【文档说明】江苏省镇江市扬中第二高级中学2020-2021学年高一下学期期中考试数学试卷 含解析【精准解析】.doc，共(15)页，1.163 MB，由小赞的店铺上传

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2020-2021学年江苏省镇江市扬中第二高级中学高一（下）期中数学试卷一、选择题（共8小题）.1．已知复数z满足，则它的虚部为（）A．﹣iB．﹣1C．﹣2iD．﹣22．cos24°cos36°﹣cos66°cos54°的值等于（）A．0B．C

．D．﹣3．设，是两个不共线的向量，若向量＝﹣（k∈R）与向量＝共线，则（）A．k＝0B．k＝1C．k＝2D．k＝0.54．设，则＝（）A．2sinxB．2cosxC．﹣2sinxD．﹣2cosx5．轮船A和轮船B在中午12时，

同时离开海港O，两船航行方向的夹角为120°，两船的航行速度分别为25nmile/h，15nmile/h，则14时两船之间的距离是（）A．50nmileB．70nmileC．90nmileD．110nmile6．定义运算＝ad﹣bc、若

cosα＝，＝，0＜β＜α＜，则β等于（）A．B．C．D．7．在△ABC中，点D是AC上一点，且AC＝4AD，P为BD上一点，向量，则λ，μ满足的关系为（）A．λ+μ＝1B．C．λ+4μ＝1D．4λ+μ＝18．圭表（圭是南北方向水平放置测定表影长度的刻板，

表是与圭垂直的杆）是中国古代用来确定节令的仪器，利用正午时太阳照在表上，表在圭上的影长来确定节令．已知冬至和夏至正午时，太阳光线与地面所成角分别为α，β，表影长之差为l，那么表高为（）A．B．C．D．二、多选题（共4小题）.9．已知向量＝（1，﹣2），＝

（λ，1），记向量，的夹角为θ，则（）A．λ＞2时，θ为锐角B．λ＜2时，θ为钝角C．λ＝2时，为直角D．时，θ为平角10．在△ABC中，下列说法正确的是（）A．若A＞B，则sinA＞sinBB．若，则sin2C＞sin

2A+sin2BC．若sinA＜cosB，则△ABC为钝角三角形D．若sin2A＝sin2B，则A＝B11．设P是△ABC所在平面内的一点，，则（）A．B．C．D．12．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，，a＝2，若满足条件的三角形有且只有一个，则边

b的可能取值为（）A．1B．C．2D．3三、填空题（共4小题）.13．设向量＝（1，﹣1），＝（m+1，2m﹣4），若⊥，则m＝．14．若，则＝．15．已知1+2i是方程x2﹣mx+2n＝0（m，n∈R）的一个根，则m+n＝．16．△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c．已知2b

sinC＝（2a+b）tanB，c＝2，则△ABC面积的最大值为．四、解答题．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．设实部为正数的复数z，满足|z|＝，且复数（1+

2i）z在复平面上对应的点在第一、三象限的角平分线上．（1）求复数z；（2）若+（m∈R）为纯虚数，求实数m的值．18．已知，且．求：（1）sin（2α﹣β）的值；（2）β的值．19．如图，在四边形ODCB中，，且．（1）求的值；（2）点P在线段AB上，且BP＝3PA，求∠BC

P的余弦值．20．在①C＝；②a＝1；③S＝3这三个条件中，任选一个，补充在下面问题中，若问题中的三角形存在，求这个三角形的周长；若问题中的三角形不存在，请说明理由．问题：是否存在△ABC，它的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且△ABC面积为S，且4S＝b2+c2

﹣a2，ccosA+acosC＝，______？21．已知＝（sinx，cosx），＝（cosx，﹣cosx），设f（x）＝•．（1）当时，求f（x）的值域；（2）若锐角△ABC满足f（C）＝0，且不等式tan2A+t

an2B+mtanAtanB+1≥0恒成立，求m的取值范围．22．如图所示，公路AB一侧有一块空地△OAB，其中OA＝6km，OB＝6km，∠AOB＝90°，市政府拟在中间开挖一个人工湖△OMN，其中M，N都在边AB上（M，N不与A，B重合，M在A，N之间），

