【文档说明】浙江省湖州市2019-2020学年高二下学期期末考试数学试题 【精准解析】.doc，共(23)页，1.910 MB，由小赞的店铺上传

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2019学年第二学期期末调研测试卷高二数学注意事项：1.本科目考试分试题卷和答题卷，考生须在答题纸上作答.2.本试卷分为第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，共4页，全卷满分150分，考试时间120分钟.

第Ⅰ卷（选择题共40分）一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.）1.已知集合2230Axxx=−−，1Bxx=，则AB=（）.A.1,1−B.)3,1−C.(),1−D.)1,1−【答案】D

【解析】【分析】计算得到13Axx=−，再计算交集得到答案.【详解】13Axx=−，1Bxx=,所以)1,1=−AB.故选：D.【点睛】本题考查了交集的计算，属于简单题.2.设nS为等比数列na的前n项和，已知3433Sa=−，2333Sa=−，

则公比q=（）A.3B.4C.5D.6【答案】B【解析】【分析】将所给两式做差,即可得4a与3a的关系,由等比数列的定义即可求得公比q.【详解】由已知3433=−Sa,2333=−Sa,两式作差得32433333SSaaa−

=−=,所以434aa=,即434aqa==故选：B【点睛】本题考查了前n项和的简单应用,做差法求项的关系,属于基础题.3.袋中有100个球，其中红球10个，从中任取5个球，则至少有一个红球的取法种数是（）A.141090CCB.142332411090109010901090CCCCC

CCC+++C.5510090CC−D.5510010CC−【答案】C【解析】【分析】根据题意，可分别利用直接法和间接法求解，得到答案.【详解】由题意，袋中有100个球，其中红球10个，从中任取5个球，至少有一个红球的取法有：①直接法：142332415109010901090109010CC

CCCCCCC++++种不同的取法；②间接法：5510090CC−.故选：C.【点睛】本题主要考查了排列、组合的应用，其中解答中正确理解题意，合理利用直接法和间接法求解是解答的关键，着重考查分析问题和解答问题的能力.4.已知某函数的图像如图所示，则下列函数中，图

像最契合的函数是（）A.()sinxxyee−=+B.()sinxxyee−=−C.()cosxxyee−=−D.()cosxxyee−=+【答案】D【解析】【分析】根据0x=时的函数值，即可选择判断.【详解】由图可知，当0x=

时，0y当0x=时，()sinxxyee−=+20sin=，故排除A；当0x=时，()sinxxyee−=−00sin==，故排除B；当0x=时，()cosxxyee−=−010cos==，故排除C；当0x=时，()co

sxxyee−=+20cos=，满足题意.故选：D.【点睛】本题考查函数图像的选择，涉及正余弦值的正负，属基础题.5.已知为锐角，且3cos()65+=，则sin=（）A.43310+B.43310−C.33410+D.33410−【答案】B【解析】【分析】由条件求得s

in（α6+）45=，再根据sinα＝sin[（α6+）6−]利用两角和的正弦公式求得结果．【详解】解：∵cos（α6+）35=（α为锐角），∴α6+为锐角，∴sin（α6+）45=，∴sinα＝sin[（α6+）6−]＝sin（α6

+）cos6−cos（α6+）sin64331433525210−=−=，故选B．【点睛】本题主要考查同角三角函数的基本关系、两角和差的正弦公式的应用，属于中档题．6.函数4,0()(),0xtxfxgxx+=为定义在R上的奇函

数，则21log3f等于（）A.23B.-9C.-8D.13−【答案】C【解析】【分析】根据题意，由奇函数的性质可得()0040ft=+=，解可得t的值，进而求出()2log3f的值，由奇函数的性质分析可得答案.【详解】根

据题意，()()4,0,0xmxfxgxx+=为定义在R上的奇函数，则有()0040ft=+=，解可得：1t=−，则()24log3log92log341418f=−=−=，则()()2221loglog3log383ff

f=−=−=−；故选：C.【点睛】本题考查利用函数的奇偶性求参数以及函数值的计算，在涉及奇函数求参数时，注意结论()00f=的应用，考查计算能力，属于基础题.7.实数x、y满足约束条件110xyxyx+−，若目标函数zaxy=+取到最大值2时仅

