练（人教A版2019必修第一册）（解析版）.docx，共(10)页，214.526 KB，由管理员店铺上传

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3.3幂函数培优第一阶——基础过关练一、单选题1.幂函数𝑦=𝑥𝑎,𝑦=𝑥𝑏,𝑦=𝑥𝑐,𝑦=𝑥𝑑在第一象限的图象如图所示，则𝑎,𝑏,𝑐,𝑑的大小关系是()A．𝑎>𝑏>𝑐>𝑑B．𝑑>𝑏>𝑐>𝑎C．𝑑>𝑐>𝑏>𝑎D．

𝑏>𝑐>𝑑>𝑎答案𝐷解析由图象得：𝑏>𝑐>𝑑>𝑎，故选：𝐷．2.若三个幂函数𝑦=𝑥𝑎,𝑦=𝑥𝑏,𝑦=𝑥𝑐在同一坐标系中的图象如图所示，则𝑎,𝑏,𝑐的大小关系是()𝐴．𝑐>𝑏>𝑎𝐵．𝑐>𝑎>𝑏𝐶．𝑎>𝑏

>𝑐𝐷．𝑎>𝑐>𝑏答案𝐶解析①𝑦=𝑥𝑎，单调递增，且当𝑥>1时，在直线𝑦=𝑥的上方，∴𝑎>1，②𝑦=𝑥𝑏，单调递增，且当𝑥>1时，在直线𝑦=𝑥的下方，∴0<𝑏<1，③𝑦=𝑥

𝑐，单调递减，且当𝑥>1时，在直线𝑦=𝑥的下方，∴𝑐<0；∴𝑎>𝑏>𝑐．故选：𝐶．3.任意两个幂函数图象的交点个数是()A．最少一个，最多三个B．最少一个，最多二个C．最少0个，最多三个

D．最少0个，最多二个课后培优练答案𝐴解析所有幂函数的图象都过(1,1)故最少1个交点，当函数为𝑦=𝑥3和𝑦=𝑥时，它们有3个交点，故选𝐴．4.幂函数𝑦=𝑓(𝑥)经过点(3,√3)，则𝑓(𝑥)是()A．偶函数，且在(0,+∞)上是增函数B．偶函数，且在(0,+∞)上

是减函数C．奇函数，且在(0,+∞)是减函数D．非奇非偶函数，且在(0,+∞)上是增函数答案𝐷解析设幂函数的解析式为：𝑦=𝑥𝛼，将(3,√3)代入解析式得：3𝑎=√3，解得𝛼=12，∴𝑦=𝑥12，故选：𝐷．5.已知幂函数𝑓(𝑥)=𝑥𝑚2−2𝑚−3(𝑚∈𝑍)的图象

关于原点对称，且在(0,+∞)上是减函数，则𝑚=()𝐴．0𝐵．0或2𝐶．0𝐷．2答案𝐵解析幂函数𝑓(𝑥)=𝑥𝑚2−2𝑚−3(𝑚∈𝑍)在(0,+∞)上是减函数，则𝑚2−2𝑚−3<0，解得−1<𝑚<3；又𝑚∈𝑍，∴𝑚=0，1，2；当𝑚=0时，�

�(𝑥)=𝑥−3，图象关于原点对称；当𝑚=1时，𝑓(𝑥)=𝑥−4，其图象不关于原点对称；当𝑚=2时，𝑓(𝑥)=𝑥−3，其图象关于原点对称；综上，𝑚的值是0或2．故选：𝐵．二、多选题6.已

知幂函数𝑓(𝑥)=𝑥𝛼的图象经过点(4,2)，则()A．函数𝑓(𝑥)是偶函数B．函数𝑓(𝑥)是增函数C．函数𝑓(𝑥)的图象一定经过点(0,1)D．函数𝑓(𝑥)的最小值为0答案𝐵�

�解析∵幂函数𝑓(𝑥)=𝑥𝛼的图象经过点(4,2)，∴4𝛼=2，∴𝛼=12，𝑓(𝑥)=𝑥2=√𝑥，∴𝑓(𝑥)是非奇非偶函数，故𝐴错误，函数𝑓(𝑥)是增函数，故𝐵正确，函数图象不

过(0,1)，故𝐶错误，函数的最小值是0，故𝐷正确，故选：𝐵𝐷．三、填空题7.已知𝑓(𝑥)=𝑎𝑥2𝑎+1−𝑏+1是幂函数，则𝑎+𝑏=.答案2解析函数𝑓(𝑥)=𝑎𝑥2𝑎+1−𝑏+1是幂函数，根据幂函数的定义知，{𝑎=1−𝑏+1=0，解得𝑎=1，𝑏=

