【文档说明】【精准解析】黑龙江省哈尔滨师范大学附属中学2019-2020学年高一下学期四月月考数学试题.doc，共(18)页，1.287 MB，由小赞的店铺上传

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2020年高一学年下学期四月月考（线上）数学试题（时间：120分钟满分：150分）第Ⅰ卷（选择题共60分）一、选择题（本大题共12个小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1.已知数列

13572n-1，，，，，，则35是这个数列的第（）项A.20B.21C.22D.23【答案】D【解析】由35452n-1==，得2145n−=，即246n=，解得23n=，故选D2.已知(cos,sin)P

，(cos,sin)Q，则||PQ的最大值为（）A.2B.2C.4D.22【答案】B【解析】【分析】由两点的距离公式表示PQ，再运用两角差的余弦公式化简，利用余弦函数的值域求得最值.【详解】∵(cos,sin)P，(cos,sin)Q，∴22||(coscos)(sinsi

n)PQ=−+−2222coscos2coscossinsin2sinsin=+−++−()()()2222cossincossin2coscossinsin=+++−+22cos()=−−.∵cos()[1,1]−−，

∴||[0,2]PQ.故选B.【点睛】本题综合考查两点的距离公式、同角三角函数的平方关系、两角差的余弦公式和余弦的值域，属于中档题.3.在等差数列na中，2100aa+=，684aa+=−，则其公差为（）A.2B.1C.1−D.2−【答案】D【解

析】【分析】等差数列{}na中，根据下标和性质解得：6a、7a，即可得出公差．【详解】解：在等差数列na中，210620aaa+==，60a=，又68724aaa+==−，72a=−，公差为762daa=

−=−.故选：D.【点睛】本题考查了等差数列的通项公式及性质，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．4.若ABC是边长为1的等边三角形，向量ABc=，BCa=，CAb=，有下列命题：①ab=；②ab+与ab−垂直；③0abc++=；④abc+=.其中正确命题的个数是（）A.0个B.1个

C.2个D.3个【答案】D【解析】【分析】根据向量模长可判断命题①的正误；计算ab+与ab−的数量积，可判断命题②的正误；利用平面向量加法法则可判断命题③④的正误.【详解】1ab==rrQ，命题①正确；()()22220abababab+−=−=−=，命题②正确；0abcBCCAAB++=

++=，命题③正确；abBCCABAc+=+==−，命题④错误.因此，正确命题的个数为3.故选：D.【点睛】本题考查与平面向量相关命题真假的判断，涉及平面向量加法法则、垂直向量的表示以及向量模的概念，考查推理能力，属于中等题.5.下图是某省从1月21日至2月24日的新冠肺炎每日新增确诊病例变化曲

线图.若该省从1月21日至2月24日的新冠肺炎每日新增确诊人数按日期顺序排列构成数列na，na的前n项和为nS，则下列说法中正确的是（）A.数列na是递增数列B.数列nS是递增数列C.数列na的最大项是11aD.数列nS

的最大项是11S【答案】C【解析】【分析】根据数列的性质及每日新增确诊病例变化曲线图中的数据对各个选项进行判断，可得答案.【详解】因为1月28日新增确诊人数小于1月27日新增确诊人数，即78aa，所以na不是

递增数列，所以选项A错误;因为2月23日新增确诊病例数为0，所以3334=SS，所以数列nS不是递增数列，所以选项B错误;因为1月31日新增病例数最多，从1月21日算起，1月31日是第11天，所以数列na的最大项是11a，所以选项C正确;数列nS的最大项是最

后项，所以选项D错误，故选：C.【点睛】本题主要考查折线图与数列的性质、数列前n项的和等知识，注意灵活分析图中数据进行判断.6.在平行四边形ABCD中，设ABa=，ADb=，12BEBC=，13AFAC=

