【文档说明】天津师范大学附属中学2020-2021学年高二上学期第一次月考数学试题 【精准解析】.doc，共(18)页，1.947 MB，由小赞的店铺上传

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2020-2021学年高二年级第一学期第一次月考数学试卷一、选择题（本大题共9小题，共45分）1.直线l经过原点和()1,1−，则它的倾斜角是（）A.45°B.﹣45°C.135°D.45°或135°【答案】C【解析】【分析】根据已知的两点计算出斜率，再根据倾斜角的正切值为斜率，

即可求得倾斜角.【详解】因为直线经过原点和()1,1−，故111lk=−=−，设直线倾斜角为，故1tan=−，又)0,，故可得135=.故选：C.【点睛】本题考查已知两点求直线斜率，以及斜率与倾斜角之间的关系.2.与向

量()1,2,2a=−−共线的单位向量是（）A.122,,333−−或122,,333−B.122,,333−−C.122,,333−D.122,,333−−−或122,,33

3−【答案】A【解析】【分析】求出()1,2,2a=−−的ar，再由与a共线的单位向量是aa，求出结果.【详解】解：∵向量()1,2,2a=−−的模为1443a=++=，故与向量()1,2,2a=

−−共线的单位向量是aa，即122,,333aa=−−或122,,333aa−=−.故选：A.【点睛】本题考查空间向量的共线问题，属于基础题.3.如图，在平行六面体1111ABCDABCD−中，底面是边长为1的正方形，若01160AABAAD==，且

13AA=，则1AC的长为A.5B.22C.14D.17【答案】A【解析】【分析】由几何图形可得111111ACABADAA=++，然后两边平方，根据向量的数量积可得21||AC，进而得到1AC的长度．【详解】因为111111ACABADAA=++，所以|1AC|2=(11111A

BADAA++)2=|11AB|2+|11AD|2+|1AA|211111111112(?·ABADABAAADAA+++)()1192013cos12013cos120=+++++5=．故A1C的长为5．故选A．

【点睛】本题考查向量数量积的应用，利用数量积可解决垂直、长度、夹角等问题，用向量求长度时，可将向量用基底或坐标表示出来，然后根据数量积的运算或坐标运算求解即可，体现了向量具有数形二重性的特点．4.已知过点(2,),(,4)MaNa−的直线的斜率为12−，则MN等于（）A.1

0B.180C.63D.65【答案】D【解析】【分析】根据直线MN的斜率求出a的值，再利用两点间的距离公式计算||MN的值.【详解】过点(2,)Ma−，(,4)Na的直线斜率为4122aka−==−+，解得10a=，2222||(2)(4)(102)(410)6

5MNaa=++−=++−=.所以D选项是正确的.【点睛】本题考查了直线斜率的公式与应用问题，也考查了两点间距离公式的应用问题，是基础题.5.设点()2,3A−，()3,2B−−，直线l过点()1,1P且与线段AB相交，则l的斜率k的取值范围是（）A.34k或4k−B.

344k−C.344k−D.以上都不对【答案】A【解析】【分析】由题意得，所求直线l的斜率k满足PBkk或PAkk，求出即可.【详解】如图所示，由题意得，所求直线l的斜率k满足PBkk或PAkk，即123134k+=+，或13412k+=−−，∴34k，或

4k−，即直线的斜率的取值范围是34k或4k−.故选：A．【点睛】本题主要考查直线的斜率公式的应用，属于基础题.6.若光线从点(3,3)P−射到y轴上，经y轴反射后经过点(1,5)Q−−，则光线从点P到点Q走过的路程为（）A.10B.

5＋17C.45D.217【答案】C【解析】【分析】(1,5)Q−−关于y轴的对称点1(1,5)Q−，易知光线从点P到点Q走过的路程为2214845PQ=+=.【详解】找到Q点关于y轴的对称点1(1,5)Q−，由对称性可知P，Q间距离等于1,PQ间的距

离，求得221||4845PQPQ==+=.所以本题选C.【点睛】本题考查求点关于y轴的对称点问题和两点间的距离公式，要求熟记公式，掌握数形结合的思想运用，属基础题.7.直三棱柱ABC—A′B′C′中，AC＝BC＝AA′，∠ACB＝

90°，E为BB′的中点，异面直线CE与CA所成角的余弦值是（）A.55B.55−C.-1010D.1010【答案】D【解析】【分析】以C为原点，CA为x轴，CB为y轴，CC为z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出异面直线CE与CA所成角的余弦值．【详解】直三棱

