【文档说明】高中数学人教A版《选择性必修第一册》全书课件2.2.2.ppt，共(28)页，1.021 MB，由小赞的店铺上传

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2.2.2直线的两点式方程[教材要点]要点一直线的两点式方程1．定义：如图所示，直线l经过点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)(其中x1≠x2，y1≠y2)，则方程________________，叫做直线l的两点式方程，简称两点式．2．说明：与坐标轴________的直线没有两点式方程

．y－y1y2－y1＝x－x1x2－x1垂直状元随笔直线的两点式不能表示与坐标轴垂直的直线，但如果将方程变形为：(x2－x1)(y－y1)＝(y2－y1)(x－x1)，它是两点式的变形，可以表示任何直线，包括与坐

标轴垂直的直线．要点二直线的截距式方程1．定义：如图所示，直线l与两坐标轴的交点分别是P1(a,0)，P2(0，b)(其中a≠0，b≠0)，则方程________，叫做直线l的截距式方程，简称截距式．2．说明：一条直线与x轴的交点(

a,0)的横坐标a叫做直线在x轴上的截距．与坐标轴垂直和过原点的直线均没有截距．xa＋yb＝1状元随笔①由截距式方程可以直接得到直线在x轴与y轴上的截距．②由截距式方程可知，截距式方程只能表示在x轴、y轴上的截距都存

在且不为0的直线，因此，截距式不能表示过原点的直线、与x轴垂直的直线、与y轴垂直的直线．③过原点的直线可以表示为y＝kx；与x轴垂直的直线可以表示为x＝x0；与y轴垂直的直线可以表示为y＝y0.[基础自测]1．判断正误(正确的画“√”，错误的画“×”)(1

)给定两点，A(x1，y1)，B(x2，y2)就可以用两点式写出直线方程．()(2)方程y－y1y2－y1＝x－x1x2－x1和方程(y－y1)(x2－x1)＝(x－x1)(y－y1)的适用范围相同．()(3)截距相等的直线都可以用方程xa＋ya＝1表示．()(4)不经过

原点的直线都可以用xa＋yb＝1表示．()××××2．过点A(3,2)，B(4,3)的直线方程是()A．x＋y＋1＝0B．x＋y－1＝0C．x－y＋1＝0D．x－y－1＝0解析：由直线的两点式方程，得y－23－2＝x－34－3，化简：得x－y－1＝0.故选D.答案：D3．如图，直线l的截距式

方程是xa＋yb＝1，则()A．a＞0，b＞0B．a＞0，b＜0C．a＜0，b＞0D．a＜0，b＜0解析：M(a,0)，N(0，b)，由题图知M在x轴正半轴上，N在y轴负半轴上，所以a＞0，b＜0.故选

B.答案：B4．过两点(－1,1)和(3,9)的直线在x轴上的截距为________．解析：直线方程为y－91－9＝x－3－1－3，化为截距式为x－32＋y3＝1，则在x轴上的截距为－32.答案：－32题型一由两点式求直线方程——自主完成1．(1)若直线l经过点A(2，－1)，B(2,7)，则直线

l的方程为________．解析：(1)由于点A与点B的横坐标相等，所以直线l没有两点式方程，所求的直线方程为x＝2.答案：(1)x＝2(2)若点P(3，m)在过点A(2，－1)，B(－3,4)的直线上，则m＝________.解析：(2)由直线方程的两点式得y－(－1)4－(－1)＝x－2－3－

2，即y＋15＝x－2－5.∴直线AB的方程为y＋1＝－x＋2，∵点P(3，m)在直线AB上，则m＋1＝－3＋2，得m＝－2.答案：(2)－22．在△ABC中，已知点A(5，－2)，B(7,3)，且边AC的中点M在y轴上，边BC的中点N在x轴上．(1)求点C的坐标；(2)求直线M

N的方程．解析：(1)设点C(x，y)，由题意得5＋x2＝0，3＋y2＝0得x＝－5，y＝－3.故所求点C的坐标是(－5，－3)．(2)点M的坐标是(0，－52)，点N的坐标是(1,0)，直线MN的方程是y－0－

52－0＝x－10－1，即5x－2y－5＝0.状元随笔当已知两点坐标，求过这两点的直线方程时，首先要判断是否满足两点式方程的适用条件：两点的连线不垂直于坐标轴．若满足，则考虑用两点式求方程.方法归纳由两点式求直线

方程的步骤1．设出直线所经过点的坐标．2．根据题中的条件，找到有关方程，解出点的坐标．3．由直线的两点式方程写出直线的方程．题型二由截距式求直线方程——师生共研例1求过点(4，－3)且在两坐标轴上截距的绝对值相等的直线l的方程．解析：方法一设直线在x轴、y轴上的截距分别为a，b.①当a≠0

