【文档说明】高考数学培优专题55讲：第30讲数列高考选择填空压轴题专练【高考】.doc，共(22)页，2.173 MB，由小赞的店铺上传

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1第三十讲数列高考选择填空压轴题专题练A组一、选择题1．若数列,nnab的通项公式分别为()20161?nnaa+=−，()201712nnbn+−=+，且nnab，对任意*nN恒成立，则实数a的取值范围是（）A.11,2−B.)

1,1−C.)2,1−D.32,2−【答案】D【解析】,nnab可得()()2017201611?2nnan++−−+，若n是偶数，不等式等价于12an−恒成立，可得13222a−=，若n是奇数，不等式等价于12an−+，即2,2aa−−，所以3-22a，综上可得

实数a的取值范围是32,2−，故选D．2．已知数列na满足11a=，213a=，若()()*1111232,nnnnnaaaaannN−+−++=，则数列na的通项na=（）A.112n−B.121n−C.113n−D.1121n−+【答

案】B【解析】111123nnnnnnaaaaaa−+−++=,11123nnnaaa+−+=,1111112nnnnaaaa+−−=−,则1111211nnnnaaaa+−−=−,数列111nnaa+

−是首项为2，公比为2的等比数列，1111222nnnnaa−+−==，利用叠加法，211213211111111......122.......2nnnaaaaaaa−−+−+

−++−=++++，1212121nnna−==−−，则121nna=−.选B.23．等比数列na的前n项和11·32nnSc+=+（c为常数），若23nnaS+恒成立，则实数的最大值是（）A.3B.4C.5D.6【答案】C【解析

】由题意可知32c=−且3nna=,可得211333223nn++−,化简为31323nn+,由于均值不等式等号不成立,所以由钩型函数可知,当n=1时,max5=.选C.4．已知数列na是各项均不为0的正项数列，nS为前n项和，且满足2+1nn

Sa=，*nN，若不等式()1281nnnSa++−对任意的*nN恒成立，求实数的最大值为A.21−B.15−C.9−D.2−【答案】D【解析】由2+1nnSa=得114({4(nnananSS−−==,()()2

21411nnnaaa−=+−+,整理得()()1120nnnnaaaa−−+−−=,数列na是各项均不为0的正项数列,12nnaa−−=,由2+1nnSa=,令1n=可得()1112121naann==+−=−，2nSn=,不等式()1281nnnSa++−即()8124

nnn−++,当n为偶数时，104n+，1044n+,4,当n为奇数时，64n−，64n−单调递增，1n=取最小2−，2−，综上可得2−，所以实数的最大值为2−.5．各项均为正数的等差数列na中，前n项和为nS，当*,2nNn时，有()2211nnnS

aan=−−，则20102SS−=A.50B.50−C.100D.100−【答案】A【解析】设等差数列的公差为d，则当2n=时，()()22222211112222Saaadada=−+=+−，当3n=时，()()22223311

1122233233Saaadada=−+=+−，联立方程组得281030dd−+=，可得12d=，所以2010112019112202010950222SSaa−=+−−=，故选A.36．已知函数()()936,10{,10

xaxxfxax−−−=，若数列na满足()()*nafnnN=，且na是递增数列，则实数a的取值范围是A.(1,3)B.(1,2C.(2,3)D.24,311【答案】C【解析】因为na是递增数列,所以()11930{13106

aaaa−−−−,解得3{1212aaaa−或,即23a,故选C.二、填空题7．已知数列na的首项为()0aa，前n项和为nS，且1nnStSa+=+（0t且*1,tnN），1nnbS=+.若122nncbbb=++++，则使数列nc为等比数列的所有

数对(),at为__________．【答案】()1,2【解析】本题主要考査等比数列的应用.当1n=时，由21StSa=+，解得2aat=.当2n时，1nnStSa−=+,∴()11nnnnSStSS+−−=−，即1nnata+=.又10aa=

,∴1nnata+=，即na是首项为a,公比为t的等比数列，∴1nnaat−=，∵1t，∴11nnaatbt−=+−.∴()21222111nnnaacbbbnttttt=++++=++−+++−−()()()()12221212111111nnatt

aataatnnttttt+−=++−=−+++−−−−−.若nc为等比数列，则有()22=01{10,1attat−−+=−，解得1,{2,at==故满足条件的数对是()1,2.48

