【文档说明】陕西省西安中学2021届高三上学期期中考试数学（文）试题 【精准解析】.doc，共(21)页，1.401 MB，由小赞的店铺上传

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西安中学2020-2021学年度第一学期期中考试高三数学（文）一、选择题：（本大题共12小题，每小题5分，共60分.请将正确答案填写在答题纸相应位置.）1.设31izi=+（i为虚数单位），则z=（）A.22B.2C.12D.2【答案】A【解析】【分析】直接利用复数代数形式的乘除运算化简，再

由复数求模公式计算得答案．【详解】解：设3(1)11111(1)(1)222iiiiiziiiii+−+=====−++−−+，112||442z=+=，故选：A．【点睛】本题考查了复数代数形式的乘除运算，考查了复数模的求法，属于基础题．2.已知集合2{|28}Mxxx=−Z，{1,3

}P=，{0,7}Q=，则()MQP=ðA.{0,1,7}B.{1,0,7}−C.{0,1,3,7}D.{1,0,2,7}−【答案】D【解析】【分析】求得不等式228xx−的解集，得到集合1,0

,1,2,3M=−，求得1,0,2MP=−ð，再根据集合的并集运算，即可求解，得到答案．【详解】由题意，不等式228xx−，解得24x−，所以1,0,1,2,3M=−，所以1,0,2MP=−

ð，所以()0,71,0,21,0,2,7MQP=−=−ð．故选D．【点睛】本题主要考查了集合的混合运算，其中解答中正确求解集合M，再根据集合的运算，准确求解是解答的关键，着重考查了运算与求解能力，属于基础题．3.已知向量(),1at=，()1,2b

=.若ab⊥，则实数t的值为（）A.－2B.2C.12−D.12【答案】A【解析】【分析】由题意利用两个向量垂直的性质，两个向量的数量积公式，求出t的值.【详解】解：∵向量()1at=，，()1,2b=，若ab⊥，则20abt=+=，∴实数2t=−，故选：A.【点睛】本题考查向量垂直的求参，

重在计算，属基础题.4.已知4log0.9a=，0.14b=，40.1c=，则（）A.abcB.acbC.cabD.bac【答案】B【解析】【分析】根据a，b，c的正负和与1的关系比较.【详解】因为4log0.90=a，0.114=b，400.11=c

，所以acb，故选：B【点睛】本题主要考查数的比较大小，属于基础题.5.相关变量,xy的散点图如图所示，现对这两个变量进行线性相关分析，方案一：根据图中所有数据，得到线性回归方程11ybxa=+，相关系数为1r；方案二：剔除点(10,21)，根据剩下数据得到线性回归直线方程：

22ybxa=+，相关系数为2r.则（）A.1201rrB.2101rrC.1210rr−D.2110rr−【答案】D【解析】【分析】根据相关系数的意义：其绝对值越接近1，说明两个变量越具有线性相关，以及负相关的意义作判断.【详解】由散点图得负相关，所以

12,0rr，因为剔除点()10,21后，剩下点数据更具有线性相关性，r更接近1，所以2110rr−.选D.【点睛】本题考查线性回归分析，重点考查散点图、相关系数，突显了数据分析、直观想象的考查.属基础题.6.已知α满足123cos

+=−，则cos2α＝（）A.79B.718C.79−D.718−【答案】A【解析】【分析】由已知结合诱导公式先进行化简，然后结合二倍角余弦公式即可求解.【详解】因为﹣sinα123cos

=+=−，所以sin13=，则cos2α＝1﹣2sin2α＝1﹣21799=.故选：A.【点睛】本题主要考查了诱导公式及二倍角公式在三角化简求值中的应用，属于基础题.7.执行如图程序框图，则输出结果为（）A.

5B.4C.3D.2【答案】B【解析】【分析】按照程序框图运行程序，直到满足TS时输出即可得到结果.【详解】按照程序框图运行程序，输入1n=，1S=，20T=，则10T=，112S=+=，2n=，不满足TS，循环；5T=，224S=+=，3

n=，不满足TS，循环；52T=，437S=+=，4n=，满足TS，输出4n=.故选：B.【点睛】本题考查根据程序框图循环结构计算输出结果的问题，属于基础题.8.函数ln||cosxyxxx=+的部分图象大致为（）A.B.C.D.【答案】A【解析】【分析】根据函数

的奇偶性，以及函数图像上的特殊点，对选项进行分析和排除，由此得出正确选项.【详解】()lncosxfxxxx=+，定义域为|0xx，()()lncosxfxxxfxx−=−+=−，故函数为奇函数

，图像关于原点对称，排除,BC两个选项.()lnπππ0πf=−+，排除D选项，故选A.【点睛】本小题主要考查函数图像的判断，考查函数的奇偶性，属于基础题.9.已知()fx是定义域为(,)−+的奇函数，满足(1)(1)fx=f+x−，若(1)2f=，则(1)(2)f+f(3)(2020

)ff+++=（）A.50B.2C.0D.50−【答案】C【解析】【分析】利用()fx是定义域为(,)−+的奇函数可得：()()fxfx−=−且()00f=，结合(1)(1)fx=f+x−可得：函数()fx的周期为4；再利用赋值法可求得：()20f=，()32f=−，()40f=，问题得解.

