【文档说明】KS5U2024高考压轴卷——数学（理）（全国甲卷） Word版含解析.docx，共(22)页，1.095 MB，由小赞的店铺上传

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KS5U2024高考压轴卷全国甲卷数学试卷(理工农医类)说明：1．本试卷分第Ⅰ卷和第Ⅱ卷，共4页．考生作答时，须将答案答在答题卡上，在本试卷、草稿纸上答题无效．考试结束后，将答题卡交回．2．本试卷满分150分，120分钟完卷．第Ⅰ卷(选择题共60分)一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分

，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.已知集合15Axx=−，()3Nlog2Bxyx==−，则AB=（）A.1,2,3,4−B.3,4C.3,4,5D.2,32.欧拉公式iecosisin

=+把自然对数的底数e，虚数单位i，cosθ和sinθ联系在一起，充分体现了数学的和谐美，被誉为“数学中的天桥”，若复数z满足()iπiei1z+=+，则正确的是（）A.z的共轭复数为i−B.z的实部为1C.z的虚部为iD.z的模为13.在()()()345111xxx+++++的展开式

中，含2x项的系数是（）A.16B.19C.21D.244.已知角的终边经过点115,44P−，则22cossin2+=（）A.5154−B.1554−−C.5154+D.1554−5.执行下面的程序框图，输出的s=

（）A.1112B.2524C.34D.166.已知向量()()1,0,1,1OAOB==，O为坐标原点，动点(),Pxy满足约束条件0102OPOAOPOB，则2zxy=−的最大值为（）A

.2−B.2C.3−D.37.2023年7月28日至8月8日，第31届世界夏季大学生运动会在成都市举行，组委会将5名大学生分配到A，B，C三个路口进行引导工作，每个路口至少分配一人，每人只能去一个路口．若甲、乙要求去同一个路口，则不同的分配方案共有（）A.18种B.2

4种C.36种D.48种8.α，β，γ为不同的平面，m，n，l为不同的直线，则m⊥β的一个充分条件是A.,,nnm⊥⊥⊥B.,,m=⊥⊥C.,,m⊥⊥⊥D.,,lml⊥=⊥9.如今我国物．．流行业蓬勃发展，极大地促进了社会经济发展和资

源整合．已知某类果蔬的保鲜时间y(单位：小时)与储藏温度x(单位：℃)满足函数关系．eaxby+=(a，b．为常数)，若该果蔬在7℃的保鲜时间为288小时，在21℃的保鲜时间为32小时，且该果蔬所需物流时间为4天，则物流过程中果蔬的储藏温度(假设物流过程中恒温)最高不能超过（）A.14℃B

.15℃C.13℃D.16℃10.“阿基米德多面体”也称半正多面体，是由边数不全相同的正多边形围成的多面体，它体现了数学的对称美．如图是以正方体的各条棱的中点为顶点的多面体，这是一个有八个面为正三角形，六个面为正方形的“阿基米德多面体”，若该多面体的棱长为2，则该多面体外接球的表面积为（

）A.8πB.4C.2πD.4π311.设12,FF是双曲线2222:1xyCab−=(0,0)ab的左、右焦点，O是坐标原点，点P是C上异于实轴端点的任意一点，若2212||||||2PFPFOPa−=，则C的离心率为（）A.3B.2C.3D.212.已知函数()fx及其

导函数()fx的定义域均为R，且()()()20xfxfx−−，()()424exfxfx−−=，则不等式()()3eln3fxxf的解集是（）A.()30,eB.()31,eC.()3e,eD.()3e,+第Ⅱ卷(非选择题共90分)本卷包括必考题和选考题两

部分，第13~21题为必考题，每个试题考生都必须作答，第22、23题为选考题，考生根据要求作答．二、填空题：共4小题，每小题5分，共20分．将答案填在答题卡上．13.已知21()(32)()xfxxxa+=+−为偶函数，则=a______.14.已知ABC△的三边长

4cm,2cm,3cmABBCAC===，则ABC△的面积为__________2cm.15.已知两点(1,0),(1,0)MN−，若直线0xym−+=上存在唯一点P满足0PMPN=，则实数m的值为__________．16.

