【文档说明】专题05 一次方程（组）与一元二次方程-2022年中考数学真题分项汇编（全国通用）（第2期）（解析版）.docx，共(31)页，1.867 MB，由管理员店铺上传

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专题05一次方程（组）与一元二次方程一．选择题1．（2022·内蒙古包头）若12,xx是方程2230xx−−=的两个实数根，则212xx的值为（）A．3或9−B．3−或9C．3或6−D．3−或6【答案】A【分析】结合根

与系数的关系以及解出方程2230xx−−=进行分类讨论即可得出答案．【详解】解：∵2230xx−−=，∴12331xx−==−，()()130xx+−=,则两根为：3或-1，当23x=时，212212239xxxxxx==−−=gg，当2

1x=−时，2121222··33xxxxxx==−=，故选：A．【点睛】此题考查了根与系数的关系以及解二元一次方程，正确解出方程进行分类讨论是解题的关键．2．（2022·黑龙江）2022年北京冬奥会女子冰壶比赛有若干支队伍参加了单循环比赛，单循环比赛共进行了45

场，共有多少支队伍参加比赛？（）A．8B．10C．7D．9【答案】B【分析】设有x支队伍，根据题意，得1(1)452xx−=，解方程即可．【详解】设有x支队伍，根据题意，得1(1)452xx−=，解方程，得x1=10，x2=-9（舍去），故选B．

【点睛】本题考查了一元二次方程的应用，熟练掌握一元二次方程的解法是解题的关键．3．（2022·四川雅安）若关于x的一元二次方程x2+6x+c＝0配方后得到方程（x+3）2＝2c，则c的值为（）A．﹣3B．0C．3D．9【答案】C【分析】先移项把方程化为2

6,xxc+=-再配方可得()239,xc+=-结合已知条件构建关于c的一元一次方程，从而可得答案．【详解】解：x2+6x+c＝0，移项得：26,xxc+=-配方得：()239,xc+=-而（x+3）2＝2c，92,cc\-=解得：3,c=故选C【点睛】本题考查

的是配方法，掌握“配方法解一元二次方程的步骤”是解本题的关键．4．（2022·贵州黔东南）已知关于x的一元二次方程220xxa−−=的两根分别记为1x，2x，若11x=−，则2212axx−−的值为（）A．7B．

7−C．6D．6−【答案】B【分析】根据根与系数关系求出2x=3，a=3，再求代数式的值即．【详解】解：∵一元二次方程220xxa−−=的两根分别记为1x，2x，∴1x+2x=2，∵11x=−，∴2x=3，∴1x·2x=-a

=-3，∴a=3，∴22123917axx−−=−−=−．故选B．【点睛】本题考查一元二次方程的根与系数关系，代数式的值，掌握一元二次方程的根与系数关系，代数式的值是解题关键．5．（2022·广西梧州）一元二次方程2310xx−+=的根的情况（）A．有两个相等的实数根B．有两个不相

等的实数根C．没有实数根D．无法确定【答案】B【分析】根据判别式24bac=−即可判断求解．【详解】解：由题意可知：1,3,1abc==−=，∴224(3)41150bacD=-=--创=>，∴方程2310xx−+=由两个不相等的实数根，故选：B

．【点睛】本题考察了一元二次方程根的判别式：当240bac=−时，方程有两个不相等的实数根；当240bac=−=时，方程有两个相等的实数根；当240bac=−时，方程没有实数根．6．（2022·湖北武汉）若关于x的一元二次方程222410xmxmm−+−−=有两个实数根1x，

2x，且()()121222217xxxx++−=，则m=（）A．2或6B．2或8C．2D．6【答案】A【分析】根据一元二次方程有实数根先确定m的取值范围，再根据一元二次方程根与系数的关系得出212122,41xxmxxm

m+==−−，把()()121222217xxxx++−=变形为12122()130xxxx+−−=，再代入得方程28120mm−+=，求出m的值即可．【详解】解:∵关于x的一元二次方程222410xmxmm−

+−−=有两个实数根,∴22=(2)4(41)0mmm−−−−,∴14m,−∵12xx，是方程222410xmxmm−+−−=的两个实数根,∵212122,41xxmxxmm+==−−，又()()121222217xxxx++−=∴12122()130xxxx+−−=把21

2122,41xxmxxmm+==−−代入整理得,28120mm−+=解得,122,6mm==故选A【点睛】本题考查了根的判别式、根与系数的关系以及解一元二次方程，解题的关键是：（1）牢记“当△≥0时，方程有两

个实数根”；（2）由根与系数的关系结合12122()130xxxx+−−=，找出关于m的一元二次方程．7．（2022·湖南郴州）一元二次方程2210xx+−=的根的情况是（）A．有两个不相等的实数根B．有两个相等的实数根C．只有一个实数根D．没有实数根【答案】A【分析】根据24bac=−

即可判断．【详解】解：2a=，1b=，1c=−，()22414211890bac=−=−−=+=，一元二次方程2210xx+−=有两个不相等的实数根．故选：A．【点睛】本题主要考查利用判别式来判断一元二次方程根的个数：当0时，

方程有两个不相等的实数根；当0=时，方程有两个相等的实数根；当时，方程无实数根，掌握利用判别式判断方程根的方法是解题的关键．8．（2022·广西贵港）若2x=−是一元二次方程220xxm++=的一个根，则方程的另一个根及m的值分别是（）A．0，2−B．0，0C．2−，

