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第三章圆锥曲线的方程3.1椭圆3.1.1椭圆及其标准方程A级必备知识基础练1.(多选题)已知在平面直角坐标系中,点A(-3,0),B(3,0),点P为一动点,且|PA|+|PB|=2a(a≥0),下列说法中正确的是()A.当a

=2时,点P的轨迹不存在B.当a=4时,点P的轨迹是椭圆,且焦距为3C.当a=4时,点P的轨迹是椭圆,且焦距为6D.当a=3时,点P的轨迹是以AB为直径的圆2.焦点在坐标轴上,且过两点(4,0),(0,2)的椭圆的标准方程为()A.𝑥24+𝑦22=1B.𝑦24+𝑥22=1C.𝑦2

16+𝑥24=1D.𝑥216+𝑦24=13.以两条坐标轴为对称轴的椭圆过点P35,-4和Q-45,3,则此椭圆的标准方程是()A.𝑦225+x2=1B.𝑥225+y2=1C.𝑥225+y2=1或𝑦225+x2=

1D.以上都不对4.已知F1,F2分别为椭圆𝑥225+𝑦29=1的左、右焦点,倾斜角为60°的直线l过点F1,且与椭圆交于A,B两点,则△AF2B的周长为()A.10B.12C.16D.205.(

多选题)椭圆𝑥2𝑚+𝑦28=1的焦距为4,则m的值可以是()A.12B.10C.6D.46.P是椭圆𝑥216+𝑦29=1上一点,F1,F2分别是椭圆的左、右焦点,若|PF1|·|PF2|=12,则∠F1PF2的大小为()A.60°B.30°C.120°D.150°7.过点(√3,

-√5),且与椭圆𝑦225+𝑥29=1有相同的焦点的椭圆的标准方程为.8.已知椭圆C:𝑥29+𝑦24=1,点M与C的焦点不重合.若点M关于C的焦点F1,F2的对称点分别为A,B,线段MN的中点在C上,则|AN|+|BN|=.9.求适合下列条件的椭圆的标准方程

:(1)两个焦点分别为(0,-2),(0,2),经过点(4,3√2);(2)经过两点(2,-√2),(-1,√142).B级关键能力提升练10.椭圆𝑥212+𝑦23=1的一个焦点为F1,点P在椭圆上,如果线段PF1的中点M在y轴上,那么点M的纵坐标为()A.±34B.±√22C.±√3

2D.±√3411.已知△ABC的两个顶点分别为A(-4,0),B(4,0),△ABC的周长为18,则点C的轨迹方程为()A.𝑥225+𝑦29=1(y≠0)B.𝑦225+𝑥29=1(y≠0)C.𝑥216+𝑦29=1(y≠0

)D.𝑦216+𝑥29=1(y≠0)12.如图,已知F(-5,0)为椭圆C的左焦点,P为椭圆C上一点,满足|OP|=|OF|且|PF|=6,则椭圆C的方程为()A.𝑥236+𝑦216=1B.𝑥240+𝑦21

5=1C.𝑥249+𝑦224=1D.𝑥245+𝑦220=113.已知椭圆E:𝑥2𝑎2+𝑦2𝑏2=1(a>b>0)的右焦点为F(3,0),过点F的直线交E于A,B两点.若AB的中点坐标为(1,-

1),则该椭圆的方程为()A.𝑥245+𝑦236=1B.𝑥236+𝑦227=1C.𝑥227+𝑦218=1D.𝑥218+𝑦29=114.已知椭圆𝑥29+𝑦22=1的焦点为F1,F2,点P在椭圆上.若|PF1|=4,则|PF2|=,∠F1PF2的大小为.15.已知F

1,F2是椭圆C:𝑥2𝑎2+𝑦2𝑏2=1(a>b>0)的两个焦点,P为椭圆C上一点,且𝑃𝐹1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⊥𝑃𝐹2⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗.若△PF1F2的面积为9,则b=.16.动圆C与定圆C1:(x

+3)2+y2=32内切,与定圆C2:(x-3)2+y2=8外切,点A的坐标为0,92.(1)求动圆C的圆心C的轨迹方程E;(2)若轨迹E上的两点P,Q满足𝐴𝑃⃗⃗⃗⃗⃗=5𝐴𝑄⃗⃗⃗⃗⃗,求|PQ|的

值.C级学科素养创新练17.设P是椭圆𝑥225+𝑦29=1上一点,M,N分别是圆A:(x+4)2+y2=1和圆B:(x-4)2+y2=1上的点,则|PM|+|PN|的最小值、最大值分别为()A.9

