【文档说明】2025届高考数学一轮复习专练47 利用空间向量研究直线、平面的位置关系.docx，共(15)页，251.522 KB，由小赞的店铺上传

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温馨提示：此套题为Word版，请按住Ctrl,滑动鼠标滚轴，调节合适的观看比例，答案解析附后。关闭Word文档返回原板块。四十七利用空间向量研究直线、平面的位置关系(时间:45分钟分值:85分)【基础落实练】1.(5分)已知

平面α内有一个点A(2,-1,2),α的一个法向量为n=(3,1,2),则下列点P中,在平面α内的是()A.(1,-1,1)B.(1,3,32)C.(1,-3,32)D.(-1,3,-32)【解析】选B.由

题意可知符合条件的点P应满足𝑃𝐴⃗⃗⃗⃗⃗·n=0,选项A,𝑃𝐴⃗⃗⃗⃗⃗=(2,-1,2)-(1,-1,1)=(1,0,1),𝑃𝐴⃗⃗⃗⃗⃗·n=3×1+1×0+2×1=5≠0,故不在平面α内;同理可得:选项B,𝑃𝐴⃗⃗⃗⃗⃗=(1,-4,12),𝑃𝐴⃗⃗⃗⃗⃗·n=

0,故在平面α内;选项C,𝑃𝐴⃗⃗⃗⃗⃗=(1,2,12),𝑃𝐴⃗⃗⃗⃗⃗·n=6≠0,故不在平面α内;选项D,𝑃𝐴⃗⃗⃗⃗⃗=(3,-4,72),𝑃𝐴⃗⃗⃗⃗⃗·n=12≠0,故不在平面α内.2.(5分)

如图,在正方体ABCD-A1B1C1D1中,以D为原点建立空间直角坐标系,E为BB1的中点,F为A1D1的中点,则下列向量中,能作为平面AEF的法向量的是()A.(1,-2,4)B.(-4,1,-2)C.(2,-2,1)D.(1,2,

-2)【解析】选B.设AB=2,则A(2,0,0),E(2,2,1),F(1,0,2),𝐴𝐸⃗⃗⃗⃗⃗=(0,2,1),𝐴𝐹⃗⃗⃗⃗⃗=(-1,0,2),设平面AEF的法向量n=(x,y,z),则{𝑛·𝐴𝐸⃗⃗⃗⃗⃗

=2𝑦+𝑧=0𝑛·𝐴𝐹⃗⃗⃗⃗⃗=-𝑥+2𝑧=0,取y=1,得n=(-4,1,-2).3.(5分)已知向量m=(2,-4x,1)是平面α的法向量,n=(6,12,-3y)是直线l的方向向量,若l⊥α,则x+y=()A.-4B.4C.-2D.2【解析】选C.因为

n是直线l的方向向量,m是平面α的法向量,l⊥α,所以m∥n,所以26=-4𝑥12=1-3𝑦,解得x=-1,y=-1,所以x+y=-2.4.(5分)如图所示,在正方体ABCD-A1B1C1D1中,棱长为a,M,N分别为A1B和

AC上的点,A1M=AN=√2𝑎3,则MN与平面BB1C1C的位置关系是()A.相交B.平行C.垂直D.不能确定【解析】选B.分别以C1B1,C1D1,C1C所在直线为x,y,z轴,建立空间直角坐标系.因为A1M=AN=√2𝑎3,A1B=

AC=√2a,所以M(a,23a,𝑎3),N(23a,23a,a),所以𝑀𝑁⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗=(-𝑎3,0,23a),又因为C1(0,0,0),D1(0,a,0),所以𝐶1𝐷1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗=(0,a,0),所以𝑀𝑁⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗·𝐶1𝐷

1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗=0,所以𝑀𝑁⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⊥𝐶1𝐷1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗.因为𝐶1𝐷1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗是平面BB1C1C的一个法向量,且MN⊄平面BB1C1C,所以MN∥平面BB1C1C.5.(5分)如图,

在正方体ABCD-A1B1C1D1中,E,F分别为AB,BC的中点,则()A.BD1⊥平面B1EFB.BD⊥平面B1EFC.A1C1∥平面B1EFD.A1D∥平面B1EF【解析】选C.以点D为原点,DA,DC,DD1所在直线分别为x轴