2−D．2−，0【答案】B【分析】直接把2x=−代入方程，可求出m的值，再解方程，即可求出另一个根．【详解】解：根据题意，∵2x=−是一元二次方程220xxm++=的一个根，把2x=−代入220xxm++=，则2(2)2(2

)0m−+−+=，解得：0m=；∴220xx+=，∴(2)0xx+=，∴12x=−，0x=，∴方程的另一个根是0x=；故选：B【点睛】本题考查了解一元二次方程，方程的解，解题的关键是掌握解一元二次方程的步骤进行计算．9

．（2022·北京）若关于x的一元二次方程20xxm++=有两个相等的实数根，则实数m的值为（）A．4−B．14−C．14D．4【答案】C【分析】利用方程有两个相等的实数根，得到∆=0，建立关于m的方

程，解答即可．【详解】∵一元二次方程20xxm++=有两个相等的实数根，∴∆=0，∴2140m−=，解得14m=，故C正确．故选：C．【点睛】此题考查利用一元二次方程的根的情况求参数，一元二次方程的根有三种情况：有两个不等的实数根时∆>0；当一元二次方程有两个相等的实数根时，∆=0；当方程没有实数

根时，∆<0，正确掌握此三种情况是正确解题的关键．10．（2022·山东临沂）方程22240xx−−=的根是（）A．16x=，24x=B．16x=，24x=−C．16x=−，24x=D．16x=−，24x=−【答案】B【分析】先把方程的左边分解因式化

为()()460,xx+-=从而可得答案．【详解】解：22240xx−−=，()()460,xx\+-=40x+=或60,x−=解得：126,4.xx==-故选B【点睛】本题考查的是利用因式分解的方法解一元二次方程，掌握“十

字乘法分解因式”是解本题的关键．11．（2022·黑龙江牡丹江）下列方程没有实数根的是（）A．2410xx+=B．23830xx+−=C．2230xx−+=D．()()2312xx−−=【答案】C【分析】通过题目可知这几个方程都是一元二次方程，因此可以

通过24bac=−来确定有没有实数根，即可求解【详解】解：A、△=2441(10)560−−=＞，有两个不相等的实数根；B、△=2843(3)1000−−=＞，故有两个不相等的实数根；C、△=2(2)41380＜−−=−,故没有实数根；D、△=

2-5-41-6=490（）（）＞，故有两个不相等的实数根故选C12．（2022·海南）若代数式1x+的值为6，则x等于（）A．5B．5−C．7D．7−【答案】A【分析】根据代数式1x+的值为6列方程计算即可．【详解】∵代数式1x+的值为6∴16x+=，解得5x=故选：A【点

睛】此题考查了解一元一次方程，根据题意列方程是解本题的关键．13．（2022·广西贺州）某餐厅为了追求时间效率，推出一种液体“沙漏”免单方案（即点单完成后，开始倒转“沙漏”，“沙漏”漏完前，客人所点的菜需全部

上桌，否则该桌免费用餐）．“沙漏”是由一个圆锥体和一个圆柱体相通连接而成．某次计时前如图（1）所示，已知圆锥体底面半径是6cm，高是6cm；圆柱体底面半径是3cm，液体高是7cm．计时结束后如图（2）所示，求此时“沙漏”中液体的高度为（）A．2

cmB．21cm4C．4cmD．5cm【答案】B【分析】根据液体的体积不变列方程解答．【详解】解：圆柱体内液体的体积为：2313763cm圆柱vsh===由题意得，232211663cm33锥体

vshh===26321cm364h==，故选：B．【点睛】本题考查一元一次方程的应用，涉及圆柱与圆锥的体积，是基础考点，掌握液体体积不变列方程是解题关键．14.（2022·黑龙江）国家“双减”政策实施后，某校开展了丰富多彩的社团活动．某班同学报名参加书法和围棋两个社团，班长为参

加社团的同学去商场购买毛笔和围棋（两种都购买）共花费360元．其中毛笔每支15元，围棋每副20元，共有多少种购买方案？（）A．5B．6C．7D．8【答案】A【分析】设设购买毛笔x支，围棋y副，根据总价=单价×数量，即

可得出关于x，y的二元一次方程，结合x，y均为正整数即可得出购买方案的数量．【详解】解：设购买毛笔x支，围棋y副，根据题意得，15x+20y=360，即3x+4y=72，∴y=18-34x．又∵x，y均为正整数，∴415xy==

或812xy==或129xy==或166xy==或203xy==，∴班长有5种购买方案．故选：A．【点睛】本题考查了二元一次方程的应用，找准等量关系“共花费360元”，列出二元一次方程是解题的关键．15．（2022·辽宁营口）我国元朝朱世杰所著的《算学启蒙》一书是中

国较早的数学著作之一，书中记载一道问题：“良马日行二百四十里，驽马日行一百五十里，驽马先行一十二日，问良马几何追及之？”题意是：快马每天走240里，慢马每天走150里，慢马先走12天，试问快马几天可以追上慢马？若设快马x天可以追上慢马，则下列方程正确的是（）A．2

4015015012xx+=B．24015024012xx−=C．24015024012xx+=D．24015015012xx−=【答案】D【分析】设快马x天可以追上慢马，根据路程=速度×时间，即

可得出关于x的一元一次方程，此题得解．【详解】解：设快马x天可以追上慢马，依题意，得：240x-150x=150×12．故选：D．【点睛】本题考查了由实际问题抽象出一元一次方程，找准等量关系，正确列出一元一次方程

