【文档说明】江苏省镇江市丹阳市2020届高三下学期3月质量检测数学试题【精准解析】.doc，共(29)页，2.456 MB，由小赞的店铺上传

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高三质量检测卷·数学卷一注意事项：考生在答题前请认真阅读本注意事项及各题答题要求：1．本试卷共4页，包含填空题（第1题—第14题）、解答题（第15题—第20题）．本卷满分160分，考试时间为120分钟．考试结束后请将答题卡交回．2．答题

前，请您务必将自己的姓名、准考证号用0．5毫米黑色墨水的签字笔填写在试卷及答题卡的规定位置．3．请在答题卡上按照顺序在对应的答题区域内作答，在其他位置作答一律无效．作答必须用0.5毫米黑色墨水的签字笔．请注意字体工整笔迹清楚．4．如需作图，须用2B铅笔绘、写清楚，线条、符号等须加黑、

加粗．一、填空题：每小题5分，共70分，不需要写出解答过程，请把答案直接填在答题卡相应位置上．1.设全集U=R，集合|13Axx=−，2|20Bxxx=+−，则AB=___________．【答案】{|11}xx−【解析】【分析】转

化条件得|21Bxx=−，利用集合交集的概念即可得解.【详解】由题意2|20|21Bxxxxx=+−=−，||21|1131xxABxxxx=−=−−.故答案为：{|11}xx−.【点

睛】本题考查了一元二次不等式的解法和集合交集的概念，属于基础题.2.设i为虚数单位，aR，若11aii−+是纯虚数，则a=___________．【答案】1【解析】【分析】由题意111122aiaaii−−+=−+，再由纯虚数的概念即可得解.【详解

】()()()()1111111122aiiaiaaiiii−−−−+==−++−,11aii−+为纯虚数，102102aa−=+，解得1a=.故答案为：1.【点睛】本题考查了复数的除法运算和纯虚数的概念，属于基础题.3.已知一组数据6，

7，8，8，9，10，则该组数据的方差是____.【答案】53.【解析】【分析】由题意首先求得平均数，然后求解方差即可.【详解】由题意，该组数据的平均数为678891086+++++=，所以该组数据的方差是22222

215[(68)(78)(88)(88)(98)(108)]63−+−+−+−+−+−=.【点睛】本题主要考查方差的计算公式，属于基础题.4.已知点()0,6A，点B，C分别为双曲线2221(0)4xyaa−=的左、右顶点．若ABC为正三角形，则该双

曲线的离心率为___________．【答案】3【解析】【分析】由题意可得ABBC=，转化条件得262aa+=，求出22a=后利用221bea=+即可得解.【详解】由题意双曲线2221(0)4xyaa−=的左、右

顶点分别为(),0Ba−，(),0Ca，26ABa=+，2BCa=，又ABC为正三角形可得ABBC=，262aa+=解得22a=，双曲线的离心率221123bea=+=+=.故答案为：3.【点睛】本题考查了双曲线离心率的求解，属于基础题.5.宋元时期，数学名著《算学启蒙》中有关于“松竹并生”

的问题：松长四尺，竹长一尺，松日自半，竹日自倍，松竹何日而长等．如图是源于其思想的一个程序框图，如输入4a=，1b=，则输出的n的值为___________．【答案】5【解析】【分析】根据直到型循环结构的要求，

注意变量的取值，逐步计算即可得解.【详解】当1n=时，426a=+=，2b=，ab不成立；当112n=+=时，639a=+=，4b=，ab不成立；当213n=+=时，927922a=+=，8b=，ab不成立；当314n=+=时，272781244a=+=，16b=，ab不成立；

当415n=+=时，8181243488a=+=，32b=，ab成立；输出5n=.故答案为：5.【点睛】本题考查了直到型循环结构程序框图的求解，属于基础题.6.“2020武汉加油、中国加油”，为了抗击新冠肺炎疫情，全

国医护人员从四面八方驰援湖北．我市医护人员积极响应号召，现拟从A医院呼吸科中的5名年轻医生中选派2人支援湖北省黄石市，已知男医生2名，女医生3人，则选出的2名医生中至少有1名男医生的概率是___________．【答案】710【解析】【分析】由题意选出的2名医生中至少有1名男医

