【文档说明】高中数学人教A版《选择性必修第一册》全书课件1.4.1.1.ppt，共(31)页，1.368 MB，由管理员店铺上传

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第1课时空间中点、直线和平面的向量表示空间中直线、平面的平行[教材要点]要点一直线的方向向量和平面的法向量直线的方向向量能平移到直线上的________向量，叫做直线的一个方向向量平面的法向量直线l⊥α，取直线l的___________，叫做平面α的法向量非零方向向量

n状元随笔1.在空间中，一个向量成为直线l的方向向量，必须具备以下两个条件：(1)是非零向量；(2)向量所在的直线与直线l平行或重合．2．与直线l平行的任意非零向量a→都是直线的方向向量，且直线l的方向向量有无数个．3．给定空间中任意一点A和非零向量a→，就可以确定唯一一条过点A且平

行于向量a→的直线．4．表示同一条直线的方向向量，由于它们的模不一定相等，因此，它们不一定相等；虽然这些方向向量都与直线平行，但它们的方向不一定相同，还可能相反．5．利用待定系数法求平面法向量时，由于方程组n→·AB→＝0n→·AC→＝0有无数组解，因此法向量有无数个．求解

时，只需取一个较简单的非零向量作为法向量即可．要点二空间中平行关系的向量表示设直线l，m的方向向量分别为a，b，平面α，β的法向量分别为μ，v，则线线平行l∥m⇔________⇔________线面平行l∥α⇔a⊥μ⇔________＝0面面平行α∥β⇔μ∥v⇔________a∥b∃λ∈R

，a＝λba·μ∃λ∈R，μ＝λv状元随笔零向量不能作为直线的方向向量和平面的法向量，这是因为直线的方向向量与平面的法向量分别用来描述空间直线和平面的位置，而零向量的方向是任意的，无法用零向量来描述空间直线与平面的位置．[基础自测]1．判断正误(正确的画“√”，错误的画“×”)(1)

直线上任意两个不同的点A，B表示的向量AB→都可作为该直线的方向向量．()(2)若向量n1，n2为平面α的法向量，则以这两个向量为方向向量的两条不重合直线一定平行．()(3)直线的方向向量是唯一的．()(

4)若AB→，CD→都是直线l的方向向量，则AB→∥CD→，所以AB∥CD.()√√××2．若A(－1,0,1)，B(1,4,7)在直线l上，则直线l的一个方向向量为()A．(1,2,3)B．(1,3,

2)C．(2,1,3)D．(3,2,1)解析：AB→＝(2,4,6)＝2(1,2,3)．故选A.答案：A3．若平面α，β的一个法向量分别为m＝(－16，13，－1)，n＝(12，－1,3)，则()A．α∥βB．α⊥βC．α与β相交但不垂直D．α∥

β或α与β重合解析：∵n＝－3m，∴m∥n，∴α∥β或α与β重合．故选D.答案：D4．若直线l的方向向量a＝(2,2，－1)，平面α的法向量μ＝(－6，8,4)，则直线l与平面α的位置关系是________．解析：∵μ·a＝－12＋16－4＝0，∴μ⊥a，∴l⊂α或l∥α

.答案：l⊂α或l∥α题型一求平面的法向量——自主完成如图，已知ABCD是直角梯形，∠ABC＝90°，SA⊥平面ABCD，SA＝AB＝BC＝1，AD＝12，试建立适当的坐标系．(1)求平面ABCD的一个法向量；(2)求平面SAB的一个法向量；(3)求平面SCD的一个法向量．解析：以点A

为原点，AD、AB、AS所在的直线分别为x轴、y轴、z轴，建立如图所示的空间直角坐标系，则A(0,0,0)，B(0,1,0)，C(1,1,0)，D(12，0,0)，S(0,0,1)．(1)∵SA⊥平面ABCD，∴AS→＝(0,0,1)是平面ABCD的一个法向

量．(2)∵AD⊥AB，AD⊥SA，AB∩SA＝A，∴AD⊥平面SAB，∴AD→＝12，0,0是平面SAB的一个法向量．(3)在平面SCD中，DC→＝(12，1,0)，SC→＝(1,1，－1)．设平面SCD的法向量是n＝(x，y，z)，则n⊥DC→，n⊥SC→，所以

n·DC→＝0，n·SC→＝0，得方程组12x＋y＝0，x＋y－z＝0，∴x＝－2y，z＝－y，令y＝－1，得x＝2，z＝1，∴平面SCD的一个法向量为n＝(2，－1,1)．状元随笔求平面法向

量的三个注意点(1)选向量：在选取平面内的向量时，要选取不共线的两个向量．(2)取特值：在求n→的坐标时，可令x，y，z中一个为一特殊值得另两个值，就是平面的一个法向量．(3)注意0：提前假定法向量n→＝(x，y，z)的某个坐标为某特定值时一定要注意这个坐标不为

0.方法归纳利用待定系数法求平面法向量的步骤1．设向量：设平面的法向量为n＝(x，y，z)．2．选向量：在平面内选取两个不共线向量AB→，AC→.3．列方程组：由n·AB→＝0n·AC→＝0，列出方程组．4．解方程组：n·AB→＝0n·AC→＝0.5．赋非零值：取其中一个

为非零值(常取±1)．6．得结论：得到平面的一个法向量．题型二利用空间向量证明线线平行——师生共研例1如图所示，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，E，F分别为DD1和BB1的中点．求证：四边形AEC1F是平行四边形．证明：以点D为坐标原点，分别以D