1；所以𝑎+𝑏=2．8．幂函数𝑓(𝑥)的图象过点(2,14)，则𝑓(3)=______．答案19解析设𝑓(𝑥)=𝑥𝛼，则2𝛼=14，所以𝛼=−2．所以𝑓(𝑥)=𝑥−2．所以𝑓(3)=3−2=

19．9.已知𝛼∈{−2,−1,−12,12,1,2,3}，若幂函数𝑓(𝑥)=𝑥𝛼为奇函数，且在(0,+∞)上递减，则𝛼=．答案−1解析∵𝛼∈{−2,−1,−12,12,1,2,3}，幂函数𝑓(𝑥)=𝑥𝛼为奇函数，且在(

0,+∞)上递减，∴𝑎是奇数，且𝑎<0，∴𝑎=−1．四、解答题10.已知幂函数𝑓(𝑥)=𝑥𝛼(𝛼∈R)，且𝑓(12)=√22．(1)求函数𝑓(𝑥)的解析式；(2)证明函数𝑓(𝑥)在定义域上是增函数．答案(1)𝑓(𝑥)=√𝑥(2)略解析(1)解：由(12)𝛼=

√22得，𝛼=12，所以𝑓(𝑥)=√𝑥；(2)证明：定义域是[0,+∞)，设任意的𝑥2>𝑥1≥0，则𝑓(𝑥2)−𝑓(𝑥1)=√𝑥2−√𝑥1=𝑥2−𝑥1√𝑥2+√𝑥1，∵𝑥2−𝑥1>0,√𝑥2+√𝑥1>0，∴𝑓(𝑥2

)>𝑓(𝑥1)，函数𝑓(𝑥)在定义域上是增函数．培优第二阶——拓展培优练一、单选题1.下列命题中：①幂函数的图象都经过点(1,1)和点(0,0)；②幂函数的图象不可能在第四象限；③当𝑛=0时，幂函数𝑦=𝑥𝑛的图象是一条直线；④当𝑛>0时，幂函数𝑦=𝑥𝑛是增

函数；⑤当𝑛<0时，幂函数在第一象限内的函数值随x的值增大而减小．其中正确的是()A．①和④B．④和⑤C．②和③D．②和⑤答案D解析①幂函数的图象都经过点(1,1)，但不一定经过点(0,0)，故错误；②幂函数的图象不

可能在第四象限，故正确；③当𝑛=0时，幂函数𝑦=𝑥𝑛的图象是一条直线去除(0,1)点，故错误；④当𝑛>0时，如𝑦=𝑥2，幂函数𝑦=𝑥𝑛在(0,+∞)上是增函数，但在整个定义域为不一定是增函数，故错误；⑤当𝑛<0

时，幂函数𝑦=𝑥𝑛在(0,+∞)上是减函数，即幂函数在第一象限内的函数值随𝑥的值增大而减小，故正确．故选：𝐷．2.已知指数函数𝑓(𝑥)=𝑎𝑥−16+7(𝑎>0且𝑎≠1)的图象恒过定点𝑃，若定点𝑃在幂函数𝑔(𝑥

)的图象上，则幂函数𝑔(𝑥)的图象是()𝐴．𝐵．𝐶．𝐷．答案𝐴解析指数函数𝑓(𝑥)=𝑎𝑥−16+7(𝑎>0且𝑎≠1)的图象恒过定点𝑃，令𝑥−16=0，解得𝑥=16，且𝑓(16)=1+7=8，所以𝑓(𝑥)的图象恒过定点𝑃(16,8)；设幂函数𝑔(𝑥)

=𝑥𝑎，𝑃在幂函数𝑔(𝑥)的图象上，可得：16𝑎=8，解得𝑎=34；所以𝑔(𝑥)=𝑥34，幂函数𝑔(𝑥)的图象是𝐴．故选：𝐴．3.对于幂函数𝑓(𝑥)=𝑥45，若0<𝑥1<𝑥2，则𝑓(𝑥1+𝑥22)，𝑓(𝑥1)+𝑓(

𝑥2)2大小关系是()𝐴．𝑓(𝑥1+𝑥22)>𝑓(𝑥1)+𝑓(𝑥2)2𝐵．𝑓(𝑥1+𝑥22)<𝑓(𝑥1)+𝑓(𝑥2)2𝐶．𝑓(𝑥1+𝑥22)=𝑓(𝑥1)+𝑓(𝑥2)2𝐷．无法

确定答案𝐴解析∵幂函数𝑓(𝑥)=𝑥45在(0,+∞)上是增函数，图象是上凸的，∴当0<𝑥1<𝑥2时，应有𝑓(𝑥1+𝑥22)>𝑓(𝑥1)+𝑓(𝑥2)2．故选：𝐴．4.如图所示是函数𝑦=𝑥𝑚𝑛(𝑚、�

