【文档说明】【精准解析】陕西省商洛市2019-2020学年高二下学期期末考试数学（理）试题.doc，共(21)页，1.865 MB，由小赞的店铺上传

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商洛市2019~2020学年度第二学期期末教学质量检测高二数学试卷(理科)一､选择题：本大题共12小题，每小题，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.设集合2{1},4MxxNxx==„，则MN=（）A.(1,2]B.(1,2)C.[

1,2)D.[2,1)−【答案】A【解析】【分析】先利用一元二次不等式的解法化简集合N，再利用交集运算求解.【详解】因为{1},22MxxNxx==−剟，所以(1,2]MN=.故选：A【点睛】本题主要考查集合的基本运算以及一元二次不等式的解法，属于基础题.2.在复平面内，复数(1)i

i+对应的点位于（）A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限【答案】B【解析】【分析】先利用复数的乘法运算进行化简，再利用复数的几何意义选出答案.【详解】由(1)1+=−iii，在复平面内对应的点的坐标为()-1,1，位于第二象限

.故选：B【点睛】本题主要考查复数的乘法运算以及复数的几何意义.属于容易题.3.512xx−的展开式中含3x项的系数是（）A.40B.-40C.80D.-80【答案】C【解析】【分析】利用展开式的通项公式，令x的次幂为3，求得r的值，即可得答案.【详解】512xx−

展开式的通项为()()525155122rrrrrrrTCxCxx−−+=−=−．令253r−=，得4r=，则()443355280TCxx=−=，所以512xx−的展开式中含3x项的系数是80．故选：C【点睛】本题考查二项式定理的应用，考查分析理解，计

算求值的能力，属基础题.4.已知双曲线的方程为22134xy−=，其离心率为（）A.12B.72C.33D.213【答案】D【解析】【分析】根据双曲线方程直接求出a、b、c，即可求出双曲线的离心率；【详解】解：因为双曲线的方程为22134xy−=，所以223,

2,7abcab===+=，离心率72133cea===．故选：D【点睛】本题考查双曲线的简单几何性质，属于基础题.5.已知向量()(),1,2,3amb==−，若(2)abb−⊥，则m=（）A.194−B.194C.23−D.23【答案】B【解析】【分析】求出2ab−

的坐标，然后由向量垂直的坐标表示计算出m．【详解】由题意2(22,5)abm−=−，∵(2)abb−⊥，∴2(22)150m−−=，解得194m=．故选：B．【点睛】本题考查向量垂直的坐标运算，掌握向量数量积的坐标表示是解题关键．6.

设各项均不相等的等比数列na的前n项和是nS，若11S=，33S=，则6S=（）A.21−B.16−C.27D.36【答案】A【解析】【分析】先判断1q，再根据等比数列求和公式求公比，最后再利用等比数列求和公式求结果.【详解

】由已知得，公比1q，所以()111nnaqSq−=−，知()31311aqSq−=−，所以2q=−或1q=（舍去），所以()()6616111221112aqSq−−===−−+．故选：A【点睛】本题考查等比数列求和

公式，考查基本分析求解能力，属基础题.7.高二某班共有45人，学号依次为1、2、3、…、45，现按学号用系统抽样的办法抽取一个容量为5的样本，已知学号为6、24、33的同学在样本中，那么样本中还有两个同学的学号应为（）A.15,43B.15,42C.14,43D.

14,42【答案】B【解析】【分析】根据题意，由系统抽样的方法，可求出抽到的每个同学的学号之间的间隔为：4595=，而已知学号为6、24、33的同学在样本中，即可得分别写出5个同学的学号，即可得出剩余的两个同学的学号.【详解】解：由题可知，该班共

有45人，按学号用系统抽样的办法抽取一个容量为5的样本，则抽到的每个同学的学号之间的间隔为：4595=，而已知学号为6、24、33的同学在样本中，即抽到的第一个学号为6，则第二个学号为：6+9=15，第三个学号为：15+9=24，则第四个学

号为：24+9=33，第五个学号为：33+9=42，所以样本中还有两个同学的学号应为：15，42.故选：B.【点睛】本题考查对系统抽样的理解，属于基础题.8.已知抛物线2:2(0)Eypxp=的焦点为F，点()00,Axy在抛物线E上，若0||2AFy==，则p=（）A.2B.4C.6D.