,y轴,z轴建立如图所示的空间直角坐标系,设AB=2,则B1(2,2,2),E(2,1,0),F(1,2,0),B(2,2,0),A1(2,0,2),C1(0,2,2),D(0,0,0),D1(0,0,2).𝐸𝐹⃗⃗⃗⃗⃗=(-1,

1,0),𝐸𝐵1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗=(0,1,2),𝐵𝐷1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗=(-2,-2,2),𝐷𝐵⃗⃗⃗⃗⃗⃗=(2,2,0),𝐴1𝐶1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗=(-2,2,0),𝐷𝐴1⃗⃗⃗⃗

⃗⃗⃗⃗=(2,0,2).设平面B1EF的法向量为m=(𝑥,𝑦,𝑧),则{𝑚·𝐸𝐹⃗⃗⃗⃗⃗=-𝑥+𝑦=0,𝑚·𝐸𝐵1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗=𝑦+2𝑧=0,取x=2,则m=(2,2,-1),因为𝐵𝐷1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗与m不平行,所以BD1与平

面B1EF不垂直,A错误;因为𝐷𝐵⃗⃗⃗⃗⃗⃗与m不平行,所以BD与平面B1EF不垂直,B错误;因为𝐴1𝐶1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗·m=0,且直线A1C1在平面B1EF外,所以A1C1∥平面B1EF,C正确;因为𝐷𝐴1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗·m=2≠0,所以A1D与平面B1EF不平行,D

错误.6.(5分)(多选题)如图,在棱长为2的正方体ABCD-A1B1C1D1中,E为BB1的中点,F为A1D1的中点,如图所示建立空间直角坐标系,则下列说法正确的有()A.DB1=3√2B.向量𝐴𝐸⃗⃗⃗⃗⃗与𝐴𝐶1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗所成角的余弦值为√155

C.平面AEF的一个法向量是(4,-1,2)D.A1D⊥BD1【解析】选BCD.根据空间直角坐标系D-xyz,可知D(0,0,0),A(2,0,0),B(2,2,0),C(0,2,0),A1(2,0,2),B1(2,2,2),C1(0,2,2),D1(0,0,2),由于E为B

B1的中点,F为A1D1的中点,所以E(2,2,1),F(1,0,2),故DB1=|𝐷𝐵1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗|=√22+22+22=2√3,故A错误;对于B,因为𝐴𝐸⃗⃗⃗⃗⃗=(0,2,1),�

�𝐶1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗=(-2,2,2),所以|𝐴𝐸⃗⃗⃗⃗⃗|=√5,|𝐴𝐶1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗|=2√3,故cos<𝐴𝐸⃗⃗⃗⃗⃗,𝐴𝐶1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗>=𝐴𝐸⃗⃗⃗⃗⃗·𝐴𝐶1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗|𝐴𝐸⃗⃗⃗⃗⃗||

𝐴𝐶1|⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗=4+2√5×2√3=√155,故B正确;对于C,设平面AEF的法向量为n=(x,y,z),因为𝐴𝐸⃗⃗⃗⃗⃗=(0,2,1),𝐴𝐹⃗⃗⃗⃗⃗=(-1,0,2),所以{𝒏·𝐴𝐸⃗⃗⃗⃗⃗=0�

�·𝐴𝐹⃗⃗⃗⃗⃗=0,整理得{𝑦=-12𝑧𝑥=2𝑧,令x=4,可得y=-1,z=2,故n=(4,-1,2),故C正确;对于D,由于𝐴1𝐷⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗=(-2,0,-2),𝐵𝐷1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗=(-2,-2,2),故𝐴1𝐷⃗⃗⃗⃗⃗

⃗⃗⃗·𝐵𝐷1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗=0,故A1D⊥BD1,故D正确.【加练备选】(多选题)以下命题正确的是()A.直线l的方向向量为a=(1,-1,2),直线m的方向向量b=(1,2,1),则l⊥mB.直线l的方向向量a=(0,

1,-1),平面α的法向量n=(1,-1,-1),则l⊥αC.两个不同平面α,β的法向量分别为n1=(2,-1,0),n2=(-4,2,0),则α∥βD.平面α经过三点A(1,0,-1),B(0,1,0),C(-1,2,0),向量n=(1,u,t)是平面α的法向量,

