【文档说明】【精准解析】广西贵港市2020届高三毕业班第四次高考模拟理科数学试题.doc，共(23)页，1.779 MB，由管理员店铺上传

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2020届高中毕业班第四次模拟考试试题理科数学一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.已知集合2,1,0,1,2A，410|Bxxx，则AB（）A.0,1B.0,1,2,3C.{}1,0,1

,2-D.0,1,2【答案】D【解析】【分析】先通过一元二次不等式的解法，化简集合B，再利用交集的定义求解.【详解】因为410xx，解得14x，所以|14Bxx，又2,1,0,1,2A∴0,1,2AB.故选：

D【点睛】本题主要考查集合的基本运算以及一元二次不等式的解法，还考查了运算求解的能力，属于基础题.2.若a为实数，复数2iza在复平面上位于第四象限，且|z|5，则a（）A.B.1C.1D.2【答案】C【解析】【分析】根据2iza

在复平面上位于第四象限，顶点0a，再根据|z|5，由245a求解.【详解】因为2iza在复平面上位于第四象限，所以0a，又因为|z|5，所以245a，解得1a.故选：C【点睛】复数的几何意义和

复数的模的应用，还考查了运算求解的能力，属于基础题.3.某班级共有50人，把某次数学测试成绩制作成直方图如图，若分数在80,100内为优秀，则任取两人成绩均为优秀的概率为（）A.2175B.4175C.1

35D.6175【答案】B【解析】【分析】先由直方图得到优秀的人数，利用古典概型求概率的公式，分别求解所有的情况，和满足条件的情况，即得解【详解】由直方图知优秀人数为0.0060.01010508，所以任取两人成绩均为优秀的概率为28

2508745049175CPC，故选：B【点睛】本题考查了频率分布直方图和古典概型综合，考查了学生综合分析，概念理解，数学运算能力，属于基础题4.已知椭圆22142xy的焦点为F，短轴端点为P，若直线PF与圆222:(0)OxyRR

相切，则圆O的半径为（）A.22B.1C.2D.2【答案】B【解析】【分析】根据椭圆方程，得到焦点和上顶点的坐标，写出直线方程，再根据直线PF与圆222:(0)OxyRR相切，利用圆心到直线的距离等于圆的半径求解.【详解】因为椭圆221

42xy，不妨设(2,0),(0,2)FP，所以PF的方程为20xy，因为直线PF与圆222:(0)OxyRR相切，所以圆心到直线的距离等于圆的半径，即2111Rd，故选：B【点睛】本题主要考查椭圆的几何性质以及直线与圆的位置关系，还考

查了运算求解的能力，属于基础题.5.已知二项式1nx展开式中二项式系数最大的只有第5项，则2x项的系数为（）A.28B.36C.56D.84【答案】A【解析】【分析】由题意可得n的值，再根据二项式展开公式，即可求出结果．【详

解】二项式1nx展开式中二项式系数最大的项为中间项，又二项式1nx展开式中共有9项，所以8n，所以2223828TCxx==，所以2x项的系数为28.故选：A.【点睛】本题主要考查二项式定

理的应用，求展开式中某项的系数，属于基础题．6.三个几何体组合的正视图和侧视图均为如下图所示，则下列图中能作为俯视图的个数为（）A.1B.2C.3D.4【答案】D【解析】【分析】正视图和侧视图一样，由正视图和侧视图知

三个几何体可以是圆柱或底面为正方形的直棱柱，依次验证即可.【详解】解：对于①，由三个圆柱组合而成，其正视图和侧视图相同，符合要求；对于②，最底层是圆柱，中间是底面为正方形的直棱柱，最上面是小的圆柱，其正视图和侧视图相

同，符合要求；对于③，最底层是圆柱，中间是底面为正方形的直棱柱，最上面是底面为正方形的小的直棱柱，其正视图和侧视图相同，符合要求；对于④，最底层是圆柱，中间是圆柱，最上面是底面为正方形的直棱柱，其正视图和侧视图相同，符合要求；所以四个图都可能作为

俯视图.故选：D.【点睛】考查由正视图和侧视图判断几何体的俯视图；基础题.7.如图，正方体1111ABCDABCD中，E．F分别为棱11BC、11CD的中点，下列说法：①直线BE与直线DF相交；②直线BE与直线DF是

异面直线；③//BDEF；④直线BD与直线EF是异面直线．其中正确的说法的序号为（）A.①③B.①④C.②③D.②④【答案】A【解析】【分析】根据空间中两直线位置关系的判定定理说明可得；【详解】解：∵正方体1111ABCDABCD中，E、F分别为棱11BC、11