8【答案】A【解析】【分析】利用抛物线的定义和点()00,Axy在抛物线E上得到关于0,px的方程，联立方程组即可求解.【详解】由抛物线的定义可知，022pAFx=+=，因为点()00,Axy在抛物线2:2(0)Eypxp=上，所以0022ypx==，即02xp=，代入

022px+=，解得2p=．故选：A【点睛】本题考查抛物线的定义及其方程；考查运算求解能力；属于基础题.9.如图，在三棱柱111ABCABC−中，1AA⊥平面ABC，四边形11BCCB为正方形，24BCAB=

=，ABBC⊥，D为11CB的中点，则异面直线11AC与AD所成角的余弦值为（）A.35B.1010C.3010D.255【答案】C【解析】【分析】过点D作11//DFAC交11AB于点F，连接1,AFAD，得到A

DF为异面直线11AC与AD所成的角，在ADF中，利用余弦定理，即可求解.【详解】如图所示，过点D作11//DFAC交11AB于点F，连接1,AFAD，则ADF为异面直线11AC与AD所成的角，由题意，在直角11ABD中，可得2212222AD=+=，在直角

1AAD中，可得()22221142226ADAAAD=+=+=，在直角1BDF中，可得22125DF=+=，在直角1AAF中，可得224117AF=+=，所以2222451730cos2102265ADDFAFADFADDF+−+−===.故选：C.

【点睛】本题主要考查了异面直线所成角的求解，其中解答中熟记异面直线所成的角的概念，准确运算是解答的关键，着重考查推理与计算能力.10.运行如图所示的程序框图，若输出S的值为129，则判断框内可填入的条件是（）A.4?kB.5?kC.6?kD.7?k【答案】C【

解析】【分析】最常用的方法是列举法，即依次执行循环体中的每一步，直到循环终止，但在执行循环体时要明确循环终止的条件是什么，什么时候要终止执行循环体．【详解】0S=，1k=；110121S−=+=，2k=；211225S−=+=，3k=；3153217S−=+=，4k=；41

174249S−=+=，5k=；514952129S−=+=，6k=，此时输出S，即判断框内可填入的条件是“6?k”.故选：C．【点睛】本题考查循环结构程序框图.解决程序框图填充问题的思路(1)要明确程序框图的顺序结构、条件结构和循环结构．(2)要识别

、执行程序框图，理解框图所解决的实际问题．(3)按照题目的要求完成解答并验证．11.已知函数log,1,()(4)2,1axaxfxaxx+=−+„是R上的单调递增函数，则a的取值范围是（）A.(1,4)B.[3,4)C.[2,4)D.(

1,3]【答案】B【解析】【分析】根据函数log,1,()1(4)2,1axaxfxxaxx+==−+„是R上的单调递增函数，则由每一段都是增函数，且1x=左侧函数值不大于右侧函数值求解.【详解】因为

函数log,1,()(4)2,1axaxfxaxx+=−+„是R上的单调递增函数，所以1,40,42,aaaa−−+…解得34a„.故选：B【点睛】本题主要考查分段函数单调性的应用，属于基础题.12.在四棱锥PABCD−中，//BCAD，ADAB⊥，23AB=

，6AD=，4BC=，43PAPBPD===，则三棱锥PBCD−外接球的表面积为（）A.60B.40C.100D.80【答案】D【解析】【分析】作出图形，取AD的两个三等分点1O、E，连接BD、1OC、CE，设1BDOCH=，连接PH、AH，推导出1O为BC

