【文档说明】高二数学专题手册 专题04 直线的两点式方程【高考】.docx，共(10)页，296.690 KB，由小赞的店铺上传

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1专题04直线的两点式方程要点一直线的两点式方程1．定义：如图所示，直线l经过点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)(其中x1≠x2，y1≠y2)，则方程___y－y1y2－y1＝x－x1x2－x1__，叫做直线l的两点式方程，简称两点式．2．说明：与坐标轴垂

直_的直线没有两点式方程．【方法技巧】直线的两点式不能表示与坐标轴垂直的直线，但如果将方程变形为：(x2－x1)(y－y1)＝(y2－y1)(x－x1)，它是两点式的变形，可以表示任何直线，包括与坐标轴垂直的直线．要点二直线的截距式方程1．定义：

如图所示，直线l与两坐标轴的交点分别是P1(a,0)，P2(0，b)(其中a≠0，b≠0)，则方程xa＋yb＝1，叫做直线l的截距式方程，简称截距式．2．说明：一条直线与x轴的交点(a,0)的横坐标a叫做直线在x轴上的截距．与坐标轴垂直和过原点的直线均没

有截距．【方法技巧】①由截距式方程可以直接得到直线在x轴与y轴上的截距．②由截距式方程可知，截距式方程只能表示在x轴、y轴上的截距都存在且不为0的直线，2因此，截距式不能表示过原点的直线、与x轴垂直的直线、与y轴垂直的直线．③过原点的直线可以表

示为y＝kx；与x轴垂直的直线可以表示为x＝x0；与y轴垂直的直线可以表示为y＝y0.【基础自测】1．判断正误(正确的画“√”，错误的画“×”)(1)给定两点，A(x1，y1)，B(x2，y2)就可以用两

点式写出直线方程．()(2)方程y－y1y2－y1＝x－x1x2－x1和方程(y－y1)(x2－x1)＝(x－x1)(y－y1)的适用范围相同．()(3)截距相等的直线都可以用方程xa＋ya＝1表示．()(4)不经过原点的直线都可以用xa＋yb＝1表示．()【答案】（1

）×（2）×（3）×（4）×2．过点A(3,2)，B(4,3)的直线方程是()A．x＋y＋1＝0B．x＋y－1＝0C．x－y＋1＝0D．x－y－1＝0【答案】D【解析】由直线的两点式方程，得y－23－

2＝x－34－3，化简：得x－y－1＝0.故选D.3．如图，直线l的截距式方程是xa＋yb＝1，则()A．a＞0，b＞0B．a＞0，b＜0C．a＜0，b＞0D．a＜0，b＜0【答案】B【解析】M(a,0)，N(0，b)，由题图知M在x轴正半轴上，N在y轴负半轴上

，所以a＞0，b＜0.故选B.4．过两点(－1,1)和(3,9)的直线在x轴上的截距为________．【答案】－32【解析】直线方程为y－91－9＝x－3－1－3，化为截距式为x－32＋y3＝1，则在x轴上的截距为－32.3题型一由两点式求直线方程1．(1)若直线l经过点A(2

，－1)，B(2,7)，则直线l的方程为________．【答案】(1)x＝2【解析】(1)由于点A与点B的横坐标相等，所以直线l没有两点式方程，所求的直线方程为x＝2.(2)若点P(3，m)在过点A(2，－1)，B(－3,4)的直线上，则m＝________.【答案】(2)

－2【解析】(2)由直线方程的两点式得y－(－1)4－(－1)＝x－2－3－2，即y＋15＝x－2－5.∴直线AB的方程为y＋1＝－x＋2，∵点P(3，m)在直线AB上，则m＋1＝－3＋2，得m＝－2.

2．在△ABC中，已知点A(5，－2)，B(7,3)，且边AC的中点M在y轴上，边BC的中点N在x轴上．(1)求点C的坐标；(2)求直线MN的方程．【解析】(1)设点C(x，y)，由题意得5＋x2＝0，3＋y2＝0得x＝－5，y＝－3.故所求点C的坐标是(－5，－3)．(2)点M的坐标是(0，

－52)，点N的坐标是(1,0)，直线MN的方程是y－0－52－0＝x－10－1，即5x－2y－5＝0.【方法技巧】当已知两点坐标，求过这两点的直线方程时，首先要判断是否满足两点式方程的适用条件：两点的连线不垂直于坐标轴．若满足，则考虑用两点式求方程.由两点式求直线方程的步骤1．