有唯一最优解，则实数a等于（）A.0B.4C.2D.-2【答案】C【解析】【分析】画出不等式组所表示的平面区域，结合图形得出目标函数的最优解，代入，即可求解.【详解】画出不等式组110xyxyx+−所表示的平面区域，如图所示，可得(0

,1),(1,0),(0,1)ABC−，目标函数zaxy=+表示直线在y轴上的纵截距，由平面区域可得目标函数zaxy=+在点,,ABC点处取得最大值，分别代入，可得目标函数zaxy=+在点(1,0)B处取得最大值2，即2a=.故选：C.【点睛

】本题主要考查了简单的线性规划的应用，其中解答中准确画出不等式组所表示的平面区域，结合平面区域确定出目标函数的最优解是解答的关键，着重考查数形结合思想，以及运算与求解能力.8.安排5名班干部周一至周五值班，每天1人，每人值1天，若甲、乙两人要求相邻两天值班，甲、丙两人都不排周二，

则不同的安排方式有（）A.13B.18C.22D.28【答案】D【解析】【分析】根据题意，分两类，第一类，乙安排在周二，第二类，乙不安排在周二，根据分类计数原理可得.【详解】第一类，乙安排在周二，则有33212A=种，第二类，乙不安排在周二，则从甲乙丙以外的2人中选1人，安排在周二，把甲乙安排在周

三周四或周四周五，其余人任意排，故有1122222216ACAA=种，根据分类计数原理可得，共有121628+=种，故选：D【点睛】本小题主要考查分类加法计数原理，属于基础题.9.已知随机变量与满足分布列~(3,)Bp，当12,23p且不断增大时，（）A.(2)P=

的值增大，且()D减小B.(2)P=的值增大，且()D增大C.(2)P=的值减小，且()D增大D.(2)P=的值减小，且()D减小【答案】A【解析】【分析】根据二项分布的概率公式求出(2)P=

，再利用导数研究函数的单调性可得当12,23p且不断增大时，(2)P=的值增大，根据二项分布的方差公式得到()D，再根据二次函数的单调性可得当12,23p且不断增大时，()D减小.【详解】依题意得()2232(1)PCpp==−32

33pp=−+，令()3233fppp=−+，则()22196913fpppp=−+=−−+，当12,23p时，()fp为递减函数，所以()2221910333fpf=−−+=，所以()fp

在12,23上为单调递增函数，即当12,23p且不断增大时，(2)P=的值增大.()2133(1)3()24Dppp=−=−−+在12,23上为单调递减函数，即当12,23p且不断增大时，()D减小.故选

：A.【点睛】本题考查了二项分布的概率公式和方差公式，考查了利用导数研究函数的单调性，考查了二次函数的单调性，属于基础题.10.已知000(,0)xxRx和1是函数32()()fxaxbxcxabc=++的两个不同的零点，若实数3(0,)2m，则零点0x的值可能

是（）A.2m+B.2m−C.12m+D.12m−【答案】B【解析】【分析】根据题意可得abc，则0a，0c，且ab，得11ba−，分类讨论即可得到另一个零点.【详解】由()322()()fxaxbx

cxxaxbxcabc=++=++，设()2gxaxbxc=++，根据题意可知000(,0)xxRx和1是()gx的两个零点，0abc++=，abc，0a，0c，且ab，得11ba−，函数()2gxaxbxc=++的图像是开口向上的抛物线，其对称轴为2bxa=−

，所以11222ba−−，画出函数的大致图像如图：当1022ba−时，函数的另一个零点)01,0x−，当1022ba−−时，函数的另一个零点为()02,1x−−，故()02,0x−

，3(0,)2m，所以722,2m+，122,2m−−−，11,222m+，11,122m−−，即零点0x的值可能是2m−.故选：B【点睛】本题考查了根的存在性以及根的个数判断，考

查数形结合的解题思想方法以及分类讨论的数学思想方法，属于中档题.第Ⅱ卷（非选择题部分共110分）二、填空题（本题共有7小题，其中第11、12，13、14小题每空3分，第15、16，17小题每空4分，共36分）11.已知复数z满足(3)10zi−=（i为虚数单位），则复数z的虚部等于____；复