是解题的关键．16．（2022·广西）方程3x＝2x＋7的解是（）A．x＝4B．x＝﹣4C．x＝7D．x＝﹣7【答案】C【分析】先移项再合并同类项即可得结果；【详解】解：3x＝2x＋7移项得，3x-2x=7；合并同类项得，x＝7；故选：C．【点睛】本题主要考查解一元一次方程，

掌握一元一次方程的求解步骤是解题的关键．17．（2022·贵州铜仁）为了增强学生的安全防范意识，某校初三（1）班班委举行了一次安全知识抢答赛，抢答题一共20个，记分规则如下：每答对一个得5分，每答错或不答一个扣1分．小红

一共得70分，则小红答对的个数为（）A．14B．15C．16D．17【答案】B【分析】设小红答对的个数为x个，根据抢答题一共20个，记分规则如下：每答对一个得5分，每答错或不答一个扣1分，列出方程求解即可．【详解】解：设小红答对的个数为x个，由题意得()52070xx−−=，解得15x=，故选B．

【点睛】本题主要考查了一元一次方程的应用，正确理解题意是列出方程求解是解题的关键．18．（2022·广东深圳）张三经营了一家草场，草场里面种植上等草和下等草．他卖五捆上等草的根数减去11根，就等下七捆下等草的根数；卖七捆上等草的根数减去25根，就等于五捆下等草的根数．设上等草一捆为x根，下等草一

捆为y根，则下列方程正确的是（）A．51177255yxyx−=−=B．51177255xyxy+=+=C．51177255xyxy−=−=D．71155257xyxy−=−=【答案】C【分析】设上等草一捆为x根，下等草一捆为y根，根据“卖五捆上等草的根数减

去11根，就等下七捆下等草的根数；卖七捆上等草的根数减去25根，就等于五捆下等草的根数．”列出方程组，即可求解．【详解】解：设上等草一捆为x根，下等草一捆为y根，根据题意得：51177255xyxy−=−=

．故选：C【点睛】本题主要考查了二元一次方程组的应用，明确题意，准确得到等量关系是解题的关键．19．（2022·贵州贵阳）在同一平面直角坐标系中，一次函数yaxb=+与()0ymxnam=+的图象如图所示，小星根据图象得到如下结论：①在一次函数ymxn=+的图象

中，y的值随着x值的增大而增大；②方程组yaxbymxn−=−=的解为32xy=−=；③方程0mxn+=的解为2x=；④当0x=时，1axb+=−．其中结论正确的个数是（）A．1B．2C．

3D．4【答案】B【分析】由函数图象经过的象限可判断①，由两个一次函数的交点坐标可判断②，由一次函数与坐标轴的交点坐标可判断③④，从而可得答案．【详解】解：由一次函数ymxn=+的图象过一，二，四象限，y的值随着x值的增大而减小；故①不符合题意；由图象可得方程组yaxbymxn=+=

+的解为32xy=−=，即方程组yaxbymxn−=−=的解为32xy=−=；故②符合题意；由一次函数ymxn=+的图象过()2,0,则方程0mxn+=的解为2x=；故③符合题意；由一次函数yaxb=+的图象过()0,2,−则当0x=时，2ax

b+=−．故④不符合题意；综上：符合题意的有②③，故选B【点睛】本题考查的是一次函数的性质，一次函数的图象的交点坐标与二元一次方程组的解，一次函数与坐标轴的交点问题，熟练的运用数形结合的方法解题是关键．20．（2022·广西河池）某厂家今年一月份的口罩产

量是30万个，三月份的口罩产量是50万个，若设该厂家一月份到三月份的口罩产量的月平均增长率为x．则所列方程为()A．30（1+x）2＝50B．30（1﹣x）2＝50C．30（1+x2）＝50D．30（1﹣x2）＝50

【答案】A【分析】根据题意和题目中的数据，可以得到()230150x+=，从而可以判断哪个选项是符合题意的．【详解】解：由题意可得，230(1)50x+=，故选：A．【点睛】本题考查由实际问题抽象出一元二

次方程，解题的关键是明确题意，列出相应的方程，这是一道典型的增长率问题．二．填空题21．（2022·湖北鄂州）若实数a、b分别满足a2﹣4a+3＝0，b2﹣4b+3＝0，且a≠b，则11ab+的值为_____．【答案】43【分析】先根据题意可以把a、b看做是一元二次方程2430x

x−+=的两个实数根，利用根与系数的关系得到a+b=4，ab=3，再根据11ababab++=进行求解即可．【详解】解：∵a、b分别满足a2﹣4a+3＝0，b2﹣4b+3＝0，∴可以把a、b看做是一元二次方程

2430xx−+=的两个实数根，∴a+b=4，ab=3，∴1143ababab++==，故答案为：43．【点睛】本题主要考查了分式的求值，一元二次方程根与系数的关系，熟知一元二次方程根与系数的关系是解题的关键．22．（2022·福建）推理是数学的基本思维方式、若推理过程不严谨，则推理结果可能

产生错误．例如，有人声称可以证明“任意一个实数都等于0”，并证明如下：设任意一个实数为x，令xm=，等式两边都乘以x，得2xmx=．①等式两边都减2m，得222xmmxm−=−．②等式两边分别分解因式，得()()()xmxm

mxm+−=−．③等式两边都除以xm−，得xmm+=．④等式两边都减m，得x＝0.⑤所以任意一个实数都等于0.以上推理过程中，开始出现错误的那一步对应的序号是______．【答案】④【分析】根据等式的性质2即可得到结论．【详

解】等式的性质2为：等式两边同乘或除以同一个不为0的整式，等式不变，∴第④步等式两边都除以xm−，得xmm+=，前提必须为0xm−，因此错误；故答案为：④．【点睛】本题考查等式的性质，熟知等式的性质是解