已知F为抛物线2:4Cxy=的焦点，过点F的直线l与抛物线C相交于不同的两点A、B，若抛物线C在A、B两点处的切线相交于点P，则24PFAB+的最小值为_______．三、解答题．：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17.已

知nS为各项均为正数的数列na的前n项和,()210,2,326nnnaaaS++=.（1）求na的通项公式；（2）设11nnnbaa+=，数列nb的前n项和为nT,若对N,4nntT恒成立，求实数t的最大值.18.某公

司为了确定下季度的前期广告投入计划，收集并整理了近6个月广告投入量x(单位：万元)和收益y(单位：万元)的数据如表(其中有些数据污损不清)：月份123456广告投入量27810收益20303437他们分别用两种模型①ybxa=+，②ebxya=进行拟合，得到相应的回归方程并进行残差分

析，得到如图所示的残差图及一些统计量的值．（1）根据残差图，比较模型①，②的拟合效果，应选择哪个模型?（2）残差绝对值大于2的数据被认为是异常数据，需要剔除．（i）剔除异常数据后，求出（1）中所选模型的回归方程；（ii）若广告投入量x=19，则（1）中所选模型收益的预报值是多少万．元?(精

确到0.01)附：对于一组数据()()()1122,,,nnxyxyxy，，，，其回归直线ˆˆˆybxa=+的斜率和截距的最小二乘估计分别为：1122211()()ˆˆˆ()nniiiiiinniiiixxyyxynxybaybxxxxnx====−−−===−−−，

.19.如图，在多面体ABCDEF中，四边形ABCD为菱形，平面FCD⊥平面ABCD，平面EAB⊥平面ABCDAEB△,CFD△是等腰直角三角形，且π2DFCBEA==.（1）证明：平面ABF∥平面CDE；（2）若3BAD，求平面ADE与平面BCE所成锐二面角

的余弦值的取值范围.20.已知椭圆2222:1(0)xyabb+=的离心率为32，其左右焦点分别为FF₁、₂，下顶点为A，右顶点为B，1ABF△的面积为312+．（1）求椭圆C的方程;（2）设不过原点O的直线交C于M、N两点，且直线,,OMMNON的斜率依次成等比数列，求MON△

面积的取值范围．21.设函数()ecosaxfxx=+，()sin2gxx=+．（1）试研究()()316Fxxxgx=−+在区间(0,)+上的极值点；（2）当0x时，()()fxgx，求实数a的取值范围．请考生在22、23二题中任选一题作答．注意：只能做所选定

的题目．如果多做，则按所做第一个题目计分，做答时，请用2B铅笔在答题卡上将所选题号后的方框涂黑．[选修4--4：坐标系与参数方程]22.在直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为2cos2,2cosxy

==（为参数）.以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，直线l的极坐标方程为πsin26+=−.（1）求曲线C的普通方程与直线l的直角坐标方程；（2）点,AB分别为曲线C与直线l上的动点，求AB的最小值.[选修4--5:不等式选讲]23.已

知a、b、c、d均为正数，且adbc=．（1）证明:若adbc++，则||||adbc−−;（2）若22224444tabcdacbd++=+++，求实数t的取值范围．KS5U2024高考压轴卷全国甲卷数学试卷(理工农医类)答案1【K

S5U答案】B【KS5U解析】因为15Axx=−，N20N2Bxxxx=−=，所以3,4AB=.故选：B.2【KS5U答案】D【KS5U解析】由iecosisin=+可得iπ1

ecosπisinπ=+=−，所以()()iπi1i1iezz+=−+=+，可得()()()()221i1i1i1i2ii1i1i1i1iz+−−+−−−====−−+−+−−−，所以z的共轭复数为i，即A错误；z的实部为0，即B错误；z的虚部为1−，所以C错误；z

的模为1，可知D正确.故选：D3【KS5U答案】B【KS5U解析】因为()1nx+展开式的通项为()1C0,NrrrnTxrnr+=，所以()()()345111xxx+++++的展开式中含2x项为2222222345CCC19xxxx++=，所以展开式中含2x项的系数

