【文档说明】福建师大附中2020-2021学年高二上学期期中考模拟数学试卷（实验班） PDF版含答案.pdf，共(5)页，495.151 KB，由小赞的店铺上传

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2020-2021学年擎云级高二上学期期中考模拟试卷高二数学试题·第1页（共4页）绝密★启用前福建师大附中2020-2021学年上学期期中考模拟试卷高二数学（实验班）第I卷（选择题，共64分）一、单项选择题：每小题6分，共48分．在每小题给出

的选项中，只有一个选项是正确的．1.已知𝛼,𝛽∈(0,𝜋)，则“sin𝛼+sin𝛽<13”是“sin(𝛼+𝛽)<13”的（▲）A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充分且必要条件D.既不充分也不必要条件2.已知直线𝑙:�

�sin𝛼+𝑦cos𝛼=1(0≤𝛼<2𝜋)与圆𝐶:(𝑥−2)2+(𝑦−√5)2=4相切，则满足条件的𝛼的个数为（▲）A.1B.2C.3D.43.已知圆𝐶1:(𝑥+2𝑎)2+𝑦2=4与圆𝐶2:𝑥2+(𝑦−𝑏)2=1有

且仅有1条公切线，则1𝑎2+1𝑏2的最小值为（▲）A.6B.7C.8D.94.已知点𝑀(𝑥,𝑦)在曲线𝐶:𝑥2+𝑦2−4𝑥−21=0上运动，设𝑡=𝑥2+𝑦2+12𝑥−12𝑦−150−𝑎，且𝑡的最大值为𝑏，若𝑎,𝑏>0，则1𝑎+1+1

𝑏的最小值为（▲）A.1B.2C.3D.45.如图所示，两半径相等的圆𝐴,𝐵相交，𝐶𝐷为它们的公切线段，且两块阴影部分面积相等，在线段𝐴𝐵上任取一点𝑀，则𝑀在线段𝐸𝐹上的概率为（▲）A.1−𝜋4B.2−𝜋2C.2𝜋−1D.4𝜋−16.已知区域𝐷={(𝑥,𝑦)|

{𝑥+𝑦−2≤0𝑥−𝑦+2≤03𝑥−𝑦+6≥0}，给定下列四个命题：𝑝1:∀(𝑥,𝑦)∈𝐷,𝑥+𝑦+1≥0𝑝2:∀(𝑥,𝑦)∈𝐷,2𝑥−𝑦+2≤0𝑝3:∃(𝑥,𝑦)∈𝐷,𝑦+1𝑥−1≤−4𝑝4:∃(𝑥,𝑦)

∈𝐷,𝑥2+𝑦2≤2则下列选项中是真命题的为（▲）A.𝑝1∧𝑝3B.𝑝2∧𝑝4C.𝑝1∧𝑝4D.𝑝2∧𝑝32020-2021学年擎云级高二上学期期中考模拟试卷高二数学试题·第2页（

共4页）7.已知在△𝐴𝐵𝐶内有一点𝑂满足∠𝑂𝐴𝐵=∠𝑂𝐴𝐶=∠𝑂𝐵𝐶=∠𝑂𝐶𝐴=𝛼，给定下列两个命题：𝑝:存在点𝑂使得𝛼≥36°𝑞:存在点𝑂使得𝑐,𝑎,𝑏成等比数列则下列选项中是真命题的为（▲）A.�

�∧𝑞B.𝑝∧(¬𝑞)C.(¬𝑝)∧𝑞D.(¬𝑝)∧(¬𝑞)8.在平面直角坐标系中，定义𝑑(𝐴,𝐵)=max{|𝑥1−𝑥2|,|𝑦1−𝑦2|}为两点𝐴(𝑥1,𝑦1),𝐵(𝑥2,𝑦2)的“切比雪夫距离”，并对于点𝑃与直线𝑙上任意一点𝑄，称𝑑(

𝑃,𝑄)的最小值为点𝑃与直线𝑙间的“切比雪夫距离”，记作𝑑(𝑃,𝑙)，给定下列四个命题：𝑝1:对于任意的三点𝐴,𝐵,𝐶，总有𝑑(𝐶,𝐴)+𝑑(𝐶,𝐵)≥𝑑(𝐴,𝐵)𝑝2:若点𝑃

(3,1)，直线𝑙:2𝑥−𝑦−1=0，则𝑑(𝑃,𝑙)=43𝑝3:满足𝑑(𝑂,𝑀)=𝐶(𝐶>0)的点𝑀的轨迹为正方形𝑝4:若点𝐹1(−𝑐,0),𝐹2(𝑐,0)，则满足|𝑑(𝑃,𝐹1)−𝑑(𝑃,𝐹2)|

=2𝑎(2𝑐>2𝑎>0)的点𝑀的轨迹与直线𝑦=𝑘(𝑘为常数)有且仅有2个公共点则下列选项中真命题的个数为（▲）A.1B.2C.3D.4二、多项选择题：每小题6分，共12分．在每小题给出的选项中，正确选项不少于2个，全部选对得6分，选对但不全得3分，有

