【文档说明】上海市静安区2021-2022学年高考二模数学试题 含解析.docx，共(16)页，2.182 MB，由管理员店铺上传

转载请保留链接：https://www.doc5u.com/view-8ea27aee295f757c86708de354aa04f0.html

以下为本文档部分文字说明：

2021学年第二学期高三数学学科适应性练习考生注意：1.本试卷共4页，21道试题，满分150分，考试时间120分钟.2.本考试分设试卷和答题纸.作答必须涂（选择题）或写（非选择题）在答题纸上，在试卷上作答一律不得分.一、填空题（本大题共12题，满分54分）第1-6题，每题4分，第7-1

2题，每题5分1.已知集合2,2A=−，0,4A=，则AB=__________.【答案】0,2【解析】【分析】直接由交集的概念计算即可.【详解】AB=0,2.故答案为：0,2.2.已知复数z满足()1

1izz+=−，其中i是虚数单位，则z的虚部为__________.【答案】1【解析】【分析】先由复数的运算求出z，再求出z的虚部即可.【详解】由()11izz+=−可得()()()()i1i1i1ii1i1i1z−−−===++−，则z的虚部为1.故答案为：1.3.双曲线221169x

y−=的焦点到其渐近线的距离是__________.【答案】3【解析】【分析】直接求出焦点及渐近线，再由点到直线的距离求解即可.【详解】由题意得：216925c=+=，故双曲线的焦点坐标为()5,0，渐近线方程为34yx=?，则焦点到其渐近线的距离是()23543

314=+.故答案为：3.4.解指数方程23923xx+−=：__________.【答案】3x=−或33log2x=+【解析】【分析】直接对方程两边取以3为底的对数，讨论30x+=和30x+，解出方程即可.【详解】由23923xx+−=得23933l

og2log3xx+−=，即()()()33log233xxx+=−+，当30x+=即3x=−时，00=显然成立；当30x+时，3log23x=−，解得3log23x=+；故方程的解为：3x=−或33log2x=+.故答案为：3x=−或33log2x

=+.5.已知椭圆2221yxa+=()0a的一个焦点坐标为()0,1，则=a__________.【答案】2【解析】【分析】由椭圆的标准方程直接求解即可.【详解】由焦点坐标()0,1知焦点在y轴上，且211a−=，解得=a

2.故答案为：2.6.直线l的方向向量a()1,1=−，且经过曲线22cos42sinxy=+=−+的中心，则直线l的方程为__________.【答案】20xy++=【解析】【分析】由方向

向量得出斜率，再由该曲线的中心得出直线方程.【详解】因为直线l的方向向量a()1,1=−，所以直线l的斜率111k−==−易知曲线22cos42sinxy=+=−+的中心为(2,4)−所以(2)4yx=−−−，即20xy++=故答案为：20xy++=7.函数()()a

rccos34fxx=−的定义域是__________.【答案】1,12【解析】【分析】直接由1341x−−解出x的范围，即可求出定义域.【详解】由1341x−−，解得112x，则函数定义

域为1,12.故答案为：1,12.8.若x，y满足约束条件25023050xyxyx+−−+−，则zxy=+的最小值为______.【答案】3【解析】【分析】作出可行域，根据图形找到最优解，代入目标函数可得结

果.【详解】作出可行域，如图：由250230xyxy+−=−+=，得12xy==，则(1,2)M，由图可知，当直线yxz=−+经过点(1,2)M时，z取得最小值3.所以zxy=+的最小值为3.故答案为：3【点睛】关键点点睛

：根据图形找到最优解是解题关键.9.若函数221()2(0)fxxxx=++的反函数为1()fx−，则不等式1()3fx−的解集是__________.【答案】252,9【解析】【分析】先由反函数的定义求出1()fx−，再解不等式求出解集即可.【详解】令22211211yxxx

=++=++，由0x可得2y，则111xy=−−，则()112(1)1xxfx−=−−，则1311x−−解得2529x，故解集为252,9.故答案为：252,9.10.