．已知函数()12fxx=+，点O为坐标原点，点()()()*,nAnfnnN，向量()0,1i=，θn是向量OAn与i的夹角，则使得1212coscoscossinsinsinnnt+

+恒成立的实数t的取值范围为___________．【答案】3,4+【解析】根据题意得,2n−是直线OAn的倾斜角，则：()()sincos11112tansin2222cos2nnnnnfnnnnnn−==−===−

++−，据此可得：结合恒成立的结论可得实数t的取值范围为3,4+.9．若数列na满足111nndaa+−=（*nN，d为常数），则称数列na为“调和数列”，已知正项数列1nb为“调和

数列”，且12990bbb+++=，则46bb的最大值是__________．【答案】100【解析】因为数列1nb是“调和数列”，所以1nnbbd+−=，即数列nb是等差数列，所以()461299902bbbbb++++==，4620bb+=，

所以4646202bbbb+=，46100bb，当且仅当46bb=时等号成立，因此46bb的最大值为100．10．若,xy满足约束条件50{210210xyxyxy+−−−−+，等差数列na满足1ax=，5ay=，其前n项为

nS，则52SS−的最大值为__________．【答案】3345【解析】由约束条件50{210210xyxyxy+−−−−+作出可行域如图，联立210{50xyxy−+=+−=，解得()3,2A，15,axay==，所以公差4yxd−=，()()34552453333344yxyxaa

aSSaady+−++=−==−=−=，设9344yzx=+，当直线过点()3,2时，有最大值334，即52SS−最大值为334，故答案为334.11．在数列的每相邻两项之间插入此两项的积，形成新的数列，这样的操作叫做该数列的一次“扩展”.将数列1，2

进行“扩展”，第一次得到数列1，2，2；第二次得到数列1，2，2，4，2；….设第次“扩展”后所得数列为121,,,,,2mxxx，并记()212log12nmaxxx=，则数列na的通项公式为______.【答案】312nna+=【解析】()()()()3333212

11122212log1122log1231nmmmnaxxxxxxxxxxa+===−.则111322nnaa+−=−且()12113log1222,22aa==−=,据此可得数列12na−是首项为32，公比

为3的等比数列，则312nna+=.612．已知数列na的首项为9，且()21122nnaaan−−=+，若1112nnnbaa+=++，则数列nb的前n项和nS=__________．【答案】211

9101n−−【解析】因为()21122nnnaaan−−=+，故()2111nnaa−+=+,取对数可得()()1lg12lg1nnaa−+=+,故()()1lg12lg1nnaa−+=+，故()lg1na+是以1为首项，

2为公比的等比数列，故()1lg12nna−+=,故12110nna−+=，则12101nna−=−，因为()21122nnnaaan−−=+，故212nnnaaa+=+两边取倒数可得1111112nnnnaaaa+++=−+,故数列

nb的前n项和2122334111111111119101nnnnSaaaaaaaa+=−+−+−+−=−−13．把正整数按一定的规则排成了如下图所示的三角形数表．设aij(i，j∈N*)是位于这个三角形数表中从上

往下数第i行、从左往右数第j个数，如a42＝8.若aij＝2009，则i与j的和为_________.【答案】107【解析】由三角形数表可以看出其奇数行为奇数数列，偶数行为偶数列，2009210051=+，所以2009为第1005个奇数，又前31个奇

数行内数的个数的和为961，前32个奇数行内数的个数的和为1024，故2009在第32个奇数行内，所以63i=，因为第63行的第一个数为()296211923,2009192321m−==+−，解得44m=，即44j=

，所以107ij+=.14．已知数列na满足111,2256nnaaa+==，若2log2nnba=−，则12···nbbb的最大值为__________．【答案】6254【解析】由题意可得：212loglognnaa+=，即：21211loglog12nnaa++=+，整理可得：()

()2121log2log22nnaa+−=−，7又21log210a−=−，则数列nb是首项为-10，公比为12的等比数列，12110222nnnb−−=−=−，则：()()3212···52nnnnnSbbb−==−