，则EF=（）A.2136ab−−B.2136ab−+C.1136ab−−D.1136ab−+【答案】A【解析】【分析】由向量加法有EFEBBAAF=++,再根据()1133AFAC=ABAD=+,结合条件可得答案.【详解】在平行四边形ABCD中,1

=132EFEBBAAFBCACBA=++−−+()=3121BCAABADB−++−111233ADABABAD=−−++21213636ABADab=−−=−−故选：A.【点睛】本题考查向量的加法法则和平面向量的

基本定理，属于中档题.7.已知等差数列na的前11项之和为114，则()468tanaaa++等于（）A.33B.3C.1−D.1【答案】C【解析】【分析】根据等差数列性质结合前11项之和为114，求出64a=，4

686334aaaa++==，即可求解.【详解】根据等差数列()11111111124aaS+==即111622aaa+==，所以64a=，又因为4686334aaaa++==，所以()6783tantan14aaa++=

=−，故选：C.【点睛】此题考查根据等差数列性质求数列的项，进行基本计算，属于基础题目.8.在ΔABC中，若2ABABACBABCCACB=++，则ΔABC是（）A.等边三角形B.锐角三角形C.直角三角形D.

钝角三角形【答案】C【解析】此题考查向量的数量积的计算、余弦定理的应用．由已知得22222222222222coscoscos222bcaacbbaccbcAacBabCcbac+−+−+−=++=+++=，所以是直角三角形，选C9.在等差数列na中，12018a=−，其前n项和为

nS，若151051510SS−=，则2020S=（）A.0B.2018C.2019−D.2020【答案】D【解析】【分析】根据等差数列前n项和性质可知nSn为等差数列，进而求得等差数列的公差，即可由等差数列的前n项和公式求解.【详解】设等差数列na的

公差为d，由等差数列的性质可得112nSnadn−=+为等差数列，nSn的公差为2d.151051510SS−=，552d=，解得2d=.则()20202020201920202018220202S=−+=.故选：D.【点睛】本题考查了等差数列前n项和公式的简单应用，

属于基础题.10.已知数列na满足：114a=−，111nnaa+=−，则2015a=（）A.45B.5C.14−D.15【答案】B【解析】【分析】计算出数列前4项后即可得出数列na为周期为3的周期数列，

则20152aa=，即可得解.【详解】数列na满足：114a=−，111nnaa+=−，211514a=−=−，314155a=−=，4111445a=−=−，数列na是周期为3的周期数列，又201536712=+，201

525aa==.故选：B.【点睛】本题考查了数列递推公式的应用和数列周期的应用，属于基础题.11.设等比数列{an}的前n项和为Sn．若S2=3，S4=15，则S6=（）A.31B.32C.63D.64【答案】C【解析】试题分析：由等比数列的性质可得S2，S4﹣S2，S6﹣S4成等比

数列，代入数据计算可得．解：S2=a1+a2，S4﹣S2=a3+a4=（a1+a2）q2，S6﹣S4=a5+a6=（a1+a2）q4，所以S2，S4﹣S2，S6﹣S4成等比数列，即3，12，S6﹣15成等比数列，可得122=3（S

6﹣15），解得S6=63故选C考点：等比数列的前n项和．12.如图，矩形ABCD中边AD的长为1，AB边的长为2，矩形ABCD位于第一象限，且顶点,AD分别位于x轴、y轴的正半轴上（含原点）滑动，则·OBOC的最大值为（）A.5B.6C.7D.8【答

案】B【解析】【分析】设()(),0,,0AaBb，BAx=，利用1AD=得出a，b之间的关系，用a，b，θ表示出B，C的坐标，代入数量积公式运算得出关于θ的三角函数，利用三角函数的性质求出最大值.【详解】如图，设()(),0,,0AaBb，BA

x=则()()2cos,2sin,2cos,2sinBaCb++因为1AD=所以221ab+=则()()2cos2cos2sin2sinOBOCab=+++42cos2sinab=++()