生分为恰有1名男医生和全部都是男医生两种情况，由超几何分布的概率公式直接计算即可得解.【详解】由题意，选出的2名医生中至少有1名男医生分为恰有1名男医生和全部都是男医生两种情况，则所求概率为112322256171010CCCpC++===.故答案为：710.【

点睛】本题考查了超几何分布的应用，属于基础题.7.已知圆锥的侧面展开图是一个半径为6cm，圆心角为23的扇形，则此圆锥的体积为___________3cm．【答案】1623【解析】【分析】由题意先求得圆锥的底面半径和高，再利用213Vrh=即可

得解.【详解】圆锥的侧面展开图是一个半径为6cm，圆心角为23的扇形，扇形的弧长为()2643cm=，该圆锥底面半径为()422rcm==，该圆锥的高为()226242hcm=−=，圆锥的体积为()231116244

2333Vrhcm===.故答案为：1623.【点睛】本题考查了圆锥体积的计算，考查了圆锥侧面展开图的应用，属于基础题.8.公差不为零的等差数列{}na的前n项和为nS，若3a是2a与6a的等比中项，33S=，则9S的值为___________．【答案】63

【解析】【分析】由题意得232633aaaS==，再根据等差数列的通项公式和前n项和公式即可的方程组()()()21113125333adadadSad+=++=+=，解方程组即可得解.【详解】数列{}na

为公差不为零的等差数列，3a是2a与6a的等比中项，33S=，232633aaaS==即()()()21113125333adadadSad+=++=+=，解得112ad=−=，91989972632Sad

=+=−+=.故答案为：63.【点睛】本题考查了等差数列基本量的计算，考查了等比中项的性质，属于基础题.9.已知tan2=，则cos(2)4+的值为___________．【答案】7210−【解析】【分析】由tan2=结合商数关系和平方关系可得21cos5=，转化

条件得()222cos(2)2cos14cos42+=−−，即可得解.【详解】tan2=，sin2cos=即sin2cos=，222sincos5cos1+==，21cos5=，()()2222cos(2)cos2sin22cos14c

os4221270+=−=−−−=.故答案为：7210−.【点睛】本题考查了三角函数的以值求值，考查了三角函数商数关系、平方关系和三角恒等变换的应用，属于基础题.10.已知正方形ABCD的边长为2，以C为圆心的圆与直线BD相切．若点M是圆C上的动点，则AMMD的最小值为

___________．【答案】2106−−【解析】【分析】建立直角坐标系，表示出各点坐标和圆22:2Cxy+=，则转化条件得426AMMDxy=+−，令426zxy=+−，当直线4260xyz+−−=与圆C相切时，z取最值，利用426225xyz+

−−=即可得解.【详解】以C为坐标原点，CD、CB分别为x轴、y轴，建立直角坐标系，如图，由以C为圆心的圆与直线BD相切，正方形ABCD的边长为2，则()0,0C，()2,2A，()2,0D，圆C的半径为2r=，则圆22:2

Cxy+=，设点(),Mxy，则()2,2AMxy=−−，()2,MDxy=−−，()2222426AMMDxyyxy=−−−+=+−，令426zxy=+−，可知当直线4260xyz+−−=与圆C相切时，z取最值，此时426225xyz+−−=，解得21

06z=−.AMMD的最小值为2106−−.故答案为：2106−−.【点睛】本题考查了平面向量数量积的坐标表示和非线性规划的应用，考查了转化化归思想，属于中档题.11.已知向量(,1)ma=−，(22,3)(0,0)nbab=

−，若//mn，则211ab++最小值为___________．【答案】23+【解析】【分析】由//mn可得322ab+=，转化条件得()21123211141ababba++=++++，利用基本不等式即可得解.【详解】(,1)ma=−，

(22,3)(0,0)nbab=−，//mn，()322ab=−−即322ab+=，()()421121138141413211babaababab+=+++++++++=()4138223411aabb