【详解】因为()fx是定义域为(,)−+的奇函数，所以()()fxfx−=−且()00f=又(1)(1)fx=f+x−所以()()()()()21111fxfxfxfxfx+=++=−+=−=−所以()()()()()4222fxfx

fxfxfx+=++=−+=−−=所以函数()fx的周期为4，在(1)(1)fx=f+x−中，令1x=，可得：()()200ff==在(1)(1)fx=f+x−中，令2x=，可得：()()()3112fff=−=−=−在(1)(1)fx=f+x−中，令3x=，可得

：()()()4220fff=−=−=所以(1)(2)f+f()()()()2020(3)(2020)12344ffffff+++=+++50500==故选C【点睛】本题主要考查了奇函数的性质及函数的周期性应用，还考查了赋值法及计算能力、分析能力，属于中

档题．10.我国南宋数学家杨辉1261年所著的《详解九章算法》一书里出现了如图所示的表，即杨辉三角，这是数学史上的一个伟大成就.在“杨辉三角”中，第n行的所有数字之和为12n−，若去除所有为1的项，依次构成数列2,3,3,4,6,4,5,10,10,5,，则

此数列的前55项和为()A.4072B.2026C.4096D.2048【答案】A【解析】【分析】利用n次二项式系数对应杨辉三角形的第n+1行，然后令x＝1得到对应项的系数和，结合等比数列和等差数列的公式进行转化求解即可．【

详解】解：由题意可知：每一行数字和为首项为1，公比为2的等比数列，则杨辉三角形的前n项和为Sn1212n−==−2n﹣1，若去除所有的为1的项，则剩下的每一行的个数为1，2，3，4，……，可以看成构成一个首项为

1，公差为1的等差数列，则Tn()12nn+=，可得当n＝10，所有项的个数和为55，则杨辉三角形的前12项的和为S12＝212﹣1，则此数列前55项的和为S12﹣23＝4072，故选A．【点睛】本题主要考查归纳推理的应用，结合杨辉三角形的系数与二项式系数的关系以及等

比数列等差数列的求和公式是解决本题的关键，综合性较强，难度较大．11.设点P是函数()()()201xfxefxf=−+图象上的任意一点，点P处切线的倾斜角为，则角的取值范围是（）A.30,4B.30,,24C.3,24

D.30,,24【答案】B【解析】【分析】在()fx中令0x=后可求()01f=，再根据导数的取值范围可得tan的范围，从而可得的取值范围.【详解】()()()2e01xfxfxf=−+，()()2e0xfxf=−，()()020ff

=−，()01f=，()()2e1xfxxf=−+，()2e11xfx=−−.点P是曲线上的任意一点，点P处切线的倾斜角为，tan1−.)0,，30,,24

.故选：B.【点睛】本题考查导数的运算以及导数的几何意义，还考查了直线的斜率与倾斜角的关系，本题属于基础题.12.已知22(,)1,,AxyxyxZyZ=+，(,)3,3,,BxyxyxZ

yZ=.定义集合12121122(,)(,),(,),ABxxyyxyAxyB=++，则AB的元素个数n满足（）A.77n=B.49nC.64n=D.81n【答案】A【解析】【

分析】先理解题意，然后分①当11x=,10y=时,②当10x=,11y=时,③当10x=,10y=时,三种情况讨论即可.【详解】解:由22(,)1,,AxyxyxZyZ=+，(,)3,3,,BxyxyxZyZ

=,①当11x=,10y=时,124,3,2,1,0,1,2,3,4xx+=−−−−,123,2,1,0,1,2,3yy+=−−−,此时AB的元素个数为9763=个,②当10x=,11y=时,123,2,

1,0,1,2,3xx+=−−−,124,3,2,1,0,1,2,3,4yy+=−−−−,这种情况和第①种情况除124,4yy+=−外均相同,故新增7214=个,③当10x=,10y=时,123,2,1,0,1,2,3xx+=−−−,123,2,1,0,1