题的关键．23．（2022·广西梧州）一元二次方程()()270xx−+=的根是_________．【答案】12x=或27x=−【分析】由两式相乘等于0，则这两个式子均有可能为0即可求解．【详解】解：由题意可知：20x−=或70x+=，∴1

2x=或27x=−，故答案为：12x=或27x=−．【点睛】本题考查一元二次方程的解法，属于基础题，计算细心即可．24．（2022·四川内江）已知x1、x2是关于x的方程x2﹣2x+k﹣1＝0的两实数根，且2112xxxx+＝x12+2x2﹣1，则k的值为_____．【答案】2【分析】根据一

元二次方程根与系数的关系以及解的定义得到x1+x2＝2，x1•x2＝k﹣1，x12﹣2x1+k﹣1＝0，再根据2112xxxx+＝x12+2x2﹣1，推出222(1)1kk−−−＝4﹣k，据此求解即可．【详解】解：∵x1、x2是关于

x的方程x2﹣2x+k﹣1＝0的两实数根，∴x1+x2＝2，x1•x2＝k﹣1，x12﹣2x1+k﹣1＝0，∴x12＝2x1﹣k+1，∵2112xxxx+＝x12+2x2﹣1，∴2121212()2xxxxxx+−＝2（

x1+x2）﹣k，∴222(1)1kk−−−＝4﹣k，解得k＝2或k＝5，当k＝2时，关于x的方程为x2﹣2x+1＝0，Δ≥0，符合题意；当k＝5时，关于x的方程为x2﹣2x+4＝0，Δ＜0，方程无实数解，不符合题意；∴k＝2，故答案为：2．【点睛】本题主要考查了一元二次方程根与系数的关系

，一元二次方程解的定义，熟知一元二次方程根与系数的关系是解题的关键．25．（2022·广东深圳）已知一元二次方程260xxm++=有两个相等的实数根，则m的值为________________．【答案】9【分析】根据根的判别式的意义得到△2640m=−=，然后解关于m的

方程即可．【详解】解：根据题意得△2640m=−=，解得9m=．故答案为：9．【点睛】本题考查了根的判别式，解题的关键是掌握一元二次方程20(a0)++=axbxc的根与△=−24bac有如下关系：当△0时，方程有两个不相等的实数根；当△0=时，方程有两个相等的实数根；当△0时，

方程无实数根．26．（2022·上海）某公司5月份的营业额为25万，7月份的营业额为36万，已知5、6月的增长率相同，则增长率为_____．【答案】20%【分析】根据该公司5、6两个月营业额的月均增长率为x结合5月、7月

营业额即可得出关于x的一元二次方程，解此方程即可得解．【详解】解：设该公司5、6两个月营业额的月均增长率为x，根据题意得，225(1)36x+=解得，120.2,2.2xx==−（舍去）所以，增长率为20%

故答案为：20%【点睛】本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，根据数量关系列出关于x的一元二次方程是解题的关键．27．（2022·山东威海）幻方的历史很悠久，传说最早出现在夏禹时代的“洛书”．把洛书用今天的数学符号翻译出来，就是一个三阶幻方（如图1），将9个数

填在3×3（三行三列）的方格中，如果满足每个横行、每个竖列、每条对角线上的三个数字之和都相等，就得到一个广义的三阶幻方．图2的方格中填写了一些数字和字母，若能构成一个广义的三阶幻方，则mn＝_____．【答案】1【分析】由第二行方格的数字，字母，可以得出第二行的

数字之和为m，然后以此得出可知第三行左边的数字为4，第一行中间的数字为m-n+4，第三行中间数字为n-6，第三行右边数字为，再根据对角线上的三个数字之和相等且都等于m可得关于m，n方程组，解出即可．【详解】如图，根据题意，可得第二

行的数字之和为：m+2+(-2)=m可知第三行左边的数字为：m-(-4)-m=4第一行中间的数字为：m-n-(-4)=m-n+4第三行中间数字为m-2-(m-n+4)=n-6第三行右边数字为：m-n-(-2)=m-n+2再根据对角线上的三个数字之和相等且都等于m可

得方程组为：6422nmmnm+=−++−+=解得60mn==∴061nm==故答案为：1【点睛】本题考查了有理数加法，列代数式，以及二元一次方程组，解题的关键是根据表格，利用每行，每列，每条对角线上的三个数之和相

等列方程．28．（2022·广西贺州）若实数m，n满足5240mnmn−−++−=∣∣，则3mn+=__________．【答案】7【分析】根据非负数的性质可求出m、n的值，进而代入数值可求解．【详解】解：由题意知，m，n

满足5240mnmn−−++−=∣∣，∴m-n-5=0，2m+n−4=0，∴m=3，n=-2，∴3927mn+=−=，故答案为：7．【点睛】此题主要考查了非负数的性质，初中阶段有三种类型的非负数：（1）绝对值

；（2）偶次方；（3）二次根式（算术平方根）．当它们相加和为0时，必须满足其中的每一项都等于0．根据这个结论可以求解这类题目．29．（2022·广东）若1x=是方程220xxa−+=的根，则=a____________．【答案】1【分析】本

题根据一元二次方程的根的定义，把x=1代入方程得到a的值．【详解】把x=1代入方程220xxa−+=，得1−2+a=0，解得a=1，故答案为：1．【点睛】本题考查的是一元二次方程的根即方程的解的定义，一元二次