,12B.8,11C.8,12D.10,1218.在平面直角坐标系xOy中,已知△ABC的顶点A(-3,0)和C(3,0),顶点B在椭圆𝑥225+𝑦216=1上,则sin𝐴+sin𝐶2sin𝐵=.3.1.1椭圆

及其标准方程1.AC当a=2时,2a=4<|AB|,故点P的轨迹不存在,A正确;当a=4时,2a=8>|AB|,故点P的轨迹是椭圆,且焦距为|AB|=6,B错误,C正确;当a=3时,2a=6=|AB|,故点P的轨迹为线段AB,D错误.2.D(方法

1)验证排除,将点(4,0)代入验证可排除A,B,C,故选D.(方法2)设椭圆方程为mx2+ny2=1(m>0,n>0,m≠n),则{16𝑚=1,4𝑛=1,解得{𝑚=116,𝑛=14,故选D.3.A设椭圆方程为mx2+ny2=1(m>0,

n>0,m≠n),则{925𝑚+16𝑛=1,1625𝑚+9𝑛=1,解得{𝑚=1,𝑛=125,∴椭圆的标准方程为𝑦225+x2=1.故选A.4.D由椭圆𝑥225+𝑦29=1可得a=5,△AF2B的周长=|AF2|+|BF2|+|AB|,|AB|=|AF

1|+|BF1|,所以△AF2B的周长=|AF1|+|AF2|+|BF1|+|BF2|,由椭圆的定义知,|AF1|+|AF2|=|BF1|+|BF2|=2a=10,所以△AF2B的周长=4a=20.故选D.5.AD因为椭圆的焦距为2c=4,则c=2,当焦点在

x轴上时,有m=8+22=12,解得m=12;当焦点在y轴上时,有8=m+22,解得m=4.故m=4或12.6.A由椭圆的定义得|PF1|+|PF2|=8,|F1F2|=2√7,∴(|PF1|+|PF2|)2=64.∵|

PF1|·|PF2|=12,∴|PF1|2+|PF2|2=40,在△F1PF2中,cos∠F1PF2=40-282×12=12,∵0°<∠F1PF2<180°,∴∠F1PF2=60°.7.𝑦220+𝑥24=1椭圆𝑦225+𝑥29=1的焦点

为(0,±4),设椭圆方程为𝑦2𝑎2+𝑥2𝑏2=1(a>b>0),则有a2-b2=16,①再代入点(√3,-√5),得5𝑎2+3𝑏2=1,②由①②解得a2=20,b2=4.则所求椭圆方程为𝑦220+𝑥24=1.8.12如图,取MN的中点G,G在椭圆

C上,因为点M关于C的焦点F1,F2的对称点分别为A,B,故有|GF1|=12|AN|,|GF2|=12|BN|,所以|AN|+|BN|=2(|GF1|+|GF2|)=4a=12.9.解(1)(方法1)因为椭圆的焦点在y轴上,所以可设它的标准方程为𝑦2𝑎

2+𝑥2𝑏2=1(a>b>0).由椭圆的定义知2a=√(4-0)2+(3√2+2)2+√(4-0)2+(3√2-2)2=12,所以a=6.又c=2,所以b=√𝑎2-𝑐2=4√2.所以椭圆的标准方程为𝑦236+

𝑥232=1.(方法2)因为椭圆的焦点在y轴上,所以可设其标准方程为𝑦2𝑎2+𝑥2𝑏2=1(a>b>0).由题意得{18𝑎2+16𝑏2=1,𝑎2=𝑏2+4,解得{𝑎2=36,𝑏2=32.所以椭圆的标准方程为𝑦236

+𝑥232=1.(2)(方法1)若椭圆的焦点在x轴上,设椭圆的标准方程为𝑥2𝑎2+𝑦2𝑏2=1(a>b>0).由已知条件得{4𝑎2+2𝑏2=1,1𝑎2+144𝑏2=1,解得{1𝑎2=18,1𝑏2

=14.所以所求椭圆的标准方程为𝑥28+𝑦24=1.同理可得,焦点在y轴上的椭圆不存在.综上,所求椭圆的标准方程为𝑥28+𝑦24=1.(方法2)设椭圆的一般方程为Ax2+By2=1(A>0,B>0,A≠B).将两点(2,-√2),(

-1,√142)代入,得{4𝐴+2𝐵=1,𝐴+144𝐵=1,解得{𝐴=18,𝐵=14,所以所求椭圆的标准方程为𝑥28+𝑦24=1.10.D∵线段PF1的中点M在y轴上且O是线段F1F2的中点(F2为椭圆

的另一个焦点),∴PF2⊥x轴,∴点P的横坐标是±3,∵点P在椭圆上,∴3212+𝑦23=1,即y2=34,∴y=±√32.∴点M的纵坐标为±√34.11.A依题意得|CA|+|CB|=10>8,∴点C的轨迹是以A,B为