+=+++，当且仅当()4311bbaa=++时，等号成立.故答案为：23+.【点睛】本题考查了向量共线的充要条件和利用基本不等式求最值，属于中档题.12.已知223,1()ln,1xxxfxxx−−+=，若函数1()2yfx

kx=−+有4个零点，则实数k的取值范围是______．【答案】1(,)2ee【解析】【分析】转化条件得1()2fxkx=−有4个零点,令()12gxkx=−，画出两函数的图象后可得当函数()gx过点10,2−和()1,0时、函数()gx与()ln1yxx=的图

象相切时，函数()gx与()fx的图象恰有3个交点；当k在两者范围之间时，满足条件，利用导数的性质求出函数()gx与()ln1yxx=的图象相切时k的值即可得解.【详解】由题意1()2yfxkx=−+有4个零点即1()2fxkx=−有4个零点,设()12gxkx=−，则()gx恒过点10,2

−，函数()gx与()fx的图象有4个交点，在同一直角坐标系下作出函数()gx与()fx的图象，如图，由图象可知，当12k时，函数()gx与()fx的图象至多有2个交点；当函数()gx过点10,2

−和()1,0时，12k=，此时函数()gx与()fx的图象恰有3个交点；当函数()gx与()ln1yxx=的图象相切时，设切点为(),lnaa，1yx=，1ka=，1ln12aaa+=，解得ae=，eke=，此时函数()gx与()fx

的图象恰有3个交点；当eke时，两函数图象至多有两个交点；若要使函数1()2yfxkx=−+有4个零点，则1(,)2kee.故答案为：1(,)2ee.【点睛】本题考查了函数的零点问题和导数的几何意义

，考查了数形结合思想，属于中档题.13.已知直线:2()0lxmymmR+−−=恒过定点A，点B，C为圆22:25Oxy+=上的两动点，满足90BAC=，则弦BC长度的最大值为___________．【答案】45【解析】【分析】

由题意得()2,1A，设BC的中点为(),Mxy，由垂径定理可得点(),Mxy在以11,2为圆心，半径为352的圆上，求出minOM后即可得解.【详解】直线:2()0lxmymmR+−−=恒过定点A，()2,1A，圆22:25Oxy+=的半径=5r，圆心为()0,0，设BC的中点为

(),Mxy，则弦BC的弦心距为OM，222OMxy=+，由90BAC=可知12AMBC=，()()22221AMxy=−+−，222rOMAM=+即()()22222521xyxy=++−+−，化简得()22145124xy−+−=

，点(),Mxy在以11,2为圆心，半径为352的圆上，点O在此圆内，2min3511522OM=−+=，()2max225545BC=−=.故答案为：45.【点睛】本题考查了动点轨迹方程

的求解和圆的性质，考查了转化化归思想，属于中档题.14.已知函数()fx的定义域为R，且()()2fxfx+=，当[)0,xÎp时，()sinfxx=−．若存在(0,xm−，使得0()43fx−，则m的取值范围为___________．【答案】10,3

+【解析】【分析】由题意分段求出解析式，画出图象后数形结合即可得解.【详解】()()2fxfx+=且当[)0,xÎp时，()sinfxx=−，当(),0x−时，()43fx−，不合题意；当),2x时，()()2s

infxx=−−，当)2,3x时，()()4sin2fxx=−−，当)3,4x时，()()8sin3fxx=−−，作出函数图象，如图：当)3,4x时，令()8sin343x−−=−得

103x=或113x=，若存在(0,xm−，使得0()43fx−，则103m.故答案为：10,3+.【点睛】本题考查了函数与方程的关系，考查了函数解析式的求解和数形结合思想，属于中档题.二、解答题：本大题共6小题，共计

90分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15.已知在ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且sincos0aBbA−=．（1）求角A的大小：（2）若25a=，2b=．求ABC的面积．【答案】（1）4A=（2）

4【解析】分析：（1）利用正弦定理化简已知等式，整理后根据sin0B求出sincos0AA−=，即可确定出A的度数；（2）利用余弦定理列出关系式，把a，b，cosA的值代入求出c的值，再由b，sinA

的值，利用三角形面积公式求出即可．详解：在ABC中，由正弦定理得sinsinsincos0ABBA−=．即()sinsincos0BAA−=，又角B为三角形内角，sin0B，所以sincos0AA−=，即2sin04A−=