柱ABCABC−中，ACBCAA==，90ACB=，E为BB的中点．以C为原点，CA为x轴，CB为y轴，CC为z轴，建立空间直角坐标系，设2ACBCAA===，则(0C，0，0)，(0E，2，1)，(0C，0，2)，(2A，0，0)，(

0CE=，2，1)，(2CA=，0，2)−，设异面直线CE与CA所成角为，则||210cos10||||58CECACECA===．异面直线CE与CA所成角的余弦值为1010．故选：D．【点睛】本题考查异面直线所成角的余弦值的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系

等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．8.已知直线l的倾斜角3π4，直线1l经过点()3,2A，(),1Ba−，且1l与l垂直，直线21:20lxby++=与直线1l平行，则ab+=（）A.2−B.0C.2D.3【答案】A【解析】【分析】由题可求出l的斜率，根据1l与l垂直可得11k=，可解

出a，再根据12ll//得21kk=，可求出b，即可得出结果.【详解】可知直线l的斜率3tan14k==−，1l与l垂直，1l的斜率()12113ka−−==−，解得0a=，12//ll，2l的斜率2112bk

k=−==，解得2b=−，2ab+=−故选：A.【点睛】本题考查由直线的平行、垂直求参数，属于基础题.9.如图，正方形ABCD与矩形ACEF所在平面互相垂直，AB＝2，AF＝1，M在EF上，且AM∥平面BDE.则M点的坐标为（

）A.(1，1，1)B.22(,,1)33C.22(,,1)22D.22(,,1)44【答案】C【解析】试题分析：设,ACBD交于点O，连结OE，因为正方形ABCD与矩形ACEF所在的平面互相垂直，2,1ABAF==，点M在E

F上，且//AM平面BDE，所以//AMOE，又//AOEM，所以OAME是平行四边形，所以M是EF的中点，因为(0,0,1),(2,2,1)EF，所以22(,,1)22M，故选C．考点：空间直角坐标系中点的坐标．二、填空题（本大题共8小题，共40分）10.已知()1,0,2a→

=+，()6,21,2b→=−，若//ab→→，且a→与b→反向，则+=________．【答案】52−【解析】【分析】根据题意可设bka→→=，且k0，然后可得出()1621022kk+=−==，根据k解出，即可

得出+的值.【详解】解：∵//ab→→，且a→与b→反向，∴设bka→→=，k0，∴()()6,21,21,0,2k−=+，∴()1621022kk+=−==，∵k0，∴解得

3123k=−==−，∴52+=−.故答案为：52−.【点睛】本题考查空间向量的共线问题，考查运算能力，是基础题.11.已知()2,1,3a→=−，()3,4,2b→=−，()7,,5c→=，若a→，b→，c→共面

，则实数=________．【答案】12313−【解析】【分析】由空间向量的共面定理，列出方程组求出实数的值.【详解】解：由()2,1,3a→=−，()3,4,2b→=−，()7,,5c→=，且a→，b→，c→共面，所以存在实数m，n，使得cmanb→→→=+，即()()()

7,,52,1,33,4,2mn=−+−，列方程组，得2374325mnmnmn−+=−=+=，解得113m=，3113n=；所以1311234131313=−=−.故答案为：12313−.【点睛】本题考查空间向量共面定理，考查运

算能力，是基础题.12.若直线l的方向向量为()1,0,2a→=．平面的法向量为()2,0,4→=−−，则直线l与平面的关系为________．【答案】l⊥【解析】【分析】利用向量共线定理、线面垂直的判定定理即

可判断出.【详解】解：∵2a→→=−，∴//a，因此l⊥.故答案为：l⊥.【点睛】本题考查空间向量共线定理，线面垂直的向量方法，考查运算能力，是基础题.13.长方体1111ABCDABCD−中，15AA=，12AB=，那么直线11BC和平面11ABCD的距离是____

____．【答案】6013【解析】【分析】结合长方体，将原距离转化为点1B和平面11ABCD的距离解决，最终转化为直角三角形斜边上的高求解即可.【详解】解：∵直线11BC//平面11ABCD，∴直线11BC和平面11ABCD的距离即为点1B和平面11ABCD的距离.∵面11AB

BA⊥面11ABCD，在面11ABBA内过1B作1AB的垂线，即为面11ABCD的垂线，也就是直角三角形11ABB斜边上的高d，由面积法得：512601313d==.故答案为：6013.【点睛】本题考查线面距离的求法

，属于基础题.14.过点(－2，－3)且在x轴，y轴上的截距相等的直线方程为____________.【答案】50xy++=或320xy−=【解析】【分析】分类讨论，当直线过原点，即截距都为零，易得直线方程；当直线不过原点，由截距式，设出直