数z的模为________.【答案】(1).1(2).10【解析】【分析】设zabi=+，结合题中条件可得(3)(3)10abbai++−=，再由复数相等可得出a和b的值，从而求出复数z及其虚部和模长.【详解】设zabi=+，则()(3)1

0abii+−=，展开化简得：(3)(3)10abbai++−=，所以31030abba+=−=，解之得31ab==，所以3iz=+，所以z的虚部等于1，223110z=+=.故答案为：1；10.【点睛】本题考查复数的乘法、复数相等、复数的概念等知识，考查逻辑思维能力和运算求

解能力，考查学生对基础知识的掌握程度，属于常考题.12.钝角△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若,1,36Aac===，则C=________，△ABC的面积等于________.【答案】(1).23(2).34【解析】【分析】由正弦定理sinsinacAC=及钝角三角形得出23

C=，再由三角形内角和定理以及三角形面积公式得出△ABC的面积.【详解】由正弦定理sinsinacAC=得3sinsin36sin12cACa===(0,)C,3C=或23C=又△ABC是钝角三角形当3C=时

，△ABC是直角三角形，不合题意，23C=ABC++=,6B=1113sin132224SABCacB===故答案为：23；34【点睛】本题主要考查了正弦定理的应用，三角形面积公式的应用，

属于基础题.13.《张丘建算经》卷上有一题：今有女善织，日益功疾，初日织五尺，金一月日织九匹三丈意思就是说：有一位善于纺织的女子，从第二天起，每天比前一天多织相同量的布，第一天织了5尺布，现在一个月共织了390尺布（按30天计），记该女子第n天织布的量为na，则1318aa

+=_________，每天比前一天多织布________尺.【答案】(1).26(2).1629【解析】【分析】由题数列{}na是等差数列，根据等差数列的通项公式和前n项公式可求得答案.【详解】由题数列{}na是公差为d等差数列，则1303030

()3902aaS+==，得13026aa+=，故1318aa+=13026aa+=，又15a=，得3021a=129ad=+，得21529d=+，得1629d=.故答案为：26；1629.【点睛】本题考查了等差数列的概念和性质，通项公式和前n项和公式，属于基础题.14.盒子中

装有8个小球（除颜色外完全相同），其中红球5个，黑球3个，现从该盒子中一次性任意取出3个球，若规定：取到一个红球得2分，取到一个黑球得1分，且取3个球的总得分记为，则(4)P==________，()E=____

____.【答案】(1).1556(2).398【解析】【分析】先确定取出3个球的总得分记为的所有可能值，计算出的每个可能值所对应的概率，再利用公式1niiip=计算得到()E.【详解】由题意得，若从盒

子中任意取出3个球，则得分的可能值为：3，4，5，6，则有33381(3)56CPC===；12533815(4)56CCPC===；2153383015(5)5628CCPC====；3538105(6)5628

CPC====；所以，115301027339()345656565656568E=+++==；故答案为：1556，398.【点睛】本题考查超几何分布的分布列及数学期望，属于简单题，解答时准确计算的每

个值所对应的概率是关键.15.若不等式223xxaa−−−在1,1x−上恒成立，则正实数a的取值范围是________.【答案】5,3+【解析】【分析】设()22fxxxa=−−，分021a、21a两种情况讨论，求得函数()yfx=在区

间1,1−上的最大值，解不等式()max3fxa−，即可解得实数a的取值范围.【详解】设()22fxxxa=−−，其中1,1x−.①当21a时，即当12a时，()22fxxxa=+−，则函数()yfx=在区间11,2−−上单调递减，在区间1,12−上单

调递增，()122fa=−，()12fa−=−，则()max223fxaa=−−，解得53a，此时53a；②当021a时，即当102a时，()222,122,21xxaxafxxxaax+−−=−+.（i）若1022a时，即当104

a时，函数()yfx=在区间11,2−−上单调递减，在区间1,22a−单调递增，在区间12,2a上单调递减，在区间1,12上单调递增.()12fa−=

−，()224faa=，()12fa=，()()21faf，所以，()max23fxaa=−，解得3a−，不合题意；（ii）当1212a时，函数()yfx=在区间11,2−−上单调递减，

