【文档说明】2025届高考数学一轮复习专练50 直线的倾斜角与斜率、直线的方程.docx，共(9)页，55.409 KB，由小赞的店铺上传

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4·昆明模拟)直线x+y-2023=0的倾斜角为()A.-π4B.π4C.π2D.3π4【解析】选D.由于直线x+y-2023=0的斜率为-1,倾斜角范围是[0,π),所以倾斜角为3π4.2.(5分)过点A

(4,1)且在两坐标轴上截距相等的直线方程为()A.x+y=5B.x-y=5C.x+y=5或x-4y=0D.x-y=5或x-4y=0【解析】选C.当直线过点(0,0)时,设直线为y=kx,则1=4k,得k=14,所以直线方程为y=14x,即x-4y=0;当直线不过点(0,0)时,可设直

线方程为𝑥𝑎+𝑦𝑎=1(a≠0),把(4,1)代入,解得a=5,所以直线方程为x+y=5.综上可知,直线方程为x+y=5或x-4y=0.3.(5分)(2024·南京模拟)已知点A(1,3),B(-2,-1).若直线l:

y=k(x-2)+1与线段AB相交,则k的取值范围是()A.[12,+∞)B.(-∞,-2]C.(-∞,-2]∪[12,+∞)D.[-2,12]【解析】选D.由已知直线l恒过定点P(2,1),如图所示,若l与线段AB相交

,则kPA≤k≤kPB,因为kPA=3-11-2=-2,kPB=-1-1-2-2=12,所以-2≤k≤12.【加练备选】设点A(2,-3),B(-3,-2),若直线l过点P(1,1)且与线段AB相交,则直线l的斜率k的取值范围是

()A.(-∞,-4]∪[34,+∞)B.(-∞,-14]∪[34,+∞)C.[-4,34]D.[-34,4]【解析】选A.如图所示:依题意,kPA=-3-12-1=-4,kPB=-2-1-3-1=34,

要想直线l过点P(1,1)且与线段AB相交,则k≥34或k≤-4.4.(5分)(2024·凉山模拟)已知直线ax+by+c=0经过第一、二、四三个象限,则()A.若c>0,则a>0,b>0B.若c>0,则a<0,b>

0C.若c<0,则a>0,b<0D.若c<0,则a>0,b>0【解析】选D.ax+by+c=0经过第一、二、四三个象限,则b≠0,故变形为y=-𝑎𝑏x-𝑐𝑏,故-𝑎𝑏<0,-𝑐𝑏>0,则a,b同号,b,

c异号,若c>0,则a<0,b<0,若c<0,则a>0,b>0,D选项正确,其他三个选项均错误.5.(5分)(多选题)关于直线方程y=kx+2,下列表述正确的有()A.是过点(0,2)的任意直线的方程B.是过点(0,2)且斜率为k的直线方程C.当直线到原点距离最远

时,k=0D.当直线在两坐标轴上截距相等时,k=1【解析】选BC.对于A,直线方程y=kx+2,不能表示斜率不存在时的直线,所以A错误;对于B,根据直线方程y=kx+2,可得直线方程表示过定点(0,2),且斜率为k的直线,所以B正确;对于C,易知原点

与直线所过定点(0,2)的连线为直线与原点的最远距离,此时k=0,所以C正确;对于D,易知直线在y轴上的截距为2,在x轴上的截距为-2𝑘,当直线在两坐标轴上的截距相等时,则有-2𝑘=2,解得k=-1,所以D错误.6.(5分)(多选题)(2024·邯郸模拟)已知△ABC的三个

顶点A(3,2),B(-2,3),C(4,5),则下列说法正确的是()A.直线AC的斜率为13B.直线AB的倾斜角为锐角C.BC边的中点坐标为(1,4)D.BC边上的中线所在的直线方程为x+y-5=0【解析】选CD.对于A,直线AC的斜率

为5-24-3=3,故A错误;对于B,直线AB的斜率为2-33+2=-15<0,所以直线AB的倾斜角为钝角,故B错误;对于C,设BC边的中点为D(x0,y0),则x0=-2+42=1,y0=3+52=4,即点D(1,4),故C正确;对于D,BC边上的中线AD所在的直线方程为

𝑦-24-2=𝑥-31-3,整理得x+y-5=0,故D正确.7.(5分)已知直线ax+y-2+a=0在两坐标轴上的截距相等,则实数a=1或2.【解析】依题意,a≠0,因此直线ax+y-2+a=0在x,y轴上的截距分别

为2𝑎-1,2-a,于是2𝑎-1=2-a,即a2-3a+2=0,解得a=1或a=2,所以实数a=1或a=2.8.(5分)(2024·大连模拟)直线l在x轴上的截距比在y轴上的截距小1,且过定点A(-3,8),则直线l的方程为4x+3y-12=0或2x+y-2=0