选错得0分．9.在平面直角坐标系中，直线𝑙:𝑦=𝑘(𝑥−2)+3与坐标轴分别交于点𝐴,𝐵，则下列选项中是真命题的有（▲）A.存在正实数𝑚使得△𝑂𝐴𝐵面积为𝑚的直线𝑙恰有一条B.存在正实数𝑚使得△𝑂𝐴𝐵面积为𝑚的直线𝑙恰有二条C.存在正实数𝑚使得△�

�𝐴𝐵面积为𝑚的直线𝑙恰有三条D.存在正实数𝑚使得△𝑂𝐴𝐵面积为𝑚的直线𝑙恰有四条10.下列选项中说法正确的有（▲）A.“若点(2,1)在圆𝑥2+𝑦2+𝑘𝑥+2𝑦+𝑘2−15=0外，则𝑘<−4或𝑘>2”的否命

题B.已知直线𝑦=𝑘𝑥与圆(𝑥+cos𝜃)2+(𝑦−sin𝜃)2=1，∀𝜃∈ℝ，总有𝑘使得直线与圆恒相切C.已知直线𝑦=𝑘𝑥与圆(𝑥+cos𝜃)2+(𝑦−sin𝜃)2=1，∀𝑘∈ℝ，总有𝜃使得直线与圆恒相切D.过直线2𝑥

+𝑦+4=0上的动点𝑃引圆𝐶:𝑥2+𝑦2−2𝑦=1的两条切线，𝐴,𝐵为切点，则四边形𝑃𝐴𝐶𝐵面积的最小值为2√22020-2021学年擎云级高二上学期期中考模拟试卷高二数学试题·第3页（共4页）第II

卷（非选择题，共86分）三、填空题：每小题6分，共24分．11.已知五个互不相等的样本𝑥1,𝑥2,𝑥3,𝑥4,𝑥5∈ℕ，它们的平均数为7，标准差为2，则样本数据中最大值为▲．12.已知点𝐴(𝑥1,𝑦1),𝐵(𝑥2,𝑦2)是曲线𝑥2+𝑦2−2𝑥+4𝑦=0上的两点，

则|𝑥1𝑦2−𝑥2𝑦1|的最大值为▲．13.已知区域𝐷表示不在直线(1−𝑚2)𝑥+2𝑚𝑦=2+2√3𝑚(𝑚∈ℝ)上的点构成的集合，在区域𝐷内任取一点𝑃(𝑥,𝑦)，则√3𝑥+𝑦√𝑥2+𝑦2的取值范围为▲．14.已知在平面内

有𝑃1,𝑃2,…,𝑃𝑛共𝑛个点，若在该平面内有点𝑃到𝑃1,𝑃2,…,𝑃𝑛的距离之和最小，则称点𝑃为点𝑃1,𝑃2,…,𝑃𝑛的一个“中位点”，给定下列四个命题：𝑝1:若三点𝐴,𝐵,𝐶共线，且𝐶在线段𝐴𝐵上，则𝐶是𝐴,𝐵,𝐶的“中位点”

𝑝2:若四点𝐴,𝐵,𝐶,𝐷共线，则它们的“中位点”存在且唯一𝑝3:直角三角形的斜边中点是该直角三角形三个顶点的“中位点”𝑝4:梯形对角线交点是梯形四个顶点的唯一“中位点”则上述命题中真命题有▲．（写出所有真命题的序号）四、解答题：4小题

，共66分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15.(16分)已知圆𝑀:(𝑥−2)2+𝑦2=1，过直线𝑙:𝑥=−1上一动点𝑃作圆的两条切线，切点分别为𝐴,𝐵．(I)当有一条切线于坐标轴平行

时，求另一条切线的方程；(II)当圆切点弦所对的圆心角最小时，求|𝐴𝐵|的值；(III)记切线𝑃𝐴,𝑃𝐵分别交𝑦轴于点𝑆,𝑇，求|𝑆𝑇|的最小值．16.(16分)若过点𝑃的两直线𝑙1,𝑙2斜率之

积为𝜆(𝜆≠0)，则称直线𝑙1,𝑙2是一组“𝑃𝜆共轭线对”．(I)若直线𝑙1,𝑙2是一组“𝑂−3共轭线对”，当两直线夹角最小时，求两直线倾斜角；(II)若点𝐴(0,1),𝐵(−1,0),𝐶(1,0)分别是直线𝑃𝑄,𝑄𝑅,𝑅𝑃上的点（𝐴,𝐵,𝐶,𝑃

,𝑄,𝑅均不重合），且直线𝑃𝑅,𝑃𝑄是一组“𝑃1共轭线对”，直线𝑄𝑃,𝑄𝑅是一组“𝑄4共轭线对”，直线𝑅𝑃,𝑅𝑄是一组“𝑅9共轭线对”，求点𝑃的坐标；(III)若直线𝑙1,𝑙2是一组“𝑀−2共轭线对”，其中点𝑀(−1,−√2)，当两