且∠MON＝30°．（1）若M在距离A点4km处，求OM和MN的长度；（2）为节省投入资金，人工湖△OMN的面积尽可能小，设∠AOM＝α，试确定α的值，使△OMN的面积最小，并求出最小面积．参考答案一、选择题（共8小题）.1．已知复数z满足，则它的虚部为（）A．﹣

iB．﹣1C．﹣2iD．﹣2解：复数z满足＝＝＝1﹣2i，则它的虚部为﹣2．故选：D．2．cos24°cos36°﹣cos66°cos54°的值等于（）A．0B．C．D．﹣解：cos24°cos36°﹣cos66

°cos54°＝sin66°cos36°﹣cos66°sin36°＝sin（66°﹣36°）＝sin30°＝故选：B．3．设，是两个不共线的向量，若向量＝﹣（k∈R）与向量＝共线，则（）A．k＝0B．k＝1C．k＝2D．k＝0.5解：设，是两个不共线的向量，若向量＝﹣（k∈R）与向

量＝共线，则：利用向量共线基本定理：k＝，故选：D．4．设，则＝（）A．2sinxB．2cosxC．﹣2sinxD．﹣2cosx解：∵，则＝，＝sinx+cosx+sinx﹣cosx＝2sinx．故选：A．5．轮船A和轮船B在中午12时

，同时离开海港O，两船航行方向的夹角为120°，两船的航行速度分别为25nmile/h，15nmile/h，则14时两船之间的距离是（）A．50nmileB．70nmileC．90nmileD．110nmile解：根据题意，轮船A行驶的距离为50nmile，轮船

B行驶的距离为30nmile，用图形表示如下：在△AOB中，OA＝50，OB＝30，∠BOA＝120°，∴根据余弦定理得，AB2＝OA2+OB2﹣2OA•OB•cos120°＝＝4900，∴AB＝70

（nmile）．故选：B．6．定义运算＝ad﹣bc、若cosα＝，＝，0＜β＜α＜，则β等于（）A．B．C．D．解：依题设得：sinα•cosβ﹣cosα•sinβ＝sin（α﹣β）＝．∵0＜β＜α＜，∴cos（α﹣β）＝．又∵cosα＝，∴s

inα＝．sinβ＝sin[α﹣（α﹣β）]＝sinα•cos（α﹣β）﹣cosα•sin（α﹣β）＝×﹣×＝，∴β＝．故选：D．7．在△ABC中，点D是AC上一点，且AC＝4AD，P为BD上一点，向量，则λ，μ满足的关系

为（）A．λ+μ＝1B．C．λ+4μ＝1D．4λ+μ＝1解：由AC＝4AD可得：，所以＝，因为P，B，D三点共线，所以λ+4μ＝1，故选：C．8．圭表（圭是南北方向水平放置测定表影长度的刻板，表是与圭垂直的杆）是中国古代用来确定节令

的仪器，利用正午时太阳照在表上，表在圭上的影长来确定节令．已知冬至和夏至正午时，太阳光线与地面所成角分别为α，β，表影长之差为l，那么表高为（）A．B．C．D．解：如图，设表高AB＝x，在△ACD中，∠CAD＝β﹣α，则，∴AC＝，在直角三角形ABC中，，即x＝AC•si

nβ＝＝l•＝．故选：D．二、多选题（共4小题）.9．已知向量＝（1，﹣2），＝（λ，1），记向量，的夹角为θ，则（）A．λ＞2时，θ为锐角B．λ＜2时，θ为钝角C．λ＝2时，为直角D．时，θ为平角解：根据题意，向量＝（1，﹣2），＝（λ，1），则•＝λ﹣2，依次分析选项：对

于A，当•＞0且、不共线时，θ为锐角，则有，解可得λ＞2，A正确；对于B，当•＜0且、不共线时，θ为钝角，则有，解可得λ＜2且λ≠﹣，B错误；对于C，当λ＝2时，•＝λ﹣2＝0，即θ为直角，C正确；对于D，当λ＝﹣时，向量＝（1，﹣2），＝（﹣，1），有＝﹣2，θ＝18