CD的中点11//EFBD，11//BDBD，∴//BDEF，即③正确；由③知BE与DF共面，所以直线BE与直线DF相交，即①正确，故选：A【点睛】本题考查空间中两直线的位置关系的判断，属于中档题.8.如图，点P在以2AB为直径的半圆弧上，点P沿着B

A运动，记BAPx．将点P到A、B两点距离之和表示为x的函数fx，则yfx的图象大致为（）A.B.C.D.【答案】D【解析】【分析】由题意可知cos,2n2siPAPBxx，进而可得()22sin()042yfxxx，，，再根据三角函

数的性质，即可得到答案.【详解】由题意可知，cos,2n2siPAPBxx所以2222sin()042cossinPAPBxxxx，，，所以()22sin()042yfxxx，，，所以3444x

，，所以22sin()2,224x.所以函数()yfx图象大致为D.故选：D.【点睛】本题主要考查三角函数的图象与性质，正确表示函数的表达式是解题的关键，本题属于中档题．9.在直角AB

C中，ABAC，||3AB，||2AC，2AEEB，AFFC，设BF与CE交于G，则cos,AGAE（）A.1010B.31010C.35D.45【答案】B【解析】【分析】以A为原点建立坐标系，可得到直线CE

，BF的方程，联立得到G点的坐标，继而得到,AGAB的坐标，利用向量夹角的坐标公式，即得解【详解】如图，以A为原点建立坐标系，则3,0B，0,2C，∴2,0E，0,1F，所以直线CE的方程为20x

y，直线BF的方程为330xy，解20330xyxy，得3212xy∴31(,)22AG，(3,0)AB，∴93102cos,10532AGAB故选：B【点睛】本题考查了向量夹角的坐标表示，考查了学生综合分析，转化

划归，数学运算能力，属于中档题10.设函数'fx是奇函数()fxxR的导函数，10f，当0x时，'0xfxfx．已知21(log)4af，1.5(3)bf，1.5(2)cf，则（）A.acbB.abc

C.bcaD.cab【答案】A【解析】【分析】设()fxgxx，由''2()()()()0fxxfxfxxx，得()fxgxx在(0,)上是增函数，又由函数fx是奇函数，10f，可得当0,1x时，0fx，当(1,)x时，0fx，由2

1(log)(2)(2)04afff，和1.51.5321，可得选项.【详解】设()fxgxx，∵''2()()()()0fxxfxfxxx，∴()fxgxx在(0,)上是增函数，又因为函数fx

是奇函数，10f，所以10f，10g，所以当0,1x时，0gx，所以0fx，当(1,)x时，>0gx，0fx，又fxxgx，所以fx在(1,

)上是增函数，∴21(log)(2)(2)04afff，∵1.51.5321，∴1.51.5(3)(2)0bffc，故选：A.【点睛】本题考查构造函数，由其导函数的正负得出得出所构造函数的单调性，以及考查对数运算，指数式比较大小，属于中档题.11.已知F为

双曲线2222:10,0xyCabab的右焦点，点P在C上，且PFx轴，M为OP的中点（O为坐标原点），且MFOP，则双曲线C的离心率为（）A.51B.31C.512D.3【答案】C【解析】【分析】作出图形，分析得出OFP△为等腰直角三

角形，可得出PFc，利用勾股定理得出15PFc，然后利用双曲线的定义结合离心率公式可求得双曲线C的离心率.【详解】如图，设双曲线的左焦点为1F，PFx轴，则2OFP，M为OP的中点，且MFOP，PFOFc，12FFc，由

勾股定理得22115PFPFFFc，由双曲线的定义可得12PFPFa，即512ca，因此，双曲线C的离心率为251251cea.故选：C.【点睛】本题考查双曲线离心率的计算，考查了双曲线定义的应用，考查计算能力，属于中

等题.12.已知ABC中，BC边上的中线3AD，4BC，60BAC，则ABC的周长为（）A.464B.434C.524D.2134【答案】A【解析】【分析】在ABD和ADC中，由余弦定理，化简可得2226ABAC；在

ABC中，由余弦定理可知10ABAC，由此可得46ABAC，由此即可求出ABC的周长.【详解】在ABD和ADC中，由余弦定理，可知2222cos1312cosABADBDADBDADBADB，2

222cos1312cosACADCDADCDADCADC，∴2226ABAC，在ABC中，由余弦定理可知，2222cos2616BCABACABACBACABAC，∴10ABAC，∴222()2262046

