【文档说明】江苏省扬州市2020-2021学年高一下学期期末考试数学试卷含解析【精准解析】.doc，共(20)页，1.215 MB，由小赞的店铺上传

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2020-2021学年江苏省扬州市高一（下）期末数学试卷一、单项选择题（共8小题，每小题5分，共40分．）1．sin22°sin52°+sin68°sin38°＝（）A．﹣B．C．﹣D．2．已知正四棱锥S﹣ABCD

的底面边长为2，侧棱长为，则该正四棱锥的体积等于（）A．B．C．4D．43．已知复数z满足z（1+2i）＝3﹣4i（i为虚数单位），则|z|＝（）A．5B．C．3D．4．设每个工作日甲、乙两人需使用某种设备的概率分别为0.4，0.5，各人是否需使用设

备相互独立，则同一工作日至少1人需使用这种设备的概率为（）A．0.3B．0.5C．0.7D．0.95．设m、n是两条不同的直线，α、β、γ是三个不同的平面．下列命题中正确的命题是（）A．若α∥β，m⊂α

，n⊂β，则m∥nB．若α⊥γ，β⊥γ，则α∥βC．若m∥α，n∥α，则m∥nD．若α∥β，β∥γ，m⊥α，则m⊥γ6．在等边△ABC中，，向量在向量上的投影向量为（）A．B．C．ABD．AB7．已知＝1，tan（α﹣β）＝，则tanβ＝（）A

．1B．﹣1C．7D．﹣78．已知△ABC中，AB＝2，其外接圆半径为2，若≥4，则角A的最大值为（）A．B．C．D．二、多项选择题(本大题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分

，有选错的得0分)9．居民消费支出是指居民用于满足家庭日常生活消费需要的全部支出．消费支出包括食品烟酒、衣着、居住、生活用品及服务、交通通信、教育文化娱乐、医疗保健和其他用品及服务八大类．国家统计局采用分层、多阶段、与人口规模大小成比例的概率抽样方法，在全国31个省（区、市）的1800个县

（市、区）随机抽选16万个居民家庭作为调查户．国家统计局公布的我国2019年和2020年全国居民人均消费支出及构成，如图1和图2所示，则下列说法中正确的有（）A．2020年全国居民人均消费支出中教育文化娱乐这一类的支出

高于2019年B．2020年全国居民人均消费支出中医疗保健这一类所占比重低于2019年C．2019年和2020年全国居民人均居住消费在八大类中所占比重最大D．2020年全国居民人均消费支出低于2019年全国居民人均消费支出10

．已知实数x，a，b和虚数单位i，定义：复数z0＝cosx+isinx为单位复数，复数z1＝a+bi为伴随复数，复数z＝z0z1＝f（x）+g（x）i为目标复数，目标复数的实部f（x）和虚部g（x）分别为实部函数f（x）和虚部函数g（

x），则正确的说法有（）A．f（x）＝acosx﹣bsinxB．g（x）＝asinx﹣bcosxC．若，则a＝，b＝﹣1D．若a＝，b＝﹣1且g（x）＝，则锐角x的正弦值sinx＝11．设A，B，C，D是两两不同的四个点，若，，且m+n＝2mn，则下列说法正确的有（）A．点C可能

是线段AB的中点B．点B可能是线段AC的中点C．点C，D不可能同时在线段AB上D．点C，D可能同时在线段AB的延长线上12．已知长方体ABCD﹣A1B1C1D1中，AB＝BC＝，AA1＝1，P是线段BC1上的一动点，则下列说法正确的有

（）A．当P与C1重合时，三棱锥P﹣ACD的外接球的表面积为7πB．三棱锥A﹣PCD1的体积不变C．直线AP与平面ACD1所成角不变D．AP+PC的最小值为3三、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）13．数据9，8，7，6，5，4，3，2，1的40百分位数是．

14．已知平行四边形ABCD中，AB＝6，AD＝4，∠BAD＝，M、N分别为BC、CD的中点，则＝．15．如图，为测量山高MN，选择A和另一座山的山顶C为测量观测点．从A点测得M点的仰角∠MAN＝45°，C点的仰角∠CAB