0°，D正确；故选：ACD．10．在△ABC中，下列说法正确的是（）A．若A＞B，则sinA＞sinBB．若，则sin2C＞sin2A+sin2BC．若sinA＜cosB，则△ABC为钝角三角形D．若sin2A＝sin2B，则A＝B解：由A＞B⇒a＞b⇒2RsinA＞2RsinB⇒si

nA＞sinB，A正确；由⇒c2＞a2+b2⇒sin2C＞sin2A+sin2B，B正确；由sinA＜cosB⇒cos（90°﹣A）＜cosB⇒90°﹣A＞B⇒A+B＜90°⇒C＞90°⇒△ABC为钝角三角形，C正确；sin2A＝sin2B⇒2A＝2B或2A+2B＝π⇒

A＝B或A+B＝，D错误．故选：ABC．11．设P是△ABC所在平面内的一点，，则（）A．B．C．D．解：显然成立，C对，∵，∴，∴＝＝，∴＝，∴，D对，∴＝≠，A错，∴＝≠，B错，故选：CD．12．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，，a＝2，若满足条件的三角形有且只有一个，

则边b的可能取值为（）A．1B．C．2D．3解：在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，，a＝2，所以，整理得：c2﹣bc+b2﹣4＝0，故△＝b2﹣4（b2﹣4）＝0，解得b＝（舍负），

或b2﹣4≤0，解得0＜b≤2．故b的取值为（0，2]∪{}．故选：ABC．三、填空题．请把答案直接填写在答题卡相应位置上．13．设向量＝（1，﹣1），＝（m+1，2m﹣4），若⊥，则m＝5．解：向量＝（1，﹣1）

，＝（m+1，2m﹣4），若⊥，则•＝m+1﹣（2m﹣4）＝﹣m+5＝0，则m＝5，故答案为：5．14．若，则＝﹣．解：∵tanα＝＝＝﹣∴＝＝﹣故答案为：﹣15．已知1+2i是方程x2﹣mx+2n＝0（m，n∈R）的一个根，则m+n＝．解：将x＝1

+2i代入方程x2﹣mx+2n＝0，有（1+2i）2﹣m（1+2i）+2n＝0，即1+4i﹣4﹣m﹣2mi+2n＝0，即（﹣3﹣m+2n）+（4﹣2m）i＝0，由复数相等的充要条件，得，解得m＝2，n＝，故．故答案为：．16．△ABC的内角A，B

，C的对边分别为a，b，c．已知2bsinC＝（2a+b）tanB，c＝2，则△ABC面积的最大值为．解：由2bsinC＝（2a+b）tanB，则2bsinC＝（2a+b），即2bcosBsinC＝（2a+b）sinB，由正弦定理得2sinBcosBsinC＝（2sinA

+sinB）sinB，∵sinB≠0，∴2cosBsinC＝2sinA+sinB＝2sin（B+C）+sinB＝2sinBcosC+2cosBsinC+sinB，即2sinBcosC+sinB＝0∵s

inB≠0，∴2cosC+1＝0，即cosC＝﹣，即C＝120°，∵c＝2，∴由余弦定理得：c2＝a2+b2﹣2abcosC，即12＝a2+b2﹣2ab×（﹣）＝a2+b2+ab≥2ab+ab＝3ab，即ab≤4，当且仅当a＝

b时取等号，则△ABC的面积S＝absinC≤×＝，即三角形面积的最大值为．故答案为：．四、解答题．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．设实部为正数的复数z，满足|z|＝，且复数（1+2i）z在复平面上对应的点在第一、三象限的角平分线上．（1）

求复数z；（2）若+（m∈R）为纯虚数，求实数m的值．解：（1）设Z＝a+bi（a，b∈R且a＞0），由得：a2+b2＝10①．又复数（1+2i）z＝（a﹣2b）+（2a+b）i在复平面上对应的点在第一、三象限的角平分线上，

则a﹣2b＝2a+b，即a＝﹣3b②．由①②联立的方程组得a＝3，b＝﹣1；或a＝﹣3，b＝1．∵a＞0，∴a＝3，b＝﹣1，则Z＝3﹣i．（2）∵为纯虚数，∴，解得m＝﹣5．18．已知，且．求：（1）sin（2α﹣β）的值；（2）β的