设出直线所经过点的坐标．2．根据题中的条件，找到有关方程，解出点的坐标．3．由直线的两点式方程写出直线的方程．题型二由截距式求直线方程【例1】求过点(4，－3)且在两坐标轴上截距的绝对值相等的直线l的方程．【解析】方法一设直线在x轴、y轴上的截距分别为a，b.①当a≠0，b≠0时，设l的方程为x

a＋yb＝1.∵点(4，－3)在直线上，∴4a＋－3b＝1，4若a＝b，则a＝b＝1，直线方程为x＋y＝1.若a＝－b，则a＝7，b＝－7，此时直线的方程为x－y＝7.②当a＝b＝0时，直线过原点，且过点(4，－3)，∴直线的方程为3x＋4y＝0.综上知，所求直线方程为x＋y－1＝0或x－y－7

＝0或3x＋4y＝0.方法二设直线l的方程为y＋3＝k(x－4)，令x＝0，得y＝－4k－3；令y＝0，得x＝4k＋3k.又∵直线在两坐标轴上的截距的绝对值相等，∴|－4k－3|＝4k＋3k，解得k＝1或k＝

－1或k＝－34.∴所求的直线方程为x－y－7＝0或x＋y－1＝0或3x＋4y＝0.【方法技巧】截距式方程应用的注意事项1．如果问题中涉及直线与坐标轴相交，则可考虑选用截距式直线方程，用待定系数法确定其系数即可．2．选用截距式直线方程时，必须首先考虑直线

能否过原点以及能否与两坐标轴垂直．3．要注意截距式直线方程的逆向应用．【变式训练】1.求过点A(5,2)且在x轴上的截距是在y轴上截距的2倍的直线l的方程．【解析】由题意知，当直线l在坐标轴上的截距均为零时，直线l的方程为y＝25x；当直线

l在坐标轴上的截距不为零时，设l的方程为x2a＋ya＝1，将点(5,2)代入方程得52a＋2a＝1，解得a＝92，所以直线l的方程为x＋2y－9＝0.综上知，所求直线l的方程为y＝25x，或x＋2y－9＝0.题型三直线方程的灵活运用【例2】已知A(－3,2)，B(

5，－4)，C(0，－2)，在△ABC中，(1)求BC边的方程；(2)求BC边上的中线所在直线的方程．【解析】(1)BC边过两点B(5，－4)，C(0，－2)，由两点式，得y－(－4)－2－(－4)＝x－50－5，即2x＋5y＋1

0＝0，故BC边的方程是2x＋5y＋10＝0(0≤x≤5)．(2)设BC的中点M(a，b)，则a＝5＋02＝52，b＝－4＋(－2)2＝－3，所以M(52，－3)，5又BC边的中线过点A(－3,2)，所以y－2－3－2＝x－(－3)52

－(－3)，即10x＋11y＋8＝0，所以BC边上的中线所在直线的方程为10x＋11y＋8＝0.【变式探究1】本例中条件不变，试求AB边上的高线所在直线方程．【解析】设AB边上的高线所在直线斜率为k，∵kAB＝2－(－4)－3－5＝－34，∴k＝43，又高

线过点C(0，－2)，∴由点斜式方程得高线所在直线方程为y＋2＝43(x－0)，即4x－3y－6＝0.【变式探究2】本例中条件不变，试求与AB平行的中位线所在直线方程．【解析】由探究1知kAB＝－34，即中位线所在直线斜

率为－34，由例题知BC的中点为(52，－3)，所以由点斜式方程可得，中位线所在直线方程为y＋3＝－34(x－52)，即6x＋8y＋9＝0.【方法技巧】直线方程的选择技巧1．已知一点的坐标，求过该点的直线方程

，一般选取点斜式方程，再由其他条件确定直线的斜率．2．若已知直线的斜率，一般选用直线的斜截式，再由其他条件确定直线的一个点或者截距．3．若已知两点坐标，一般选用直线的两点式方程，若两点是与坐标轴的交点，就用截距式方程．4．不论选用怎样的直线方程，都要注意各自方程的限制条件，对特殊情

况下的直线要单独讨论解决．【变式训练】1.已知直线l经过点(1,6)和点(8，－8)．(1)求直线l的两点式方程，并化为截距式方程；(2)求直线l与两坐标轴围成的图形面积．【解析】(1)由已知得直线l的两点式方程为y－

6－8－6＝x－18－1，所以y－6－14＝x－17，即y－6－2＝x－1，所以y－6＝－2x＋2，即2x＋y＝8.所以x4＋y8＝1.(2)由(1)知直线l在两坐标轴上的截距分别为4和8，所以围成的面积为12×4×8＝16.【易