＝30°以及∠MAC＝75°；从C点测得∠MCA＝60°，已知山高BC＝50m，则山高MN＝m．16．甲、乙两班参加了同一学科的考试，其中甲班50人，乙班40人．甲班的平均成绩为76分，方差为96分2；乙班的平均成绩为85分，方差为60分2．那么甲、乙两班全部90名学生的平均成绩是分，方差是分

2．四、解答题（本大题共6小题，计70分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）17．已知△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，sinA+cosA＝2，a＝2．（1）求A；（2）在①aco

sB＝bsinA，②b2+这两个条件中任选一个作为条件，然后求△ABC的面积．18．正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，E为棱DD1中点．（1）求证：BD1∥平面AEC；（2）求证：平面B1AC⊥平面B1BDD1．19．已知z1＝1+i是关于x的实系数方程x2+mx+n＝0的一个复数

根．（1）求实数m，n的值；（2）设方程的另一根为z2，复数z1，z2对应的向量分别是．若向量t与垂直，求实数t的值．20．某大型连锁超市随机抽取了100位客户，对去年到该超市消费情况进行调查．经统计，这100位客户去年到该超市消费金额（单位：万元）均在区间

[0.2，0.8]内，按[0.2，0.3]，（0.3，0.4]，（0.4，0.5]，（0.5，0.6]，（0.6，0.7]，（0.7，0.8]分成6组，其频率分布直方图如图所示．（1）求该频率分布直方图中a的值，并求出这100位客户最近一年到该超市消费金额的平均数x（同一组中的数据以这

组数据所在范围的组中值作代表）；（2）为了解顾客需求，该超市从消费金额在区间（0.3，0.4]和（0.4，0.5]内的客户中，采用分层抽样的方法抽取5人进行电话访谈，再从访谈的5人中随机选择2人作为“幸运客户”，求幸运客户中恰有1人来自区间（0.

3，0.4]的概率．21．如图，直角梯形ABCD中，AB∥CD，AB⊥BC，CD＝3AB＝3，BC＝，点E在CD上，且CE＝1．沿AE将△ADE翻折到△SAE处，使得平面SAE⊥平面ABCE．（1）证明：SE⊥平面ABCE；（2）求二面角S﹣AC﹣E的正切

值．22．在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知a+c＝mb（m∈R）．（1）若m＝，求∠B的最大值；（2）若∠B为钝角，求：①m的取值范围；②的取值范围．（参考公式：sinα+sinβ＝2sin）

参考答案一、单项选择题（共8小题，每小题5分，共40分．）1．sin22°sin52°+sin68°sin38°＝（）A．﹣B．C．﹣D．解：∵sin52°＝cos38°，sin68°＝cos22°，∴sin2

2°sin52°+sin68°sin38°＝sin22°cos38°+cos22°sin38°＝sin（22°+38°）＝sin60°＝．故选：D．2．已知正四棱锥S﹣ABCD的底面边长为2，侧棱长为，则该正四棱锥的体积等于（）A．B．C．4D．4解：如图，连接AC、BD，设AC与

BD相交于O，连接SO，则SO为正四棱锥的高，由正四棱锥S﹣ABCD的底面边长为2，得OA＝AC＝，又侧棱长SA＝，∴高SO＝，∴该正四棱锥的体积等于，故选：A．3．已知复数z满足z（1+2i）＝3﹣4i（i为虚数单位），则|z|＝（）A．5B．C．3D．解：∵z（1

+2i）＝3﹣4i，∴，∴．故选：B．4．设每个工作日甲、乙两人需使用某种设备的概率分别为0.4，0.5，各人是否需使用设备相互独立，则同一工作日至少1人需使用这种设备的概率为（）A．0.3B．0.5C．0.7D．0.9解：根据题意，设甲使用设备为事件A

，乙使用设备为事件B，则P（A）＝0.4，P（B）＝0.5，则有P（）＝1﹣0.4＝0.6，P（）＝1﹣0.5＝0.5，甲乙都没有使用设备的概率p（）＝0.6×0.5＝0.3，则同一工作日至少1人需使用这种设备的概率P＝1﹣p（）＝1﹣0.3＝0.