D的外心，计算出1OD、PH、设O为三棱锥PBCD−外接球的球心，连接1OO、OP、OD，过O作OFPH⊥，垂足为F，并设三棱锥PBCD−的外接球半径为R，设1OOx=，通过几何关系列等式求出R的值，利用球体的表面积公式可求得结果.【详解】如图，取AD的

两个三等分点1O、E，连接BD、1OC、CE，设1BDOCH=，连接PH、AH.则1123AOAD==，14ODBC==，又//BCADQ，1//BCOD，所以，四边形1BCDO为平行四边形，1OCBDH=，H为BD的中点，所以，1112362322AHBHDHBD====+=，

由勾股定理可得()2222112234OBAOAB=+=+=，则11OBOD=，在1RtOAB△中，11tan3ABAOBAO==，13AOB=，//BCADQ，13CBO=，又11BCODOB==，则1OBC△为等边三角形，1114OC

OBOD===，则1O是BCD的外接圆的圆心.因为43PAPBPD===，H为BD的中点，PHBD⊥，PAPB=，AHBH=，PHPH=，PAHPBH△△，2PHAPHB==，PHAH⊥

，又PHBD⊥，AHBDH=，PH⊥平面ABCD，且()()222243236PHPAAH=−=−=.设O为三棱锥PBCD−外接球的球心，连接1OO、OP、OD，过O作OFPH⊥，垂足为F，则外接球的半径R满足()2222211146ROOOOOH=+=−

+，设1OOx=，则()221664xx+=−+，解得2x=，从而222420Rx=+=，故三棱锥PBCD−外接球的表面积为2480R=.故选：D.【点睛】本题考查三棱锥外接球表面积的计算，分析几何体的结构特征，并由此找出球心的位置是解题的关键，考查分析问题和解决问题的能力，属于

难题.二､填空题：本大题共4小题，每小题，共20分.把答案填在答题卡中的横线上.13.等差数列na中，59a=，721a=，则101112aaa++=__________．【答案】135【解析】【分析】由59a=，721a=，可求出615a=，从而可得公差6

d=，再由()10111256715aaaaaad++=+++可求得结果【详解】由已知得5762aaa+=，所以615a=，所以公差6d=，所以()10111256715135aaaaaad++=+++=．故答案为：135【点睛】此题考查等差数列的性质的应用，属于基础题14

.函数()3tan23xfx=+的图象的对称中心是_____________.【答案】(),046kkZ−【解析】【分析】直接根据正切函数的对称中心，可得()232kxkZ+=，求出()46kxkZ=−，即可得答案；【详解】令()2

32kxkZ+=，解得()46kxkZ=−，则()fx的图象的对称中心是(),046kkZ−.故答案为：(),046kkZ−.【点睛】本题考查正切型函数的对称中心，考查运算求解能力，属于基础题

.15.已知函数()fx是偶函数．且当0x时，()()23log1fxxx=++，则()2f−=_____________．【答案】5【解析】【分析】求出()2f，结合函数的奇偶性可求出()2f−.【详解】由题意可得()()()2322log2125ff−==++=．故

答案为:5.【点睛】本题考查了函数奇偶性的应用，属于基础题.16.函数2()8lnfxxx=−的最小值为______________．【答案】48ln2−【解析】【分析】先求出82(2)(2)()2xxfxxxx−+=−=，得出单调性，

从而得到最小值.【详解】因为82(2)(2)()2xxfxxxx−+=−=，定义域为(0,)+由()0fx，得2x，()0fx，得02x，所以()fx在(0,2)上单调递减，在(2,)+上单调

递增，故min()(2)48ln2fxf==−．故答案为：48ln2−【点睛】本题考查利用导数研究函数的最值，属于基础题.三､解答题：共70分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤.第17~21题为必考题，每道试题考生都必须作答.第22､23题为选考题，考生根据要求作答.17.在ABC中，角

,,ABC所对的边分别为,,abc．已知cos(2)cosaCbcA=−．（1）求A；（2）若25,22ab==，求ABC的面积．【答案】（1）4A=；（2）6.【解析】【分析】（1）根据正弦定理将边化角，再利用三角函数的恒等