方程的根就是一元二次方程的解,就是能够使方程左右两边相等的末知数的值．30．（2022·江苏无锡）二元一次方程组321221xyxy+=−=的解为________．【答案】23xy==【分析】方程组利用加减消元法求出解即可．【详解】解：321221xyxy+=−=①②．①+②×

2得：7x=14，解得：x=2，把x=2代入②得：2×2-y=1解得：y=3，所以，方程组的解为23xy==，故答案为：23xy==．【点睛】此题考查了解二元一次方程组，利用了消元的思想，

消元的方法有：代入消元法与加减消元法．31．（2022·四川雅安）已知12xy==是方程ax+by＝3的解，则代数式2a+4b﹣5的值为_____．【答案】1【分析】把12xy==代入ax+by＝3可得23ab+=，而2a+4b﹣5()225ab=+-，再整体代入求值

即可．【详解】解：把12xy==代入ax+by＝3可得：23ab+=，2a+4b﹣5()225ab=+-2351=?=．故答案为：1【点睛】本题考查的是二元一次方程的解，利用整体代入法求解代数式的值，掌握“方程的解的含义及整体代入的方法”是解本题的关键．32．（2022·广西

）阅读材料：整体代值是数学中常用的方法．例如“已知32ab−=，求代数式621ab−−的值．”可以这样解：()6212312213abab−−=−−=−=．根据阅读材料，解决问题：若2x=是关于x的一元一次方程3axb+=的解，则代数式2244421a

abbab++++−的值是________．【答案】14【分析】先根据2x=是关于x的一元一次方程3axb+=的解，得到23ab+=，再把所求的代数式变形为()()22221abab+++−，把23ab+=整体代入即可求值．【详解】解：∵2x=是关于x的一元

一次方程3axb+=的解，∴23ab+=，∴2244421aabbab++++−()()22221abab=+++−23231=+−14=．故答案为：14．【点睛】本题考查了代数式的整体代入求值及一元一次方程解的定义，把所求的代数式利用完全平方

公式变形是解题的关键．33．（2022·内蒙古呼和浩特）某超市糯米的价格为5元/千克，端午节推出促销活动：一次购买的数量不超过2千克时，按原价售出，超过2千克时，超过的部分打8折．若某人付款14元，则他购买了_______千克糯米；设某人的付款金额为x元，购买量为y千克，则购买

量y关于付款金额(10)xx的函数解析式为______．【答案】342yx=+##24yx=+【分析】根据题意列出一元一次方程，函数解析式即可求解．【详解】解：1410，超过2千克，设购买了a千克，则()2520.8514a+−=，解得3a=，设某人的付款金额为x元，购

买量为y千克，则购买量y关于付款金额(10)xx的函数解析式为：()25250.8104842yxxx=+−=+−=+，故答案为：3，42yx=+．【点睛】本题考查了一元一次方程的应用，列函数解析式，根据题意列出方程或函数关系式是解题的关键．34．（2022·山东潍坊）方程组2313

320xyxy+=−=的解为___________．【答案】23xy==【分析】用①×2+②×3，可消去未知数y，求出未知数x，再把x的值代入②求出y即可．【详解】解：2313320xyxy+=−=①②，①×2+②×3，得13x=26，解得：x=2，把x=2代入②，

得6-2y=0，解得y=3，故方程组的解为23xy==．故答案为：23xy==．【点睛】本题考查了二元一次方程组的解法，解二元一次方程组的基本思路是消元，把二元方程转化为一元方程是解题的关键．35．

（2022·贵州贵阳）“方程”二字最早见于我国《九章算术》这部经典著作中，该书的第八章名为“方程”如：从左到右列出的算筹数分别表示方程中未知数x，y的系数与相应的常数项，即可表示方程423xy+=，则表示的方程是_______．【答

案】232xy+=【分析】根据横着的算筹为10，竖放的算筹为1，依次表示,xy的系数与等式后面的数字，即可求解．【详解】解：表示的方程是232xy+=故答案为：232xy+=【点睛】本题考查了列二元一次方程组，理解题意是解题的

关键．36．（2022·吉林长春）《算法统宗》是中国古代重要的数学著作，其中记载：我问开店李三公，众客都来到店中，一房七客多七客，一房九客一房空．其大意为：今有若干人住店，若每间住7人，则余下7人无房可住；若每间住9人，则余下一间无人住，设

店中共有x间房，可求得x的值为________．【答案】8【分析】设店中共有x间房，根据“今有若干人住店，若每间住7人，则余下7人无房可住；若每间住9人，则余下一间无人住”可列一元一次方程，求解即可．【详解】设店中共有x间房，由题意得，779(1)xx+=−

，解得8x=，所以，店中共有8间房，故答案为：8．【点睛】本题考查了一元一次方程的应用，准确理解题意，找到等量关系是解题的关键．37．（2022·湖南长沙）关于的一元二次方程220xxt++=有两个不

相等的实数根，则实数t的值为___________．【答案】1t【分析】根据关于x的一元二次方程220xxt++=有两个不相等的实数根，可得0，求解即可．【详解】关于x的一元二次方程220xxt++=有两个不相等的实数根，22410t=−

，1t，故答案为：1t．【点睛】本题考查了一元二次方程根的判别式，即一元二次方程20(a0)++=axbxc的根与24bac=−有如下关系：当0时，方程有两个不相等的实数根；当0=时，方程有两个相等的实数根

；当时，方程没有实数根，熟练掌握知识点是解题的关键．38．（2022·江苏泰州）方程2x2xm0−+=有两个相等的实数根，则m的值为__________.【答案】1【分析】根据方程的系数结合根的判别式，即可得