则u+t=1【解析】选CD.直线l的方向向量a=(1,-1,2),直线m的方向向量b=(1,2,1),a·b=(1,-1,2)·(1,2,1)=1,则l与m不垂直,所以A不正确;直线l的方向向量a=(0,1,-1),平面α的法向量n=(1,-1,-1),a·n=(0,1,-1)·(1,-1,-1)

=0,则l∥α或l⊂α,所以B不正确;两个不同平面α,β的法向量分别为n1=(2,-1,0),n2=(-4,2,0),n1=-12n2=(2,-1,0),则α∥β,所以C正确;平面α经过三点A(1,0,-1),B(0,1,0),C(-1,2,0),向量n=(1,u,t)是平

面α的法向量,可得{𝒏·𝐴𝐵⃗⃗⃗⃗⃗=-1+𝑢+𝑡=0𝒏·𝐵𝐶⃗⃗⃗⃗⃗=-1+𝑢=0,则u+t=1,所以D正确.7.(5分)已知𝐴𝐵⃗⃗⃗⃗⃗=(1,5,-2),𝐵𝐶⃗⃗⃗⃗⃗=(3,1,z),若𝐴𝐵⃗⃗⃗⃗⃗⊥𝐵𝐶⃗⃗⃗⃗⃗,𝐵𝑃⃗⃗⃗⃗⃗=(x

-1,y,-3),且BP⊥平面ABC,则x+y+z=________.【解析】因为𝐴𝐵⃗⃗⃗⃗⃗⊥𝐵𝐶⃗⃗⃗⃗⃗,所以𝐴𝐵⃗⃗⃗⃗⃗·𝐵𝐶⃗⃗⃗⃗⃗=3+5-2z=0,所以z=4,所以𝐵𝐶⃗⃗⃗⃗⃗=(3,1,4),又因为BP⊥平面ABC,AB,BC⊂平面

ABC,所以BP⊥AB,BP⊥BC,所以{𝐵𝑃⃗⃗⃗⃗⃗·𝐴𝐵⃗⃗⃗⃗⃗=𝑥-1+5𝑦+6=0𝐵𝑃⃗⃗⃗⃗⃗·𝐵𝐶⃗⃗⃗⃗⃗=3𝑥-3+𝑦-12=0,解得{𝑥=407𝑦=-157,因此x+y+z=537.答案:5378.(

5分)如图,在棱长为3的正方体ABCD-A1B1C1D1中,点M在棱C1C上,且CM=2MC1.以D为原点,DA,DC,DD1所在直线分别为x轴、y轴、z轴,建立如图所示的空间直角坐标系.写出平面MD1B的一个法向量为______

__.【解析】根据题意,在坐标系中,A(3,0,0),C(0,3,0),B(3,3,0),D1(0,0,3),C1(0,3,3),由于点M在棱C1C上,且CM=2MC1,因此M(0,3,2),则𝐷1𝐵⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗=(3,3,-3),𝐷1𝑀⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗=(0,3,-1),设

平面MD1B的一个法向量为n=(x,y,z),则有{𝐷1𝐵⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗·𝑛=3𝑥+3𝑦-3𝑧=0𝐷1𝑀⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗·𝑛=3𝑦-𝑧=0,令y=1可得,x=2,z=3,则n=(2

,1,3),故平面MD1B的一个法向量为(2,1,3).答案:(2,1,3)(答案不唯一)9.(10分)如图,四棱锥P-ABCD的底面为正方形,侧棱PA⊥底面ABCD,且PA=AD=2,E,F,H分别是线段PA,PD,AB的中点.求

证:(1)PB∥平面EFH;【证明】(1)因为E,H分别是线段AP,AB的中点,所以PB∥EH.因为PB⊄平面EFH,且EH⊂平面EFH,所以PB∥平面EFH.9.(10分)如图,四棱锥P-ABCD的底面为正方形,侧棱PA⊥底面ABCD,且PA=AD=2,E,F,H分别是线段PA,P

D,AB的中点.求证:(2)PD⊥平面AHF.【证明】(2)建立如图所示的空间直角坐标系.则A(0,0,0),D(0,2,0),P(0,0,2),F(0,1,1),H(1,0,0).𝑃𝐷⃗⃗⃗⃗⃗=(0,2,-2),𝐴𝐻⃗⃗⃗⃗⃗⃗=(1,0,0),𝐴𝐹⃗⃗⃗⃗⃗=(0,1,