,2,3yy+=−−−,这种情况与前面重复,新增0个,综合①②③可得:AB的元素个数为6314077++=个,故选:A.【点睛】本题考查了元素与集合关系的判断，重点考查了计数原理的应用，属中档题.第Ⅱ卷(非选择题共90分)二、填

空题：（本大题共4小题，每小题5分，共20分.请将正确答案填写在答题纸相应位置.）13.曲线()2xfxexx=−+在点()()00f，处的切线方程是______.【答案】210xy−+=【解析】【分析

】根据()2xfxexx=−+，求导为()21xfxex=−+，然后求得()()0,0ff，由点斜式写出切线方程.【详解】因为()2xfxexx=−+，所以()21xfxex=−+，所以()()00201

2,01fef=−+==，所以函数()fx在点()()00f，处的切线方程是12yx−=，即210xy−+=，故答案为：210xy−+=【点睛】本题主要考查导数的几何意义，属于基础题.14.若x，y满足约束条件1020220xyxy+−−−

，则3zxy=+的最大值是______.【答案】8【解析】【分析】在平面直角坐标系内，画出约束条件所表示的可行解域，在可行解域内平移直线13yx=−，找到一点使得直线13yxz=−+在纵轴上的截距最大，把点的坐标

代入目标函数中即可.【详解】约束条件所示的可行解域如下图所示：在可行解域内平移直线13yx=−，当直线13yxz=−+经过A点时，直线在纵轴上的截距最大，A点的坐标是方程组222yyx==−的解，解得22yx==，所以3zxy=+的最大值是2328+=.故答案为：8【点睛】本题考

查了线性规划的应用，考查了数形结合思想和数学运算能力.15.等比数列na的前n项和为nS，且14a，22a，3a成等差数列，若11a=，则10S=____【答案】1023【解析】【分析】先根据题意得2q=，再根据等比数列前n项和公式计算即可得答案.【详解】解：设等比数列的公

比为q，由14a，22a，3a成等差数列，所以21344aaa=+，即211144aqaaq=+，所以2440qq−+=，解得2q=.由于11a=，所以12nna-=，所以1010101221102312S−==−=−.故答案为：1023.【点睛】本题考查等比数列的计算，等比数列前n

项和公式，考查运算能力，是基础题.16.关于函数()sin|||sin|fxxx=+有下述四个结论：①()fx是偶函数；②()fx在区间,2ππ单调递增；③()fx在,−有4个零点；④()fx的最大值为2；其中所有正确结论的编号是____

_____.【答案】①④【解析】【分析】结合题意，得出函数的奇偶性，根据奇偶性研究函数在0x时的性质对结论逐一判断即可．【详解】解：∵()sin|||sin|fxxx=+，定义域为R，∴()()sin|||s

in|fxxx−=−+−sinsin()xxfx=+=，∴函数()fx是偶函数，故①对；当0,x时，()sin|||sin|fxxx=+sinsin2sinxxx=+=，∴由正弦函数的单调性可知，函数()fx在区间,2π

π上单调递减，故②错；当0,x时，由()2sin0fxx==得0x=，x=，根据偶函数的图象和性质可得，()fx在),0−上有1个零点x=−，∴()fx在,−有3个零点，故③错；当0x时，()sin|||sin|fxxx=+sinsinxx=+2si

n,sin00,sin0xxx=，根据奇偶性可得函数()fx的图象如图，∴当sin1x=时，函数()fx有最大值()max2fx=，故④对；故答案为：①④．【点睛】本题主要考查与三角函数有关的命题的真假判断，结合绝对值的应用以及利用三角函数的性质是解决本题的关键，属于

中档题．三、解答题：(共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答.第22，23题为选考题，考生根据要求作答.)（一）必考题：共60分.17.“微信运动”已成为当下热门的健身方式，小明的微信朋友圈内也有大量好友参与了“微信运动”，他随机选取了其中

的40人（男、女各20人），记录了他们某一天的走路步数，并将数据整理如下：0～20002001～50005001～80008001～1000010000男12368女021062（1）若采用样本估计总体的方式，试估计小明

的所有微信好友中每日走路步数超过5000步的概率；（2）已知某人一天的走路步数超过8000步时被系统评定为“积极型”，否则为“懈怠型”.根据小明的统计完成下面的22列联表，并据此判断是否有95%以上的把握认为“评定类型”与“性别”有关？积极型懈怠型总计男女总计附：()()()()()22nadb

cKabcdacbd−=++++nabcd=+++20()PKk0.100.050.0250.0100k2.7063.8415.0246.635【答案】(1)78(2)没有95%以上的把握认为二者有关【解析】分析：（1）根据古典概型