错辨析】忽视截距为零引发的错误【例3】求过点M(3,2)，且在x、y轴上的截距相等的直线方程．6【解析】当在x、y轴上的截距均为零时，所求直线的方程为：y＝23x.当在x、y轴上的截距均不为零时，可设直线的方程为

xa＋ya＝1，把点M(3,2)代入得：a＝5，故所求的直线方程为x＋y＝5.综上知所求直线的方程为y＝23x或x＋y＝5.【易错提醒】易错原因纠错心得截距为零的情况，直接由xa＋ya＝1得直线方程产生了漏解.“截距相等”包含两层意思，一是截距不为零时相等，二是截距相等，而后者常被忽

视，造成漏解，因此对于此类题目，也要分类1.(多选题)下列语句中不正确的是()A.经过定点P(x0,y0)的直线都可以用方程y-y0=k(x-x0)表示B.经过任意两个不同点P(x1,y1),Q(x2,y2)的直线都可以用方程(y-y1)(x2-x1)=(x-x1)(y2-y1)表示C.不经过

原点的直线都可以用方程𝑥𝑎+𝑦𝑏=1表示D.经过定点的直线都可以用y=kx+b表示【答案】ACD【解析】A不正确,该方程无法表示直线x=x0;C不正确,该方程无法表示与坐标轴平行的直线;D不正确,该方程无法表

示与x轴垂直的直线,B正确.2.两条直线𝑥𝑚−𝑦𝑛=1与𝑥𝑛−𝑦𝑚=1在同一平面直角坐标系中的图象是下图中的()【答案】B【解析】两直线的方程分别化为y=𝑛𝑚x-n,y=𝑚𝑛x-m,易知两直线的斜率符号相同.3.过点P

(3,4)且在两坐标轴上的截距相等的直线的方程是()A.x-y+1=0B.x-y+1=0或4x-3y=0C.x+y-7=0D.x+y-7=0或4x-3y=0【答案】D7【解析】当直线过原点时,直线方程为y=43x,即4x-3y=0;排除A、C;当直线不过原点时,设直线方程

为𝑥𝑎+𝑦𝑎=1,因为该直线过点P(3,4),所以3𝑎+4𝑎=1,解得a=7.所以直线方程为x+y-7=0.所以过点P(3,4)且在两坐标轴上截距相等的直线方程为4x-3y=0或x+y-7=0.故选D.4.直线l过点(-1,-1)和(2,5),点(1010,b

)在直线l上,则b的值为()A.2019B.2020C.2021D.2022【答案】C【解析】直线l的两点式方程为𝑦-(-1)5-(-1)=𝑥-(-1)2-(-1),化简得y=2x+1,将x=1010代入,得b=2021.5.经过点A(1,3)和B(a,4)的直线方程

为.【答案】x-(a-1)y+3a-4=0【解析】当a=1时,直线AB的斜率不存在,所求直线的方程为x=1;当a≠1时,由两点式,得𝑦-34-3=𝑥-1𝑎-1,整理,得x-(a-1)y+3a-4=0,在这个方程中,当a=1时方程也为x=1,所以,所求的直线方程为x-

(a-1)y+3a-4=0.6.斜率为12,且与两坐标轴围成的三角形的面积为4的直线方程为.【答案】x-2y+4=0或x-2y-4=0【解析】设直线方程为y=12x+b,令x=0,得y=b;令y=0,得x

=-2b.所以直线与坐标轴所围成的三角形的面积为S=12|b|·|-2b|=b2.由b2=4,得b=±2.所以直线方程为y=12x±2,即x-2y+4=0或x-2y-4=0.7.已知三角形三个顶点分别是A(-3,0),B(2,-2),C(0,1),求这个三角

形三边各自所在直线的方程.【解析】由两点式方程得AB:𝑦-0-2-0=𝑥-(-3)2-(-3),即AB方程为y=-25×-65.由两点式方程得BC:𝑦-1-2-1=𝑥-02-0,即BC方程为y

=-32x+1.由截距式方程,得AC:𝑥-3+𝑦1=1.即AC方程为y=13x+1.8.直线x-y+1=0关于y轴对称的直线的方程为()A.x-y-1=0B.x-y-2=0C.x+y-1=0D.x+y+1=08【答案】C【解析】令y=0,则x=-