直线旋转时，求原点到两直线距离之积的取值范围．2020-2021学年擎云级高二上学期期中考模拟试卷高二数学试题·第4页（共4页）17.(18分)疫苗能够使人体获得对病毒的免疫力，是保护健康人群最有效的手段．新冠肺炎疫情发生以来，军事医学科学院陈薇院土领衔的团队开展应急科研

攻关，研制的重组新型冠状病毒疫苗（腺病毒载体），于4月12日开始招募志愿者，进入二期临床试验．根据普遍规律，志愿者接种疫苗后体内会产生抗体，人体中检测到抗体，说明有抵御病毒的能力．科研人员要定期从接种疫苗的志愿者身上采集血液样本，检测人体中抗体含量水平（单位：𝑚𝑖

𝑢/𝑚𝐿，百万国际单位/毫升）．(I)IgM作为人体中首先快速产生的抗体，是人体抗感染免疫的“先头部队”．经采样分折，志愿者身体中IgM含量水平𝑦(𝑚𝑖𝑢/𝑚𝐿)与接种天数𝑥（接种后每满24小时为一天，𝑥∈ℕ∗）近似满足函数关系：𝑦={0.1𝑥,𝑥≤10𝑒10−�

�,𝑥>10．经研究表明，IgM含量水平不低于0.2𝑚𝑖𝑢/𝑚𝐿时是免疫的有效时段，试估计接种一次后IgM含量水平有效时段可经历的时间（向下取整）．（参考数据：𝑒≈2.718）(II)IgG虽然是接种后产生比较慢

的抗体，却是血清和体液中含量最高的抗体，也是亲和力最强、人体内分布最广泛、具有免疫效应的抗感染“主力军”．科研人员每间隔3天检测一次（检测次数依次记为𝑡𝑖,𝑖=1,2,3,4,5,6,7）某志愿者人体中IgG的含量水平，记作𝑧𝑖(𝑚

𝑖𝑢/𝑚𝐿)(𝑖=1,2,3,4,5,6,7)，得到相关数据如下表：𝑡𝑖(次)1234567𝑧𝑖(𝑚𝑖𝑢/𝑚𝐿)0.090.380.954.853.357.4817.25(i)请画出散点图，并根据散点图判断，线性拟合模型𝑧=𝑎+𝑏𝑡与指数拟合模型𝑧=𝑐∙𝑑

𝑡哪种更适合拟合𝑧与𝑡的关系（不必说明理由）；(ii)研究人员发现，上述数据中存在一组异常数据应当予以剔除．试根据余下的六组数据，利用(i)中选择的拟合模型计算回归方程，并估计原异常数据对应的𝑧𝑖值

．（回归系数与估计值均保留两位小数，由七组数据计算出的参考数据见下表，其中𝑢=ln𝑧）𝑧̅𝑢̅∑𝑡𝑖𝑧𝑖∑𝑡𝑖𝑢𝑖ln0.06ln1.55ln2.27ln4.854.910.60205.4839.8

7−2.840.440.821.58参考公式：线性回归直线𝑦̂=𝑎̂+𝑏̂𝑥的斜率和截距的最小二乘估计分别为𝑏̂=∑(𝑥𝑖−𝑥̅)(𝑦𝑖−𝑦̅)∑(𝑥𝑖−𝑥̅)2,𝑎̂=𝑦̅−𝑏̂𝑥̅18.(16分)某科研团队发现了一种新型单细胞生

物，在长时间观测后，科研团队发现每个活细胞在每一分钟内都会独立且等可能地发生以下四件事中的一件：①死亡；②保持原状；③分裂成两个活细胞；④分裂成三个活细胞．若初始时在一条件适宜的孤立系统中放置两个活细胞，试计算理论上在无限长时间后该系统中仍有活细胞存活的概率．2020-2021学年擎云级高二上学

期期中考模拟试卷高二数学答案·第1页（共1页）绝密★启用前福建师大附中2020-2021学年上学期期中考模拟试卷高二数学（实验班）答案第I卷（选择题，共64分）一、单项选择题：每小题6分，共48分．在每小题给出的选项中，只有一个选项是正确的．123

45678ACDADBCD二、多项选择题：每小题6分，共12分．在每小题给出的选项中，正确选项不少于2个，全部选对得6分，选对但不全得3分，有选错得0分．910BCDAC第II卷（非选择题，共86分）三、填空题：每小题6分，共24分．111213141015√

32(1,2)𝑝1,𝑝4四、解答题：4小题，共66分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15.解：(I)3𝑥+4𝑦−1=0或3𝑥−4𝑦−1=0(II)|𝐴𝐵|𝑚𝑖𝑛=4√23

(III)|𝑆𝑇|𝑚𝑖𝑛=√2216.解：(I)𝜋3,2𝜋3(II)𝑃(3,3)或𝑃(35,35)(III)𝑑1𝑑2∈[0,√2)17.解：(I)9天(II)(i)指数拟合模型�

�=𝑐∙𝑑𝑡(ii)𝑧̂=0.06×2.27𝑡；𝑧4̂=1.5518.解：2√2−2