【文档说明】四川省眉山市彭山一中2019-2020学年高一下学期期中考试数学试题含答案.docx，共(7)页，570.616 KB，由小赞的店铺上传

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2019—2020学年度彭山一中22届半期考试数学试卷第Ⅰ卷（选择题）一、单选题1．已知向量()1,2a=−，()2,3b=−，则ab=（）A．8−B．4C．7D．1−2．设0ab，则下列不等式中一定

成立的是（）A．0ab−B．01abC．2abab+D．abab+3．完成一项装修工程，请木工每人需付工资500元，请瓦工每人需付工资400元，现有工人工资预算20000元，设木工请x人，瓦工请y人，则x，y应满足的关系式是（）A．54200xy+B．54200xy+

C．54200xy+=D．54200xy+4．在ABC△中，若13AB=，3BC=，120CC=，则AC等于（）A．1B．2C．3D．45．设集合01xMxx=−，220Nxxx=−，则MN

为（）A．01xxB．01xxC．02xxD．02xx6．将一根长为12米的铁管AB折成一个60C的角ACB，然后将A、B两端用木条封上，从而构成三角形ACB在不同的折法中，ABC△面积S的最大值为（）A．9B．93C．18D．1837．已

知1a=，2a=，,60Cab=，则ab+在a上的投影是（）A．1B．277C．2D．778．中华人民共和国国歌有84个字，37小节，奏唱需要46秒，某校周一举行升旗仪式，旗杆正好处在坡度1515°的看台的某一列的正前方，从这一列的第一

排和最后一排测得旗杆顶部的仰角分别为60和30，第一排和最后一排的距离为102米（如图所示），旗杆底部与第一排在同一个水平面上．要使国歌结束时国旗刚好升到旗杆顶部，升旗手升旗的速度应为（）（米/秒）A．5323B．3323C．73

23D．83239．在ABC△中，角A、B、C所对的边分别是a、b、c，若1c=，45B=，3cos5A=，则b等于（）A．35B．107C．57D．521410．如图所示，已知AB是圆O的直径，C，D是半圆弧的两个三

等分点，设ABa=，ADb=，则AC=（）A．12ab−B．12ab−C．12ab+D．12ab−+11．在ABC△中，角A、B、C的对边分别为a、b、c，若2b=，()()cos243sin231ABC+++=+，

点P是ABC△的重心，且273AP=，则a=（）A．23或25B．213C．23或213D．2712．已知点A在线段BC上（不含端点），O是直线BC外一点，且20OAaOBbOC−−=，则221aba

bb+++的最小值是（）A．222+B．222−C．22−D．22第II卷（非选择题）二、填空题13．已知向量a，b的夹角为60，2a=，1b=，则2ab+=______．14．在ABC△中，已知4a

=，45B=，若解此三角形时有两解，则b的取值范围为______．15．已知ABC△中的内角为A，B，C，重心为G，若2sin3sin3sin0AGABGBCGC++=，则cosB=______．16．设点P是ABC△所在平面内动点，P不在BC上，满足CPCACB=

+，且342+=（，R），PAPBPC==，若3AB=，则ABC△的面积的最大值______．三、解答题17．在平面直角坐标系xOy中，已知点()1,2A−，()1,1B，()3,1C−（I

）求AB的坐标及AB；（Ⅱ）当实数t为何值时，()//tOCOBAB+．18．在平面四边形ABCD中，已知3π4ABC=，ABAD⊥，1AB=．（Ⅰ）若5AC=，求ABC△的面积；（Ⅱ）若25sin5CAD=，4AD=，求CD的长．19．

已知A、B、C是ABC△的内角，a、b、c分别是其对边长，向量(),mabc=+，()sinsin,sinsinnBACB=−−，且mn⊥．（Ⅰ）求角A的大小；（Ⅱ）若2a=，求ABC△面积的最大值．20．如图所示，将一矩形花坛ABCD扩建成一个更大的矩形花坛AMPN，要求B点在

AM上，D点在AN上，且对角线MN过点C，已知2AB=米，1AD=米．（Ⅰ）要使矩形AMPN的面积大于9平方米，则DN的长应在什么范围内？（Ⅱ）当DN的长度为多少时，矩形花坛AMPN的面积最小？并求出最小值．21．边长为1的正三角形ABC

，E、F分别是边AB、AC上的点，若AEmAB=，AFnAC=，其中m,()0,1n，设EF的中点为m，BC中点为N．（Ⅰ）若A、M、N三点共线，求证：mn=；（Ⅱ）若1mn+=，求MN的最小值．22．设函数

()()223fxaxbx=+−+（0a），（Ⅰ）若不等式()0fx的解集为()1,3−，求2ab+的值；（Ⅱ）若()14f=，1b−，求11aab++的最小值；（Ⅲ）若3ba=−−，求不等式()42fxx−+的解集．2019-2020学年度彭