7；故选：C．5．设m、n是两条不同的直线，α、β、γ是三个不同的平面．下列命题中正确的命题是（）A．若α∥β，m⊂α，n⊂β，则m∥nB．若α⊥γ，β⊥γ，则α∥βC．若m∥α，n∥α，则m∥nD．若α∥β，β∥γ，m⊥α，则m⊥γ解：若α∥β，m

⊂α，n⊂β，则m∥n或m与n异面，故A错误；若α⊥γ，β⊥γ，则α∥β或α与β相交，故B错误；若m∥α，n∥α，则m∥n或m与n相交或m与n异面，故C错误；若α∥β，m⊥α，则m⊥β，又β∥γ，则m⊥γ，故D正确．故选：D．6．在等边△ABC中，，向量在

向量上的投影向量为（）A．B．C．ABD．AB解：因为，所以＝，则＝＝+，设该等边三角形的边长为a，所以＝（+）＝+＝a²+a²cos120°＝a²，||＝a，则向量在向量上的投影为＝，故向量在向量上的

投影向量为，故选：B．7．已知＝1，tan（α﹣β）＝，则tanβ＝（）A．1B．﹣1C．7D．﹣7解：∵＝1，cos2α＝2cos2α﹣1，∴sinαcosα＝2cos2α，又∵＝1，∴sinαcosα≠0，∴tanα＝2，∵tan（α﹣β）＝，∴＝，解得tanβ＝1

．故选：A．8．已知△ABC中，AB＝2，其外接圆半径为2，若≥4，则角A的最大值为（）A．B．C．D．解：如图，设△ABC的外接圆圆心为O，因为△ABC的边AB＝2，其外接圆半径为2，所以△AOB为正三角形，

又因为≥4，所以点C与点O在AB同侧，则有∠ACB＝30°，根据正弦定理＝，即AC＝4sin∠ABC，则＝2ACcos∠BAC＝8sin∠ABCcos∠BAC，设∠BAC＝α，则＝8sin（α+）cosα＝8（+）cosα＝8（++cos2α）＝4sin（2α+）+2≥4，

即sin（2α+），因为0＜α＜，所以2α+＜，则2α+≤，所以0＜α≤，则∠BAC的最大值为．故选：C．二、多项选择题(本大题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5

分，部分选对的得2分，有选错的得0分)9．居民消费支出是指居民用于满足家庭日常生活消费需要的全部支出．消费支出包括食品烟酒、衣着、居住、生活用品及服务、交通通信、教育文化娱乐、医疗保健和其他用品及服务八大类．国家统计局采用分层、多

阶段、与人口规模大小成比例的概率抽样方法，在全国31个省（区、市）的1800个县（市、区）随机抽选16万个居民家庭作为调查户．国家统计局公布的我国2019年和2020年全国居民人均消费支出及构成，如图1

和图2所示，则下列说法中正确的有（）A．2020年全国居民人均消费支出中教育文化娱乐这一类的支出高于2019年B．2020年全国居民人均消费支出中医疗保健这一类所占比重低于2019年C．2019年和2020年全国居民人均居住消费在八大类中所占比重最大D．2020年全国居民人

均消费支出低于2019年全国居民人均消费支出解：对于选项A，2020年全国居民人均消费支出中教育文化娱乐的支出为2032元，2019年全国居民人均消费支出中教育文化娱乐的支出为2513元，故A错，对于选项B，2020年全国居民人

均消费支出中医疗保健这一类所占比重为8.69%，2019年全国居民人均消费支出中医疗保健这一类所占比重为8.82%，故B对，对于选项C，2019年和2020年全国居民人均食品烟酒消费在八大类中所占比重最大，故C错，对于选项

