【文档说明】2025届高考数学一轮复习专练37 等差数列.docx，共(10)页，78.059 KB，由小赞的店铺上传

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温馨提示：此套题为Word版，请按住Ctrl,滑动鼠标滚轴，调节合适的观看比例，答案解析附后。关闭Word文档返回原板块。三十七等差数列(时间:45分钟分值:100分)【基础落实练】1.(5分)数列{an}满足2an=an-1+an+1(n≥2),且

a2+a4+a6=12,则a3+a4+a5=()A.9B.10C.11D.12【解析】选D.由2an=an-1+an+1(n≥2)可知数列{an}为等差数列,所以a2+a4+a6=a3+a4+a5=12.2.(5分)公差不为0的等差数列{an}的前n项和为

Sn,若a6=3a4,且S10=λa4,则λ的值为()A.15B.21C.23D.25【解析】选D.由题意得a1+5d=3(a1+3d),所以a1=-2d.所以λ=𝑆10𝑎4=10𝑎1+10×92𝑑𝑎1+3𝑑=10×(-2𝑑)+45𝑑-2𝑑+3𝑑=25.

3.(5分)(一题多法)北京天坛的圜丘坛为古代祭天的场所,分上、中、下三层.上层中心有一块圆形石板(称为天心石),环绕天心石砌9块扇面形石板构成第一环,向外每环依次增加9块.下一层的第一环比上一层的最后一环多9块,向外每环依次也增加9块.已知

每层环数相同,且下层比中层多729块,则三层共有扇面形石板(不含天心石)()A.3699块B.3474块C.3402块D.3339块【解析】选C.方法一:设每层环数为n(n∈N*),则上层由内向外每环的扇

面形石板的块数依次为a1,a2,…,an,中层由内向外每环的扇面形石板的块数依次为an+1,an+2,…,a2n,下层由内向外每环的扇面形石板的块数依次为a2n+1,a2n+2,…,a3n.由题意知(a2n+1+a2n+2+…+a3n)-(an+1+an

+2+…+a2n)=729,由等差数列的性质知a2n+1-an+1=a2n+2-an+2=…=a3n-a2n=9n,所以9n2=729,得n=9.则数列{an}共有9×3=27项,故三层共有扇面形石板(不含

天心石)的块数即为数列{an}的前27项和,即27×9+27×262×9=3402.方法二:设每层环数为n(n∈N*),设数列{an}的前n项和为Sn,由等差数列的性质知,Sn,S2n-Sn,S3n-S2n成等差数列,且(S3n-S2n)-(S2n-Sn)=9n2,则9n2=729,解得

n=9.则数列{an}共有9×3=27项,故三层共有扇面形石板(不含天心石)的块数即为数列{an}的前27项和,即27×9+27×262×9=3402.4.(5分)设等差数列{an}的前n项和为Sn,等差数列{bn}的前n项和为Tn,若𝑆�

�𝑇𝑛=2025𝑛-363𝑛+4,则𝑎3𝑏3=()A.528B.529C.530D.531【解析】选D.根据等差数列的性质:𝑎𝑛𝑏𝑛=𝑆2𝑛-1𝑇2𝑛-1得,𝑎3𝑏3=𝑆5𝑇5=2025×5-363

×5+4=531.5.(5分)南宋数学家杨辉在《详解九章算法》和《算法通变本末》中,提出了一些新的垛积公式,所讨论的高阶等差数列与一般等差数列不同,前后两项之差并不相等,但是逐项差数之差或者高次差成等差数列.对这类高阶等差数列的研究,在杨辉之后一般称为“垛积术”.现有高阶等差数列,其前7项分别为

1,5,11,21,37,61,95,则该数列的第8项为()A.99B.131C.139D.141【解析】选D.根据所给定义,用数列的后一项减去前一项得到一个数列,得到的数列也用后一项减去前一项得到一个数列,即得到了一个等差数列,如图:由图可得{𝑦-34=12𝑥-95=𝑦,则{𝑥=14

1𝑦=46.6.(5分)(多选题)设{an}是等差数列,d是其公差,Sn是其前n项和,且S5<S6,S6=S7>S8,则下列结论正确的是()A.d<0B.a7=0C.S9>S5D.当n=6或n=7时Sn取得最大值【解析】选ABD.由S5<S6,得a1+a2+a3+a4+a5<a1+a

2+a3+a4+a5+a6,即a6>0.同理由S7>S8,得a8<0.又S6=S7,所以a1+a2+…+a6=a1+a2+…+a6+a7,所以a7=0,所以B正确;因为d=a7-a6<0,所以A正确;而C选项,S9>S5,即a6+a7+a8+a9>0,可得2(a7+a8)