ABACABACABAC，所以ABC的周长为464ABACBC.故选：A【点睛】本题主要考查了余弦定理在解三角形中的应用，属于中等题.二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．13.若tan2，则sin2___

___.【答案】45【解析】【分析】根据二倍角公式和平方关系，即可求出．【详解】2222222sincos2tan4sin2sincos1tan512．故答案

为：45．【点睛】本题主要考查二倍角公式和平方关系的应用，属于基础题．14.函数lnyx在1,1e处的切线在y轴上的截距为____________．【答案】2【解析】【分析】利用导数求得函数lnyx在点1,1e处的切线

方程，化为斜截式方程，可得出结果.【详解】对函数lnyx求导得1yx，所以，函数lnyx在1,1e处的切线方程为11yexe，即2yex，因此，函数lnyx在1,1e

处的切线在y轴上的截距为2.故答案为：2.【点睛】本题考查直线在y轴上的截距的求解，考查了利用导数求函数的切线方程，考查计算能力，属于基础题.15.已知2loga与3logb的等差中项为52，等比中项为6，则ab____

________．【答案】31或17．【解析】【分析】由题意，可得到235loglog252ab，223(log)(log)(6)6ab，可转化为方程2560xx的两根，得到2log2a，3lo

g3b或2log3a，3log2b，即得解【详解】依题意得235loglog252ab，223(log)(log)(6)6ab，所以2loga，3logb为方程2560xx的两根，∴2log2a

，3log3b或2log3a，3log2b，∴42731ab或8917ab故答案为：31或17．【点睛】本题考查了等差，等比中项的应用，考查了学生综合分析，转化划归，数学运算能力，属于中档题16.已知A，B，C是球O的球面上三点，2A

B，1AC，3BC，D为该球面上的动点，若三棱锥D-ABC体积的最大值为33，则球O的表面积为____________．【答案】254【解析】【分析】当D、O、G三点共线时，三棱锥D-ABC体积的最大，利用三棱

锥体积的最大值为33，求出球的半径，即可求出球O的表面积.【详解】如图，由222ABACBC得90ACB，所以ABC的外接圆的圆心在AB的中点G上，所以OG平面ABC，当D、O、G三点共线时，三棱锥D-ABC体积的最大，由11313323D

VG得2DG，设球的半径为R，则221(2)RR，即54R，所以球O的表面积为22544SR．故答案为：25π4【点睛】本题考查三棱锥的外接球的相关问题，解答本题的关键是找出当三棱锥的体积最大时点D的位置，属于中档题.三、解答题：共70分，解

答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．（一）必考题（共60分）17.已知等差数列na中，136aa，4516aa，等比数列nb的各项均为正数，且11b，1237bbb．（1）求数列na，nb的通项公式；（2）若2lognnncab

，求数列nc的前n项和nS．【答案】（1）21nan，12nb；（2）(31)2nnnS.【解析】【分析】（1）等差数列na公差为d，等比数列nb公比为q，根据136aa，4516aa得到关于1

a和d的方程组，通过解方程组求得1a和d，进而求得na的通项公式；通过11b，1237bbb求得q，进而求得nb的通项公式.（2）通过已知条件和（1）中的结论求得nC，进而求得nc的前n项和nS.【详解】（1）设等差数列na公差为d，等比

数列nb公比为q，则由1314512262716aaadaaad得121da，∴11221nann，由212317bbbqq得2q=或3q（舍去），∴11122nnnb；（2）122log21log221132nn

nncabnnnn所以nc是首项为1，公差为3的等差数列.∴(132)(31)22nnnnnS．【点睛】本题主要考查等差数列与等比数列的通项公式、等差数列的前n项和公式，考查学生公式的掌握程度与计算能力，属于基础题.18.如图，直三棱柱111ABCABC中，

底面ABC为等腰直角三角形，90ACB，12AAAC，P是侧棱1CC上的点．（1）若60APBo，证明：P是1CC的中点；（2）若13CPPC，求二面角BAPC的余弦值．【答案】（1）证明见解析；（2）32222

.【解析】【分析】（1）利用勾股定理得出APBP，再由60APBo可得知APB△为等边三角形，利用勾股定理得出112ACPCCC，进而可证得结论成立；（2）以点C为坐标原点，CA、CB、1CC所在直线分别为x、y、z轴建立空间直角坐标

系Cxyz，设2AC，利用空间向量法可求得二面角BAPC的余弦值．【详解】（1）由直三棱柱111ABCABC得1CC平面ABC，AC、BC平面ABC，1CCAC，1CCBC，ABC为等腰直角三角形，90ACB，ACBC且2ABAC，由勾股定理得2222APACPCB