D，2020年全国居民人均消费支出约为462÷0.0218≈21193，2019年全国居民人均消费支出约为524÷0.0243≈21564，故D正确，故选：BD．10．已知实数x，a，b和虚数单位i，定义：复数z0＝cosx+isi

nx为单位复数，复数z1＝a+bi为伴随复数，复数z＝z0z1＝f（x）+g（x）i为目标复数，目标复数的实部f（x）和虚部g（x）分别为实部函数f（x）和虚部函数g（x），则正确的说法有（）A．f（x）＝acosx﹣bsinx

B．g（x）＝asinx﹣bcosxC．若，则a＝，b＝﹣1D．若a＝，b＝﹣1且g（x）＝，则锐角x的正弦值sinx＝解：因为z＝z0z1＝f（x）+g（x）i＝（acosx﹣bsinx）+（asinx+bcosx）i

，所以f（x）＝acosx﹣bsinx，g（x）＝asinx+bcosx，故选项A正确，选项B错误；因为f（x）＝，所以a＝，b＝1，故选项C错误；因为g（x）＝asinx+bcosx＝，所以，又因为x为锐角，则，所以，故si

nx＝sin[（x﹣）+]＝sin（x﹣）cos+cos（x﹣）sin＝，故选项D正确．故选：AD．11．设A，B，C，D是两两不同的四个点，若，，且m+n＝2mn，则下列说法正确的有（）A．点C可能是线段A

B的中点B．点B可能是线段AC的中点C．点C，D不可能同时在线段AB上D．点C，D可能同时在线段AB的延长线上解：若点C可能是线段AB的中点，则m＝，代入m+n＝2mn得+n＝2×n，无解，∴A错；若点B是线段AC的中点，m＝2，代入m+n＝2mn得2+n＝2×2n

，解得n＝，有解，∴B对．当m＝n＝1时满足m+n＝2mn，此时C，D都与B重合，与已知矛盾，∴C对；若点C，D同时在线段AB延长线上，则m＞1，n＞1，则+＜2，这与＝2矛盾，∴D错．故选：BC．12．已知长方体ABCD﹣A1B1C1D1中，AB＝BC＝，AA1＝1，P是线段BC1上的

一动点，则下列说法正确的有（）A．当P与C1重合时，三棱锥P﹣ACD的外接球的表面积为7πB．三棱锥A﹣PCD1的体积不变C．直线AP与平面ACD1所成角不变D．AP+PC的最小值为3解：对于A，当点P与C1重合时，三棱锥P﹣ACD即为三棱锥C1﹣ACD

，又因为三棱锥C1﹣ACD与长方体ABCD﹣A1B1C1D1有相同的外接球，所以外接球的直径2R＝AC1＝，故外接球的表面积为S＝4πR2＝7π，故选项A正确；因为BC1∥AD1，又AD1⊂平面ACD1，BC1⊄平面ACD1，所以BC1∥平面ACD1，由等体积法可得，，所以三棱锥A﹣PCD1的体积

不变，故选项B正确；对于C，因为BC1∥平面ACD1，所以点P到平面ACD1的距离不变，但AP的长度由AB的长增加到AC1的长度，即AP的长度是变化的，所以直线AP与平面ACD1所成的角是变化的，故选项C错误；对于D，把矩

形ABC1D1和Rt△BC1C放置在同一平面内，如图所示，其中AB＝，BC＝，AA1＝1，则BC1＝2，连接AC交BC1于点P，当点A，P，C三点共线时，AP+PC最小，则sin∠C1BC＝，故∠C1BC＝30°，所以∠ABC＝120°，由余弦定理可得，AC2＝AB2+BC2﹣2AB•B

C•cos120°＝＝9，所以AC＝3，即AP+PC的最小值为3，故选项D正确．故选：ABD．三、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）13．数据9，8，7，6，5，4，3，2，1的40百分位数是4．解：9×40%＝3.6，可知3.6的比邻整数是4，数据9，8，7，6，5，4，

3，2，1从小到大排列为：1，2，3，4，5，6，7，8，9，可知其40百分位数是4．故答案为：4．14．已知平行四边形ABCD中，AB＝6，AD＝4，∠BAD＝，M、N分别为BC、CD的中点，则＝41．解：如图，∵四边形ABCD是平行四边形