22444sinab=+++()42sin=++所以OBOC的最大值为426+=所以选B【点睛】本题考查了平面向量的数量积运算，通过建立坐标系求解是常用方法，属于难题．第Ⅱ卷（非选择题共90分）二、填空题（本大题共4个小题，每小题5分，共20分，请把正

确答案填在题中横线上）13.已知向量()()1,1,2,2mn=+=+，若()()mnmn+⊥−，则=_________.【答案】3−【解析】试题分析：因为()()mnmn+⊥−，所以()()220mnmnmn+−=−=，22mn=，即2

22(1)1(2)2++=++，解得3=−．考点：向量垂直的性质，考查学生的基本运算能力．14.等差数列na中，12810aaa++=，141550aa+=，则此数列的前15项之和是________【答案】180【解析】【分析】将已知两等式相加，由等差数列的性质可得812a=

，由等差数列前n项和公式即可得结果.【详解】由12810aaa++=，141550aa+=得12814156+0aaaaa+++=，即8560a=，解得812a=，所以11515815151802aaSa+===，故答案为1

80.【点睛】本题主要考查了等差数列的性质，等差数列的前n项和公式，求出8a是解题的关键，属于中档题.15.将以下正确命题的序号填写在横线上___________.①若(,2)a=，(3,1)b=−，且a与b夹角为锐角，则2,3−

；②点O是三角形ABC所在平面内一点，且满足OAOBOBOCOCOA==，则点O是三角形ABC的重心；③若ΔABC中，0ABBC＞，则ΔABC是钝角三角形；④若sinsinsin0APABPBCPC++=，则点P为ABC的内心.

【答案】③④【解析】【分析】①根据向量夹角与数量积之间的关系即可判断；②根据三角形重心性质即可判断；③根据向量夹角与数量积之间的关系即可判断；④根据三角形内心性质即可判断．【详解】①若a与b夹角为锐角，则0ab且a与b不共线，即32060−+

+，即23且6−，故①不正确；②由OAOBOBOC=得，()0OBOAOCOBCA−==即OBCA⊥，同理可得，,OABCOCAB⊥⊥，所以点O是三角形ABC的垂心，故②不正确；③0ABBC＞即()cos0ABBCABBCB=−，所以cos0B

，即角B为钝角，所以ΔABC是钝角三角形，正确；④因为sinsinsin0APABPBCPC++=，所以0aPAbPBcPC++=，如图所示，在ABC中，延长CP交AB于D，设PCkPD=，DADB=，由,PAPDD

APBPDDB=+=+，所以有()()0aPDDAbPDDBcPC++++=，即()()0abckPDabDB++++=，因为,PDDB不共线，所以0ab+=，即ba=−，因此DAbaDB=，由角平分线定理的逆定理可知，CP为ACB的平分线，同理可知，BP为ABC的平分线，故点

P为ABC的内心，正确．故答案为：③④．【点睛】本题主要考查向量夹角与数量积之间的关系运用，以及三角形重心、内心的判断，属于中档题．16.已知数列{}na的各项都是正数，其前n项和nS满足12nnnSaa=+，

*nN，则数列{}na的通项公式为_______．【答案】1=−−nann【解析】【分析】先由递推公式求出11a=，再由2n时，11112nnnnnnnSaSSaSS−−=+=−+−整理，求出nS，进而可求出结果.【详解】因

为数列na的各项都是正数，其前n项和nS满足12nnnSaa=+，*nN，所以当1n=时，1111122Saaa=+=，11a=；当2n时，11112nnnnnnnSaSSaSS−−=+=−+−，即111nnnn

SSSS−−+=−，即2211nnSS−−=，所以数列2nS是等差数列，又211S=，因此2nSn=，nSn=，因此()11n2nnnaSSnn−=−=−−，,又11a=也满足1nann=−−，所以1nann=−−，*nN.