,很明显，n为偶数时可能取得最大值，由()2*2{2,nnnnSSnkkNSS+−=可得：4n=，则12···nbbb的最大值为6254.15．数列na满足12sin12nnnaan+=−+，则数列na的前100项和为__________．【答案】2550【解析】

由于()sin2fnn=的周期为4T=，11aa=，211aa=+，32121aaa=−+=−+43134aaa=+=−+，于是得到12346aaaa+++=；同理可求出567814aaaa+++=，910111222aaaa+++=，……由此，数列na的前100项和可以转化为

以6为首项，8为公比的等差数列的前25项和，所以前100项和为2524256825502+=.B组一、选择题1．设数列na为等差数列，nS为其前n项和，若113S，410S，515S，则4a的最大值为（）A.3B.4C.7−D.5−【答案】B【解

析】∵S4≥10，S5≤15∴a1+a2+a3+a4≥10，a1+a2+a3+a4+a5≤15∴a5≤5，a3≤3即：a1+4d≤5，a1+2d≤3两式相加得：2（a1+3d）≤88∴a4≤4故答案是42．设等差数列na的前n项和为11,13,0,15nmmmSSSS−+===−，其中*m

N且2m．则数列11nnaa+的前n项和的最大值为（）A.24143B.1143C.2413D.613【答案】D【解析】由题意可得111113,15,2mmmmmmmmaSSaSSdaa−+++=−=−=−=−=−=−,()11

02mmmdSma−=+=可得11am−=，又()1113maamd=+−=−，可得1215am−=−，113,14am==，152nan=−，12231122311111111111111213152nnnnnnSS

aaaaaadaaaaaan++=+++=−+−++−=−−=−−，可知767,13nS==取最大值。选D.3．已知递增数列{}na对任意*nN均满足*,3nnaaNan=，记()123*nnbanN−=，则数列n

b的前n项和等于（）A.2nn+B.121n+−C.1332nn+−D.1332n+−【答案】D【解析】因为3naan=，所以13a，若11a=，那113131aaa===矛盾，若12a=，那么12313aaa===成立，若13a=，那131313aaaa====矛盾，所以

212ab==，当33anannaaa==，所以1221233232333nnnnnbaaab−−−−====，即13nnbb−=，数列nb是首项为2，公比为3的等比数列，所以前n项和为()()3111313331132nnbqq+−−−

==−−，故选D.4．斐波那契数列na满足：()*12121,1,3,nnnaaaaannN−−===+.若将数列的每一项按照下图方法放进格子里，每一小格子的边长为1，记前n项所占的格子的面积之和为nS，每段螺旋线与其所在的正方形所围成的扇形面积为nc，则下列结论错

误9的是（）A.2111·nnnnSaaa+++=+B.12321nnaaaaa+++++=−C.1352121nnaaaaa−++++=−D.()1214?nnnnccaa−−+−=【答案】C【解析】对于A,由图可知

，223334445,,,...SaaSaaSaa===，可得()21121111nnnnnnnnnSaaaaaaaa+++++++==+=+，A正确；对于B,12321123111232111nnnnnnn

aaaaaaaaaaaaaaaa++−+−++++=−=+−++++=−++++=12331131...1121nnaaaaaaa−−++++=−=−=−,所以B正确；对于C,1n=时，121aa−；C错误；对于D,()()()222111

12144?44nnnnnnnnnnaaccaaaaaa−−−−−+−=−=+−=,D正确.故选C.5．已知甲、乙两个容器，甲容器容量为x，装满纯酒精，乙容器容量为z，其中装有体积为y的水（,xyz：单位：L）.现将甲容器中的

液体倒人乙容器中，直至甲容器中液体倒完或乙容器盛满，搅拌使乙容器中两种液体充分混合，再将乙容器中的液体倒人甲容器中直至倒满，搅拌使甲容器中液体充分混合，如此称为一次操作，假设操作过程中溶液体积变化忽略不计

.设经过()*nnN次操作之后，乙容器中含有纯酒精na（单位：L），下列关于数列na的说法正确的是（）A.当xya==时，数列na有最大值2aB.设()*1nnnbaanN+=−，则数列nb为递减数列C.对任意的*nN，始终有nxyazD.对任意的*

nN，都有nxyaxy+【答案】D【解析】当n趋于正无穷时，甲、乙两容器浓度应趋于相等，当xyz+时，显然10nxyaxy=+，当xyz+时，甲容器有剩余，显然nxyaxy+，故D正确，A，