，M，N分别是BC，CD的中点，∴＝＝+＝+，＝＝+＝+，则＝（+）（+）＝+++＝++＝++＝15+18+8＝41故答案为：41．15．如图，为测量山高MN，选择A和另一座山的山顶C为测量观测点．从A点测得M点的仰角∠MAN＝45°，C点的仰

角∠CAB＝30°以及∠MAC＝75°；从C点测得∠MCA＝60°，已知山高BC＝50m，则山高MN＝50m．解：在RT△ABC中，∠CAB＝30°，BC＝50m，所以AC＝100m．在△AMC中，∠MAC＝75°，∠MCA＝60°

，从而∠AMC＝45°，由正弦定理得，＝，因此AM＝50m．在RT△MNA中，AM＝50m，∠MAN＝45°，得MN＝50m．故答案为：50．16．甲、乙两班参加了同一学科的考试，其中甲班50人，乙班40人．甲班的平均成绩为76分

，方差为96分2；乙班的平均成绩为85分，方差为60分2．那么甲、乙两班全部90名学生的平均成绩是80分，方差是100分2．解：甲、乙两班全部90名学生的平均成绩是×76+×85＝80（分）；甲、乙两班全部90名学生的方差是{50[96+（76﹣80）2]+40[60+（85﹣80）2]}＝1

00（分2）．四、解答题（本大题共6小题，计70分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）17．已知△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，sinA+cosA＝2，a＝2．（1）求A；（2）在①acosB＝

bsinA，②b2+这两个条件中任选一个作为条件，然后求△ABC的面积．解：（1）∵sinA+cosA＝2，∴，∴，∵A∈（0，π），∴，∴，∴A＝．（2）选①acosB＝bsinA，∵acosB＝bsinA，∴由正弦定理，可得sinAcosB＝sinBsinA，∵sinA≠0，

∴sinB＝cosB，即tanB＝1，又∵B∈（0，π），∴B＝，∵A＝，B＝，a＝2，∴由正弦定理，∴，∴，∵sinC＝＝，∴＝，选②b2+，∵b2+，∴由余弦定理可得，，∵B∈（0，π），∴，∵A＝，B＝，a＝2，∴由正弦定理，∴，∴，∵sinC＝＝，∴＝．18．正方体A

BCD﹣A1B1C1D1中，E为棱DD1中点．（1）求证：BD1∥平面AEC；（2）求证：平面B1AC⊥平面B1BDD1．【解答】（1）证明：设AC与BD相交于点O，连接OE，则O为BD的中点，∵E为DD1的中点，∴OE∥BD1，又OE⊂平面AEC，BD1⊄平面AEC，∴BD1∥平面AEC．（2

）证明：∵正方形ABCD，∴AC⊥BD，由正方体的性质知，DD1⊥平面ABCD，∴DD1⊥AC，又BD∩DD1＝D，BD、DD1⊂平面B1BDD1，∴AC⊥平面B1BDD1，∵AC⊂平面B1AC，∴平面B1AC⊥平面B

1BDD1．19．已知z1＝1+i是关于x的实系数方程x2+mx+n＝0的一个复数根．（1）求实数m，n的值；（2）设方程的另一根为z2，复数z1，z2对应的向量分别是．若向量t与垂直，求实数t的值．解：（1）∵z1＝1+i是关于x的实系数方程x2+mx+n＝

0的一个复数根，∴z2＝1﹣i是关于x的实系数方程x2+mx+n＝0的另一个复数根，由根与系数的关系可得﹣m＝1++1﹣，即m＝﹣2；n＝（1+）（1﹣）＝1﹣＝1+2＝3．∴m＝﹣2，n＝3；（2）由（1）知，，，则t＝（

t﹣1，），＝（1+t，），由t与垂直，可得t2﹣1+2﹣2t2＝0，解得t＝±1．20．某大型连锁超市随机抽取了100位客户，对去年到该超市消费情况进行调查．经统计，这100位客户去年到该超市消费金额（单位：万元）均在区间[0.2，0.8]内，按[