，又因为()0,A，所以4A=．（2）在ABC中，由余弦定理得：2222cosabcbcA=+−，则2220442cc=+−．即222160c−−=．解得22c=−（舍）或42c=．所以12242422S=

=．·点睛：解三角形问题，多为边和角的求值问题，这就需要根据正、余弦定理结合已知条件灵活转化边和角之间的关系，从而达到解决问题的目的.其基本步骤是：第一步：定条件，即确定三角形中的已知和所求，在图形中标出来，然后确定转化的方向.第二步：定工具，即根据条

件和所求合理选择转化的工具，实施边角之间的互化.第三步：求结果.16.如图，在直三棱柱111ABCABC−中，ABBC⊥，1BBBC=，11BCBCM=，N为1AB的中点．（Ⅰ）求证：直线//MN平面ABC；（Ⅱ）求证：11BCAC^．【答案】（I）证明见解析（II）证明见解析【解析】【分析】（

Ⅰ）由平行四边形的性质可得M为1BC的中点，则MN为111ABC△的中位线，结合三棱柱的性质得//MNAC，即可得证；（Ⅱ）由面面垂直的性质得111ABBC⊥，由菱形的性质得11BCBC⊥，即可得1BC⊥平面11ABC，即可得证.【详解】证明：（I）因为直三棱柱111

ABCABC−，则四边形11BBCC和11AACC为平行四边形，即11//ACAC．在11BBCC中，11BCBCM=，则M为1BC的中点，又N为1AB的中点，所以MN为111ABC△的中位线，故11//MNAC，又11//ACAC，所以//MNAC，由MNABC，AC

ABC，所以//MN面ABC．（Ⅱ）在直三棱柱111ABCABC−中，所以1BB⊥平面111ABC．又1BB平面11BBCC，所以平面11BBCC⊥平面111ABC，又ABBC⊥，所以1111ABBC⊥．由11AB平面111ABC，11B

C为交线．所以11AB⊥平面11BBCC．又1BC平面11BBCC，所以111ABBC⊥．又因为1BBBC=，则侧面11BBCC为菱形，故11BCBC⊥．又1111ABBCB=，11AB，1BC面11ABC．所以1BC⊥平面11ABC，又1AC平面

11ABC，所以11BCAC^【点睛】本题考查了线面平行的判定和线面垂直的判定与性质，属于中档题.17.某房地产开发商有一块如图（1）所示的四边形空地ABCD，经测量，边界CB与CD的长都为2km，所形成的角∠60BCD=．（I）如果边界AD与AB

所形成的角120BAD=，现欲将该地块用固定高度的板材围成一个封闭的施工场地，求至多购买多少千米长度的板材；（II）当边界AD与CD垂直，AB与BC垂直时，为后期开发方便，拟在这块空地上先建两条内部道路AE，EF，如图（2）所示，点E在边界CD上

，且道路EF与边界BC互相垂直，垂足为F，为节约成本，欲将道路AE，EF分别建成水泥路、砂石路，每1km的建设费用分别为3a、a元（a为常数）；若设DAE=，试用表示道路AE，EF建设的总费用()F（单位：元），并求出总费用()F的最小值．【答案】（I）

4343km+（II）2sin()(3),0,)cos[3Fa−=+；最小值为23a元.【解析】【分析】（I）由题意结合余弦定理得24()ABADABAD=+−，利用基本不等式

即可得解；（II）由正弦定理得43AC=，则233ADAB==，由题意可得2sin()(3)cosFa−=+，)3[0,，令2sin()cosf−=，)3[0,，求导得到()f最小值即可得解.【详解】（I）

连结BD，易知BDC为等边三角形，则2BD=，在ABD△中，23πBAD=，2BD=，由余弦定理得：2222cos120BDABADABAD=+−即2224()ABADABADABADABAD=++=+−

由基本不等式得：22()4()4ABADABAD++−则433ABAD+（当且仅当ABAD=时“=”成立）．则4433CDCBABAD++++.答：所用板材长度的最大值为4343km+．（Ⅱ）因为AD与CD垂直，AB与BC垂直