山一中22届半期考试数学试卷参考答案题号123456789101112答案ACDABBCACDCB13．2314．224b15．11216．917．【解析】（Ⅰ）∵()1,2A−，()1,1B，∴()

2,1AB=−，∴()22215AB=+−=．（Ⅱ）∵()3,1C−，∴()13,1tOCOBtt+=−+．∵()//tOCOBAB+，∴()()()2111330ttt+−−−=−=，∴3t=．18．【解析】（Ⅰ）在ABC△中，2222cosACABBCABB

CABC=+−，即22512240BCBCBCBC=+++−=，解得2BC=．所以1121sin122222ABCSABBCABC===△．（Ⅱ）因为90BAD=，25sin5CAD=，所以25

cos5BAC=，5sin5BAC=，所以()π2225510sinsincossin422555BCABACBACBAC=−=−=−=．在ABC△中，sinsinACABABCBCA=，∴sin5sinABABCACBCA==

．所以22252cos516254135CDACADACADCAD=+−=+−=，所以13CD=．19．解：（Ⅰ）∵(),mabc=+，()sinsin,sinsinnBACB=−−，mn⊥，∴()

()()sinsinsinsin0abBAcCB+−+−=，由正弦定理得()()()0babaccb+−+−=，整理得222bcabc+−=，∴2221cos22bcaAbc+−==，∴0πA，∴π3A=．（Ⅱ）在ABC△中，π3A=，2

a=，由余弦定理知2222242cosabcbcAbcbc==+−=+−，由基本不等式得2242bcbcbc+=+，当且仅当bc=时等号成立，∴4bc，∴113sin43222ABCSbcA==△，因此，ABC△面积的最大值为3．20．【解析

】（Ⅰ）设DN的长为x（0x）米，则()1ANx=+米，∵DNDCANAM=，∴()21xAMx+=，∴()221AMPNxSANAMx+==矩形．由9AMPNS矩形得()2219xx+，又0x得22520xx−

+，解得102x或2x，即DN的长的取值范围是()10,2,2+．（单位：米）（Ⅱ）因为0x，所以矩形花坛的面积为：()221424448xyxxx+==+++=，当且仅当42xx=，即1x=时，等号成立

．答：矩形花坛的面积最小为8平方米．点睛：本题通过对相似的理解，列出面积公式，再结合实际背景得到变量的取值范围；在利用基本不等式求最值时，要特别注意拆、拼、凑等技巧，使其满足不等式中“正”（即条件要求中字母为正数）、“定”（不等式的另一边必须为定值）、“等

”（等号取得的条件）的条件才能应用．21．【解析】（Ⅰ）由A，M，N三点共线，得AM，AN共线，根据共线向量定理可得，存在R使得AMAN=，即()()1122AEAFABAC+=+，所以mABnACABAC+=+，根据平面向量基本定

理可得mn==，所以mn=．（Ⅱ）因为()()()()1111112222MNANAMABACAEAFmABnAC=−=+−+=−+−，又1mn+=，所以()11122MNmABmAC=−+，因为三角形ABC是边长为1的正三角形，所以1ABAC==，π1cos32ABACABA

C==，所以()()2222211111442MNMNmABmACmmABAC==−++−()()22111π1111cos4423mmmmABAC=−++−()()2211111444mmm

m=−++−21134216m=−+，所以12m=时，MN取得最小值34．22．【解析】（Ⅰ）由不等式()0fx的解集为()1,3−可得：方程()2230axbx+−+=的两根为1−，且0a，由根

与系数的关系可得：1a=−，4b=，所以22ab+=．（Ⅱ）由已知得()14f=，()14ab++=，则()1141aabaab+++++1441aabaab+=+++1441aabaab+=+++1214414aabaaaba++=++，当0a时，1aa=，所

以1514aab++（当且仅当43a=，53b=时等号成立）；当0a时，1aa=−，所以1314aab++（当且仅当4a=−，7b=时等号成立）；所以11aab++的最小值为34；（Ⅲ）由()42fxx−+得()22342axbxx

+−+−+，又因为3ba=−−，所以不等式()42fxx−+化为()2110axax−++，即()()110xax−−，当0a时，11a，原不等式()1110xxxaa−−或1x．若0a，原不等式()110xxa−−．此时原不等式的解的情况应由1

a与1的大小关系决定，故（1）当1a=时，不等式()110xxa−−的解集为；（2）当1a时，11a，不等式()110xxa−−11xa；（3）当01a时，11a，不等式()1

10xxa−−11xa．综上所述，不等式的解集为：①当0a时，11xxxa或；②当01a时，11xxa；③当1a=时，；④当1a时11xxa．故得解．