CPCBP，60APBoQ，ABP是等边三角形，则2APABAC，由勾股定理得22111122PCAPACACAACC，P为1CC的中点；（2）易知CA、CB、1CC两两垂

直，以点C为坐标原点，CA、CB、1CC所在直线分别为x、y、z轴建立如下图所示的空间直角坐标系Cxyz，设2AC，则2,0,0A、0,2,0B、0,0,3P，(2,2,0)AB，2,0,3AP，设平面ABP的法向量为,,nxyz，由00nABnAP

，得220230xyxz，令3x，得3y，2z，3,3,2n，又平面ACP的法向量为0,1,0mur，3322cos,22122mnmnmn

，由图形可知，二面角BAPC为锐角，所以，二面角BAPC的余弦值为32222.【点睛】本题考查线段中点的证明，同时也考查了利用空间向量法计算二面角的余弦值，考查计算能力与推理能力，属于中等

题.19.2020年上半年，随着新冠肺炎疫情在全球蔓延，全球超过60个国家或地区宣布进人紧急状态，部分国家或地区直接宣布“封国”或“封城”，随着国外部分活动进入停摆，全球经济缺乏活力，一些企业开始倒闭，下表为2020年第一季度企业成立年限与倒闭分布情况统计表：企业成立年份201920182

01720162015企业成立年限x12345倒闭企业数量（万家）5.234.703.723.122.42倒闭企业所占比例%y21.8%19.6%15.5%13.0%10.1%根据上表，给出两种回归模型：模型①

：建立曲线型回归模型lnybxa，求得回归方程为7.2ln22.9yx；模型②：建立线性回归模型ybxa$$$.（1）根据所给的统计量，求模型②中y关于x的回归方程；（2）根据下列表格中的

数据，比较两种模型的相关指数2R，并选择拟合精度更高、更可靠的模型，预测2014年成立的企业中倒闭企业所占比例（结果保留整数）.回归模型模型①模型②回归方程7.2ln22.9yxybxa$$$251iiiyy

5.80参考公式：1221niiiniixynxybxnx，aybx$$；221211niiniiyyRyy.参考数据：5180iiy，51210iiixy，52155iix，5211370.66iiy，ln20.

69，ln31.10.【答案】（1）325yx（2）7%.【解析】【分析】（1）根据所给数据求出x、y，相应值代入参考公式即可求得回归方程；（2）计算模型②的相关系数的平方，得模型②的相关系数的平

方更大其拟合程度更好，再将6x代入回归方程进行计算，求得预测值.【详解】（1）由5115iix，5180iiy，可得3x，16y，所以51522152105316355595iiiiixyxybxx

，则163325aybx，所以模型②中y关于x的回归方程为325yx.（2）对于回归方程325yx，25552222111325961505025i

iiiiiiiiiiiiyyyxxxyyxy55555222111119615050525iiiiiiiiiiixxyyxy295562101370.661501550805250.66，所以

5522115.800.66iiiiyyyy，所以模型①的2R小于模型②，说明回归模型②刻画的拟合效果更好，选择模型②，当6x时，36257y，所以预测2014年成立的企业中倒闭企业所占比例为7%.

【点睛】本题考查统计案例、最小二乘法法求回归直线方程、根据相关系数的平方比较模型的拟合程度，属于中档题.20.设函数2()ln,fxaxxaxaR．（1）讨论fx的单调性；（2）若fx存在极值，对于任意(0,)x，都有0fx恒成立，求a的取值范围．【答案】（1

）答案见解析；（2）–10a.【解析】【分析】（1）求导22()2axaxafxxaxx，分0a和0a两种情况讨论求解.（2）由（1）知:若fx存在极值，则0a，“对于任意(0,)

x，都有0fx恒成立”转化为“对于任意(0,)x，都有2ln1xxxa恒成立”，设22ln1)l(nxgxxxxxx，用导数法求最大值即可.【详解】（1）22()2axaxafxxaxx，0x，①当

0a时，220xaxa，即0fx，所以fx在(0,)上是增函数；②当0a时，令220xaxa，则28(8)0aaaa，∴21804aaax，22804aaax，所以2804aaax时，0fx，284a

aax时，0fx，所以fx在28(0,)4aaa上是减函数，在28(,)4aaa上是增函数；（2）由fx存在极值知0a，“对于任意(0,)x，都有0fx恒成立”等价于“对