出Δ=4-4m=0，解之即可得出结论．【详解】解：∵关于x的方程x2-2x+m=0有两个相等的实数根，∴Δ=（-2）2-4m=4-4m=0，解得：m=1．故答案为：1．【点睛】本题考查了根的判别式，牢记“当Δ=0时，

方程有两个相等的实数根”是解题的关键．39．（2022·湖北武汉）有大小两种货车，3辆大货车与4辆小货车一次可以运货22吨，5辆大货车与2辆小货车一次可以运货25吨，则4辆大货车与3辆小货车一次可以运货__________

_吨．【答案】23.5【分析】设每辆大货车一次可以运货x吨，每辆小货车一次可以运货y吨，根据“3辆大货车与4辆小货车一次可以运货22吨，5辆大货车与2辆小货车一次可以运货25吨”，即可得出关于x，y的

二元一次方程组，再整体求得（4x+3y）即可得出结论．【详解】解：设每辆大货车一次可以运货x吨，每辆小货车一次可以运货y吨，依题意，得：34225225xyxy+=+=，两式相加得8x+6y=47，∴4x+3y=23.5(吨)，故答案为：23.5．【点睛】本题考查了二元一次

方程组的应用，找准等量关系，正确列出二元一次方程组是解题的关键．40．（2022·上海）解方程组2213xyxy+=−=的结果为_____．【答案】21xy==−【分析】利用平方差公式将②分解因式变形，继而可得3xy−=④，

联立①④利用加减消元法，算出结果即可．【详解】解：2213xyxy+=−=①②由②，得：()()3xyxy+−=③，将①代入③，得：()13xy−=，即3xy−=④，①+②，得：24=x，解得：2x=，①−②，得：22y=−，解得：1y=−，∴方程组22

13xyxy+=−=的结果为21xy==−．【点睛】本题考查解二元二次方程组，与平方差公式分解因式，能够熟练掌握平方差公式分解因式是解决本题的关键．三．解答题41．（2022·广东）《九章算术》是我国古代的数学专著，几名学生要凑钱购买1本．若每人出8元，则多了3元；若每人出7

元，则少了4元．问学生人数和该书单价各是多少？【答案】学生人数为7人，该书的单价为53元．【分析】设学生人数为x人，然后根据题意可得8374xx−=+，进而问题可求解．【详解】解：设学生人数为x人，由题意得：8

374xx−=+，解得：7x=，∴该书的单价为77453+=（元），答：学生人数为7人，该书的单价为53元．【点睛】本题主要考查一元一次方程的应用，熟练掌握一元一次方程的应用是解题的关键．42．（2022·内蒙古赤峰）某学校建立了劳动基地，计划在基地上种植A、B两种苗木共6000株，其

中A种苗木的数量比B种苗木的数量的一半多600株．(1)请问A、B两种苗木各多少株？(2)如果学校安排350人同时开始种植这两种苗木，每人每天平均能种植A种苗木50株或B种苗木30株，应分别安排多少人种植A种苗木和B种苗木，才能确保同时．．完成任务？【答案

】(1)A苗木的数量是2400棵，B苗木的数量是3600棵；(2)安排100人种植A苗木，250人种植B苗木，才能确保同时完成任务．【分析】（1）根据在基地上种植A，B两种苗木共6000株，A种苗木的数量比B种苗木的数量的一半多600株，可以列出相应的二元一次方程组，从而可以解答本题；（

2）根据题意可以列出相应的分式方程，从而可以解答本题，最后要检验．(1)解：设A苗木的数量是x棵，则B苗木的数量是y棵，根据题意可得：600016002xyxy+==+，解得：2400360

0xy==，答：A苗木的数量是2400棵，B苗木的数量是3600棵；(2)解：设安排a人种植A苗木，则安排（350-a）人种植B苗木，根据题意可得：240036005030(350)aa=−，解得，a=100，经检验，a=100是原方程的解，∴350-a=250，答：安排100

人种植A苗木，250人种植B苗木，才能确保同时完成任务．【点睛】本题考查二元一次方程组的应用以及分式方程的应用，解题的关键是明确题意，列出相应的二元一次方程组．43．（2022·湖南）中国“最美扶贫高铁”之一的“张吉怀高铁”开通后，张家界到怀化的运行时间由原来的3.5小时缩短至1小时，运行里程缩短

了40千米．已知高铁的平均速度比普通列车的平均速度每小时快200千米，求高铁的平均速度．【答案】296km/h【分析】设高铁的速度，再表示出普通列车的速度，然后根据高铁行驶的路程+40=普通列车行驶的路程列出方程，再求出解即可．【详解】解：设

高铁的平均速度为xkm/h，则普通列车的平均速度为(x-200)km/h，由题意得：x+40=3.5(x-200)，解得：x=296.答：高铁的平均速度为296km/h．【点睛】本题考查一元一次方程的应用，解题的关键是读懂题意，找到等量关系列方程

．44．（2022·四川广安）某企业下属A、B两厂向甲乙两地运送水泥共520吨，A厂比B厂少运送20吨，从A厂运往甲乙两地的运费分别为40元/吨和35元/吨，从B厂运往甲乙两地的运费分别为28元/吨和25元/吨．(1)求A、B两

厂各运送多少吨水泥?(2)现甲地需要水泥240吨，乙地需要水泥280吨．受条件限制，B厂运往甲地的水泥最多150吨．设从A厂运往甲地a吨水泥，A、B两厂运往甲乙两地的总运费为w元．求w与a之间的函数关系式，请你为该企业设计一种总运费最低的运输方案