线方程，把P点坐标代入，能求出结果.【详解】当直线过原点，即截距都为零时，直线经过原点(0,0)，(2,3)P−−，直线方程为32yx−=−，整理得直线方程为320xy−=；当直线不过原点，根据截距式，设直线方程为1xyaa+=，把(2,3)P−−代入，得

5a=−，则直线方程为50xy++=.故答案为:50xy++=或320xy−=.【点睛】本题考查直线方程的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意分类讨论思想的合理运用.15.设1e，2e是空间两个不共

线的向量，已知12ABeke=+，1254BCee=+，122DCee=−−，且A，B，D三点共线，实数k=________．【答案】1【解析】【分析】由题意可得向量AB和BD共线，存在实数，使ABBD=，可得关于k，的

方程组，进行求解即可.【详解】解：∵A，B，D三点共线，∴向量AB和BD共线，故存在实数，使ABBD=，由题意可得()()()1212125426BDBCCDeeeeee=+=+++=+，即121266eke

ee+=+，故可得616k==，解得161k==，故1k=.故答案为：1.【点睛】本题考查向量基本定理和共线定理的应用，属于基础题.16.已知直线1:10laxya−++=，直线()2

:3430lxay+−+=，若12//ll，则实数a的值为_______.【答案】1或3【解析】【分析】由两直线平行可得出关于实数a的等式，进而可解得实数a的值.【详解】已知直线1:10laxya−++=，直线()2:3430lxay+

−+=，若12//ll，则()()43331aaaa−=−+，解得1a=或3a=.故答案为：1或3.【点睛】本题考查利用两直线平行求参数，考查计算能力，属于基础题.17.如图，在正四棱锥PABCD－中，PAAB=，点M为PA的中点，BDBN=．若MNAD⊥，则

实数=_____【答案】4【解析】【分析】连结AC，交BD于O，以O为原点，OA为x轴，OB为y轴，OP为z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出实数λ．【详解】解：连结AC，交BD于O，以O为原点，OA为x轴，OB为y轴，OP为z轴，建

立空间直角坐标系，设PA＝AB＝2，则A（2，0，0），D（0，2−，0），P（0，0，2），M（22，0，22），B（0，2，0），BD=（0，﹣22，0），设N（0，b，0），则BN=（0，b2−，0），∵BD=λBN，∴﹣2()22b

=−，∴b222−=，∴N（0，222−，0），MN=（22−，222−，22−），AD=（22−−，，0），∵MN⊥AD，∴MNAD=124−−=0，解得实数λ＝4．故答案为4．【点睛】本题考查实数值的求法，考查空间向量、正四棱锥的结构牲等基础知识，考查运算求解能力，是

中档题．三、解答题（本大题共4小题，共65分）18.已知直线1:230lxy−+=与直线2:2380lxy+−=的交点为M.（Ⅰ）求过点M且与直线3:310lxy−+=平行的直线l的方程；（Ⅱ）若直线'l过点M，且点(04)P，到'l的距离为5，求直线'l

的方程.【答案】（Ⅰ）310xy−−=（Ⅱ）230xy−+=【解析】【分析】（Ⅰ）联立直线方程可求出交点，根据所求直线过交点且与3:310lxy−+=平行即可求解（Ⅱ）分斜率存在与不存在两种情况讨论，利用

点到直线距离求解即可.【详解】（Ⅰ）联立2302380xyxy−+=+−=，解得：()1,2M.所以与3l平行的的直线方程为：()231yx−=−，整理得：310xy−−=.（Ⅱ）当斜率不存在时，不合题意；当斜率存在时，设():21lykx−=−，即：20kxyk−

+−=.由题得：2251kk+=+，解得：24410kk−+=，12k=；所以，所求直线的方程为：230xy−+=.【点睛】本题主要考查了两直线的交点，平行直线，点到直线的距离，分类讨论，属于中档题.19.已知空间三点()2,0,2A−，()1,1,2B−，()

3,0,4C−，设aAB=，bAC=．（1）若3c=，//cBC，求c；（2）若kab+与2kab−互相垂直，求k；（3）若向量kab+与akb+平行，求k．【答案】（1）()2,1,2c=−r或()2,1,2c=−−；（2）52k=−或2k=；（3）1k=或1k=−.【解析】【

分析】（1）根据空间向量的坐标表示与共线定理，利用模长公式，即可求出c；（2）利用两向量垂直数量积为0，列方程求出k的值；（3）根据向量共线定理，列出方程求出k的值.【详解】解：（1）点()2,0,2A−，()1,1,2B