是19.故选：B4【KS5U答案】A【KS5U解析】由三角函数定义得151sincos44=−=，所以21515152cossin1cossin12444−+=++=−+=.故选：A.5【KS5U答案】A【KS5U解析】根据流程框图可知，第一次计算结果110,4822

sn=+==；第二次循环计算可得113,68244sn=+==；第三次循环计算可得3111,884612sn=+===，不满足8n，循环结束，此时输出1112s=.故选：A6【KS5U答案】D【KS5U解析】易知(),OPxy=，所以

约束条件0102OPOAOPOB即为0102xxy+，画出可行域如下图阴影部分所示：将目标函数2zxy=−变形可得1122yxz=−，当其在y轴上的截距最小时，z的取值最大；对直线yx=−，令1x=，则1y

=−，则()1,1A−，显然当直线12yx=平移到过点()1,1A−时，z取最大值3.故选：D7【KS5U答案】C【KS5U解析】第一步：先将5名大学生分成三组，每组人数为1，1，3或1，2，2；当分为1，1，3时，且甲、乙要求去同一个路口，则甲、乙必须

在3人组，因此只需从剩下的3人中任选一人，其余两人各自一组，共有13C种分法；为当分为1，2，2时，且甲、乙要求去同一个路口，则将剩下的3人分成两组即可，共有1232CC种分法；第二步：再将分好的三组人员分

配到三个路口，共有33A种分配方案；因此共()11233323CCCA36+=种.故选：C8【KS5U答案】A【KS5U解析】因为α，β，γ为不同的平面，m，n，l为不同的直线，则m⊥β的一个充分条件是,,nnm⊥⊥⊥，选

A9【KS5U答案】A【KS5U解析】依题意，721e288e32abab++==，则141e9a=，即71e3a=，显然a<0，设物流过程中果蔬的储藏温度为t℃，于是2172114e963eeeeatbabaabab++−++===，解得14at

bab++，因此14t，所以物流过程中果蔬的储藏温度最高不能超过14℃.故选：A10【KS5U答案】A【KS5U解析】将“阿基米德多面体”补全正方体，如下图所示：不妨取两棱中点为,EF，由题知2EF=，易知

,BEBFBEBF⊥=，可得1BEBF==，所以正方体的棱长为2，该多面体的外接球即为正方体1111ABCDABCD−的棱切球，所以棱切球的直径为该正方体的面对角线，长度为22，因此该多面体的外接球的半径为2，所以其表面积为()24π28πS==.故选：A为

11【KS5U答案】D【KS5U解析】令双曲线2222:1xyCab−=的焦点12(,0),(,0)FcFc−，设000(,),0Pxyy，则2200221xyab−=，即有2222002byxba=−，22222221000002||()2bPF

xcyxcxcxba=++=+++−22200022||ccxcxaxaaa=++=+，同理20||||cPFxaa=−，而220xa，故22222020cxacaa−−，因此22222222222221200000222|

|||||cbaPFPFOPxaxyxyabaaa=−=−−−=−−=−，即223ba=，所以双曲线C的离心率2212cbeaa==+=.故选：D12【KS5U答案】C【KS5U解析】构造函数()()exfxFx=，则()()

()exfxfxFx−=；因为()()()20xfxfx−−，所以当2x时，()()0fxfx−，即()0Fx，此时()Fx在()2,+上单调递增；当2x时，()()0f

xfx−，即()0Fx，此时()Fx在(),2−上单调递减；又()()424exfxfx−−=，所以()()44eexxfxfx−−=，即()()4FxFx−=；所以函数()Fx图象上的点()(),xFx关于2x=的对称点

()()4,xFx−也在函数图象上，即函数()Fx图象关于直线2x=对称，不等式()()3eln3fxxf变形为()()3ln3efxfx，即()()ln3ln3eexfxf；可得()()()ln31FxFF=，又()Fx在()2,+上单

调递增，在(),2−上单调递减，所以1ln3x，解得3eex.故选：C【点睛】关键点点睛：本题关键在于根据()()()20xfxfx−−的结构特征构造函数()()exfxFx=，判断出其单调性，再由()()424exfxfx−−=得

出其对称性解不等式即可.13【KS5U答案】23【KS5U解析】法一：特殊值法：因为()fx为偶函数，所以()()11ff−=，所以()()()()()11113213121aa++=+−−+−−，解得23a=