，并说明理由【答案】(1)A厂运送了250吨，B厂运送270吨；(2)214720wa=+；A厂运往甲地90吨，运往乙地160吨；B厂运往甲地150吨，运往乙地120吨；【分析】（1）设A厂运送x吨，B厂运

送y吨，然后列出方程组，解方程组即可得到答案；（2）根据题意，列出w与a之间的函数关系式，然后进行整理即可，再结合B厂运往甲地的水泥最多150吨，求出总运费最低的方案．(1)解：根据题意，设A厂运送x吨，B厂运送y吨，则20520xyxy=−+=，解得250270xy==，∴A

厂运送了250吨，B厂运送270吨；(2)解：根据题意，则4035(250)28(240)25[280(250)]waaaa=+−+−+−−，整理得：214720wa=+；∵B厂运往甲地的水泥最多150吨，∴240150a−，∴90a；当90a=时，总运费最低；此时的方案是：A厂运往甲

地90吨，运往乙地160吨；B厂运往甲地150吨，运往乙地120吨【点睛】此题考查了一次函数的实际应用问题．此题难度较大，解题的关键是理解题意，读懂题意，求得一次函数解析式，然后根据一次函数的性质求解．45．（2022·广西

桂林）解二元一次方程组：13xyxy−=+=．【答案】21xy==【分析】利用加减消元法可解答．【详解】解：13xyxy−=+=①②①+②得：2x＝4，∴x＝2，把x＝2代入①得：2﹣y＝1，∴y＝

1，∴原方程组的解为：21xy==．【点睛】本题考查二元一次方程组的解法，熟练掌握加减消元法解二元一次方程组是解题的关键．46．（2022·江苏常州）第十四届国际数学教育大会（ICME-14）会徽的主题图案有着丰富的数学元素，展现了我国古代数学的文化魅力，其右下方的“卦”是用

我国古代的计数符号写出的八进制数3745．八进制是以8作为进位基数的数字系统，有0~7共8个基本数字．八进制数3745换算成十进制数是3210387848582021+++=，表示ICME-14的举办年份．(1)八进制数3746换算成十进制数是_______；(2)小华设计了一个n进制数

143，换算成十进制数是120，求n的值．【答案】(1)2022(2)9【分析】（1）根据八进制换算成十进制的方法即可作答；（2）根据n进制换算成十进制的方法可列出关于n的一元二次方程，解方程即可求解．(1)3210387848682022

+++=，故答案为：2022；(2)根据题意有：313233143120nnn−−−++=，整理得：244121nn++=，解得n=9，（负值舍去），故n的值为9．【点睛】本题考查了有理数的运算以及一元二次方程的应用

等知识，根据题意列出关于n的一元二次方程是解答本题的关键．47．（2022·江苏泰州）如图，在长为50m，宽为38m的矩形地面内的四周修筑同样宽的道路，余下的铺上草坪．要使草坪的面积为1260m2，道路的宽应为多少？【答案】4【分析】根据题意设道路的宽应为x

米，则种草坪部分的长为(50−2x)m，宽为(38−2x)m，再根据题目中的等量关系建立方程即可得解．【详解】解：设道路的宽应为x米，由题意得(50-2x)×(38-2x)=1260解得：x1=4，x2=40(不符合题意，舍去)答：道路的宽应为4米．【点睛】此题考查了

一元二次方程的实际应用，解题的关键是能根据题目中的等量关系建立方程．48．（2022·黑龙江齐齐哈尔）解方程：22(23)(32)xx+=+【答案】11x=−，21x=【分析】直接开方可得2332xx+=−−或2332xx+=+，然后计算求解即可．【详解】解：∵22(23)(32)xx+=+∴

2332xx+=−−或2332xx+=+解得11x=−，21x=．【点睛】本题考查了解一元二次方程．解题的关键在于灵活选取适当的方法解方程．49．（2022·贵州贵阳）（1）a，b两个实数在数轴上的对应点如图所示．用“<”或“>”填空：a_______b，ab_______0；（2）在初中阶段

我们已经学习了一元二次方程的三种解法，他们分别是配方法、公式法和因式分解法，请从下列一元二次方程中任选两个，并解这两个方程．①x2+2x−1=0；②x2−3x=0；③x2−4x=4；④x2−4=0．【答案】（1）＜，＜；（2）①x1=-1+2，x2=-1-2；②x1=0，x2=

3；③x1=2+22，x2=2-22；④x1=-2，x2=2．【分析】（1）由题意可知：a＜0，b＞0，据此求解即可；（2）找出适当的方法解一元二次方程即可．【详解】解：（1）由题意可知：a＜0，b＞0，∴a＜b，ab＜0；故答案为：＜，＜；（2）①x2+2x−1=0；移项得x

2+2x=1，配方得x2+2x+1=1+1，即(x+1)2=2，则x+1=±2，∴x1=-1+2，x2=-1-2；②x2−3x=0；因式分解得x(x-3)=0，则x=0或x-3=0，解得x1=0，x2=3；③x2−4x=4；配方得x2-4x

+4=4+4，即(x-2)2=8，则x-2=±22，∴x1=2+22，x2=2-22；④x2−4=0．因式分解得(x+2)(x-2)=0，则x+2=0或x-2=0，解得x1=-2，x2=2．【点睛】本题主要考查解一元二次