在区间1,12−上单调递增，()12fa−=−，()12fa=，()()11ff−，则()max23fxaa=−，解得3a−，不合题意.综上所述，正实数a的取值范围是5,3+.故答案为：5,3+.【点睛】本题考查利用含绝对值的函数不等式

在区间上恒成立求参数，考查分类讨论思想的应用，考查分析问题和解决问题的能力，属于难题.16.若0xy，则()412xyxy+−的最小值是________.【答案】6【解析】【分析】利用基本不等式得出()4442221422222xxxyxyxxx++=++−，然后

利用三元基本不等式可求得所求代数式的最小值.【详解】由基本不等式可得()444422221142222222xxxxyxyxxxyxy++=+=++−+−432222326xxx=，

当且仅当42220yxyxxxy=−=时，即当112xy==时，等号成立，因此，()412xyxy+−的最小值是6.故答案为：6.【点睛】本题考查利用基本不等式求最值，解答的关键就是对所求代数式进行合理配凑，考查计算能力，属于中等题.17.已知同一平面内的单位向

量1e，2e，3e，则()()2123eeee−−的取值范围是________.【答案】1,42−【解析】【分析】可设2(1,0)e=，1(cos,sin)e=，3(cos,sin)e=，

转化为坐标运算，再化简转化成三角函数与二次函数复合而成的复合函数的值域问题.【详解】设2(1,0)e=，1(cos,sin)e=，3(cos,sin)e=，则()()2123eeee−−(1cos,sin)(1cos,sin)

=−−−−1coscoscoscossinsin=−−++1cos()(coscos)=+−−+1cos2()[cos()cos()]22222−+−+−=+−

++−22cos2coscos222−+−=−由令t=cos[1,1]2−−，则y=()()2123eeee−−222cos2tt+=−，[1,1]t−函数开口向上，对称轴为01cos22t+=−11[,]22−故当cos12t−==，cos12+=

−或cos12t−==−，cos12+=时，max4y=；当cos12+=，1cos22t−==或cos12+=−，1cos22t−==−时，min12y=−，故1[,4]2y−.故答案为：1,4

2−.【点睛】本题考查了向量的坐标运算，求三角函数与二次函数复合而成的复合函数的值域问题，还考查了学生分生思维能力，运算能力，难度较大.三、解答题（本大题共5小题，共74分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）18.二项式41()2nxx+的展开式中，有且只有第三项的二项式系

数最大.（1）求所有二项式系数的和；（2）求展开式中的有理项.【答案】（1）16；（2）2x，116x.【解析】【分析】（1）由二项展开式的性质求得n的值，结合二项式系数的性质，即可求得二项式系数的和；（2）取得二项展开式的通项为：3241412rrrrTCx−+=，根

据有理项的定义，求得0r=或4r=，代入即可求解.【详解】（1）由题意，二项展开式中，有且只有第三项的二项式系数最大，可得4n=，因此所有二项式系数的和0144444216CCC+++==.（2）二项展开式的通项为：3244144411()22rrrrrrrTCxCxx−−

+==由有理项的定义，可得324rZ−，所以0r=或4r=，因此所求有理项为00221412TCxx==，4415411216TCxx−==.【点睛】本题主要考查了二项式定理的应用，

其中解答中熟记二项展开式的二项式系数的性质和展开式的通项是解答的关键，着重考查推理与运算能力.19.已知函数()()32fxaxxaR=+在43x=−处取得极值.（1）求实数a的值；（2）若()()=xgxfxe（其中e为自然对数的

底数），求曲线()gx在点()()1,1g处的切线的方程.【答案】（1）12a=；（2）10270exye−−=.【解析】【分析】（1）求导，令4'03f−=即可解得答案；（2）先写出()()xgxfxe=的解析

式并求导，计算()1g、()1'g，然后利用直线的点斜式方程写出曲线()gx在点()()1,1g处的切线方程.【详解】（1）由题意可得2()32fxaxx=+，因为()fx在43x=−处取得极值，所以403f−=