于任意(0,)x，都有2ln1xxxa恒成立”，设22ln1)l(nxgxxxxxx，0x，则32(n)l1xxxgx，0x，设12lnhxxx，0x，则2()10hxx，0x，所以hx在(0,)上是减函数，又10

h，所以01x时，0gx，1x时，0gx，所以gx在0,1上是增函数，gx在(1,)上是减函数，所以11gxg，∴11a，∴–10a．【点睛】本题主要考查导数与函数的单调性，导数与不等式恒成立，还考查了分类讨论的思想和运算求解的能力

，属于难题.21.已知抛物线2:2(0)Cypxp与直线3()2pyx相交于A，B两点，线段AB的长为8．（1）求抛物线C的方程；（2）过点2,0Q的直线l与抛物线C交于M．N两点，点P为直线2x上的任意一点，设直线PM，PQ，PN的斜率分别

为123,,kkk，且满足132kkk，能否为定值？若为定值，求出的值；若不为定值，请说明理由．【答案】（1）26yx；（2）是，为定值2．【解析】【分析】（1）把22ypx代入3()2

pyx中，结合韦达定理和弦长公式可得结果；（2）依题意可设直线l的方程为2xmy，mR，2,Pt，11,Mxy，22,Nxy，联立直线与抛物线的方程，将韦达定理和两点间斜率计算公式相结合即可得结果.【详解】（1）把22

ypx代入3()2pyx得2110223pyyp，∴23ABpyy，2AByyp，∴21||1()43ABABAByyyy2244848333ppp，∴3p，所以抛物线C的方程为26yx；（2）设直线l的方程为2xmy，mR，2,Pt，

11,Mxy，22,Nxy把2xmy代入26yx得26120ymy，∴126yym，1212yy，∴12121312122244ytytytytkkxxmymy1221124444

ytmyytmymymy1212212122(4)()84()162myytmyyttmyymyy，∴202242tttk∴2，所以为定值2．【点睛】本题主要考

查了抛物线方程的求法，以及直线与抛物线的位置关系，考查了学生的计算能力，属于难题.（二）选考题（共10分．请考生在第22．23题中任选一题作答．如果多做，则按所做的第一计分．）选修4-4（坐标系与参数方程）22.在直角坐标系xOy

中，曲线11cos:sinxtCyt（t为参数），其中0，在以O为极点x轴正半轴为极轴的极坐标系中，曲线2:2sin2cosCp．（1）求2C的直角坐标方程；（2）当34

时，设1C与2C相交于A，B两点，求AB的值．【答案】（1）22220xyxy；（2）|||6AB.【解析】【分析】（1）由极坐标化直角坐标的公式222xy,cosx，siny直接转化即可.（2）将曲线1212:22xtCyt

代入22220xyxy，得23230tt，由韦达定理和弦长公式可得答案.【详解】（1）由2sin2cos得22sin2cos，把cosx，sin

y代入得22220xyxy，即2C的直角坐标方程22220xyxy；（2）当34时，曲线1212:22xtCyt，（t为参数），设于A，B两点在直线1212:22xtCyt对应的参数分别为1

2tt，将曲线1212:22xtCyt代入22220xyxy，得23230tt∴1232tt，123tt，∴2121212||||()418126ABtttttt．【点睛】本题考查极坐标化为

直角坐标，求直线与圆相交的弦长，本题也可以直接用直线与圆的位置关系中的方法处理，属于中档题.选修4-5（不等式选讲）：23.已知0a，0b，0c，函数fxxaxbc．1当2a，1b时，求不等式7fxc

的解集；2当fx的最小值为5时，证明：22222210abacbccba．【答案】1|4xx或3x；2证明见解析【解析】【分析】1首先将2a，1b代入函数f

x中并对不等式7fxc进行化简，得出217xx，然后通过去绝对值进行求解，即可得出结果；2首先可以根据fx的最小值为5得出5abc，然后将222222abacbccba

化简为bcacababccbcaba，最后根据基本不等式即可得出结论.【详解】解：1将2a，1b代入函数fxxaxbc中，不等式7fxc可化为2

17xx，当2x≤时，217xx，解得4x；当21x时，217xx，无解；当1x时，217xx，解得3x．所以不等式的解集为|4xx或3x．2证明：因为

fxxaxbcxaxbc5abc，所以222222222abacbcabacbccbacbabcacababccbcaba210abc（当且仅当abc时，等号成立）．【点

睛】本题考查绝对值不等式的解法及基本不等式的应用，考查划归与转化的思想，属于中档题.