变换求得角A的值；（2）根据题意，利用余弦定理和三角形面积公式求得结果．【详解】解：（1）因为cos(2)cosaCbcA=−，所以sincos(2sinsin)cosACBCA=−，所以sincossinco

s2sincosACCABA+=，所以sin()2sincosACBA+=．因为ABC++=，所以sin()sinACB+=，所以sin2sincosBBA=．因为0B，所以sin0B，所以2cos1A=，所以2cos2A=，则4A=．（2）由余弦定理可得2222cosabcbcA=+

−，因为225,22,cos2abA===，所以22084cc=+−，即24120cc−−=，解得6c=或2c=−（舍去）．故ABC的面积为112sin2266222bcA==．【点睛】本题考查了正弦、余弦定理

的应用问题，也考查了三角恒等变换与面积公式的应用问题，属于中档题．18.在某公司举行的年会中，为了表彰年度优秀员工，该公司特意设置了一个抽奖环节，其规则如下：一个不透明的箱子中装有形状大小相同的两个红色和四个绿色的小球，从箱子中一次取出两个小球，同色奖励，不同色不奖励，每名优秀员工仅有一次抽奖

机会.若取出的两个均为红色，奖励2000元；若两个均为绿色，奖励1000元（1）求优秀员工小张获得2000元的概率；（2）若一对夫妻均为年度优秀员工，求这对夫妻获得的奖励总金额X的分布列和数学期望.【答案】（1）115；（2）分布列见详解，数学期望为32003元.【解析】【分析】（1）

优秀员工小张获得2000元，说明取出的都是红色，简单计算即可.（2）列出X的所有可能取值，并计算相应的概率，然后列出分布列，最后根据数学期望的公式计算即可.【详解】（1）由题可知：优秀员工小张获得2000元的概率为22261=15=

CPC（2）每名优秀员工没有奖励的概率为112426815=CCC，每名优秀员工获得1000元奖励的概率为242625=CCX的所有可能取值为0，1000，2000，3000，4000()88640=1515225==PX，(

)1282321000=15575==PXC()12822522000=1555225115==+PXC()12243000=571155==PXC()111514000=22515==

PX所以X的分布列为X01000200030004000P642253275522254751225数学期望为643252410+1000+2000+3000+40002257522575225=EX所以3200=3EX（元）【点睛】本题考查离散型随机变

量的期望，关键在于审清题意，细心计算，考查阅读理解能力以及分析能力，属基础题.19.如图，在多面体ABCDEF中，平面ABCD⊥平面BCEF，四边形ABCD为矩形，E，F是以BC为直径的半圆圆弧的两个三等分点，4,43B

CCD==.（1）证明：平面ABF⊥平面ACF；（2）求二面角BACF−−的余弦值.【答案】（1）证明见解析；（2）55．【解析】【分析】（1）由已知面面垂直得，AB⊥平面BCEF，因此有线线垂直ABCF⊥，由圆的性质有BFCF⊥，这样就有线

面垂直，从而得面面垂直；（2）过点F作FKBC⊥，垂足为K，以,BCBA为,yz轴，过B平行KF的直线为x轴建立空间直角坐标系，求出各点坐标，求出二面角两个面的法向量，由法向量夹角的余弦得二面角的余弦．注意确定二面角是锐二面角还是钝二面角．【详

解】（1）证明：因为四边形ABCD为矩形，所以ABBC⊥．因为平面ABCD⊥平面BCEF，平面ABCD平面BCEFBC=，所以AB⊥平面BCEF．因为CF平面BCEF，所以ABCF⊥．因为F是以BC为直径的半圆圆弧上的一个三等分点，所以90BFC=，即BFC

F⊥．因为ABBFB=，且ABÌ平面ABF，BF平面ABF，所以CF⊥平面ABF．因为CF平面ACF，所以平面ABF⊥平面ACF．（2）解：因为4BC=，且E，F是以BC为直径的半圆圆弧的两个三等分点，所以2BFEFCE===，23CF=．过点F作