，即1641683209333aa+−=−=，解得12a=.此时2334()2223fxxxxx=+=+，所以()fx在4,3−−和(0,)+上单调递增

，在4,03−递减，所以()fx在43x=−处取得极大值，因此所求的a的值为12a=.（2）由题意得32()2xxgxxe=+，故3(1)2eg=，又32231()2ee=(1)(4)222xxxxgxxxxxxxe=+++++

，则(1)5ge=，因此曲线()gx点(1,(1))g处的切线的方程为35(1)2eyex−=−，即10270exye−−=.【点睛】本题考查利用函数的极值求参以及求曲线在某一点的切线方程问题，难度一般.（1）一般地，若xa=为函数()fx的极值点，则()'0fx=；（2）求切线方程时要利用

导数的几何意义，得出切线的斜率方可进行切线方程的求解.20.如图，三棱锥DABC−中，ADCD=，42ABBC==，ABBC⊥.（1）求证：ACBD⊥；（2）若二面角DACB−−的大小为150且47BD=时，求BCD的中线BM与面A

BC所成角的正弦值.【答案】（1）证明见解析，（2）4228【解析】【分析】(1)取AC中点O,连BO,DO,证明AC⊥平面BOD即可.(2)由(1)在平面BOD内作OZOB⊥,建立空间直角坐标系,利用空间向量求解线面角的正弦值或直接利用向量的关系求解即可.【

详解】（1）证明：取AC中点O,连BO,DO,∵ADCD=,ABBC=,∴ACBO⊥,ACDO⊥,,BODO平面BOD,且BODOO=,∴AC⊥平面BOD,又BD平面BOD,∴ACBD⊥.（2）由（1）知BOD是二

面角DACB−−的平面角,∴150BOD=,又由AC⊥平面BOD知平面BOD⊥平面ABC,所以在平面BOD内作OZOB⊥,则OZ⊥面ABC,可建如图坐标系,又易得4OB=,故在BOD中由余弦定理可得43OD=,于是可得各点坐标为()0,4,0A−,()4,0,0B,()

0,4,0C,()6,0,23D−,∴()3,2,3M−,∴()7,2,3BM=−,又平面ABC的一个法向量为()0,0,1n=,所以直线BM与面ABC所成角的正弦值342sin2856nBMnBM===.法二：由（1）知BOD是二面角DACB−−的平面角,∴150BOD=.作DPBO⊥

于P,则由AC⊥平面BOD知DP⊥平面ABC,且30DOP=,又易得4OB=,故在BOD中由余弦定理可得43OD=,∴sin23DPDODOP==.又M为DC中点,所以M到平面ABC的距离132dDP==.因为47BD

=,8DC=,42BC=,∴222514cos228BDBCCDDBCBDBC+−==,∴12BMBMBDBC==+()()22122142BDBDBCBC=++=.所以直线BM与面ABC所成角的正弦值342sin2856dBM===.【点睛】本题主要考查了异面直

线垂直的证明以及利用空间直角坐标系或向量的方法求解线面角的方法,属于中等题型.21.如图，已知抛物线24yx=的焦点为F，准线为l，过点F的直线交抛物线于A，B两点，点B在准线l上的投影为E，点C是抛物线上一点，且满足ACEF⊥.（1）若点A坐标是()4,

4，求线段AC中点M的坐标；（2）求ABC面积的最小值及此时直线AC的方程.【答案】（1）13,12−；（2）最小值是16，此时直线AC的方程是30xy−−=或30xy+−=.【解析】【分析】（1）设()11,Axy，()22,Bxy，()33,Cxy,则(

)21,Ey−，由题意得(1,0)F，直线AB：1xmy=+，与抛物线方程24yx=联立，则可得12yy的值，再根据A，C均在抛物线上，代入并作差，可得AC的中点坐标与AC斜率的关系，再利用ACEF⊥，求得线段AC中点M的坐标.（2）将直线AC的方程用2y表示出来，并与抛物

线方程24yx=联立，再根据弦长公式求出AC，利用点到直线的距离公式，求出点B到直线AC的距离为d，运用12ABCSACd=，结合均值不等式可求得ABC面积的最小值及此时直线AC的方程.【详解】解：（1）设()11,Axy，()22,Bxy，(