1,令x=0,则y=1,∴直线x-y+1=0关于y轴对称的直线过点(0,1)和(1,0),由直线的截距式方程可知,直线x-y+1=0关于y轴对称的直线方程是x+y=1,即x+y-1=0.9.(多选题)经过点(2,1),且与两坐标轴围成等腰直角三角形的直

线方程可以是()A.x+y-3=0B.x+y+3=0C.x-y-1=0D.x-y+1=0【答案】AC【解析】由题意设直线方程为𝑥𝑎+𝑦𝑎=1或𝑥𝑎+𝑦-𝑎=1,把点(2,1)代入直线方程得2𝑎+1𝑎=1或2𝑎+1-𝑎=1,解得a=

3或a=1,∴所求直线的方程为𝑥3+𝑦3=1或𝑥1+𝑦-1=1,即x+y-3=0或x-y-1=0.10.已知两点A(3,0),B(0,4),动点P(x,y)在线段AB上运动,则xy()A.无最小值,且无最大值B.无最小值,但有最大值C.有最小值,但无

最大值D.有最小值,且有最大值【答案】D【解析】线段AB的方程为𝑥3+𝑦4=1(0≤x≤3),于是y=41-𝑥3(0≤x≤3),从而xy=4x1-𝑥3=-43x-322+3,显然当x=32∈[0,

3]时,xy取最大值为3;当x=0或3时,xy取最小值0.11.已知直线l过点P(2,1),且与x轴,y轴的正半轴分别交于A,B两点,O为坐标原点,则三角形OAB面积的最小值为.【答案】4【解析】设直线l的截距式方程为𝑥𝑎+𝑦𝑏=1,依题意,a>0,b>0,又因为点P(2,1)在直线l上,

所以2𝑎+1𝑏=1,即2b+a=ab.又因为△OAB面积S=12|OA|•|OB|=12ab,所以S=12ab=12(2b+a)≥2√2𝑎𝑏2=√2𝑎𝑏,当且仅当2b=a时等号成立,所以12ab≥√2𝑎𝑏,解这个不等式,得ab≥8

.从而S=12ab≥4,当且仅当2b=a时,S取最小值4.12.已知直线l过点P(4,1),(1)若直线l过点Q(-1,6),求直线l的方程;(2)若直线l在y轴上的截距是在x轴上的截距的2倍,求直线l的方程.【解

析】1)∵直线l过点P(4,1),Q(-1,6),所以直线l的方程为𝑦-16-1=𝑥-4-1-4,即x+y-5=0.(2)由题意知,直线l的斜率存在且不为0,所以设直线l的斜率为k,则其方程为y-1=k(x-4).9令x=0得,y=

1-4k;令y=0得,x=4-1𝑘.∴1-4k=24-1𝑘,解得k=14或k=-2.∴直线l的方程为y-1=14(x-4)或y-1=-2(x-4),即y=14x或2x+y-9=0.13.如图,已知点A(2,5)与点B(4,

-7),试在y轴上找一点P,使得|PA|+|PB|的值最小.【解析】先求出点A关于y轴的对称点A'(-2,5),则|PA|=|PA'|.若使|PA|+|PB|的值最小,则P点为直线A'B与y轴的交点.由两点

式得直线A'B的方程为𝑦+75+7=𝑥-4-2-4,化简为2x+y-1=0,令x=0,得y=1,故所求点P坐标为P(0,1).14直线过点P43,2且与x轴、y轴的正半轴分别交于A,B两点,O为坐标原点,是否存在这样的直线同时满足下列条件:(1)△AOB的周长为

12;(2)△AOB的面积为6.若存在,求出直线的方程;若不存在,请说明理由.【解析】设直线方程为𝑥𝑎+𝑦𝑏=1(a>0,b>0),若满足条件(1),则a+b+√𝑎2+𝑏2=12.①又∵直线过点P43,2,∴43𝑎+2𝑏=1.②由①②可得5a2-32a+48=

0,解得{𝑎=4,𝑏=3或{𝑎=125,𝑏=92,∴所求直线的方程为𝑥4+𝑦3=1或5𝑥12+2𝑦9=1,即3x+4y-12=0或15x+8y-36=0.若满足条件(2),则ab=12,③由题意得43𝑎+2𝑏=1,④由③④整理得a2-6a

+8=0,解得{𝑎=4,𝑏=3,或{𝑎=2,𝑏=6,10∴所求直线的方程为𝑥4+𝑦3=1或𝑥2+𝑦6=1,即3x+4y-12=0或3x+y-6=0.综上所述,存在同时满足(1)(2)两个条件的直线方程,为3

x+4y-12=0.