故答案为1nann=−−【点睛】本题主要考查由递推公式求数列的通项公式，灵活处理递推公式即可，属于常考题型.三、解答题（本大题共6个小题，共70分，解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）17.已知数列na满足()*11nnaanN+−=，且33a=.求：（1）na的

通项公式；（2）na前100项的和100S.【答案】（1）()nannN=；（2）1005050S=.【解析】【分析】（1）易得数列na是以公差1d=的等差数列，结合3a求出首项即可得其通项公式；（2）直接根据等差数列前n项和公式即可得结果.【详解】（1）∵()

*11nnaanN+−=，∴数列na是以公差1d=的等差数列，又∵33a=，∴1321aad=−=，故数列na的通项公式为()nannN=.（2）由等差数列前n项和公式可得100110010050502

S+==.【点睛】本题主要考查了等差数列通项公式的求法，等差数列前n项和的计算，属于基础题.18.已知正项数列na的前n项和为nS，若数列13logna是公差为1−的等差数列，且22a+是13,aa等差

中项.（1）证明数列na等比数列；（2）求数列na的通项公式.【答案】（1）证明见解析（2）13−=nna【解析】【分析】（1）根据题意得到11133loglog1nnaa+−=−，即13nnaa+=，得到证明.（2）根据等差中项得到11a=，得到通项公式.【详解】（1）因为数列13lo

gna是公差为1−的等差数列，所以11133loglog1nnaa+−=−，故113log1nnaa+=−，所以13nnaa+=，所以数列na是公比为3的等比数列.（2）因为22a+是13,aa的等差中项，所以()21322aaa+=+，所以()111

2329aaa+=+，解得11a=，数列na的通项公式为-13nna=.【点睛】本题考查了等比数列的证明，通项公式，意在考查学生对于数列公式方法的综合应用.19.已知向量2,3,326abab==−=.（1）求向量

a，b的夹角θ；（2）求()()22abab+−的值.【答案】（1）60=；（2）1−【解析】【分析】（1）根据题意，将326ab−=平方，利用向量的数量积定义，代入2,3ab==，计算求解即可.（2）由（1）向量夹角θ的值，可得3ab=，根据向

量数量积运算定律，求解即可.【详解】（1）因为326ab−=，所以()22232912436abaabb−=−+=，所以361223cos3636−+=，解得1cos2=，又因为0,，所以60=.（2）由（1）可得

1cos2332abab===，所以()()2222232ababaabb+−=+−222233231=+−=−.【点睛】本题考查了利用向量的数量积求向量的夹角、向量数量积的运算，属于基础题.2

0.已知向量//mn，且1sin,,(3,sin3cos)2mAnAA==+，其中A是ABC的内角．（1）求角A的大小（2）若2BC=，求ABC面积S的最大值．【答案】（1）3A=；（2）3.【解析】【分析】（1）由已知结

合向量平行的坐标表示及二倍角公式，辅助角公式进行化简可求；（2）由余弦定理可求bc的范围，然后结合三角形的面积公式即可求解.【详解】（1）因为//mn，所以3sin(sin3cos)02AAA+−=，所以23sin3sincos02AA

A+−=，所以1cos233sin20222AA−+−=，即sin216A−=，0A，则112666A−−，262A−=，3A=；（2）由余弦定理可得，22242cos2abcbcAbcbcbc==+−−=，当且仅当bc=

时取等号，所以4bc，所以13sin324ABCSbcAbc==△，即ABC面积S的最大值3.【点睛】本题以向量平行的坐标表示为载体，主要考查了二倍角公式，辅助角公式及余弦定理，三角形的面积公式在求解三角形中的应用，是中档题.21.已知数列{an}和{bn}满足a1=1，b1=0，

1434nnnaab+−=+，1434nnnbba+−=−.（1）证明：{an+bn}是等比数列，{an–bn}是等差数列；（2）求{an}和{bn}的通项公式.【答案】（1）见解析；（2）1122nnan=+-，1122nnb

n=-+．【解析】【分析】(1)可通过题意中的1434nnnaab+−=+以及1434nnnbba+−=−对两式进行相加和相减即可推导出数列nnab+是等比数列以及数列nnab−是等差数列；(2)可通过