，经检验，当23a=时，2233()94xfxx+=−为偶函数，符合题意.法二：定义法：因为()fx为偶函数，所以()()fxfx−=，所以()()()()()22113232xxxxaxxa−++=−+−−+−，化简得()320ax−=，

所以320−=a，解得23a=.故答案为：2314.【KS5U答案】3154【KS5U解析】由余弦定理有2222224327cos22438ABACBCAABAC+−+−===，所以15sin8A=，所以ABC

△的面积1115315sin432284SABACA===.15【KS5U答案】2【KS5U解析】设点(,)Pxy，则)(1,),(1,PMPNxyxy==−−−−−，由0PMPN=，得221xy+=，因此点P在以原点为圆心，

1为半径的圆上，显然直线0xym−+=与此圆相切，则22||11(1)m=+−，解得2m=，所以实数m的值为2.故答案为：216【KS5U答案】5【KS5U解析】由抛物线2:4Cxy=可知()0,1

F，显然直线l的斜率一定存在，可设直线l的方程为1ykx=+，()()1122,,,AxyBxy；如下图所示：联立抛物线和直线l的方程241xyykx==+，消去y可得2440xkx−−=；由韦达定理可得12124,4xxkxx+==−；利

用焦点弦公式可得()2121212112444ABAFBFyyyykxxk=+=+++=++=++=+；由24xy=可得24xy=，求导可得2xy=，所以抛物线在点A处的切线方程为()1112xyyxx−=−，由2114xy=，整理可得211

24xxyx=−；同理可得点B处的切线方程为22224xxyx=−；联立解得1212,24xxxxP+，即()2,1Pk−；可得()()222221144PFkk=+−−=+；所以222444444P

FkABk+=+++，令)2444,kt+=+，则244PFtABt+=+；利用对勾函数性质可知函数4ytt=+在)4,+上单调递增，所以2444454PFtABt+=++=，当且仅当0k=时，等号成立；即24PFAB+的最小值为5.故答案为：5【点睛】关键点点睛：在求解抛物线在某点处

的切线方程时，经常利用导数的几何意义得出切线方程表达式即可解得交点坐标，再由焦点弦公式得出24PFAB+的表达式可求得最小值.17【KS5U答案】（1）32nan=−；（2）1.【分析】（1）先求得1a的值，然后利用na与

nS的关系推出数列{}na为等差数列，由此求得na的通项公式；（2）首先结合（1）求nb的表达式，然后用裂项法求得nT，再根据数列nT的单调性求得t的最大值．【小问1详解】当1n=时，由题设得2111326

aaa++=，即211320aa−+=，又()10,2a，解得11a=.由2326++=nnnaaS知：2111326+++++=nnnaaS.两式相减得：221113()6nnnnnaaaaa+++−+−=，即()()11

30nnnnaaaa+++−−=.由于0na，可得130nnaa+−−=，即13nnaa+−=，所以na是首项为1，公差为3的等差数列，所以()13132nann=+−=−.【小问2详解】由32nan=−得：()()111111,323133231nnnbaannnn+===−

−+−+12...nnTbbb=+++1111111...3447323131nnnn=−+−++−=−++.因为()()()1110311313134nnnnTTnnnn++−=−=+++++，所以1

nnTT+，则数列nT是递增数列，所以1141444nntttTTTt=，故实数t的最大值是1.18【KS5U答案】（1）模型①；（2）（i）105405ˆ3838yx=+；（ii）63.16.【分析】（1

）观察残差图，利用残差波动大小选择.（2）（i）利用给定数据，计算最小二乘法公式中相关量，求出回归直线方程；（ii）利用求得的回归方程进行数据估计.【小问1详解】由于模型①残差波动小，应该选择模型①.【小问2详解

】（i）剔除异常数据，即3月份的数据，剩下数据的平均数为1(767)75x=−=，1(30630)305y=−=，5114702101260iiixy==−=，515210iiixyxy=−=，52137049321iix==

−=，5221576iixx=−=，105105405ˆˆˆ,307383838baybx==−=−=，所以所选模型的回归方程为105405ˆ3838yx=+.（ii）若广告投入量19x=，则该模型收益的