1),因为𝑃𝐷⃗⃗⃗⃗⃗·𝐴𝐹⃗⃗⃗⃗⃗=0×0+2×1+(-2)×1=0,𝑃𝐷⃗⃗⃗⃗⃗·𝐴𝐻⃗⃗⃗⃗⃗⃗=0×1+2×0+(-2)×0=0.所以𝑃𝐷⃗⃗⃗⃗⃗⊥𝐴𝐹⃗⃗⃗⃗⃗

,𝑃𝐷⃗⃗⃗⃗⃗⊥𝐴𝐻⃗⃗⃗⃗⃗⃗,所以PD⊥AF,PD⊥AH.因为AH∩AF=A,且AH,AF⊂平面AHF,所以PD⊥平面AHF.【能力提升练】10.(5分)如图,在长方体ABCD-A1B1C1D1中,AB=√3AD=

√3AA1=√3,点P为线段A1C上的动点,则下列结论不正确的是()A.当𝐴1𝐶⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗=2𝐴1𝑃⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗时,B1,P,D三点共线B.当𝐴𝑃⃗⃗⃗⃗⃗⊥𝐴1𝐶⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗时,𝐴𝑃⃗⃗⃗⃗⃗⊥𝐷1𝑃⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗C.当𝐴1𝐶⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗=3𝐴1𝑃⃗⃗

⃗⃗⃗⃗⃗时,D1P∥平面BDC1D.当𝐴1𝐶⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗=5𝐴1𝑃⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗时,A1C⊥平面D1AP【解析】选B.如图,建立空间直角坐标系,则A1(1,0,1),C(0,√3,0),D1(0,0,1),A(1,0,0),B1(

1,√3,1),D(0,0,0),B(1,√3,0),C1(0,√3,1),当𝐴1𝐶⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗=2𝐴1𝑃⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗时,𝐴1𝑃⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗=(-12,√32,-12),𝐷𝑃⃗⃗⃗⃗⃗=𝐷𝐴1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗+𝐴1𝑃⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗=(12,√32,12),而�

�𝐵1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗=(1,√3,1),所以𝐷𝑃⃗⃗⃗⃗⃗=12𝐷𝐵1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗,所以B1,P,D三点共线,A正确,不符合题意;设𝐴1𝑃⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗=λ𝐴1𝐶⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗,𝐴1𝐶⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗=(-1,√3,-1),则𝐴𝑃⃗⃗⃗⃗⃗=𝐴𝐴1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗

+𝐴1𝑃⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗=𝐴𝐴1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗+λ𝐴1𝐶⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗=(-λ,√3λ,1-λ).当𝐴𝑃⃗⃗⃗⃗⃗⊥𝐴1𝐶⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗时,有𝐴𝑃⃗⃗⃗⃗⃗·𝐴1𝐶⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗=

5λ-1=0,所以λ=15,所以𝐴𝑃⃗⃗⃗⃗⃗=(-15,√35,45),𝐷1𝑃⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗=𝐷1𝐴1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗+𝐴1𝑃⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗=(45,√35,-15),所以𝐴𝑃

⃗⃗⃗⃗⃗·𝐷1𝑃⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗=(-15,√35,45)·(45,√35,-15)=-15≠0,所以𝐴𝑃⃗⃗⃗⃗⃗与𝐷1𝑃⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗不垂直,B不正确,符合题意;当𝐴1𝐶⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗=3

𝐴1𝑃⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗时,𝐴1𝑃⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗=(-13,√33,-13),𝐷1𝑃⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗=𝐴1𝑃⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗-𝐴1𝐷1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗=(23,√33,-13),又𝐷𝐵⃗⃗⃗⃗⃗⃗=(1,√3,0),𝐷�

�1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗=(0,√3,1),所以𝐷1𝑃⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗=23𝐷𝐵⃗⃗⃗⃗⃗⃗-13𝐷𝐶1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗,所以𝐷1𝑃⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗,𝐷𝐵⃗⃗⃗⃗⃗⃗,𝐷𝐶1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗共面,又D1P⊄平面BDC1,所以