上海进博会是世界上第一个以进口为主题的国家级展览会，每年举办一次.现有6名志愿者去两个进博会场馆工作，每个场馆都需要3人，则甲乙两人被分配到同一个场馆的概率是__________.【答案】25##0.4【解析】【分析】先由分组分配求出总情况，再计算出甲乙两人被分配到同一个场馆的情况，

由古典概型求解即可.【详解】由题意知：总情况有36C20=种，其中甲乙两人被分配到同一个场馆情况有1242CA8=种，故甲乙两人被分配到同一个场馆的概率是82205=.故答案为：25.11.数列{}na满足12a=，2111aa=−，若对于大于2的正整数n，111n

naa−=−，则102a=__________.【答案】12##0.5【解析】【分析】先由递推关系式求出{}na的周期，再由周期性求出102a即可.【详解】由题意知：()2345111111,,2,11121121212aaa

a==−======−−−−−−，故{}na是周期为3的周期数列，则102334312aaa===.故答案为：12.的12.已知函数()2log,021,0xxfxxx=+，若对任意1a−，当

1bm−时，总有()()1afbb−成立，则实数m的最大值为__________.【答案】1【解析】【分析】分2b、12b、01b、10b−依次讨论()fb的范围，进而判断()()1afbb−是否恒成立，即可求解.

【详解】当2b时，()22loglog21fbb==，则()()1afbb−不成立；当12b，()20log1fbb=，取1a=−，()()()0111afbfb−=−，此时()()1afbb−不成立；当01b时，()2log0

fbb=，则()11fb−−，对于任意1a−，有()()11afb−，当1,1ba==−时取等号，所以总有()()1afbb−成立；当10b−时，()0211fbb=+，当1,0b=−取最大值1，当12b=−时取最小值0，则()110fb−−，对于任意1a−，有(

)()10afb−，当1,0b=−时取等号，所以总有()()1afbb−成立；综上可得11b−，故实数m的最大值为1.故答案为：1.二、选择题（本大题共4题，每题5分，满分20分）13.2022年2月4日至

2月20日春节期间，第24届冬奥会在北京市和张家口市联合举行.共有3个冬奥村供运动员和代表队官员入住，其中北京冬奥村的容量约为2250人，延庆冬奥村的容量约1440人，张家口冬奥村的容量约2610人.为了解各冬奥村服

务质量，现共准备了140份调查问卷，采用分层抽样的方法，则需在延庆冬奥村投放的问卷数量是（）A.58份B.50份C.32份D.19份【答案】C【解析】【分析】直接由分层抽样的概念计算求解即可.【详解】在延庆冬奥村投放的问卷数量是144014032

225014402610=++份.故选：C.14.设(,)axy=，(,)bmn=，且a，b均为非零向量，则“xymn=”是“ab∥”的（）条件A.充分非必要B.必要非充分C.充要D.既非充分又非必要【答案】A【解析】【分析】由向量共线的坐标公式判断充分性

和必要性即可求解.【详解】若xymn=，则nxmy=，则ab∥，满足充分性；反之，若ab∥，则nxmy=，不能推出xymn=，比如0mx==，显然满足nxmy=，但xymn=无意义，不满足必要性；故“xymn=”是“ab∥”的充分非必要条件.故选：A.15.中国古代建筑使用榫卯结构将木部件连接起来

，构件中突出的部分叫榫头，凹进去的部分叫卯眼，图中摆放的部件是榫头，现要在一个木头部件中制作出卯眼，最终完成一个直角转弯结构的部件，那么卯眼的俯视图可以是（）A.B.CD.【答案】B【解析】【分析】根据榫头的俯视图结合结果图，可判断卯眼的俯视图.【详解】解：根据榫头的俯视图及结果图的俯视图可判