(1)中的结果推导出数列nnab+以及数列nnab−的通项公式，然后利用数列nnab+以及数列nnab−的通项公式即可得出结果．【详解】(1)由题意可知1434nnnaab+−=+，1434nnnbba+−=−，111ab+=，111ab−=，所以1144323442

nnnnnnnnababbaab++=+=--+++-，即()1112nnnnabab++++=，所以数列nnab+是首项为1、公比为12的等比数列，()112nnnab-+=，因为()11443434448nnnnnnnnababb

aab++---=+-=-+-，所以112nnnnabab++=-+-，数列nnab−是首项1、公差为2的等差数列，21nnabn-=-．(2)由(1)可知，()112nnnab-+=，21nnabn-=-，所以

()111222nnnnnnaababn=++-=+-，()111222nnnnnnbababn轾=+--=-+臌．【点睛】本题考查了数列的相关性质，主要考查了等差数列以及等比数列的相关证明，证明数列是等差数列或者等比数列一定要结合

等差数列或者等比数列的定义，考查推理能力，考查化归与转化思想，是中档题．22.已知数列na中，已知11a=，()212,nnnaaakaa++==+对任意*nN都成立，数列na的前n项和为n

S．（1）若na是等差数列，求k的值；（2）若1a=，12k=−，求nS；（3）是否存在实数k，使数列na是公比不为1的等比数列，且任意相邻三项ma，1ma+，2ma+按某顺序排列后成等差数列？若存在，求出所有k的值；若不存在，请说明理由．【答案】（1）12k=（2）2,21,2n

nnkSnnk−=−==，()*kN（3）存在实数k满足题意，25k=−【解析】【分析】（1）由等差数列可得121nnnnaaaa+++−=−,即122nnnaaa++=+,进而得到k；（2）将12k=−代回可得()1212nnnaaa++=−+,进而得到()322

11nnnnnnaaaaaa++++++=−+=+,然后分n为奇数与偶数求得nS即可；（3）由等比数列可得()1qaa=,分别令1ma+,ma,2ma+为等差中项求得a,进而求出k即可【详解】解：（1）若na是等差数列,则对任意*nN,121n

nnnaaaa+++−=−,即122nnnaaa++=+,所以()1212nnnaaa++=+,故12k=（2）当12k=−时,()1212nnnaaa++=−+,即122nnnaaa++=−−,所以()211nnn

naaaa++++=−+,故()32211nnnnnnaaaaaa++++++=−+=+,所以,当n是偶数时,()()()()1234112341122nnnnnnSaaaaaaaaaaaaaan−−=++++++=+

+++++=+=,当n是奇数时,()23212aaaa+=−+=−,()()()12341123451nnnnnSaaaaaaaaaaaaa−−=++++++=+++++++11(2)22nn−=+−=−

,综上,2,21,2nnnkSnnk−=−==,()*kN（3）存在,25k=−,设na是等比数列,则公比21aqaa==,由题意1a,所以1mmaa−=,1mmaa+=,12mmaa++=,①若1ma+为等差中项,则122mmmaaa++=+,即112mmmaaa−+=+,即

221aa=+,解得1a=,不符合题意；②若ma为等差中项,则122mmmaaa++=+,即112mmmaaa−+=+,即22aa=+,解得2a=−或1a=（舍）,所以11122215mmmmmmaaakaaaaa+−++=

===−+++；③若2ma+为等差中项,则122mmmaaa++=+,即112mmmaaa+−=+,即221aa=+，解得12a=−或1a=（舍）,所以11122215mmmmmmaaakaaaaa+−++====−+++

；综上,存在实数k满足题意,25k=−【点睛】本题考查等差数列的定义,考查等差中项的应用,考查求数列的前n项和,考查运算能力和分类讨论思想