预报值是10540512001963.16383819+=(万元).19（1）.证明如图，取,ABCD的中点,MN，连接,,,MEENNFFM.因为FNDC⊥，平面FCD⊥平面ABCD，平面FCD平面ABCDCD

=，所以FN⊥平面ABCD.同理，EM⊥平面ABCD.所以FN∥ME.又AEB△和CFD△是等腰直角三角形，所以FNME=，四边形MENF为平行四边形，所以MF∥EN，又因为AB∥,,CDABMFMCDNEN==，所以平面

ABF∥平面CDE.（2）解:如图，以A点为原点，AB所在直线为y轴，过A平行于ME的直线为x轴，在平面ABCD内垂直于AB的直线为z轴，建立空间直角坐标系.设π2,,0,3ABBAD==，则()()()()()0,0

,0,0,2,0,0,22cos,2sin,0,2cos,2sin,1,1,0ABCDE+.所以()()()1,1,0,0,2cos,2sin,1,1,0AEADBCBE====−.设平面ADE的法向量为()1111,,

nxyz=，则1111110,2cos2sin0.AEnxyADnyz=+==+=令11x=，得11cos1,sinyz=−=，所以1cos1,1,sinn=−.设平面BCE的法向量为

()2222,,nxyz=，则2222220,2cos2sin0.BEnxyBCnyz=−==+=令21x=−，得22cos1,sinyz=−=，所以2cos1,1,sinn

=−−.所以22121222212coscossinsincos,coscoscos222sinsinsinnnnnnn===+++

.设cosπ0,sin3t=，则2222sincos10(sin)(sin)t−−−==，所以cossint=在π0,3上单调递减，所以3,3

t+所以2122221cos,1,1227tnntt==−++，所以平面ADE与平面BCE所成锐二面角的取值范围是1,17.【命题意图】本小题设置数学课程学习情境，设计立体几何问题，主要考查空间线线､线面位置关系，空间二面角等基础知识；考查推理论证能力，

空间想象能力，运算求解能力；考查直观想象，逻辑推理等数学核心素养，应用意识.20【KS5U答案】（1）2214xy+=（2）()0,1【分析】（1）根据椭圆离心率及1ABF的面积列式可得结果；（2）设出直线方程，联立直线与椭圆

方程，根据韦达定理及条件得到m与k的关系，由点到直线的距离公式、弦长公式表示面积，构造函数可得结果.【小问1详解】依题意3322cecaa===，又222223142abcbaba=+=+=，又()12113133112222422ABFaSac

baaa=+=+=+=+，所以224,1ab==，所以椭圆C的方程为2214xy+=.【小问2详解】由题意可知，直线的斜率存在且不为0，故可设直线：(),0ykxmm=+，()()1122,,,MxyNxy，联立直线和椭圆2214xyykxm+==+

，化简得()222148440kxkmxm+++−=，由题意可知()()()222Δ8414440kmkm=−+−，即2214km+，且2121222844,1414kmmxxxxkk−−+==++，则()()()2212121212yykxmkxmkxxkmxxm=+

+=+++()222222224484141414mkmmkkkmmkkk−−=−+=+++，又直线,,OMMNON的斜率依次成等比数列。即21212yykxx=，则2222244144mkkkm−==−，所以202m且21m，设点O到直线MN的距离为2251mmdk==+，又()

()()2222212122284414141414kmmMNkxxxxkkk−−=++−=+−++()()22542524mm=−=−，所以()()22222115222225MONmSMNdmmmmm==−=−=−，令()()20,11

,2tm=，()()222fttttt=−=−+，显然()()222fttttt=−=−+在()0,1上为增函数，在()1,2上为减函数，所以()()()()021ffftf=，即()01ft，所以()()2220,1MONSmm=−，故MON△面积的取

值范围为()0,1.【点睛】方法点睛：求解椭圆中三角形的面积问题时，一般需要设出直线方程，联立直线与椭圆方程，结合韦达定理，弦长公式，点到直线距离公式等，表示出三角形的面积，再利用构造函数或基本不等式的方法求解即可.21【KS5U答案】（1）无极值点；（2）[1,)+

.【分析】（1）求出函数()Fx的导数，利用导数探讨函数单调性，判断函数的极值点.（2）按1,1aa分类探讨，利用（1）中信息，结合不等式性构造函数()()2e102xxGxxx=−−−并推理得1a，当1a时，构造函数，利用导数结合单调性判断即得.