D1P∥平面BDC1,C正确,不符合题意;当𝐴1𝐶⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗=5𝐴1𝑃⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗时,𝐴1𝑃⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗=(-15,√35,-15),从而𝐴𝑃⃗⃗⃗⃗⃗=(-15,√35,45),又𝐴𝐷1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗·𝐴1𝐶⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗=(-1,0,1)·(-

1,√3,-1)=0,所以A1C⊥AD1,𝐴𝑃⃗⃗⃗⃗⃗·𝐴1𝐶⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗=(-15,√35,45)·(-1,√3,-1)=0,所以A1C⊥AP,因为AD1∩AP=A,AD1,AP⊂平面D1AP,所以A1C⊥平面D1AP,D正

确,不符合题意.11.(5分)如图,在正方体ABCD-A1B1C1D1中,O是底面正方形ABCD的中心,M是D1D的中点,N是A1B1的中点,则直线ON,AM所成的角为________.【解析】以A为原点,分别以AB,AD,AA1所在的直线

为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系(图略).设正方体的棱长为1,则A(0,0,0),M(0,1,12),O(12,12,0),N(12,0,1),𝐴𝑀⃗⃗⃗⃗⃗⃗·𝑂𝑁⃗⃗⃗⃗⃗⃗=(0,1,12)·(0,-12,1)

=0,所以ON与AM所成的角为90°.答案:90°12.(5分)在正三棱柱ABC-A1B1C1中,侧棱长为2,底面边长为1,M为BC的中点,𝐶1𝑁⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗=λ𝑁𝐶⃗⃗⃗⃗⃗,且AB1⊥MN,则λ的值

为________.【解析】如图所示,取B1C1的中点P,连接MP,以𝑀𝐶⃗⃗⃗⃗⃗⃗,𝑀𝐴⃗⃗⃗⃗⃗⃗,𝑀𝑃⃗⃗⃗⃗⃗⃗的方向为x,y,z轴正方向建立空间直角坐标系,因为底面边长为1,侧棱长为2,则A(0,√32,0),B1(-1

2,0,2),C(12,0,0),C1(12,0,2),M(0,0,0),设N(12,0,t),因为𝐶1𝑁⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗=λ𝑁𝐶⃗⃗⃗⃗⃗,所以N(12,0,21+𝜆),所以𝐴𝐵1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗=(-12,-√3

2,2),𝑀𝑁⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗=(12,0,21+𝜆).又因为AB1⊥MN,所以𝐴𝐵1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗·𝑀𝑁⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗=0,所以-14+41+𝜆=0,解得λ=15.答案:1513.(5分)如图所示,在正方体ABCD-A1B1C1D1中,O是底面正方

形ABCD的中心,M是棱D1D上一点,N是A1B1的中点,则当𝐷𝑀𝐷𝐷1=________时,ON⊥AM.【解析】以A为坐标原点,以𝐴𝐵⃗⃗⃗⃗⃗,𝐴𝐷⃗⃗⃗⃗⃗,𝐴𝐴1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗的方向分别为x,y,z轴的正方向,建立空间直角坐标系(图略),设正方体的棱长为1

,则A(0,0,0),O(12,12,0),N(12,0,1).设M(0,1,a)(0≤a≤1),则𝐴𝑀⃗⃗⃗⃗⃗⃗·𝑂𝑁⃗⃗⃗⃗⃗⃗=(0,1,a)·(0,-12,1)=-12+a=0,解得a=12.故当

𝐷𝑀𝐷𝐷1=12时,ON与AM垂直.答案:1214.(10分)(2024·常州模拟)如图,直角梯形ABCD与等腰直角三角形ABP所在的平面互相垂直,且AB∥CD,AB⊥BC,AP⊥PB,AB=2,BC=CD=1.(1)求证:AB⊥PD;【解析】(1

)取AB的中点为O,连接DO,PO,因为PA=PB,所以PO⊥AB,又因为底面ABCD为直角梯形,且AB⊥BC,AB∥CD,AB=2,BC=CD=1,所以四边形OBCD为正方形,则DO⊥AB,又因为DO∩PO=O,且DO,PO⊂平面POD,所以AB⊥平面POD,又PD⊂平面POD,所以AB⊥PD