，则ABCD四点共圆，且AC为直径，记直径为2R．在ABCD中，2CDCB==，60BCD=，则2BD=，23πBAD=，由正弦定理得：422sin3BDRBDCCRA===，在RTADC和RTABC中，则22233ADABACCB==−=，在RtADEV中，DAE=

，233AD=，则23tan3DE=，233cosAE=，又2CD=，则232tan3CECDDE=−=−，在RtCEF中，3BCD=，则33tan2EFCE==−，则22sin()3(tan)3(3),0,)cos

cos[3FaAEaEFaaa−=+=−+=+，所以总费用2sin()(3),0,)cos[3Fa−=+．记2sin()cosf−=，)3[0,，则222cos(2sin)(sin)12sin()c

oscosf−−−−−+==，令()00f=，得6=，当)6[0,时()00f，()f单调递减；当,63时，()00f，()f单调递增，所以当6=时，()F取最小值，此时min()23Fa=.答．铺设的总

费用的最小值为23a元．【点睛】本题考查了三角函数、正弦定理、余弦定理的综合应用，考查了利用导数求函数的最小值，属于中档题.18.已知椭圆2222:1(0,0)xyCabab+=右焦点F的坐标为(3,0)，点313(,)24P在椭圆C上，过F且

斜率为()0kk的直线l与椭圆C相交于A，B两点，线段AB的中点为M，O为坐标原点．（I）求椭圆C的方程；（Ⅱ）设线段AB的垂直平分线与x轴、y轴分别相交于点C，D．若ODC△与CMF的面积相等，求直线l的斜率k．【答案】（I）2214xy+=（II）24k=【解析】【分析】（I

）由题意得222231314163abab+=−=，解方程即可得解；（II）设直线:(3)lykx=−（0k）点()11,Axy，22(,)Bxy，联立方程组可得222433(,)4141kkMk

k−++，进而可得233(0,)41kDk+，2233(,0)41kCk+，分别表示出ODC△和CMF的面积后，列方程即可得解.【详解】（I）右焦点F的坐标为(3,0)，点PC，22222231314

,14163ababab+===−=．所以椭圆C的方程为2214xy+=．（Ⅱ）设直线:(3)lykx=−（0k）点()11,Axy，22(,)Bxy，由22(3)14ykxxy=−+=，消去y得2222(41)83(124)0kxkxk+−+−=显然，212283

41kxxk+=+，则212243241Mxxkxk+==+，即23(3)41MMkykxk−=−=+．即222433(,)4141kkMkk−++．则线段AB的垂直平分线方程：2223143()4141kkyxkkk+=−−++令0x=，得233(0,)41kDk+；令0y=，得2

233(,0)41kCk+．则ODC△的面积2222221333327||||||241412(41)ODCkkkkSkkk==+++CMF的面积()()22222231||133332414124

1CMFkkkkSkkk+=−−=+++因为ODC△与CMF的面积相等，则22222227||3(1)||2(41)2(41)kkkkkk+=++，解得24k=．故当ODC△与CMF的面积相等时，直

线l的斜率24k=．【点睛】本题考查了椭圆方程的确定和直线与椭圆位置关系的应用，考查了计算能力，属于中档题.19.已知函数2()ln(,)fxaxxbxab=−+R，若()fx在1x=处的切线方程为220

xy−−=．（I）求实数a，b的值；（Ⅱ）证明，函数()22yfxx=−+在x轴的上方无图像；（Ⅲ）确定实数k的取值范围，使得存在01x，当()01,xx时，恒有()()1fxkx−．【答案】（I）1a=，

3b=（II）证明见解析（Ⅲ）(),2−【解析】【分析】（I）由题意得(1)10(1)22fafab=−==−+=，解方程即可得解；（II）构造函数()()22gxfxx=−+，求导后证明函数()0gx

即可得证；（III）由（II）知2k=时不成立；当2k时，由不等式的基本性质可得不符合要求；当2k时，构造函数证明即可得解.【详解】（I）由2()ln(,)fxaxxbxabR−+=，则()2bfxaxx=−+，又切线方程为220xy−−=，令1x=，则0y=，所以(