�∈𝑁∗且互质)的图象，则()𝐴．𝑚、𝑛是奇数且𝑚𝑛<1𝐵．𝑚是偶数，𝑛是奇数，且𝑚𝑛>1𝐶．𝑚是偶数，𝑛是奇数，且𝑚𝑛<1𝐷．𝑚、𝑛是偶数，且𝑚𝑛>1答案𝐶解析∵函数𝑦=𝑥𝑚𝑛的图象的图象

关于𝑦轴对称，故𝑛为奇数，𝑚为偶数，在第一象限内，函数是凸函数，故𝑚𝑛<1，故选：𝐶.5.已知幂函数y=𝑥𝑝𝑞，(𝑝,𝑞∈𝒁)的图象如图所示，则()𝐴．𝑝,𝑞均为奇数，且𝑝𝑞>0𝐵．𝑞为偶数，𝑝为奇数，且𝑝𝑞<0𝐶

．𝑞为奇数，𝑝为偶数，且𝑝𝑞>0𝐷．𝑞为奇数，𝑝为偶数，且𝑝𝑞<0答案𝐷解析因为函数为偶函数，所以𝑝为偶数，且由图象形状判定𝑝𝑞<0．又因𝑝、𝑞互质，所以𝑞为奇数．所以选𝐷．二、多选

题6.已知幂函数𝑓(𝑥)的图像经过点(2,√22)，则下列命题正确的是()A．𝑓(𝑥)为偶函数B．𝑓(𝑥)的值域是(0,+∞)C．若0<𝑥1<𝑥2，则𝑓(𝑥1+𝑥22)<𝑓(𝑥1)+𝑓

(𝑥2)2D．𝑔(𝑥)=𝑓(𝑥+1)−𝑓(𝑥)是(0,+∞)上的增函数答案𝐶𝐷解析设幂函数𝑓(𝑥)=𝑥𝛼，∴2𝛼=√22，∴𝛼=−12，∴𝑓(𝑥)=𝑥−12，∴函数为非奇非偶函数，故𝐴错误；函数的值域为(0,+∞)

，故𝐴正确；函数为凹函数，则0<𝑥1<𝑥2，所以𝑓(𝑥1+𝑥22)<𝑓(𝑥1)+𝑓(𝑥2)2，故𝐶正确；𝑔(𝑥)=1√𝑥+1−1√𝑥，则函数𝑔(𝑥)在是(0,+∞)上的增函数，故𝐷正确．故选：𝐶𝐷．三、填空题7.已知幂

函数𝑓(𝑥)=(𝑚−1)2𝑥𝑚2−3𝑚+2在(0,+∞)上单调递增，则𝑓(𝑥)的解析式是.答案𝑓(𝑥)=𝑥2解析∵𝑓(𝑥)是幂函数，∴(𝑚−1)2=1，解得𝑚=2或𝑚=0，若𝑚=2，则𝑓(𝑥)=𝑥0，在(0,+∞)上不单调递减，不

满足条件；若𝑚=0，则𝑓(𝑥)=𝑥2，在(0,+∞)上单调递增，满足条件；即𝑓(𝑥)=𝑥2.8.已知幂函数𝑓(𝑥)=𝑥𝑚2−2𝑚−3(𝑚∈N∗)的图象不与𝑥轴、𝑦轴相交，且关于

原点对称，则𝑚=．答案2解析∵幂函数𝑓(𝑥)=𝑥𝑚2−2𝑚−3(𝑚∈N∗)的图象不与𝑥轴、𝑦轴相交，则𝑚2−2𝑚−3≤0，解得𝑚∈[−1,3]，又由𝑚∈N∗,∴𝑚∈{1,2,3}，当𝑚=1时，𝑓(𝑥)=𝑥−4，函数𝑓(𝑥

)为偶函数，图象关于𝑦轴对称，当𝑚=2时，𝑓(𝑥)=𝑥−3，函数𝑓(𝑥)为奇函数，图象关于原点对称，当𝑚=3时，𝑓(𝑥)=𝑥0，函数𝑓(𝑥)为偶函数，图象关于𝑦轴对称，故𝑚=2.9.对幂函数𝑓(𝑥)=𝑥−32有以下

结论(1)𝑓(𝑥)的定义域是{𝑥|𝑥≠0,𝑥∈𝑅}；(2)𝑓(𝑥)的值域是(0，+∞)；(3)𝑓(𝑥)的图象只在第一象限；(4)𝑓(𝑥)在(0,+∞)上递减；(5)𝑓(𝑥)是奇函数．则所有正确结论的序号是.