A→，DC→，DD1→为正交基底建立空间直角坐标系，不妨设正方体的棱长为1，则A(1,0,0)，E(0,0，12)，C1(0,1,1)，F(1,1，12)，∴AE→＝(－1,0，12)，FC1→＝(－1,0，12)，EC1→＝(0,1，12)，AF→＝(0,1

，12)，∴AE→＝FC1→，EC1→＝AF→，∴AE→∥FC1→，EC1→∥AF→，又∵F∉AE，F∉EC1，∴AE∥FC1，EC1∥AF，∴四边形AEC1F是平行四边形．方法归纳证明线线平行的依据与思路证明线线平行的依据：设直线l1，l2的方向

向量分别是a，b，则要证明l1∥l2，只需证明a∥b，即a＝λb(λ∈R)．利用向量证明线线平行有两种思路：一是建立空间直角坐标系，通过坐标运算，利用向量平行的坐标表示证明；二是用基向量表示出要证明的两条直线的方向向量，通过向量的线性运算，利用向量共线的充要条件证明．跟踪

训练1长方体ABCD－A1B1C1D1中，E，F分别是面对角线B1D1，A1B上的点，且D1E＝2EB1，BF＝2FA1.求证：EF∥AC1.证明：如图所示，分别以DA，DC，DD1所在的直线为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系，设DA＝a，DC＝b，DD1＝

c，则得下列各点的坐标：A(a,0,0)，C1(0，b，c)，E(23a，23b)，c，F(a，b3，23c).∴FE→＝(－a3，b3，c3)，AC1→＝(－a，b，c)，∴FE→＝13AC1→.又FE与AC1不共线，∴直

线EF∥AC1.题型三利用空间向量证明线面、面面平行——师生共研例2在正方体ABCD－A1B1C1D1中，M，N分别是CC1，B1C1的中点．求证：MN∥平面A1BD.证明：如图，以D为原点，DA，DC，DD1所在直线分别为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系，

设正方体的棱长为1，则D(0,0,0)，A1(1,0,1)，B(1,1,0)，M(0,1，12)，N(12，1,1)，于是DA1→＝(1,0,1)，DB→＝(1,1,0)，MN→＝(12，0，12).设平面A1BD的法向量为n＝(x，y，z)，则n⊥DA1→，n

⊥DB→，即n·DA1→＝x＋z＝0，n·DB→＝x＋y＝0，取x＝1，则y＝－1，z＝－1，∴平面A1BD的一个法向量为n＝(1，－1，－1)．又MN→·n＝(12，0，12)·(1，－1，－

1)＝0，∴MN→⊥n.又MN⊄平面A1BD，∴MN∥平面A1BD.变式探究本例2条件不变，证明平面A1BD∥平面CB1D1.解析：由例2知：C(0,1,0)，D1(0,0,1)，B1(1,1,1)则CD1→＝(0，－1,1)，D1B1→＝(1,1,0)，设平面CB1D1的法向量为

m＝(x1，y1，z1)，则m⊥CD1→m⊥D1B1→，即m·CD1→＝－y1＋z1＝0，m·D1B1→＝x1＋y1＝0，令y1＝1，可得平面CB1D1的一个法向量为m＝(－1,1,1)，又平面A1BD的一个法向量为n＝(1

，－1，－1)．所以m＝－n，所以m∥n，故平面A1BD∥平面CB1D1.方法归纳1．向量法证明线面平行的三个思路(1)设直线l的方向向量是a，平面α的法向量是u，则要证明l∥α，只需证明a⊥u，即a·u＝0.(2)根据线面平行的判定定

理：平面外一条直线与此平面内的一条直线平行，则该直线与此平面平行，要证明一条直线和一个平面平行，在平面内找一个向量与已知直线的方向向量是共线向量即可．(3)根据共面向量定理可知，如果一个向量和两个不共线的向量是共面向量，那么这个向量与这两个

不共线的向量确定的平面必定平行，因此要证明一条直线和一个平面平行，只要证明这条直线的方向向量能够用平面内两个不共线向量线性表示即可．2．证明面面平行的方法设平面α的法向量为μ，平面β的法向量为v，则α∥β⇔μ∥v.跟踪训练2在如图所示的多面体中，EF⊥平面AEB，AE⊥EB，AD∥EF，

EF∥BC，BC＝2AD＝4，EF＝3，AE＝BE＝2，G是BC的中点，求证：AB∥平面DEG.证明：∵EF⊥平面AEB，AE⊂平面AEB，BE⊂平面AEB，∴EF⊥AE，EF⊥BE.又∵AE⊥EB，∴EB，EF，EA两两垂直．以点E为坐标原

点，EB，EF，EA分别为x轴，y轴，z轴建立如图所示的空间直角坐标系．由已知得，A(0,0,2)，B(2,0,0)，C(2,4,0)，F(0,3,0)，D(0,2,2)，G(2,2,0)，∴ED→＝(0

,2,2)，EG→＝(2,2,0)，AB→＝(2,0，－2)．设平面DEG的法向量为n＝(x，y，z)，则ED→·n＝0，EG→·n＝0，即2y＋2z＝0，2x＋2y＝0，令y＝1，得z＝－1，x＝－1，则n＝(－1,1，－1)，∴AB→·n＝－2＋0＋2＝0，即A

B→⊥n.∵AB⊄平面DEG，∴AB∥平面DEG.