B错误，对于C，可设1,1,3xyz===，则112a=，此时1123，C错误.6．一个机器人每一秒钟前进一步或后退一步，程序设计师设计的程序是让机器人以先前进3步，然后再后退2步的规律移动，如果将机器人放在数轴的原点，面向正的方向在数轴上移动（1步的距离为1个单位长度）.令()Pn表示第n秒

时机器人所在位置的坐标，且记()00P=，则下列结论错误的是（）A.()33P=B.()()20132017PP=C.()()20072006PPD.()()20032006PP【答案】C【解析】根据题

中的规律可得：()()()()()()00,11,22,33,42,51,...PPPPPP======以此类推得：()5(Pkkk=为正整数），因此()2003403P=，且()2006402P=，()20074

03P=，所以()()20072005PP，故选C.二、填空题7．各项均为正数的等差数列na中，前n项和为nS，当*,2nNn时，有()2211nnnSaan=−−，则20102SS−=__________．【答案】50【解析】由题意：()()()()()()()()

221111111,111,2111,2nnnnnnnnnnSaaaaaannaannnaaaaaandnnd=−=+−−−+=+−=+−−−=()()()2010201010111220121010050SSSSSaaaaaad−=−−=+

++−+++==.8．已知数列na的前n项和为12,1,2nSaa==且()*21320,nnnnSSSanN++−++=，记()*12111,nnTnNSSS=+++，若()6nnT+对*nN恒成立，则的最小

值为__________．11【答案】16【解析】()21211322nnnnnnnnnSSSaSSSSa+++++−++=−−−+2120nnnaaa++=−+=,即211,nnnnnaaaaa+−+−=−为首

项为1，公差为211−=的等差数列，()()1111,2nnnnannS+=+−==，()1211211nSnnnn==−++，11111221...22311nnTnnn=−+−++−=++，由()6nnT+

得()()226167nnnnn=++++，因为2n=或3n=时，267nn++有最大值16，16，即的最小值为16，故答案为16.9．等比数列na的首项为2，公比为3，前n项的和为nS，若()34114lo

g19,2nmaSnm+=+则的最小值为____．【答案】52【解析】由题意可得14423,31,31nnmnnmaSS−==−=−，所以()3n4m1logaS12+=419mn+−=，即410mn+=，由14nm+=（14nm+）（410mn+）=144255

1710102mnnm++=，等号成立条件是2mn==。填52。【点睛】本题由数列可得410mn+=，要求14nm+的最小值，我们常用的方法是“1的妙用”，即在14nm+=（14nm+）（410mn+），再展开利用均值不等式可解。10．已知数列na满足112a

=−，+11nnnnnabbab+=+，且()()*1152nnbnN+−=，则数列na的前2n项和2nS取最大值时，n=__________．【答案】8．【解析】由题知当n为奇数时，2nb=−，当n为偶数时，

3nb=．又21211abbab=+，12可得274a=．当2nk=时，有2122122kkkkkabbab++=+即()2123231kkaa+=−+，当21nk=−时，有22122121kkkkkabbab−−−=+，即()221232kkaa

−−=−２，当21nk=+时，有2221222121kkkkkabbab+++++=+，即()2221232kkaa++−=−３．由()()13可得22212kkaa+−=−，由()()23可得212

113kkaa+−−=，则221kkaa−都是等差数列．()()()()213521242121111......2322nnnnnnnSaaaaaaanana−−−=++++++++=+++−224123nn=−+．则当8n=时，2nS取最大值．故本题填8．1

1．在数列na中，1a2=，若平面向量()2,1nbn=+与()11,nnnncaaa+=−+−平行，则na的通项公式为__________．【答案】22313nnna++=【解析】因为nb与nc平行，所以()()1211nnnanaa

+=+−+−，整理为：()()()1131nnnanan++=+++，两边同时除以()()()123nnn+++，可得()()()()()()11231223nnaannnnnn+=+++++++，设()()12nnabnn=++，那么()()11112323nnbbnnnn+−=

=−++++，采用累加法，()()()()2132431111111............344512nnbbbbbbbbnn−−+−+−++−=−+−++−++，整理为11132nbbn−=−+，而113b