答案(2)(3)(4)解析对幂函数𝑓(𝑥)=𝑥−32=1√𝑥3，以下结论(1)𝑓(𝑥)的定义域是{𝑥|𝑥>0,𝑥∈𝑅}，因此不正确；(2)𝑓(𝑥)的值域是(0,+∞)，正确；(3)𝑓(𝑥)的图象只在第一象限，正确

；(4)𝑓(𝑥)在(0,+∞)上递减，正确；(5)𝑓(𝑥)是非奇非偶函数，因此不正确．则所有正确结论的序号是(2)(3)(4)．四、解答题10.已知幂函数𝑓(𝑥)=𝑥32+𝑘−12𝑘2(1)若𝑓(𝑥)为偶函数，且在(0,+∞)上是增函数，求𝑓(𝑥)的

解析式；(2)若𝑓(𝑥)在(0,+∞)上是减函数，求𝑘的取值范围．答案(1)𝑓(𝑥)=𝑥2(2){𝑘∈𝑍|𝑘<−1或𝑘>3}解析(1)幂函数𝑓(𝑥)=𝑥32+𝑘−12𝑘2(𝑘∈𝑍)，又∵𝑓(𝑥)在(0,+∞)上是增函数

，∴32+𝑘−12𝑘2>0，解得−1<𝑘<3，又∵𝑘∈𝑍，∴𝑘=0,1,2，∵𝑓(𝑥)为偶函数，①当𝑘=0时，32+0−12×02=32，𝑓(𝑥)=𝑥32为奇函数，不符合题意；②当𝑘=1时，32+1−1

2×12=2，𝑓(𝑥)=𝑥2为偶函数，符合题意；③当𝑘=2时，32+2−12×22=32，𝑓(𝑥)=𝑥32为奇函数，不符合题意．∴𝑘=1，𝑓(𝑥)=𝑥2；(2)∵幂函数𝑓(𝑥)=𝑥32+𝑘−

12𝑘2(𝑘∈𝑍)，又∵𝑓(𝑥)在(0,+∞)上是减函数，∴32+𝑘−12𝑘2<0，解得𝑘<−1或𝑘>3(𝑘∈𝑍)，∴𝑘的取值范围为{𝑘∈𝑍|𝑘<−1或𝑘>3}．培优第三阶——高考沙场点兵1

.(2022•广西模拟)若𝑓(𝑥)是幂函数，且满足𝑓(4)𝑓(2)=3，则𝑓(12)=()A．3B．−3C．13D．−13答案𝐶解析设𝑓(𝑥)=𝑥𝑎，∴𝑓(4)𝑓(2)=3，∴4𝑎2𝑎=2𝑎=3，∴𝑎=log23，∴𝑓(12)=(12)log23=13

．故选：𝐶．2.(2022•乐山模拟)已知幂函数𝑓(𝑥)=𝑥𝛼和𝑔(𝑥)=𝑥𝛽，其中𝛼>𝛽>0，则有下列说法：①𝑓(𝑥)和𝑔(𝑥)图象都过点(1,1)；②𝑓(𝑥)和𝑔(𝑥)图象都过点(−

1,1)；③在区间[1,+∞)上，增长速度更快的是𝑓(𝑥)；④在区间[1,+∞)上，增长速度更快的是𝑔(𝑥)．则其中正确命题的序号是()A．①③B．②③C．①④D．②④答案𝐴解析由幂函数的性质可知，幂函数的图象过定点(1,1)，故①正确，②错误，在区间[1,+∞)上，𝛼

越大，幂函数𝑦=𝑥𝛼的增长速度越快，故③正确，④错误，所以正确命题的序号是①③，故选：𝐴．3.(2022•黄浦区二模)已知𝛼∈{−2,−1,−12,12,1,2,3}．若幂函数𝑓(𝑥)=𝑥𝛼在区间(−∞,0)上单调递增，且其

图像不过坐标原点，则𝛼=．答案−2解析𝛼∈{−2,−1,−12,12,1,2,3}．若幂函数𝑓(𝑥)=𝑥𝛼在区间(−∞,0)上单调递增，且其图像不过坐标原点，则𝛼=−2．4.(2022•通州区一模)幂函数𝑓(𝑥)=𝑥𝑚在(0,+∞)上单调递增

，𝑔(𝑥)=𝑥𝑛在(0,+∞)上单调递减，能够使𝑦=𝑓(𝑥)−𝑔(𝑥)是奇函数的一组整数𝑚,𝑛的值依次是．答案1，−1(答案不唯一)．解析∵幂函数𝑓(𝑥)=𝑥𝑚在(0,+∞)上单调递增，𝑔(𝑥)=𝑥𝑛在(0,+∞)上单调递减，∴𝑚>0且𝑛<0，又𝑦=

𝑓(𝑥)−𝑔(𝑥)是奇函数，整数𝑚,𝑛需满足𝑚为大于0的奇数，𝑛为小于0的奇数，故答案为：1，−1(答案不唯一)．