断卯眼的俯视图为B项中的图形.故选：B..16.在下列判断两个平面与平行的4个命题中，真命题的个数是（）．①、都垂直于平面r，那么∥②、都平行于平面r，那么∥③、都垂直于直线l，那么∥④如果l、m是两条异面直线，且l∥，m，l，m，那么

∥A.0B.1C.2D.3【答案】D【解析】【分析】在正方体中观察可判断①；由平面平行的传递性可判断②；由线面垂直的性质可判断③；根据面面平行判定定理可判断④.【详解】如图，易知在正方体中相邻两个侧面都垂直于底

面，故①错误；由平面平行的传递性可知②正确；由线面垂直的性质可知③正确；过直线l做平面与、分别交于12,ll，过直线m做平面与、分别交于12,mm，因为l∥，l，所以12,llll，所以12ll∥因为1

l，2l，所以1l同理，1m又l、m是两条异面直线，所以12,ll相交，且1l，1m所以∥，故④正确.故选：D三、解答题（本大题共5题，满分76分）17.在四棱锥P﹣ABCD中，底面是边长为2的菱形，∠DAB＝60°，对角线AC与BD相交于点O，PO⊥平面ABCD，PB与平

面ABCD所成的角为60°.（1）求四棱锥P﹣ABCD的体积；（2）若E是PB的中点，求异面直线DE与PA所成角的大小（结果用反三角函数值表示）.【答案】（1）2（2）2arccos4【解析】【分析】（1）由P

O⊥平面ABCD，得∠PBO是PB与平面ABCD所成的角，∠PBO＝60°.由此我们可以计算出PO即棱锥的高，及底面菱形的面积，代入即可得到棱锥的体积.（2）求异面直线DE与PA所成角的大小有两种不同的思路：法一是以O为坐标原点

，射线OB、OC、OP分别为x轴、y轴、z轴的正半轴建立空间直角坐标系.表示出空间中各个点的坐标，进而给出相关向量的坐标，然后利用异面直线的夹角的余弦等于其方向向量夹角余弦值的绝对值，求出夹角；法二是取AB的中点F，连接EF、DF.由E是PB

的中点，得EF∥PA，则∠FED是异面直线DE与PA所成角（或它的补角），然后解三角形FED求出夹角.【小问1详解】在四棱锥P﹣ABCD中，由PO⊥平面ABCD，得∠PBO是PB与平面ABCD所成的角，∠PBO＝60°.在RtA

OB△中BO＝ABsin30°＝1，由PO⊥BO，于是，tan33POBO==，而底面菱形的面积为23.∴四棱锥P﹣ABCD体积123323V==.【小问2详解】解法一：以O为坐标原点，射线OB

、OC、OP分别为x轴、y轴、z轴的正半轴建立空间直角坐标系.在RtAOB△中3OA=，于是，点A、B、D、P的坐标分别是(0,3,0)A−，B（1，0，0），D（﹣1，0，0），(0,0,3)P.E是PB的中点，则13(,0,)22E，于是33(,0,)22DE=uuur

，(0,3,3)AP=uuur.设,DEAPuuuruuur的夹角为θ，有322cos4933344==++，2arccos4=，∴异面直线DE与PA所成角的大小是2arccos4.解法二：取AB的中点F，连接EF、DF.由E是PB的中点，得EF∥PA，∴∠FED是异面直线D

E与PA所成角（或它的补角），在RtAOB△中cos36AOABOP===，于是，在等腰RtAOP△中，6PA=，则62EF=.的在等边ABD△和等边PBD△中，3DEDF==，16224cos43EFFEDDE===∴异面直线D

E与PA所成角的大小是2arccos4.【点睛】18.设函数()sin()fxmx=.（1）若(0,1)m，且函数()fx与lgyx=的图像有横纵坐标均为正整数的交点，求m的值；（2）设1m=，2()2()(2)gxfxfx=+，在锐角△ABC中，内角,,ABC对应的边分别为,