)10f=且()12f=，(1)10(1)22fafab=−==−+=，则那得：1a=，3b=.（II）由（Ⅰ）知2()3lnfxxxx=−+，令2()()223ln2gxfxxxxx=−+=−−+，则2323(23)(1)()21xxxxgxxxxx−−+−+−

=−−==，令()0gx=得1x=，32x=−（舍）．当()0gx时，01x；当()0gx时，1x．则()gx在()0,1上单调递增，在()1,+上单调递减所以当1x=时，()gx取得最大

值．即()()10gxg=．所以函数()22yfxx=−+在x轴的上方无图像．（III）由（II）可知，①当2k=时，()()21fxx−，所以不存在01x，当()01,xx时，恒有()()21fxx−；所以2k=不符合题意．②当2k时，对于1x，()()()211fxxkx

−−，所以不存在01x，当()01,xx时，恒有()()1fxkx−成立；所以2k不符合题意．③当2k时，设2()()(1)(1)3lnhxfxkxxkxxk=−−=−+−++．因22(1)3()xkxhxx−+−+=

，令()0hx=，即22(1)30xkx−+−+=．因为2(1)240k=−+，解得211(1)244kkx−−−+=，221(1)244kkx−+−+=令()2244ttpt++=，则()2224

0424ttptt++=+，()pt单调递增，又因为2k，所以10x，()211xp−=．取02xx=．当()01,xx时，()0hx，则()hx在()01,x上单调递增．所以()()10hxh=．即()()1fxkx−．所以2k符合题意．故实数k

的取值范围是(),2−．【点睛】本题考查了导数的几何意义和利用导数证明不等式，考查了分类讨论思想，属于中档题.20.已知项数为2(,)mmNm的数列na满足如下条件：①()1,2,,nanm=N；②12

maaa．若数列nb满足12()1mnnaaaabm+++−=−N，其中1,2,,,nm=则称nb为na的“心灵契合数列”．（I）数列1，5，9，11，15是否存在“心灵契合数列”若存在，写出其心灵契合数列，若不存在请说明理由；（II）若nb为na的“心

灵契合数列”，判断数列nb的单调性，并予以证明；（Ⅲ）已知数列na存在“心灵契合数列”nb，且11a=，1025ma=，求m的最大值．【答案】（I）不存在，理由见解析；（II）单调递减，证明见解析；（Ⅲ）33【解

析】【分析】（I）求出1b、2b、3b、4b后，根据“心灵契合数列”的定义判定即可；（II）由“心灵契合数列”的定义，结合数列单调性讨论1nnbb+−的符号即可得解；（Ⅲ）根据数列na及其“心灵契合数列”nb中项的特征，结合单调性分析出

2(1)1024m−，即可得解.【详解】（I）数列1，5，9，11，15不存在“心灵契合数列”因为159111541++++=，*14111051b−==−N，*2415951b−==−N，*3419851b−=−=N，*4411115

512b−==−N，所以数列1，5，9，11，15不存在“心灵契合数列”（Ⅱ）数列nb为单调递减数列．因为111nnnnaabbm++−−=−，11nm−，nN，又因为12maaa，所以有10nnaa+−，所以1101nnnnaabbm++−−=−，即12mbbb

成立所以数列nb为单调递减数列．（Ⅲ）1ijm，都有1jiijaabbm−−=−，因为*ibN，12mbbb．所以ijbNb−，所以*1jiijaabbNm−−=−，所以*11102411mmaabbmmN−−==−−因为*111nnnnaabbNm−−−−

=−，所以11nnaam−−−，又()()()111221mmmmmaaaaaaaa−−−−=−+−++−2(1)(1)(1)(1)mmmm−+−++−=−，则2(1)1024m−，即33m，*10241m−N，所以33m．例如：()3231133nann=−，此时，()

133*33253032nnaaabn+−==−+N，且mb为单调递减数列，故满足题意．所以m的最大值是33．【点睛】本题考查了数列新定义的相关问题，关键是对于概念的理解，建立适当的等量关系或不等关系，属于中档题.高三质量检测卷·理科数学卷二21.设矩阵M＝00ab(