FKBC⊥，垂足为K，则3FK=．222(3)1BK=−=，由（1）AB⊥平面BCEF．以,BCBA为,yz轴，过B平行KF的直线为x轴建立空间直角坐标系，如图，则(0,0,43)A，(0,4,0)C，(3,1,0)F，(0,4,43)AC=−，(3,3,0)CF=−，设平面ACF的

一个法向量为(,,)nxyz=，则4430330nACyznCFxy=−==−=，取1z=，则3y=，1x=，∴(1,3,1)n=，易知平面ABC的一个法向量是(1,0,0)m=，15cos,5131mnmnmn===++，二面角BACF−−是锐

二面角，∴二面角BACF−−的余弦值为55．【点睛】本题考查证明面面垂直，考查求二面角，掌握面面垂直，线面垂直，线线垂直的相互转化是证明垂直的关键．求空间角的常用方法是建立空间直角坐标系，用空间向量法求空间角．20.如图，O为坐标原点，椭圆()2222:10xy

Cabab+=的右顶点和上顶点分别为A，B，3OAOB+=，OAB的面积为1．（1）求C的方程；（2）若M，N是椭圆C上的两点，且//MNAB，记直线BM，AN的斜率分别为1k，()2120kkk，证明：12kk为定值．【答案】（1）2214x

y+=；（2）证明见解析.【解析】【分析】（1）求出,ab后可得C的方程.（2）设直线MN的方程12yxm=−+，设()11,Mxy，()22,Nxy，用此两点的坐标表示12kk，联立直线MN的方程和椭圆的方

程后消去y，利用韦达定理可证12kk为定值.也可以设()00,Mxy，求出MN的方程后再求出N后可证12kk为定值.【详解】（1）解：由题意知，3,11,2abab+==由于0ab，解得2a=，1b=，故C的方程为2214xy+=．（2）证明：由(1)得()2,0A，

()0,1B，直线AB的斜率为12−．（方法一）因为//ABMN，故可设MN的方程为12yxm=−+．设()11,Mxy，()22,Nxy，联立221,21,4yxmxy=−++=消去y，得222220xmxm−+−=，所以122xxm+=，从而212xmx=−．直线BM的斜率111

111112xmykxx−+−−==，直线AN的斜率222221222xmykxx−+==−−，所以()()()211221122121111111112242222xmxmxxmxmxmmkkxxxx−+−+−−−−+−==−−()()()()1212212

1121121111111122142242222xxmxxxmmxxmmmxmmxxxxxx−+++−−+−+−==−−1211211114224xxxxxx−==−．故1214kk=为定值．（方法二）设()00,

Mxy，220014xy+=．因为//MNAB，所以MN的方程为()0012yxxy=−−+，联立()00221,21,4yxxyxy=−−++=消去y，得()20000220xxyxxy−++=，解得0xx=（舍去）或02xy=，所以点N的坐标

为0012,2yx，则0012001112224xykkyx−==−，即12kk为定值14．【点睛】求椭圆的标准方程，关键是基本量的确定，方法有待定系数法、定义法等.直线与圆锥曲线的位置关系中的定点、定值、最值问题，一般可通过联立方程组并消元得到关于x或y的一元二次方

程，再把要求解的目标代数式化为关于两个的交点横坐标或纵坐标的关系式，该关系中含有1212,xxxx+或1212,yyyy+，最后利用韦达定理把关系式转化为若干变量的方程（或函数），从而可求定点、定值、最值问题.21.已知函数()()2exaxfxa=−R.（1）若()fx有三个不同的零点，

求a的取值范围；（2）当3x时，不等式()()e30xfxax++恒成立，求a的取值范围.【答案】（1）240,e；（2）318,e3+−.【解析】【分析】（1）先令()0fx=，分离出常数a，设()2exxhx=，对()hx求