)33,Cxy,则()21,Ey−，由题意得(1,0)F，直线AB：1xmy=+，又24yx=，得2440ymy−−=，则124yy=−，又2211334,4yxyx==，得131313()()4()yyyyxx+−=−，得134ACkyy=+，又ACEF⊥得1ACEF

kk=−，即213412yyy=−+−解得1322yyy+=，即3212yyy=−，由14y=，得21y=−，36y=−，32394yx==故131322Mxxx+==，1312Myyy+==−，线段AC中点M的坐标为13,12−.（2）由（1）可

知124yy=−，1322yyy+=，22ACky=设直线AC方程为211224yyyxy−=−，即2228240xyyy−−−=由222282404xyyyyx−−−==得222216280yyyy−−−=，所以13213222168yyyyyy+=

=−−222213222216||1484yACyyyyy=+−=+++点B到直线AC的距离是2222222222222816248424xyyyydyy−−−++==++所以232221116||(8)24ABCSdACyy==++△而2

2222216482816yyyy+++=等号成立当且224yy=，解得22y=.此时(1,2)B，(9,6)C−或(1,2)B−，(9,6)C.因此ABC面积的最小值是16，此时直线AC的方程是30xy−−=或30xy+−=.

【点睛】本题考查了直线与抛物线的位置关系，考查了设而不解，联立方程组，根与系数的关系等基本方法和技巧，结合考查了三角形面积相关问题，均值不等式求最值，属于中档题.22.已知函数()(1)(ln(1)1)fxxx=++−.（1）求函数()fx的单调区间和极值；（2）若函数()()(,

)gxfxaxbabR=−−在区间0,1上存在零点，求2ab+的最小值.（参考数据：ln20.6931）【答案】（1）()fx在()1,0−为减函数，在(0,)+为增函数，()fx的极小值是(0)1f=−，无极大值；（2）1−.【解析】【分

析】（1）求出函数的导数，求得函数()fx的单调性，进而求得函数的极值；（2）求出()gx得解析式，求出()gx的都是，通过讨论a的范围得到函数的单调性，求出b得范围，进而求得2ab+的最小值.【详解】（1）由题意，函数()(1

)(ln(1)1)fxxx=++−，则()ln(1)fxx=+，当0x=时，()0fx=，所以()1,0−为减函数，(0,)+为增函数，()fx的极小值是(0)1f=−，无极大值；（2）()(1)(ln(1)1)(01)gxxxaxbx=++−−−，则()ln(1)gx

xa=+−且(0ln(1)ln2)x+，（1）0a时，则()0gx，所以()gx在[0,1]上是增函数，得：(0)01012(ln21)(1)02(ln21)0gbbagab−−−−−−−−，所以21ab+

−，（2）ln2a时，则()0gx，所以()gx在[0,1]上是减函数，得：(0)0102(ln21)1(1)02(ln21)0gbabgab−−−−−−−−，所以2222(ln21)(ln2)ln221abaa++−−+−

−，（3）0ln2a时，则0[0,1]x，使得()0ln1ax=+，易知()gx在()00,x上是减函数，在()0,1x上是增函数，得：()()00(0)1(0)1(1)2(ln21)(1)2(ln21)0

0gbgbgabgabgxgx=−−=−−=−−−=−−−所以()()()2220001ln11aabaxxaxaae++++−−=+−，记2()ahaaae=+−，则()21ahaae=+−，(

)2ahae=−，由0ln2a，得()0ha，所以()ha在(0,ln2)上为增函数，得：()(0)0hah=，所以以()ha在(0,ln2)上为增函数，得：2()(0)1ahaaaeh=+−=−，此时可验证()0g或()1g必

有其一大于等于0，故零点存在；由（1）（2）（3）可得：2ab+的最小值等于1−.【点睛】本题主要考查导数在函数中的综合应用，着重考查了转化与化归思想、分类讨论、及逻辑推理能力与计算能力，对于此类问题，通常要构造新函数，利用导数研究函数的单调性，求出最值，进而得

出相应的含参不等式，从而求出参数的取值范围；也可分离变量，构造新函数，直接把问题转化为函数的最值问题．