0.2，0.3]，（0.3，0.4]，（0.4，0.5]，（0.5，0.6]，（0.6，0.7]，（0.7，0.8]分成6组，其频率分布直方图如图所示．（1）求该频率分布直方图中a的值，并求出这100位客户最近一年到该超市消费金额的平均数x（同一组中的数据以这组数据所在范围的组中值

作代表）；（2）为了解顾客需求，该超市从消费金额在区间（0.3，0.4]和（0.4，0.5]内的客户中，采用分层抽样的方法抽取5人进行电话访谈，再从访谈的5人中随机选择2人作为“幸运客户”，求幸运客户中恰有1人来自区间（0.3，0.4]的概率．解：（1）∵0.1×（a+a+2+3+1.8+0.6）

＝1，∴a＝1.3，x＝0.13×0.25+0.2×0.35+0.3×0.45+0.18×0.55+0.13×0.65+0.06×0.75＝0.466，这100位客户最近一年到该超市消费金额的平均数为0.46

6万元，（2）采用分层抽样的方法抽取5人进行电话访谈，则从消费金额在区间（0.3，0.4]和（0.4，0.5]内的客户中分别抽取2人，3人；记区间（0.3，0.4]内的客户为a，b，区间（0.4，0.5]内的客户为1，2，3，则样本空间Ω＝{ab，a1，a2，a3，b1，b2，b3，12，

13，，23}，共10种情况，记A＝“幸运客户中恰有1人来自区间（0.3，0.4]”，则A共6种情况，故P（A）＝＝0.6，即幸运客户中恰有1人来自区间（0.3，0.4]的概率为0.6．21．如图，直角梯形ABCD中，AB∥CD，AB⊥BC，CD＝

3AB＝3，BC＝，点E在CD上，且CE＝1．沿AE将△ADE翻折到△SAE处，使得平面SAE⊥平面ABCE．（1）证明：SE⊥平面ABCE；（2）求二面角S﹣AC﹣E的正切值．【解答】（1）证明：因为CD＝3AB＝3，CE＝1，所以AB＝EC＝1，DE＝

SE＝2，又因为AB∥CD，所以ABCE为平行四边形，又AB⊥BC，所以ABCE为矩形，则AE⊥DC，故AE⊥SE，又平面SAE⊥平面ABCE，平面SAE∩平面ABCE＝AE，SE⊂平面SAE，所以SE⊥平面ABCE；（2）解：在平面

ABCE内，过E作EP⊥AC，垂足为P，连结SP，由（1）可知，SE⊥平面ABCE，又AC⊂平面ABCE，所以SE⊥AC，因为EP⊥AC，且EP，SE⊂平面AEP，EP∩SE＝E，则AC⊥平面SPE，又

SP⊂平面SEP，所以AC⊥SP，又因为EP⊥AC，则∠SPE即为二面角S﹣AC﹣E的平面角，由（1）可知，AE⊥AC，AE＝BC＝，EC＝1，又EP⊥AC，所以，则，又在Rt△SEP中，∠SEP＝90°，SE＝2，所以tan∠SPE＝＝，故二面角S﹣AC﹣E的正切值为．2

2．在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知a+c＝mb（m∈R）．（1）若m＝，求∠B的最大值；（2）若∠B为钝角，求：①m的取值范围；②的取值范围．（参考公式：sinα+sinβ＝2sin）解：（1

）当m＝时，，由余弦定理定理可得，＝，∵B∈，∴∠B的最大值为．（2）∵由三角形的性质，可得a+c＞b，又∵a+c＝mb（m∈R），∴m＞1，∵∠B是钝角，∴存在a＞0，c＞0，使得a2+c2＜b2，∵a+c＝mb，∴，＝1+成

立，∵，∴1＜m2＜2，∴，（3）∵a+c＝mb（m∈R），∴由正弦定理，可得sinA+sinC＝msinB，∴，∵，∴＝＝，∴，∴由三角函数的二倍角可得，，1+cosAcosC+sinAsinC＝m2（1+cosAcosC﹣sinAsinC），∴，∵，∴，∴的取值范围

为．