焦点的椭圆,设其标准方程为𝑥2𝑎2+𝑦2𝑏2=1(a>b>0),则a=5,c=4,从而b2=9.又A,B,C三点不共线,∴点C不在x轴上,∴点C的轨迹方程为𝑥225+𝑦29=1(y≠0).故选A.12.C由题意可得c=5,设右焦点为F',连接PF',由|OP|=

|OF|=|OF'|知,∠PFF'=∠FPO,∠OF'P=∠OPF',∴∠PFF'+∠OF'P=∠FPO+∠OPF',∴∠FPO+∠OPF'=90°,即PF⊥PF',在Rt△PFF'中,由勾股定理,得|PF'|=√|𝐹𝐹'

|2-|𝑃𝐹|2=√102-62=8,由椭圆的定义,得|PF|+|PF'|=2a=6+8=14,从而a=7,a2=49,于是b2=a2-c2=49-52=24,∴椭圆C的方程为𝑥249+𝑦224=1.13.D设A(x1,y1),B(x2,y2),∵A,B在椭圆上,∴{�

�12𝑎2+𝑦12𝑏2=1,①𝑥22𝑎2+𝑦22𝑏2=1.②①-②,得(𝑥1+𝑥2)(𝑥1-𝑥2)𝑎2+(𝑦1+𝑦2)(𝑦1-𝑦2)𝑏2=0,即𝑏2𝑎2=-(𝑦1+𝑦2)(𝑦1-𝑦

2)(𝑥1+𝑥2)(𝑥1-𝑥2).∵AB的中点为(1,-1),∴y1+y2=-2,x1+x2=2.而𝑦1-𝑦2𝑥1-𝑥2=kAB=0-(-1)3-1=12,∴𝑏2𝑎2=12.又a2-b2=9,∴a2=18,b2=9.∴椭圆E的方程为𝑥218+�

�29=1.故选D.14.2120°由|PF1|+|PF2|=6,且|PF1|=4,知|PF2|=2.在△PF1F2中,cos∠F1PF2=|𝑃𝐹1|2+|𝑃𝐹2|2-|𝐹1𝐹2|22|𝑃

𝐹1||𝑃𝐹2|=-12.故∠F1PF2=120°.15.3由题意得,|PF1|+|PF2|=2a,|PF1|2+|PF2|2=4c2,12|PF1||PF2|=9,∴(|PF1|+|PF2|)2=4c

2+2|PF1||PF2|=4a2,∴36=4(a2-c2)=4b2,∴b=3.16.解(1)如图,设动圆C的半径为R.由题意得,定圆C1的半径为4√2,定圆C2的半径为2√2,则|CC1|=4√2-R,①|CC2|=2√2+R,②①+②,得|CC1|+|CC2|=6√2>6=|

C1C2|.{(𝑥+3)2+𝑦2=32,(𝑥-3)2+𝑦2=8,解得x=2,由椭圆的定义知点C的轨迹是以C1,C2为焦点,2a为6√2的椭圆的一部分(在C1的内部),其轨迹方程为𝑥218+𝑦29=1(x<2).(2)设P(x1,y1),Q

(x2,y2),则𝐴𝑃⃗⃗⃗⃗⃗=x1,y1-92,𝐴𝑄⃗⃗⃗⃗⃗=x2,y2-92.由𝐴𝑃⃗⃗⃗⃗⃗=5𝐴𝑄⃗⃗⃗⃗⃗可得,x1,y1-92=5x2,y2-92,所以x1=5x2,y1=5y2-92×5+92=5y2-18,由P,Q是轨迹E上的两点,得{𝑥22

18+𝑦229=1(𝑥2<2),25𝑥2218+(5𝑦2-18)29=1(𝑥2<2),解得{𝑥2=0,𝑦2=3,所以x1=0,y1=-3.所以P(0,-3),Q(0,3),|PQ|=6.17.C如图,由椭圆及圆的方程可知

两圆圆心分别为椭圆的两个焦点,由椭圆的定义知|PA|+|PB|=2a=10,连接PA,PB,分别与左、右两圆相交于M,N两点,此时|PM|+|PN|最小,最小值为|PA|+|PB|-2r=8.延长PA,PB,分别与左、右两圆相交于M',N'两点,此时|PM'|+|PN'|最

大,最大值为|PA|+|PB|+2r=12,即最小值和最大值分别为8,12.18.56由椭圆的方程得a=5,b=4,c=3.∵△ABC的顶点A(-3,0)和C(3,0),顶点B在椭圆𝑥225+𝑦216=1上,∴|BC|+|AB|

=2a=10,