方程，解一元二次方程常用的方法有：直接开平方法、因式分解法、公式法及配方法，解题的关键是根据方程的特点选择简便的方法．还考查了实数与数轴．50．（2022·内蒙古呼和浩特）计算求解：(1)计算112sin45|22|3−−−+−(2)解方程组451223xy

xy+=−+=【答案】(1)22−5(2)19xy=−=【分析】（1）先去绝对值，算负整数指数幂，将特殊角三角函数值代入，再计算即可；（2）直接解二元一次方程组即可．(1)原式＝222+22−−322=−5

；(2)整理方程组得：453215xyxy+=+=①②，由①得：y＝5-4x③，将③代入②得：-5x＝5，解得：x＝-1，将x＝-1代入③得：y＝9，则方程组得解为：19xy=−=．【点睛】本题考查实数运算和解二元一次方程组，解答本题的关键是掌握各知识点的运算法则．51．（2022·湖

南长沙）电影《刘三姐》中，有这样一个场景，罗秀才摇头晃脑地吟唱道：“三百条狗交给你，一少三多四下分，不要双数要单数，看你怎样分得匀？”该歌词表达的是一道数学题．其大意是：把300条狗分成4群，每个群里，狗的数量都是奇数，其中一个群，狗的数

量少：另外三个群，狗的数量多且数量相同．问：应该如何分？请你根据题意解答下列问题：(1)刘三姐的姐妹们以对歌的形式给出答案：“九十九条打猎去，九十九条看羊来，九十九条守门口，剩下三条给财主．”请你根据以上信息，判断以下三种说法是否正确，在题后相应的括号内，正确的打“√”，错误的打“×”．①

刘三姐的姐妹们给出的答案是正确的，但不是唯一正确的答案．（）②刘三姐的姐妹们给出的答案是唯一正确的答案．（）③该歌词表达的数学题的正确答案有无数多种．（）(2)若罗秀才再增加一个条件：“数量多且数量相同的三个群里，每个群里狗的数量比数量较少的那个群里狗的数量多40条”，求每个群里狗的数量．【答

案】(1)√，×，×(2)数量少的群里狗的数量为45只，狗的数量多且数量相同的群里狗的数量为85只【分析】（1）根据题意，姐妹们给出的答案是符合要求的；除此之外，还可分成97,97,97,9等，这里的每群狗的数量还需要是正整数，所以答

案不是无数种，即可判断；（2）设数量少的狗群的数量为x只，则狗的数量多且数量相同的群里狗的数量为(40)x+只，根据狗的总数为300只，可列一元一次方程，求解即可．(1)根据题意，姐妹们给出的答案是符合要求的；除此之外，还可分成97,97,97,9等，刘三姐的姐妹们给出的答案是正确的，但不是唯

一正确的答案，∵这里的每群狗的数量还需要是正整数，∴答案不是无数种，∴①√，②×，③×，故答案为：√，×，×；(2)设数量少的狗群的数量为x只，则狗的数量多且数量相同的群里狗的数量为(40)x+只，由题意得：

3(40)300xx++=，解得45x=，4085x+=（只），所以，数量少的群里狗的数量为45只，狗的数量多且数量相同的群里狗的数量为85只．【点睛】本题考查了一元一次方程的实际应用，整式加减的运用，准确

理解题意并熟练掌握知识点是解题的关键．52．（2022·四川雅安）某商场购进A，B两种商品，已知购进3件A商品和5件B商品费用相同，购进3件A商品和1件B商品总费用为360元．(1)求A，B两种商品每件进价

各为多少元？（列方程或方程组求解）(2)若该商场计划购进A，B两种商品共80件，其中A商品m件．若A商品按每件150元销售，B商品按每件80元销售，求销售完A，B两种商品后获得总利润w（元）与m（件）的函数关系式．【答案】(1)A，

B两种商品每件进价分别为每件100元，每件60元．(2)利润w（元）与m（件）的函数关系式为：301600.wm=+【分析】（1）设A，B两种商品每件进价分别为每件x元，每件y元，则根据购进3件A商品和5件B商品费用相同，购进3件A商品和1件B商品总费用为360元，列方程组，再解

方程组即可；（2）由总利润等于销售A，B两种商品的利润之和列函数关系式即可．(1)解：设A，B两种商品每件进价分别为每件x元，每件y元，则35,3360xyxyì=ïí+=ïî解得：10060==xy，答：A，B两种商品每件进价分别为每件100元，每件60元

．(2)解：由题意可得：()()()150100806080wmm=-+--50160020301600,mmm=+-=+即总利润w（元）与m（件）的函数关系式为：301600.wm=+【点睛】本题考查的是二元一次方程组的应用，一次函数的应用，确定相等关系列方程或

函数关系是解本题的关键．53．（2022·海南）我省某村委会根据“十四五”规划的要求，打造乡村品牌，推销有机黑胡椒和有机白胡椒．已知每千克有机黑胡椒比每千克有机白胡椒的售价便宜10元，购买2千克有机黑胡椒和3千克有机白胡椒需付280元，求每千克有机

黑胡椒和每千克有机白胡椒的售价．【答案】每千克有机黑胡椒售价为50元，每千克有机白胡椒售价为60元【分析】设每千克有机黑胡椒售价为x元，每千克有机白胡椒售价为y元，根据题意列出关于x，y的二元一次方程组，解之即可得出结论；【详解】解：设每千克有机黑胡椒售价为x元，每千克有机白

胡椒售价为y元．根据题意，得1023280xyxy=−+=解得5060xy==答：每千克有机黑胡椒售价为50元，每千克有机白胡椒售价为60元．【点睛】本题考查了二元一次方程组的应用，解题的关键是找准等量关系，正确列出二元一次方程组．获得更多资源请扫码加入享学资源网微信公众号www.

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