其中a>0，b>0)．(1)若a＝2，b＝3，求矩阵M的逆矩阵M－1；(2)若曲线C：x2＋y2＝1在矩阵M所对应的线性变换作用下得到曲线C′：24x＋y2＝1，求a，b的值．【答案】（1）102103（

2）21ab==【解析】(1)设矩阵M的逆矩阵M－1＝1122xyxy，且M＝1001.则MM－1＝1001.所以10011122xyxy＝1001

.所以2x1＝1,2y1＝0,3x2＝0,3y2＝1，即x1＝12，y1＝0，x2＝0，y2＝13，故所求的逆矩阵M－1＝102103.(2)设曲线C上任意一点P(x，y)，它在矩阵M所对应的线性变换作用下得到点P′(x′，y′)，则00abxy

＝''xy，即{.axxbyy＝，＝又点P′(x′，y′)在曲线C′上，所以2'4x＋y′2＝1，则224ax＋b2y2＝1为曲线C的方程．又已知曲线C的方程为x2＋y2＝1，故2241ab==又a>0，

b>0，所以21ab==22.在直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为2221141txttyt−=+=+，（t为参数），以坐标原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，直线l的极坐标方程为2cos3sin110++=．（1）求C和l的直角坐标方程；（2）求C上的

点到l距离的最小值．【答案】（1）22:1,(1,1]4yCxx+=−；:23110lxy++=；（2）7【解析】【分析】（1）利用代入消元法，可求得C的直角坐标方程；根据极坐标与直角坐标互化原则可得l的直角坐标方程；（2）利用参数方程表示出C上点的坐标，根据点到直线距离公式可将所求距离

表示为三角函数的形式，从而根据三角函数的范围可求得最值.【详解】（1）由2211txt−=+得：210,(1,1]1xtxx−=−+，又()2222161tyt=+()()222116141144111x

xyxxxxx−+==+−=−−++整理可得C的直角坐标方程为：221,(1,1]4yxx+=−又cosx=，siny=l的直角坐标方程为：23110xy++=（2）设C上点的坐标为：()c

os,2sin则C上的点到直线l的距离4sin112cos23sin11677d++++==当sin16+=−时，d取最小值则min7d=【点睛】本题考查参数方程、极坐标方程与直角坐标方程的互化、求解椭圆上的点到直线距离的最值问题.求解本题中的最值

问题通常采用参数方程来表示椭圆上的点，将问题转化为三角函数的最值求解问题.23.在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是边长为2的菱形，侧面PAD⊥底面ABCD，60BCD=，2PAPD==，E，Q分别是BC和PC的中点．（I）求直线BQ与平面PAB所成角的

正弦值；（Ⅱ）求二面角E-DQ-P的正弦值．【答案】（I）4214（II）277【解析】【分析】（I）取AD中点O，连接OP，OB，BD，建立空间直角坐标系后，求出各点坐标，可得31(1,,)22BQ=−−，面PAB的一个法向量为(3,1,3)n=，利用sin|cos,|

nBQ=即可得解；（Ⅱ）由题意，求出平面DEQ的一个法向量为1(1,0,0)n=，平面DQC的一个法向量为2(3,1,3)n=−，求出12cos,nn后，利用平方关系即可得解.【详解】（I）取AD中点O，连接OP，OB，BD．因为PAPD=，所以POAD⊥．

又侧面PAD⊥底面ABCD，面PAD面ABCDAD=，PO平面POD，所以PO⊥平面ABCD，易知POOB⊥．又在菱形ABCD中，60BCD=，O为AD中点，则BOAD⊥故建立以O为坐标原点，OA，OB，OP分别为x，y，z轴的坐标系．因为ABCD菱形，且

60BCD=，2PAPD==，则(1,0,0)A，(0,3,0)B，()0,0,1P，(2,3,0)C−，1,0)(,0,D−，又E，Q是中点，则(1,3,0)E−、31(1,,)22Q−，所以(1,0,1)AP=−，(1,3,0)AB=−，31(1,,)22BQ=−−