的计算公式得到40人中该日走路步数超过5000步的有35人，频率为78；（2）根据公式得到.()2240141268403.8412218202011K−==，进而得到结论.详解：（1）由题知，40人中该日走路步数超过

5000步的有35人，频率为78，所以估计他的所有微信好友中每日走路步数超过5000步的概率为78；（2）积极型懈怠型总计男14620女81220总计221840()2240141268403.841221820201

1K−==，所以没有95%以上的把握认为二者有关.点睛：点睛:本题考查概率的求法，考查古典概型等基础知识，古典概型一般是事件个数之比，即满足条件的事件个数除以总的事件个数即古典概型的概率.18.已知在ABC中，角A、B、C的

对边分别为a、b、c，且满足1cos2acBb=+．（1）求角C的大小；（2）若7ab+=，ABC的面积等于33，求c边长．【答案】（1）3（2）13【解析】【分析】（1）利用正弦定理可化边为角，利用三角恒等变换即可；（2）由面积公式可求得ab，

联立7ab+=求出,ab，利用余弦定理即可求出c.【详解】（1）由正弦定理可知，1sinsincossin2ACBB=+，1sin()sincossin2BCCBB+=+，即1sincossin2BCB=sin0B1cos2C

=，0C，3C=（2）13sin3324ABCSabCab===VQ，12ab=7ab+=Q2222coscababC=+−2()3493613abab=+−=−=13c=【点睛】本题主要考查了正弦定理，余弦定理，三角形面积公式的应用，属于中档题.19.已知等差数列na的公差

为()0dd，等差数列nb的公差为2d，设nA，nB分别是数列na，nb的前n项和，且13b=，23A=，53AB=.（1）求数列na，nb的通项公式；（2）设11nnnncbaa+=+•，数列nc的前n项和为n

S，证明：2(1)nSn+.【答案】（1）nan=，21nbn=+；（2）见解析【解析】【分析】（1）由等差数列的通项公式及求和公式列1ad，的方程组求解则nan=可求，进而得21nbn=+（2）利用()11121211

1ncnnnnnn=++=++−++分组求和即可证明【详解】（1）因为数列na，nb是等差数列，且23A=，53AB=，所以112351096adadd+=+=+.整理得11

23549adad+=+=，解得111ad==，所以()11?naandn=+−=，即nan=，()11221nbbndn=+−=+，即21nbn=+.综上，nan=，21nbn=+.（2）

由（1）得()111212111ncnnnnnn=++=++−++，所以()11111352112231nSnnn=+++++−+−++−+，即()()22

211211111nSnnnnnn=++−=+−+++.【点睛】本题考查等差数列的通项公式及求和公式，裂项相消求和，考查推理计算能力，是中档题20.为了解春季昼夜温差大小与某种子发芽多少之间的关系，现

在从4月份的30天中随机挑选了5天进行研究，且分别记录了每天昼夜温差与每天每100颗种子浸泡后的发芽数，得到如下表格：日期4月1日4月7日4月15日4月21日4月30日温差x/℃101113128发芽数y/颗2325302616（1）从这5天中任选2天，记发芽的种子数

分别为m，n，求事件“m，n均不小于25”的概率；（2）从这5天中任选2天，若选取的是4月1日与4月30日的两组数据，请根据这5天中的另三天的数据，求出y关于x的线性回归方程ˆˆˆybxa=+；（3）若由线性回归方程得到的估计数据与所选出的检验数据的误差均不超过

2颗，则认为得到的线性回归方程是可靠的，试问（2）中所得的线性回归方程是否可靠？(参考公式：1221ˆniiiniixynxybxnx==−=−，ˆˆaybx=−)【答案】（1）310；（2）532yx=−；（3）（2）中所得到的线性回归方程是可靠的

．【解析】【分析】（1）根据列举法，分别写出总的基本事件，以及满足条件的基本事件，基本事件个数之比即为所求概率；（2）根据题意求出x，y，再由最小二乘法求出ˆb，ˆa，即可得出结果；（3）根据（2）的结果，由题意

，进行检验，即可得出结论.【详解】（1）从这5天中任选2天所包含的基本事件为()23,25，()23,30，()23,26，()23,16，()25,30，()25,26，()25,16，()30,26，()30,16，()26,16，共10个．设事件“m，n均不小于25”

为事件A，则事件A包含的基本事件为()25,30，()25,26，()30,26，共3个，故由古典概型概率公式得()310PA=；（2）由题中数据得，另3天的平均数111312123x++==，253026273y++==，所以()2222112513301226312275ˆ2111312312

b++−==++−，因此5ˆˆ271232aybx=−=−=−，所以y关于x的线性回归方程为5ˆ32yx=−；（3）依题意得，当10x=时，ˆ25322y=−=，22232−；当8x=时，ˆ20317y=−=，17162−；所以（2）中所得到的线性回归方