=，所以2132nbn=−+，那么()()()()()21212231121333nnnnnannn++++=++−+==，故填：22313nn++.12．已知数列中，()*110,31nnnaaanNa

+=+，数列满足：13()*nnbnanN=，设为数列的前项和，当时有最小值，则的取值范围是____________.【答案】11,1821−−【解析】由题意得，数列na满足()*110,31nnnaaanNa+=+，则131113nnnnaaaa++==+，所以111

3nnaa+−=，所以数列1na构成公差为3的等差数列，所以()11111131313nnanaaaana=+−=+−，所以111313nnabnaana==+−，因为当7n=时，nS取得最小值，所以780,0bb

，即111111703713{803813aaaaaa+−+−，解得1111821a−−.13．已知数列na的前n项和为nS，且满足111,2nnnaaaS+==，设3nnnaab=，若存在正整数,()pqpq，使得1,,pqbbb成等差数列，则pq+

=__________．【答案】5【解析】当1n=时，得121,2aa==；当2n时，由12nnnaaS+=和1212nnnaaS+++=，得121(=2nnnnaaaa+++−），即2=2nnaa+−，则nan=，3nnnb=，若

存在正整数,()pqpq，使得1,,pqbbb成等差数列，则21333pqpq=+，即21333qppq=−，易知2,3pq==是方程21333qppq=−的一组解，当3p时且Np时，()11212240333pppppp+++−−=，即数列()233ppp

为递减数列，所以32123103333pp−−，即无正整数解，即存在唯一的2,3pq==，使得1,,pqbbb成14等差数列，则5pq+=.14．设数列na的前n向和为nS，且()121,2nnaanSna==++为等差数列，则na的通项公式na=__________．

【答案】12nn−【解析】令()2nnnbnSna=++，由已知条件121aa==可知124,8bb==，又nb为等差数列，则4nbn=，又()2nnnbnSna=++，得241nnSan=−+，当2n时，11221101nnnnSSaann−−−++−+=−

，可得()12111nnnnaann−++=−，即121nnaann−=−，得nan是以12为公比，1为首项的等比数列，可得112nnan−=，则12nnna−=，11a=也满足．故本题应填12nn−15．已知数列na的首项1a

t=，其前n项和为nS，且满足212nnSSnn++=+，若对nN+，1nnaa+恒成立，则实数t的取值范围是__________．【答案】13,44【解析】由212nnSSnn++=+得()()21121nnSSnn−+=−+−（2n），两式相减得：121nnaan++

=+（2n），所以121nnaan−+=−（3n），两式相减得：112nnaa+−−=（3n），所以，数列246,,,aaa……是以2为公差的等差数列，数列357,,,aaa……是以2为公差的等差数列，将1n=代入212nnSSnn++=+及1at=可得232at=−，将2n=代入121

nnaan++=+（2n）可得322at=+，且42252aat=+=−，要使得nN+，1nnaa+恒成立，只需要1234aaaa即可，所以322252tttt−+−，解得：1344t，即实数t的取值范围是13,44．15C组一、选择题1．已知

正项数列na的前n项和为nS，且1161nnnnaSnSS+++=−+，1am=，现有下列说法：①25a=；②当n为奇数时，33nanm=+−；③224232naaann+++=+.则上述说法正确的个数为（）A.0B.1

C.2D.3【答案】D【解析】因为1161nnnnaSnSS+++=−+，故1161nnnaSna+++=+，即()()()1116nnnaaSn+++=+；当1a=时，()()()1161nnnaaS++=

+，故5na=；当2n时，()()()111161nnnaaSn−−++=+−，所以()()()()()()11111?11661nnnnnnaaaaSnSn+−−++−++=+−+−，即()()()11161nnnnaaaa+−+−=+，又0na，所以116

nnaa+−−=，所以()16166namkkm−=+−=+−，所以当m为奇数时，33nanm=+−；()256161nann=+−=−，•mN所以223232naaann+++=+；综上所述，①②③都正确.选D.2

．已知函数()afxx=的图象过点()4,2，令()()11nafnfn=++（*nN），记数列na的前n项和为nS，则2017S=（）A.20181+B.20181−C.20171−D.20171+【答案】B【解析】由题意得142,2==，所以111nannnn==+