设面PAB的一个法向量为(,,)nxyz=，直线BQ与平面PAB所成角，则030APnxzABnxy=−+==−+=，取1y=，则3x=，3z=，故(3,1,3)n=，所以3334222sin|cos,|||1472nBQ−−+===，故直

线BQ与平面PAB所成角的正弦值为4214．（Ⅱ）由（Ⅰ）可知()1,0,0D−，(1,3,0)E−，()0,0,1P，(2,3,0)C−，31(1,,)22Q−，所(0,3,0)DE=，31(0,,)22DQ=，所以平面DEQ的一个

法向量为1(1,0,0)n=，因(1)30DC=−uuur,,，31(0,,)22DQ=，设平面DQC的一个法向量为2(,,)nxyz=，二面角E-DQ-P为，则2200DCnDQn==即3031022xyyz−+=+=

．令3x=，则1y=，3z=−，即2(3,1,3)n=−所以12121221cos,||||7nnnnnn==，所以21227sin1cos,7nn=−=，故所求二面角的正弦值为277．【点睛】本题考查了利用空间向量求线面角和二面角，考查了计算能力，

属于中档题.24.某省从2021年开始将全面推行新高考制度，新高考“312++”中的“2”要求考生从政治、化学、生物、地理四门中选两科，按照等级赋分计入高考成绩，等级赋分规则如下：从2021年夏季高考开始，高

考政治、化学、生物、地理四门等级考试科目的考生原始成绩从高到低划分为,,,,ABCDE五个等级，确定各等级人数所占比例分别为15%，35%，35%，13%，2%，等级考试科目成绩计入考生总成绩时，将A至E等级内

的考生原始成绩，依照等比例转换法分别转换到86,100、71,85、56,70、41,55、30,40五个分数区间，得到考生的等级分，等级转换分满分为100分.具体转换分数区间如下表：等级ABCDE比例15%35%35%13%2%赋分区间86,10071,

8556,7041,5530,40而等比例转换法是通过公式计算：2211YYTTYYTT−−=−−其中1Y，2Y分别表示原始分区间的最低分和最高分，1T、2T分别表示等级分区间的最低分和最高分，Y表示原始分，T表示转换分，当原始分为1Y，2Y时，等

级分分别为1T、2T假设小南的化学考试成绩信息如下表：考生科目考试成绩成绩等级原始分区间等级分区间化学75分B等级69,8471,85设小南转换后的等级成绩为T，根据公式得：847585756971TT−−=−−，所以76

.677T=（四舍五入取整），小南最终化学成绩为77分.已知某年级学生有100人选了化学，以半期考试成绩为原始成绩转换本年级的化学等级成绩，其中化学成绩获得A等级的学生原始成绩统计如下表：成绩95939190

888785人数1232322（1）从化学成绩获得A等级的学生中任取2名，求恰好有1名同学的等级成绩不小于96分的概率；（2）从化学成绩获得A等级的学生中任取5名，设5名学生中等级成绩不小于96分人数为，求的分布列

和期望.【答案】（1）1235P=（2）见解析【解析】【分析】（1）根据成绩换算公式，计算出等级成绩不低于96分时的原始成绩，进而得到等级成绩不低于96分的人数，根据古典概型的概率即可得到所求；（2）列出随机变量的所有可能的取值，分别求出对应的概率，列出分

布列，计算期望即可．【详解】（1）设化学成绩获得A等级的学生原始成绩为x，等级成绩为y，由转换公式得：951008586xyxy−−=−−，即：()148514330861010xxy−−=+=，所以14330

9610x−，得：92.1x，显然原始成绩满足92.1x的同学有3人，获得A等级的考生有15人.恰好有1名同学的等级成绩不小于96分的概率为113122151235CCPC==.（2）由题意可得：等级成绩不小于96分人数为3人，获得A等级的考生有15人，

0531251524(0)91CCPC===，1431251545(1)91CCPC===2331251520(2)91CCPC===，323125152(3)91CCPC===则分布列为01

23P249145912091291则期望为：45202231919191E=++=【点睛】本题考查古典概型、计数原理、统计表的应用、超几何分布，考查数据处理能力和运算求解能力，属于中档题．