程是可靠的．【点睛】本题主要考查求古典概型的概念，以及最小二乘法求线性回归方程，属于常考题型.21.已知函数()lnfxax=.（1）讨论函数()()1gxxfx=−−的单调性与极值；（2）证明：当1a=且)1,x+时，不等式()()()121xfxx+

−恒成立.【答案】(1)答案见解析;(2)证明见解析.【解析】【分析】(1)由题知()1lngxxax=−−,对()gx求导后,根据a的正负,分别讨论()gx的单调性与极值即可;(2)设()()1ln

22(1)hxxxxx=+−+,对()hx求导,根据()hx的正负研究()hx的单调性,从而得出其最值,证明出min()0hx,即可证明题设不等式.【详解】(1)()lnfxax=,()()11lngxxf

xxax=−−=−−,则()1axagxxx−=−=,①当0a时,()0gx,故()gx在(0,)+上单调递增,无极值;②当0a时,令()0gxxa,令()00gxxa,故()gx在(,)a+上

单调递增,在(0,)a上单调递减,因此()gx有极小值()1lngaaaa=−−,无极大值.(2)当1a=时,设()()()()121(1)hxxfxxx=+−−,则()()1ln22(1)hxxxxx=+−+,1()ln1hxxx=+−,设1()ln1(1)Hxxxx=+−,则2

2111()0xHxxxx−=−=,因此()Hx在)1,+上单调递增,即()hx在)1,+上单调递增,所以()(1)0hxh=,所以()hx在)1,+上单调递增,所以()(1)0hxh=,即1a=且)1,x+时不等式()()(

)121xfxx+−恒成立.【点睛】本题考查了利用导数研究函数的单调性与极值,考查了不等式恒成立问题的证明,属于中档题.解决含参函数单调性问题时,常用分类讨论法;遇见恒成立问题时,常将问题转化为函数最值问题求解.（二）选考题：共10分.请考生在第22，23题中任

选一题作答.如果多做，那么按所做的第一题计分.【选修4-4：坐标系与参数方程】22.在直角坐标系xOy中，以O为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，圆C的极坐标方程为22cos4=+，直线l的参数方程为1x

tyt==−+，(t为参数)，直线l和圆C交于A、B两点，P是圆C上异于A、B的任意一点.（1）求圆C的参数方程；（2）求PAB面积的最大值.【答案】（1）1212xcosysin=+=−+（为参数）；（2）332.【解析】【分析】（1）直接利用转换关系，把参数方程直角坐标方

程和极坐标方程之间进行转化．（2）利用点到直线的距离公式的应用及三角形的面积公式求出结果．【详解】解：（1）圆C的极坐标方程为22cos4=+，所以22coscossinsin44=−所以2cos2sin=−所以22cos2sin

=−所以2222xyxy+=−所以直角坐标方程为：22(1)(1)2xy−++=，可得参数方程为：()1212xcosysin=+=−+为参数.（2）直线l的参数方程为1xtyt==−+，(t为参数)，易知直线l为10xy−−=.圆心到直线的距离

111222d+−==，由于：2r=，所以：12262AB=−=，由几何图形可知P到直线AB的最大距离为232222+=.所以：PAB△面积的最大值为132336222=.【点睛】本题考查的知识要点：参数方程直角坐标方程和极坐标方程之

间的转换，点到直线的距离公式的应用，弦长公式的应用，三角形面积公式的应用，主要考查学生的运算能力和转化能力，属于中档题．【选修4-5：不等式选讲】23.已知函数()1144fxxx=−++，M为不等式()2fx的解集．

（1）求M；（2）证明：当a，bM时，21abab−−≥．【答案】（1）1,1M=−；（2）证明见解析.【解析】【分析】（1）根据绝对值定义化简函数，再解三个不等式组，最后求并集得结果；（2）利用分析法证明不等式【详解】（1）()12,,411111,,4424412,4xxfxxxx

xx−−=−++=−()12422xfxx−−或1144122x−或1422xx114x−−或1144x−或114x所以不等式的解集为1,1M=−．（2）要证21abab−

−≥，只需证21abab−−，即证()241abab−−，只需证22442abaabb−−+≥，即2242aabb++≥，即证()24ab+，只需证2ab+因为a，bM，所以2ab+，所以所证不等式成立．【点睛】本题考查含绝对值不等式解法、分析法证明不等

式，考查基本分析论证与求解能力，属中档题.