−，()3,0,4C−，∴()2,1,2BC=−−，由cBC∥，设()2,,2cxxx=−−，且0x，∴222224499cxxxx=++==，解得1x=，∴()2,1,2c=−r或()2,1,2c=−−

；（2）()1,1,0aAB==，()1,0,2bAC==−，若kab+与2kab−互相垂直，则()()20kababk+−=，∴22220kakabb−−=，即()()()222222211010021020kk++−−++−−++=，化简得22100k

k+−=，解得52k=−或2k=；（3）向量()1,,2kabkk+=−，()1,1,2akbkk+=−，由向量kab+与akb+平行，则()1122kkkk−=−==，解得1k=或1k=−.【点睛】本题考查空间向量平行和垂直

的坐标表示，属于基础题.20.已知ABC的三个顶点分别为()0,4A，()2,6B−，()8,0C−．（1）求边AC和AB所在直线的方程；（2）求AC边上的中线BD所在直线的方程；（3）求AC边上的中垂线

的方程．【答案】（1）边AC所在直线的方程：280xy−+=，边AB所在直线的方程：40xy+−=；（2）2100xy−+=；（3）260xy++=.【解析】【分析】（1）由于A、C两点分别在y轴和x轴，由直线方程的截距式列式，化简可得AC所在直线的方程；再由A、B的坐标，利用直线方程的两点式列

式，化简即可得出AB所在直线的方程.（2）利用线段中点坐标公式，算出AC的中点D坐标为()4,2−，利用直线方程的两点式列式，化简即可得出AC上的中线BD所在直线的方程.（3）由12ACk=，得AC边上的中垂线的斜率为2−，AC的中点坐标为()4,2−，点斜式可

求出直线方程.【详解】解：（1）∵()0,4A，()8,0C−，∴直线AC的截距式方程得：184xy+=−，化简得280xy−+=.∵()2,6B−，()0,4A，∴由直线的两点式方程，得AB方程为406420yx−−=−−−，即40xy+−=，综上所述，边

AC所在直线的方程为280xy−+=，边AB所在直线的方程为40xy+−=.（2）设中点(),Dxy，由线段的中点坐标公式，可得0842x−==−，4022y+==，∴AC中点D坐标为()4,2−.再由直线的两点式方程，得BD所在直线的方程为622642yx−+=−−+，化

简得2100xy−+=，即为所求边AC上的中线BD所在的直线的方程.（3）由12ACk=，得AC边上的中垂线的斜率为2−，又AC的中点坐标为()4,2−，由点斜式，得AC边上的中垂线的方程为()224yx−=−+，即260xy++=.【点睛】本题考查直线的方程的求解，直线垂直的斜率

关系，考查运算能力，是基础题.21.在直四棱柱1111ABCDABCD−中，已知1333DCDDADAB====，ADDC⊥，//ABDC，E为DC上一点，且1DE=．（1）求证：1//DE平面1ABD；（2）求1A

E与平面1ABD所成角的正弦值；（3）求二面角1BADE−−的正弦值．【答案】（1）证明见解析；（2）3209209；（3）31919.【解析】【分析】（1）通过证明四边形11ABED是平行四边形得出11//DEAB

即可证明；（2）以D为原点，DA，DC，DD1为坐标轴建立直角坐标系，用向量法求解即可；（3）求出平面1ADE的法向量，利用向量法先求出二面角的余弦值，即可得正弦值.【详解】（1）//ABDC，且1ABDE==，四边形ABED是平行四边形，ADBE，又直四棱柱1111ABCDABCD−中

，11ADAD，11ADBE，四边形11ABED是平行四边形，11//DEAB，1DE平面1ABD，1AB平面1ABD，1//DE平面1ABD；（2）以D为原点，DA，DC，DD1为坐标轴建立直角坐标系，则()()()()10,0,0,1,1,0,1,0,3,0

,1,0DBAE，()()()()1111,1,3,0,1,3,1,1,0,1,0,3AEABDBDA=−−=−==，设平面1ABD的法向量为(),,nxyz=，则100nABnDB==，即300yzxy−=+=，令1z=，则3,3xy=−=，()3,3,1n=−，设1A

E与平面1ABD所成角为，则1133209sin2091119AEnAEn===；（3）设平面1ADE的法向量为(),,mxyz=，则1100mAEmDA==，即3030xyzxz−+−=+=，令1z=

，则3,0xy=−=，()3,0,1m=−，则1010cos,191019nmnmnm===，观察图形可知二面角1BADE−−的平面角为锐角，则其正弦值为21031911919−=.【点睛】本题考查线面平行的证明

，考查线面角和面面角的向量求法，属于中档题.