−++，从而2132111nSnnn=−+−+++−=+−，即201720181S=−，选B.3．设()'fx是函数()yfx=的导数，()''fx是()'fx的导数，若方程()''0fx=有实数解0x，则称点()()00,xfx为函数(

)yfx=的“拐点”．已知：任何三次函数既16有拐点，又有对称中心，且拐点就是对称中心．设()32182133fxxxx=−++，数列na的通项公式为27nan=−，则()()()128fafafa+++=（）A.5B.6C.7D.8【答案】D【解析】解：由题意可得：()(

)28'4,''243fxxxfxx=−+=−，由()''0fx=可得：2x=，即题中的三次函数关于点()()2,2f中心对称；结合数列的通项公式可知：()()()()()()()128539828.fafafaffff+++=−+−++==本

题选择D选项.4．在各项均为正数的等比数列na中，若()·21·2mmmaaamN++=,数列na的前n项积为mT，且21128mT+=，则m的值为（）A.3B.4C.5D.6【答案】D【解析】因为212mmmaaa++=，所以2112mmaa+++=，即1=2ma+

.又()21211mmmTa+++=，由212128m+=，得3m=.选D.5．设等差数列na的前n项和为nS，已知()355134aa−+=，()388132aa−+=，则下列选项正确的是（）A.1212S=，58aaB.1224S=，58aaC.1212S=，58aa

D.1224S=，58aa【答案】A【解析】由()355134aa−+=，()388132aa−+=可得：()()33558813(1)1,13(1)1aaaa−+−=−+−=−，构造函数3()fxxx=+，显然函数是奇函数且为增函数，所以5858(1)11(1)11faf

aaa−=−=−−−，58aa，又58(1)(1)0fafa−+−=所以58(1)(1)aa−=−−所以582aa+=，故112125812()6()122aaSaa+==+=6．数列na满足113a=，且对任意211N*,,1nnnnnnaaaca+

=+=+，数列nc的17前n项和为nS，则2017S的整数部分是（）A.1B.2C.3D.4【答案】B【解析】解：由数列的递推公式可得：2344526916,,19816561aaa===，结合递推公式

，当4n时：()1111,1nnnnnaaaaa+=+，且有：()111111111111nnnnnnnnaaaaaaaa++==−=−+++，故：2017122320162017201711111113Saaaaaaa=−+−++−=−，据此可

得：2017S的整数部分为2.本题选择B选项.二、填空题7．设1a，2a，…na是各项均不为零的n（4n）项等差数列，且公差0d，若将此数列删去某一项后得到的数列（按原来的顺序）是等比数列，则所有可能满足条件的n值为_____

_____．【答案】4【解析】当6n时，则从满足题设的数列中删去任意一项后得到的新数列，必有原数列中的连续三项，从而这三项既成等差又成等比数列，故知原数列的公差必为0，这与题设矛盾，所以满足题设的数列的项数45n，当4n=时，删去的必为

第二或第三项，若删去第二项，利用成等比中项知()()211123adaad+=+，此方程有解，所以可以，同理删去第三项验证亦可，故4n=可以，当5n=时，只能删去第三项，且22214415,aaaaaa==，此方程组无解，故5n=，不可以，综上应填4n=

．8．已知各项都为整数的数列na中，12a=，且对任意的*Nn，满足1122nnnaa+−+，2nnaa+−321n−，则2017a=__________．【答案】20172【解析】由1122nnnaa+−+，得121122nnnaa+++−+，两式相加得2321nn

naa+−+，又2nnaa+−321n−，naZ，所以232nnnaa+−=，从而()()()20172017201520152013311aaaaaaaa=−+−++−+201520133120173(22222=++++=.189．在数列na及nb中，221nnnnna

abab+=+++，221nnnnnbabab+=+−+，111,1ab==.设11nnncab=+，则数列nc的前2017项和为__________．【答案】4034【解析】由递推关系有：()()()22222221121

11111nnnnnnnnnnnnnnnnnnababababababababab++++=+==++−+++++−+，且11112ab+=，据此可知数列11nnab+是各项均为2的常数列，数列nc的前2017项和为201724034=.10．已知()42,{4,ax

xaxfxxxax−+=−①当1a=时，()3fx=,则x=__________.当1a−时，若()3fx=有三个不等实数根，且它们成等差数列，则a=___________.【答案】411