,abc，若()2gA=，22ABAC=，求△ABC的面积.【答案】（1）π20m=或π4m=（2）2【解析】【分析】（1）根据对数函数的性质讨论出整点，再根据整点来求参即可；（2）通过化简求值得出角度，再根据向量数量积的定

义和三角形的面积公式可得结果.【小问1详解】交点为(10,1)，即sin(10)1m=，πππ102π,2520kmkm=+=+，又因为(0,1)m，所以取0,1k=，所以π20m=或π4m=.【小问2详解】2π()2sinsin22sin(2)14gxxxx=+=−+，因为()2gA=，

得π2sin(2)42A−=，即ππ244A−=或34，π4A=或π2，又ABC为锐角三角形，所以π4A=.||||coscos22ABACABACAbcA===，解得4bc=.所以sin122ABCSbcA==.19.某便民超市经销一种小袋装地方特色桃酥食品，每袋桃酥的成本为

6元，预计当一袋桃酥的售价为x元(911)x时，一年的销售量为485x−万袋，并且全年该桃酥食品共需支付3x万元的管理费.一年的利润=一年的销售量售价−（一年销售桃酥的成本+一年的管理费）.（单位：万元）（1）求该超市一年的利润L（

万元）与每袋桃酥食品的售价x的函数关系式；（2）当每袋桃酥的售价为多少元时，该超市一年的利润L最大，并求出L的最大值.【答案】（1）()3648,9,115xLxxx−−=−；（2）售价为9元时，利润最大为9万元【解析】【分析】（1）直接由题目所给关系

即可求得利润L（万元）与售价x的函数关系式；（2）将函数关系式变形整理得()4833355Lxx=−−−−，结合基本不等式即可求出最大值.【小问1详解】由题意知，分公司一年利润L（万元）与售价x的函数关系式为()48648486]33,555,1[91xLxxxxxxx−=−+=−

−−−；【小问2详解】()()()486484834835153335555xLxxxxxx−=−=−−−−=−−−−−−，因为(911)x，所以()()4848352352455xxxx+−−=−−，当且仅当()483

55xx=−−即9x=时取等号，此时L最大为9万元.当每件产品的售价为9元时，该分公司一年的利润最大，且最大利润9万元.20.如图，点(,)PPPxy是y轴左侧（不含y轴）一点，抛物线2:4Cyx=上存在不同的两点,AB，且的,PAPB的中点均在抛物线C上.（1）若(1,2)P−，点A在第一象限，

求此时点A的坐标；（2）设AB中点为M，求证：直线PMy⊥轴；（3）若P是曲线221(0)4yxx+=上的动点，求PAB面积的最大值.【答案】（1）(9,6)A；（2）证明见解析；（3）15104【解析】【分

析】（1）设出点(,)AAAxy，表示出AP中点，代入抛物线方程求解即可；（2）设22(,),(,),(,)44ABABMMyyAyByMxy，求出AP中点代入抛物线，同理将BP中点代入抛物线，由一元二次方程及韦达定理得PMyy=，即可得证；（

3）当ABlx⊥轴时，直接求出,AB坐标计算面积即可；当ABl的斜率存在时，用P点坐标表示出直线AB方程，由弦长公式表示出AB，求出点P到直线AB的距离，表示出面积，结合Px的范围即可求解.【小问1详解】设点(,

)AAAxy，则24AAyx=，所以AP中点坐标为242,82AAyy−+代入24yx=，得24120(0)AAAyyy−−=，所以6Ay=，即(9,6)A；【小问2详解】设22(,),(,),(,)44ABABMMyyAyByMxy，所以AP中点24,82A