;14.(10分)(2024·常州模拟)如图,直角梯形ABCD与等腰直角三角形ABP所在的平面互相垂直,且AB∥CD,AB⊥BC,AP⊥PB,AB=2,BC=CD=1.(2)求直线PC与平面ABP所成角的余弦值;【解析】(2)PO⊥AB且PO

⊂平面PAB,又因为平面PAB⊥平面ABCD,且平面PAB∩平面ABCD=AB,所以PO⊥平面ABCD,则PO⊥DO,由OA,OD,OP两两垂直,以OD,OA,OP所在直线分别为x,y,z轴的正方向建立空间直角坐标系Oxyz,因为△PAB为等腰直角三角形,且AB=2,BC=CD=1,所以O

A=OB=OD=OP=1,则O(0,0,0),A(0,1,0),B(0,-1,0),C(1,-1,0),D(1,0,0),P(0,0,1),即𝑃𝐶⃗⃗⃗⃗⃗=(1,-1,-1),平面PAB的一个法向量为𝑂𝐷⃗⃗⃗⃗⃗⃗=(1,0,0),设直线PC与平面PA

B所成的角为θ,则sinθ=|cos<𝑃𝐶⃗⃗⃗⃗⃗,𝑂𝐷⃗⃗⃗⃗⃗⃗>|=|𝑃𝐶⃗⃗⃗⃗⃗·𝑂𝐷⃗⃗⃗⃗⃗⃗||𝑃𝐶⃗⃗⃗⃗⃗|·|𝑂𝐷⃗⃗⃗⃗⃗⃗|=√33,即cosθ=√1-sin2𝜃=√63,则所求直线PC与平面ABP所成角的余弦值为√63;1

4.(10分)(2024·常州模拟)如图,直角梯形ABCD与等腰直角三角形ABP所在的平面互相垂直,且AB∥CD,AB⊥BC,AP⊥PB,AB=2,BC=CD=1.(3)线段PA上是否存在点E,使得PC∥平面EBD

?若存在,求出𝐴𝐸𝐴𝑃的值;若不存在,请说明理由.【解析】(3)线段PA上存在点E,且当𝐴𝐸𝐴𝑃=23时,使得PC∥平面EBD,证明如下:由𝑃𝐸⃗⃗⃗⃗⃗=13𝑃𝐴⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗=(0,13,-13

),得E(0,13,23),则𝐸𝐵⃗⃗⃗⃗⃗=(0,-43,-23),𝐵𝐷⃗⃗⃗⃗⃗⃗=(1,1,0),设平面EBD的法向量为n=(x,y,z),则{𝑛·𝐸𝐵⃗⃗⃗⃗⃗=0𝑛·𝐵𝐷⃗⃗⃗⃗⃗⃗=0,即{-43𝑦-23𝑧=0𝑥+𝑦=0

,取y=-1,则x=1,z=2,即n=(1,-1,2),又𝑃𝐶⃗⃗⃗⃗⃗·n=1×1+(-1)×(-1)+(-1)×2=0,所以𝑃𝐶⃗⃗⃗⃗⃗⊥n,又因为PC⊄平面EBD,所以PC∥平面EBD,即点E满足𝐴𝐸𝐴𝑃=23时,有PC∥平面EBD.【素养创新练

】15.(5分)在空间直角坐标系中,点P(x,y,z)满足:x2+y2+z2=16,平面α过点M(1,2,3),且平面α的一个法向量n=(1,1,1),则点P在平面α上所围成的封闭图形的面积等于__________.【解析】因为点P(x,y,z)满足x2+y2+z2=16,所以点P在以原点O为

球心、4为半径的球面上.球与平面α相交围成的封闭图形为圆,设圆心为A,则OA⊥α.因为平面α的一个法向量n=(1,1,1),所以可设A(t,t,t),又因为点M(1,2,3),所以𝐴𝑀⃗⃗⃗⃗⃗⃗=(1-t,2-t,3-t).

因为平面α过点M(1,2,3),所以n⊥𝐴𝑀⃗⃗⃗⃗⃗⃗,所以n·𝐴𝑀⃗⃗⃗⃗⃗⃗=0,所以1-t+2-t+3-t=0,解得t=2,所以|𝑂𝐴⃗⃗⃗⃗⃗|=2√3,所以圆A的半径为√42-(2√

3)2=2,所以圆A的面积为4π.答案:4π