6−【解析】①()42,1{4,1xxxfxxxx−+=−，若123xx−+=，则210xx++=，无实数解；若43xx−=，则2340xx−−=，1x=−或4x=，只有4x=符合，故4x=；②易知xa时，()423fxaxx=−+=若有两解，方程化为()

23240xax+−+=，令()()2324gxxax=+−+，则()()32(16032{23240aagaaaa=−−−=+−+，解得112a−−或742a，不合题意，从而此时方程()3fx=只有一根，那么当xa时，()43fxxx=−

=有两根，即1x=−和4x=都是根，根据题意三根成等差数列，则第三个根为246−−=−，由42636a−−+=−，得116a=−，经检验符合题意，所以116a=−．1911．已知nS为数列na的前n项和，()1*23nnanN−=，若11nnnna

bSS++=，则12nbbb+++=__________．【答案】111231n+−−【解析】因为1123323nnnnaa+−==，所以数列na为等比数列所以()()1121331113nnnnaqSq−−===−−−，又1111111nnnnnnnnnnaSSbSSSSSS+++

++−===−，则1212231111111nnnbbbSSSSSS++++=−+−++−1111111231nnSS++=−=−−.12．已知定义在R上的奇函数()fx满足()()3,23

2fxfxf−=−=−，nS为数列na的前n项和，且2nnSan=+，则()()56fafa+=__________．【答案】3【解析】∵()()fxfx−=−，又∵()32fxfx−=，∴()32fxfx−=−−.∴()()()()3333222fxf

xfxfxfx+=−−−=−−−=−−=.∴()fx是以3为周期的周期函数.∵数列na满足11a=−，且112,21,nnnnSanSan−−=+=+−，两式相减整理得()11211nnnaaa−−=−−是以2为公比的等比数列，()11112,21n

nnnaaa−−=−=−+，∴5631,63aa=−=−.∴()()()()()()()()56316320223fafaffffff+=−+−=+==−−=,故答案为3.13．已知()fx是R上可导的增函数，()gx是R上可导的奇函数，对1x，2xR20都有()

()()()1212gxgxfxfx++成立，等差数列na的前n项和为nS，()fx同时满足下列两条件：()211fa−=，()911fa−=−，则10S的值为__________．【答案】10

【解析】解：由题意可知：()()()()()()0,0fxfxgxgxfxfx+−+−=+−=，据此可知，函数()fx是R上的奇函数，又()()29110fafa−+−=，故：()()29291102aaaa−+−=+=，由等差数列前n项和公式有：1102910101

01022aaaaS++===.14．已知数列na满足()2*1232nnaaaanN=，且对任意*nN都有12111ntaaa+++，则实数t的取值范围为__________．【答案】2,3+【解析】已知21232nnaaaa=当1n=时

，12a=当2n时，2-1123-12nnaaaa=（）所以()222112222nnnnan−−==（）经检验，1n=时，通项公式也成立所以212nna−=故21112nna−=所

以数列1na是等比数列设其的前n和为nS所以111212241134314nnnS−==−−21所以t范围为2,3+15．已知定义域为)0,+的函数

()fx满足()()22fxfx=+，当)0,2x时，()224fxxx=−+，设()fx在)22,2nn−上的最大值为()*nanN，且数列na的前n项和为nS，则nS=__________．【答案】2142n−−【解析】当)0,2x时，函数对称轴为1x=，开口向下，故

最大值为()12f=.由于()()122fxfx+=，即从)2,4起，每隔两个单位长度的图像就是前一个区间图像的一半，故最大值是以2为首项，公比为12的等比数列，其前n项和21211241212nnnS−−==

−−.16．把正偶数数列{2n}的各项从小到大依次排成如图的三角形数阵，记M(r，t)表示该数阵中第r行的第t个数，则数阵中的数2018对应于________．【答案】(45，19)【解析】由数阵的排列规律知，数阵中的前n行共有()11232nnn+++++=项，当44n=时，共有

990项，又数阵中的偶数2018是数列na的第1009项，且44451910092+=，因此2018是数阵中第45行的第19个数，数阵中的数2018对应于()4519，22