【小问1详解】函数31()sin26Fxxxx=−++，求导得2()1cos2xFxx=−+，令2()1cos2xmxx=−+，求导得()sinmxxx=−，设()sinxxx=−，则()1cosxx=−，当0x时，()1cos0xx=−，当且仅当ππ,N2

xkk=+时取等号，则()sinmxxx=−在(0,)+上单调递增，即有()(0)0mxm=，于函数()mx在(0,)+上单调递增，因此()(0)0mxm=，所以()Fx在区间(0,)+上没有极值点.【小问2详解】由（1）知，当2

0,sin,cos12xxxxx−+，则21sincos22xxxx++−+，设2()e1(0)2xxGxxx=−−−，求导得()e1xGxx=−−，设()e1(0)xnxxx=−−，求导

得()e10xnx=−，则函数()nx在[0,)+上单调递增，是有()(0)0nxn=，即()0Gx，函数()Gx在[0,)+上单调递增，于是()(0)0GxG=，即2e12xxx++，则esinco

s2xxx−+对任意的0x恒成立，当0,1xa时，eeaxx，则当1a时，esincos2axxx−+对任意的0x恒成立，当1a时，设()esincos2axhxxx=−+−，求导得()ecossinaxhxaxx=−−，显然(0)10ha=−，而函数()hx在[

0,)+上的图象连续不断，则存在实数00x，使得对于任意的0(0,)xx，均有()0hx，因此函数()hx在0(0,)x上单调递减，则当0(0,)xx时，()0hx，即esincos2axxx−+，不符合题意，综上所述，实数a的取值范围为

[1,)+.【点睛】方法点睛：对于利用导数研究不等式的恒成立与有解问题的求解策略：①通常要构造新函数，利用导数研究函数的单调性，求出最值，从而求出参数的取值范围；②利用可分离变量，构造新函数，直接把问题转化为函数的最值问题．③根据恒成立或有解求解参数

的取值时，一般涉及分离参数法，但压轴试题中很少碰到分离参数后构造的新函数能直接求出最值点的情况，进行求解，若参变分离不易求解问题，就要考虑利用分类讨论法和放缩法，注意恒成立与存在性问题的区别．22【KS5U答案】（1）曲线为()222,2yxx=+−，直线为340xy++=（2）58

【分析】（1）利用同角的三角函数关系式将曲线C的参数方程消去参数，结合直角坐标与极坐标互化公式进行求解即可；（2）根据点到直线距离公式，结合辅助角公式、余弦函数的最值性质进行求解即可.【小问1详解】因为2co

s22cos1=−，将2cos22cosxy==（为参数），消去参数，可得()222,2yxx=+−.由πsin26+=−，得31sincos222+=−，因为cos,sinxy==，所以340xy++=.所以曲线

C的普通方程为()222,2yxx=+−，直线l的直角坐标方程为340xy++=.【小问2详解】由点A在曲线C上，设()2cos2,2cosA，则点A到l的距离为：222cos223cos41(3)d++=

+2cos23cos22cos3cos1=++=++2352cos48=++2352cos48=++，所以当3cos4=−时，min58d=，所以AB的最小值为58.23【KS5U答案】（1）证明见解析；（2）[2,)

+.【分析】（1）根据给定条件，利用不等式性质推理即得.（2）结合已知可得2222abcdacbd++=+，再利用基本不等式求解即得.【小问1详解】由abcd,,,均为正数，adbc++，得22()()adbc++，又adbc=，则22()()adbc−−，所以|||adbc−

−∣.【小问2详解】显然222222222222()()abcdacadbcbd+++++=222222()acabcdbdacbd=++=+，而abcd,,,均为正数，则2222()tabcdtacbd

++=+，又44442,2acacbdbd++，当,acbd==时取等号，而22224444tabcdacbd++=+++，因此()2()tacbdacbd++，2t，所以实数t的取值范围[2,)+.