，b≠0时，设l的方程为xa＋yb＝1.∵点(4，－3)在直线上，∴4a＋－3b＝1，若a＝b，则a＝b＝1，直线方程为x＋y＝1.若a＝－b，则a＝7，b＝－7，此时直线的方程为x－y＝7.②当a＝b＝0时，直线过原点，且过点(4，－

3)，∴直线的方程为3x＋4y＝0.综上知，所求直线方程为x＋y－1＝0或x－y－7＝0或3x＋4y＝0.方法二设直线l的方程为y＋3＝k(x－4)，令x＝0，得y＝－4k－3；令y＝0，得x＝4k＋3k.又∵直线在两坐标轴上的截距的绝对值相等，∴|－4k－3|＝4k＋3k，

解得k＝1或k＝－1或k＝－34.∴所求的直线方程为x－y－7＝0或x＋y－1＝0或3x＋4y＝0.方法归纳截距式方程应用的注意事项1．如果问题中涉及直线与坐标轴相交，则可考虑选用截距式直线方程，用待定系数法确定其系数即可．2．选用截距式直线方程时，必须首先考虑

直线能否过原点以及能否与两坐标轴垂直．3．要注意截距式直线方程的逆向应用．跟踪训练1求过点A(5,2)且在x轴上的截距是在y轴上截距的2倍的直线l的方程．解析：由题意知，当直线l在坐标轴上的截距均为零时，直线l的方程为y＝25x；当直线l在坐标轴上的截距不为零时，设l的方程为

x2a＋ya＝1，将点(5,2)代入方程得52a＋2a＝1，解得a＝92，所以直线l的方程为x＋2y－9＝0.综上知，所求直线l的方程为y＝25x，或x＋2y－9＝0.题型三直线方程的灵活运用——师生共研例2已知A(－3,2)，B(5，－4)，C(0，－2)，在△ABC中，(1)求BC边

的方程；(2)求BC边上的中线所在直线的方程．解析：(1)BC边过两点B(5，－4)，C(0，－2)，由两点式，得y－(－4)－2－(－4)＝x－50－5，即2x＋5y＋10＝0，故BC边的方程是2x＋5y＋10＝0(0≤x

≤5)．(2)设BC的中点M(a，b)，则a＝5＋02＝52，b＝－4＋(－2)2＝－3，所以M(52，－3)，又BC边的中线过点A(－3,2)，所以y－2－3－2＝x－(－3)52－(－3)，即10x＋11y＋8＝0，所以

BC边上的中线所在直线的方程为10x＋11y＋8＝0.变式探究1本例中条件不变，试求AB边上的高线所在直线方程．解析：设AB边上的高线所在直线斜率为k，∵kAB＝2－(－4)－3－5＝－34，∴k＝43，又高线过点C(0，－2)，∴由点斜式方程得高线所在直线方程为

y＋2＝43(x－0)，即4x－3y－6＝0.变式探究2本例中条件不变，试求与AB平行的中位线所在直线方程．解析：由探究1知kAB＝－34，即中位线所在直线斜率为－34，由例题知BC的中点为(52，－3)，所以由点斜式方程可

得，中位线所在直线方程为y＋3＝－34(x－52)，即6x＋8y＋9＝0.方法归纳直线方程的选择技巧1．已知一点的坐标，求过该点的直线方程，一般选取点斜式方程，再由其他条件确定直线的斜率．2．若已知直线的斜率，一般选用直线的斜截式，再由其他条件确定

直线的一个点或者截距．3．若已知两点坐标，一般选用直线的两点式方程，若两点是与坐标轴的交点，就用截距式方程．4．不论选用怎样的直线方程，都要注意各自方程的限制条件，对特殊情况下的直线要单独讨论解决．跟踪训练2已知直线l经过点(1,6)和点(8，－8)．(1)求直线l的两点式方程，并化为截距式方

程；(2)求直线l与两坐标轴围成的图形面积．解析：(1)由已知得直线l的两点式方程为y－6－8－6＝x－18－1，所以y－6－14＝x－17，即y－6－2＝x－1，所以y－6＝－2x＋2，即2x＋y＝8.所以x4＋y8＝1.(2)由(1)知直线l在

两坐标轴上的截距分别为4和8，所以围成的面积为12×4×8＝16.易错辨析忽视截距为零引发的错误例3求过点M(3,2)，且在x、y轴上的截距相等的直线方程．解析：当在x、y轴上的截距均为零时，所求直线的方程为：y＝23x.当在x

、y轴上的截距均不为零时，可设直线的方程为xa＋ya＝1，把点M(3,2)代入得：a＝5，故所求的直线方程为x＋y＝5.综上知所求直线的方程为y＝23x或x＋y＝5.【易错警示】易错原因纠错心得忽视了截距为零的情况，

直接由xa＋ya＝1得直线方程产生了漏解.“截距相等”包含两层意思，一是截距不为零时相等，二是截距为零时相等，而后者常被忽视，造成漏解，因此对于此类题目，也要分类讨论.