导，分析单调性，找到极值，画出图像，最后观察得出a的取值范围.（2）代入()fx，整理得()2e3xaxxx−+，设()exgxx=−，对()gx求导，分析其在3x上的单调性，得出()0gx恒成立，分离常数a，23exxxax

+−，再设()23exxxmxx+=−，分析单调性，结合3x得出()mx的范围，最后得出a的范围.【详解】解：（1）令()20exxfxa=−=，则2exxa=.设()2exxhx=，则()22exxx

hx−=，令()0hx，得02x；令()0hx，得0x或2x，则()hx在(),0−和()2,+上单调递减，在()0,2上单调递增，故()()00hxh==极小值，()()242ehxh==极大值.结合()hx的图象可知a的取值范围为240,e.（

2）不等式()()e30xfxax++，即()2e30xxaax−++，整理得()2e3xaxxx−+.设()exgxx=−，则()e1xgx=−.因为3x，所以()3e10gx−，所以()()33e30gxg=−，则23exxxax

+−.设()23exxxmxx+=−，则()()()()()()222223ee13eeexxxxxxxxxxmxxx−−+−−++−==−−.因为3x，所以()3e0xx−，()2e10xx−+，所以()0m

x，所以()mx在)3,+上单调递减，所以()()3183e3mxm=−，故318e3a−，即a的取值范围是318,e3+−.【点睛】本题主要考查了函数的零点问题，导数的综合应用及恒成立问题的解法.22.在直角坐标系

xOy中，曲线C的参数方程为3cos5sinxy==，（为参数），直线l的参数方程为112332xtyt=−+=+，（t为参数），以原点O为极点，x轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，点M的极坐标为22,3．（1）求直线l与曲线C的普

通方程；（2）若直线l与曲线C交于P，Q两点，求MPMQ+的值．【答案】（1）直线l的普通方程为3230xy−+=；曲线C的普通方程为22195xy+=；（2）154．【解析】【分析】（1）直线l的参数方程消去参数t可得直线l的普通方程，曲线

C的参数方程变形代入22cossin1+=可得曲线C的普通方程；（2）首先求出点M的直角坐标，判断出点M在直线l上，联立直线l与曲线C的普通方程得到关于t的一元二次方程，根据直线的参数方程的几何意义进行求解.【详解】（1）因为直线l的参数方程为112332xtyt=−+=+（

t为参数），消去参数t可得直线l的普通方程为3230xy−+=．因为曲线C的参数方程为3cos5sinxy==（为参数），由22cossin1+=可得曲线C的普通方程为22195xy+=．

（2）因为点M的极坐标为22,3，所以M的直角坐标为()1,3−，点M的坐标满足直线l的方程3230xy−+=，则点M在直线l上，将直线l的参数方程代入曲线C的普通方程得2822130tt+−=，则121104tt+=−

，121308tt=−，故()21212121544MPMQtttttt+=−=+−=．【点睛】本题考查参数方程与普通方程的相互转化、直线参数方程的几何意义，属于中档题.23.已知函数()2321fxxx=−++．（1）求不等式()9fx

的解集；（2）若对0,1x，不等式()2fxxa+恒成立，求a的取值范围．【答案】（1）522−，；（2）53−，．【解析】【分析】（1）利用零点分界法即可求解.（2）由01x，则()5fx=，将问题转化为25xa+对0

1x，恒成立，去绝对值分离参数即可求解.【详解】解：（1）()41,1323215,12341,2xxfxxxxxx−+−=−++=−−，．()9fx等价于1419xx−−+，或31259x−，或32419xx

−，解得21x−−或312x−或3522x．故不等式()9fx的解集为522−，．（2）因为01x．所以()5fx=，则()2fxxa+对01x，恒成立等价于25xa+

对01x，恒成立，即525xa−+对01x，恒成立，则2525axax−−−+，因为01x，所以53a−≤≤，即a的取值范围为53−，．【点睛】本题考查了绝对值不等式的解法、不等式恒成立求参数的取值范围，属于基础题