值．解：（1）∵已知，且，∴α﹣β为锐角，∴cosα＝＝，cos（α﹣β）＝＝，∴sin（2α﹣β）＝sin[α+（α﹣β）]＝sinαcos（α﹣β）+cosαsin（α﹣β）＝•+•＝．（2）由于cosβ＝cos[α﹣（α﹣β）]

＝cosαcos（α﹣β）+sinαsin（α﹣β）＝•+•＝，结合β∈（0，π），可得β＝．19．如图，在四边形ODCB中，，且．（1）求的值；（2）点P在线段AB上，且BP＝3PA，求∠BCP的余弦值．解：（1）根据题意，如图建立坐标系，A（2，0），B（0，1），C（3，2），则

＝（﹣1，﹣2），＝（﹣3，﹣1），＝（﹣2，1），则＝3+2＝5；（2）点P在线段AB上，且BP＝3PA，则P的坐标为（，），则＝（﹣，﹣），则•＝+＝，||＝，||＝，cos∠PCB＝＝＝．20．

在①C＝；②a＝1；③S＝3这三个条件中，任选一个，补充在下面问题中，若问题中的三角形存在，求这个三角形的周长；若问题中的三角形不存在，请说明理由．问题：是否存在△ABC，它的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且

△ABC面积为S，且4S＝b2+c2﹣a2，ccosA+acosC＝，______？解：因为4S＝b2+c2﹣a2，所以2bcsinA＝2bccosA，即sinA＝cosA，所以tanA＝1，由A为三角形

内角，得A＝，因为ccosA+acosC＝，由余弦定理，得c•+a•＝，化简，得b＝，选①C＝；B＝＝，由正弦定理，得＝，所以c＝，a＝2，此时三角形的周长为2++﹣1＝1++；②a＝1；由正弦定理，得，所以si

nB＝＞1，B不存在，此时三角形不存在；③S＝3，则＝＝3，所以c＝2，由余弦定理，得a2＝b2+c2﹣2bccosA＝6+12＝6，所以a＝，此时三角形的周长为2．21．已知＝（sinx，cosx），＝（cosx，﹣cosx），设f（x）＝•．（1）当时，求f（x）的值域；（2）

若锐角△ABC满足f（C）＝0，且不等式tan2A+tan2B+mtanAtanB+1≥0恒成立，求m的取值范围．解：（1）＝（sinx，cosx），＝（cosx，﹣cosx），f（x）＝•．所以，当时，，，∴．（2）由f（C）＝0可得，∴，∴，注意到tanAtanB＞

1，∴，设，不等式⇔（tanA+tanB）2﹣2tanAtanB+mtanAtanB+1≥0⇔（tanAtanB﹣1）2﹣2tanAtanB+mtanAtanB+1≥0，⇔t2﹣4t+mt+2≥0，恒成立，注意到，∴当时，，∴．

22．如图所示，公路AB一侧有一块空地△OAB，其中OA＝6km，OB＝6km，∠AOB＝90°，市政府拟在中间开挖一个人工湖△OMN，其中M，N都在边AB上（M，N不与A，B重合，M在A，N之间），且∠MON＝30°．

（1）若M在距离A点4km处，求OM和MN的长度；（2）为节省投入资金，人工湖△OMN的面积尽可能小，设∠AOM＝α，试确定α的值，使△OMN的面积最小，并求出最小面积．解：（1）在△OAB中，其中OA＝6km，OB＝6km，∠AOB＝90°，tan

∠OAB＝＝，∴∠OAB＝60°，在△AMO中，OM2＝OA2+AM2﹣2OA•AMcos60°＝28，∴cos＝，在△OAN中，sin∠ANO＝sin（∠A+∠AON）＝sin（∠A+∠NOM+∠AOM）＝sin（∠AOM+90°）＝cos∠AOM＝，在△OMN中，，∴MN＝；（2）

设∠AOM＝α，0°＜α＜60°，在△AMO中，，∴OM＝，在△ANO中，，∴ON＝，∴s＝＝，∵0°＜α＜60°，∴α＝15°时，△OMN的面积最小，最小值为54﹣27．