PAPyxyy++代入24yx=，得22280APAPPyyyyx−−+=，同理，22280BPBPPyyyyx−−+=.所以，,AByy是方程22280PPPyyyyx−−+=的两根，由韦达定理：2ABPy

yy+=，又AB中点为(,)MMMxy，所以2ABMyyy=+，所以PMyy=，即直线PMy⊥轴；【小问3详解】当ABlx⊥轴时，由对称性知，P在x轴上，则(1,0)P−，所以22280PPPyyyyx−−+=化为280y−=，即22,22

AByy==−，所以1423622ABCS==!；当ABl的斜率存在时，ABl方程为22()()44ABABAAAABAByyyyyyxxxxyyxx−−−=−=−−−，即Ay−+42()()AAABPyxxxxyyy=−=−+，所以222AABAPPP

ABxyyyxyxyyyyy=−+=++，又由（2）知，28ABPPyyxy=−，则2822PPPPxyyxyy−=+，所以222118(4)44PPABPPyyAByyyx=+−=+−222(4)(4)PPPyyx=+−.又

点P到直线AB的距离2222824232441PPPPPPPPPPxyxyxyyydyy−+−−==++，故322132(4)24ABCPPSABdyx==−!.又221(0)4PPPyxx+=，得2244PPyx=−，故322325(21)4ABC

PSx=−+!，由(1,0)Px−，151062,4ABCS!.综上，151062,4ABCS!，所以ABC的面积的最大值为15104.21.若数列{}na同时满足下列两个条件，则称数列

{}na具有“性质A”.①212nnnaaa+++(nN)；②存在实数A，使得对任意*nN，有naA成立.（1）设245,sin4nnnannb=−+=，试判断{},{}nnab是否具有“性质A”；（2）

设递增的等比数列{}nc的前n项和为nS，若2371,2cS=−=−，证明：数列{}nS具有“性质A”，并求出A的取值范围；（3）设数列{}nd的通项公式()122*222nnntnnttdn++++=N，若数列{}nd具有“性质A”，其满足条件的A的最大值0

10A=，求t的值.【答案】（1）数列{}na具有“性质A”，数列{}nb不具有“性质A”；（2）证明见解析，4A−；（3）5t=【解析】【分析】（1）结合二次函数性质求出1na，结合2120nnnaaa+++−即可得数列{}na具有“性质A”；由13220bbb+−可得数列{

}nb不具有“性质A”；（2）先由条件解出首项和公比，写出等比数列的通项公式，求出4nS−，结合2120nnnSSS+++−，即可证明并求出A的取值范围；（3）先由2120nnnddd+++−求得(,)(4,)ntt−

−−+对*nN成立，进而求得3t，又2ndt且当n→+时，2()222nnttt++→，可得0210At==，即可求解.【小问1详解】2(2)11nan=−+，所以当1A时，有naA成立；又的222212(2)2(1)20nnnaaa

nnn+++−=−+−−=，所以212nnnaaa+++，所以数列{}na具有“性质A”；123232sin,sin1,sin42242bbb======，所以1322220bbb+−=−，所以数

列{}nb不具有“性质A”；【小问2详解】设公比为q，则()1311,1712cqcqq=−−=−−，解得1212cq=−=或1122cq=−=，又等比数列{}nc递增，则1212cq=−

=，则数列{}nc的通项公式1211222nnnc−−=−=−，所以121214441212nnnS−−==−−−恒成立，又2121111124

4802222nnnnnnnSSS+++++−=+−=，所以212nnnSSS+++对*nN成立，所以数列{}nS具有“性质A”，且4A−；【小问3详解】2()22nnntdt+=+，由于数列{}nd具

有“性质A”，则2120nnnddd+++−，即22221()(2)(1)20222nnnntntnt++++++++−，整理得222440nntntt+−+−，得：2()4()()(4)0ntntntnt+−+=++−，得(,)(4,)ntt−−−+对*n

N成立，所以41t−，得3t，又当3t时，2()222nnntdtt+=+，且当n→+时，2()222nnttt++→，所以满足条件的A的最大值0210At==，所以5t=.