>0,由结论a7=0,a8<0,知C选项错误;因为S5<S6,S6=S7>S8,所以结合等差数列前n项和的函数特性可知D正确.7.(5分)已知等差数列{an}的前n项为Sn,若S4=3,S5=4,则a9=________.【解析】由题知:{𝑆4=4𝑎1+6𝑑=3,

𝑆5=5𝑎1+10𝑑=4,解得a1=35,d=110.所以a9=a1+8d=35+8×110=75.答案:758.(5分)已知数列{an}(n∈N*)是等差数列,Sn是其前n项和.若a2a5+a8=0,S9

=27,则S8的值是________.【解析】设等差数列{an}的首项为a1,公差为d,则{(𝑎1+𝑑)(𝑎1+4𝑑)+𝑎1+7𝑑=0,9𝑎1+9×82𝑑=27,解得{𝑎1=-5,𝑑=2.所

以S8=8a1+8×72d=8×(-5)+56=16.答案:169.(10分)已知数列{an}的各项均为正数,其前n项和为Sn,且满足2Sn=𝑎𝑛2+n-4(n∈N*).(1)求证:数列{an}为等差数列;【解析】(1)当n=1时,有2a1=𝑎12+1-4,即𝑎12-2a1-3=0,所以

a1=3(a1=-1舍去).当n≥2时,有2Sn-1=𝑎𝑛-12+n-5,又2Sn=𝑎𝑛2+n-4,所以两式相减得2an=𝑎𝑛2-𝑎𝑛-12+1,即𝑎𝑛2-2an+1=𝑎𝑛-12,即(an-1)2=𝑎𝑛-12,因此

an-1=an-1或an-1=-an-1.若an-1=-an-1,则an+an-1=1,而a1=3,所以a2=-2,这与数列{an}的各项均为正数矛盾,所以an-1=an-1,即an-an-1=1,因此数列{an}为等差数列.9.(1

0分)已知数列{an}的各项均为正数,其前n项和为Sn,且满足2Sn=𝑎𝑛2+n-4(n∈N*).(2)求数列{an}的通项公式.【解析】(2)由(1)知a1=3,数列{an}的公差d=1,所以数列{an}的通项公式为an

=3+(n-1)×1=n+2.【能力提升练】10.(5分)若{an}是公差为1的等差数列,则{a2n-1+2a2n}是()A.公差为3的等差数列B.公差为4的等差数列C.公差为6的等差数列D.公差为9的等差数列【解析】选C.令

bn=a2n-1+2a2n,则bn+1=a2n+1+2a2n+2,故bn+1-bn=a2n+1+2a2n+2-(a2n-1+2a2n)=(a2n+1-a2n-1)+2(a2n+2-a2n)=2d+4d=6d=6×1=6.即{a2n-1+2a2n}是公差

为6的等差数列.11.(5分)(多选题)《张丘建算经》是中国古代数学史上的杰作,该书中有首古民谣记载了一数列问题:“南山一棵竹,竹尾风割断,剩下三十节,一节一个圈.头节高五寸①,头圈一尺三②.逐节多三分③,逐圈少分三④.一蚁往上爬,遇圈则绕圈.爬到竹子顶,行程是多远?”(注释:①第一节(最下

面一节)的高度为0.5尺;②第一圈(最下面一圈)的周长为1.3尺;③每节比其下面的一节多0.03尺;④每圈周长比其下面的一圈少0.013尺)下列说法正确的是()A.蚂蚁爬到第10节底部时的高度是5.58尺B.蚂蚁爬到第10节底部时的高度是6.35尺C.蚂蚁爬到竹子顶的行程是73.995尺D.

蚂蚁爬到竹子顶的行程是61.395尺【解析】选AD.设从地面往上,每节竹长依次为a1尺,a2尺,a3尺,…,a30尺,所以{an}是以a1=0.5为首项,0.03为公差的等差数列,an=0.5+0.03(n-1)=0.03n+0.47,前n项

和Sn=0.5n+0.015n(n-1)=0.015n2+0.485n,S9=5.58,A正确,B错误.由题意知竹节圈长,上面一圈比下面一圈少0.013尺,设从地面往上,每节圈长依次为b1尺,b2尺,b3尺,…,b30尺,所以{bn}是以b1=

1.3为首项,-0.013为公差的等差数列,所以一蚂蚁往上爬,遇圈则绕圈,爬到竹子顶,行程为(0.015×302+0.485×30)+[30×1.3+30×292×(-0.013)]=61.395(尺),C错误

,D正确.12.(5分)已知三个数成等差数列,它们的和为3,平方和为359,则这三个数的积为________.【解析】设这三个数分别为a-d,a,a+d,由已知条件得{(𝑎-𝑑)+𝑎+(𝑎+𝑑)=3,(𝑎-𝑑)2+𝑎2+(�

�+𝑑)2=359,解得{𝑎=1,𝑑=±23.所以这三个数分别为13,1,53或53,1,13.故它们的积为59.答案:5913.(5分)已知数列{an}的各项均为正数,其前n项和为Sn,且2Sn=anan+1,n∈N*,则a4=________;若a1

=2,则S20=________.【解析】由2Sn=anan+1可得2Sn+1=an+1an+2,两式相减得2an+1=an+1(an+2-an),由数列{an}的各项均为正数,可得到an+2-an=2,令n=1,则有2S1=2a1=a1a2,解

得a2=2,所以a4=4;若a1=2,则a3=4,即奇数列与偶数列均为首项为2,公差为2的等差数列,可求得S20=2(10×2+10×92×2)=220.答案:422014.(10分)已知等差数列{an}的公差d>0.设{an}的前n项和为Sn,a1=1,S

2·S3=36.(1)求d及Sn;【解析】(1)由题意知(2a1+d)(3a1+3d)=36,将a1=1代入上式解得d=2或d=-5.因为d>0,所以d=2.从而an=2n-1,Sn=n2(n∈N*).14.(10分)

已知等差数列{an}的公差d>0.设{an}的前n项和为Sn,a1=1,S2·S3=36.(2)求m,k(m,k∈N*)的值,使得am+am+1+am+2+…+am+k=65.【解析】(2)由(1)得am+am+1+am+2+…+am+k=(2m+k-1)(k+

1),所以(2m+k-1)(k+1)=65.由m,k∈N*知2m+k-1≥k+1>1,故{2𝑚+𝑘-1=13,𝑘+1=5,解得{𝑚=5,𝑘=4.即m的值为5,k的值为4.15.(10分)(2023·青岛模拟)记Sn是公差不为0的

等差数列{𝑎𝑛}的前n项和,若a3=S5,a2a4=S4.(1)求数列{𝑎𝑛}的通项公式an;【解析】(1)由等差数列的性质可得:S5=5a3,则a3=5a3,所以a3=0,设等差数列的公差为d,从而有:a2a4=(a3-d)(a3+d)=-d2

,S4=a1+a2+a3+a4=(a3-2d)+(a3-d)+a3+(a3+d)=-2d,从而-d2=-2d,由于公差不为零,故d=2,数列的通项公式为:an=a3+(n-3)d=2n-6.15.(10分)(2023·青岛模拟)记Sn是公差不为0的等差数列{𝑎𝑛}的前n项和,

若a3=S5,a2a4=S4.(2)求使Sn>an成立的n的最小值.【解析】(2)由数列的通项公式可得:a1=2-6=-4,则Sn=n×(-4)+𝑛(𝑛-1)2×2=n2-5n,则不等式Sn>an即:n2-5n>2n-6,整理可得:(n-1)(n

-6)>0,解得:n<1或n>6,又n为正整数,故n的最小值为7.【素养创新练】16.(5分)(2023·杭州模拟)定义“等方差数列”:如果一个数列从第二项起,每一项的平方与它的前一项的平方的差都等于同一个常

数,那么这个数列就叫做等方差数列,这个常数叫做该数列的方公差.设{𝑎𝑛}是由正数组成的等方差数列,且方公差为2,a9=3√2,则数列{2𝑎𝑛+𝑎𝑛+1}的前24项和为()A.4√2B.4C.3√2D.6【解析】选A.根据题意,得𝑎𝑛+12-𝑎𝑛2=2(n≥1

,n∈N*),故{𝑎𝑛2}是公差为2的等差数列,所以𝑎𝑛2=𝑎92+2(n-9)=2n,即an=√2𝑛,所以2𝑎𝑛+𝑎𝑛+1=2√2𝑛+2+√2𝑛=2(√2𝑛+2-√2𝑛)(√

2𝑛+2+√2𝑛)(√2𝑛+2-√2𝑛)=√2𝑛+2-√2𝑛,故数列{2𝑎𝑛+𝑎𝑛+1}的前24项和为:(√4-√2)+(√6-√4)+…+(√50-√48)=√50-√2=4√2.

17.(5分)若数列{an}满足𝑎𝑛+12𝑛+5-𝑎𝑛2𝑛+3=1,且a1=5,则数列{an}的前200项中,能被5整除的项数为()A.90B.80C.60D.40【解析】选B.数列{an}满足𝑎𝑛+12𝑛+5-𝑎𝑛2𝑛+3=1,

即𝑎𝑛+12(𝑛+1)+3-𝑎𝑛2𝑛+3=1,又𝑎12×1+3=1,所以数列{𝑎𝑛2𝑛+3}是以1为首项,1为公差的等差数列,所以𝑎𝑛2𝑛+3=n,所以an=2n2+3n,列表如下:项12345678910an的个位数5

474509290所以每10项中有4项能被5整除,所以数列{an}的前200项中,能被5整除的项数为80.