.【解析】设直线方程的截距式为𝑥𝑎+𝑦𝑎+1=1.则-3𝑎+8𝑎+1=1,解得a=3或a=1,则直线方程是𝑥3+𝑦3+1=1或𝑥1+𝑦1+1=1,即4x+3y-12=0或2x+y-2=0.9.(10分)(2023·聊城模拟)已知A(

1,4),B(-3,-10-2a),C(3-a,8)(a>0)三点在直线l上.(1)求实数a的值;(2)求直线l的方程;(3)已知P(6,4),在直线上求一点Q,使过P,Q的直线与直线l及x轴在第一象限内围成的三角形面积最小.【解析】(1)因为A(1,4),B(-3,-10-2a)

,C(3-a,8)(a>0)三点在直线l上,所以-10-2𝑎-4-3-1=8-43-𝑎-1,即a2+5a-6=0,解得a=1或a=-6(舍去).(2)由(1)知k=8-43-1-1=4,又因为直线l过点A(1,4),所以直线l的方程为y-4=4(x-1),即4x-y=0.(3)设Q(m

,4m)(m>1),又P(6,4),则直线PQ:y-4=4𝑚-4𝑚-6(x-6),令y=0,则x=5𝑚𝑚-1,即直线PQ与x轴交点的坐标为(5𝑚𝑚-1,0),所以直线PQ与l以及x轴在第一象限内所围成的三角形的面积

:S=12·5𝑚𝑚-1·4m=10𝑚2𝑚-1=10(𝑚-1)2+20(𝑚-1)+10𝑚-1=10(m-1)+10𝑚-1+20≥2√100+20=40,当且仅当10(m-1)=10𝑚-1,即m=2时取等号,故Q为(2,8)时,三角形面积最小.【能力提升练】10.(5分

)(2024·东营模拟)已知直线l:mx+2y+6=0,且向量(1-m,1)是直线l的一个方向向量,则实数m的值为()A.-1B.1C.2D.-1或2【解析】选D.因为直线l:mx+2y+6=0,直线l的一个方向向量为(-2,m),又因为向量(1-m,1)是直线l的一个方向向量,

所以-2-m(1-m)=0,解得m=-1或m=2.11.(5分)若光线沿倾斜角为120°的直线射向x轴上的点A(2,0),经x轴反射,则反射直线的点斜式方程是()A.y=-√33(x-2)B.y=√3(x-2)C.y=-√3(x-2)D.y=√33(x-2)【解析】选B.光线沿倾斜角

为120°的直线射向x轴,经x轴反射,则反射直线的倾斜角为60°,反射光线斜率为k=tan60°=√3,且反射光线过点A(2,0),则反射光线所在直线的点斜式方程是y=√3(x-2).12.(5分)(多选题)直线l:𝑥𝑎+𝑦𝑏=1中,已知a>0,b>0.若l

与坐标轴围成的三角形的面积不小于10,则数对(a,b)可以是()A.(3,8)B.(1,9)C.(7,4)D.(5,3)【解析】选AC.因为a>0,b>0,所以直线l与坐标轴围成的三角形的面积为S=12ab,于是12ab≥10,解得ab≥20.结合选项可知,(3,8),(7,4)满足题

意.13.(5分)已知直线经过A(a,0),B(0,b)和C(1,3)三个点,且a,b均为正整数,则此直线的一般式方程为x+y-4=0(或3x+y-6=0).(只写出符合条件的一条直线方程即可)【解析】因为直线经过A(a,

0),B(0,b),所以直线的截距式方程为𝑥𝑎+𝑦𝑏=1.又因为C(1,3)在直线上,所以1𝑎+3𝑏=1,整理得a=𝑏𝑏-3=1+3𝑏-3.又因为a,b均为正整数,所以b=4或6.所以当b=4时,a=4;

当b=6时,a=2.所以直线方程为𝑥4+𝑦4=1或𝑥2+𝑦6=1,即x+y-4=0或3x+y-6=0.14.(10分)已知在△ABC中,|AB|=|AC|,∠A=120°,A(0,2),边BC所在的直线方程为√3x-y-1=0,求

边AB,AC所在的直线方程.【解析】因为|AB|=|AC|,∠BAC=120°,所以△ABC是等腰三角形,且∠ABC=∠ACB=30°,由√3x-y-1=0可知,该直线的斜率为√3,所以该直线的倾斜角为60°.当过A(0,2)的直线不存在斜率时,此时该直线方程为x=0,与直线√3x-

y-1=0的夹角为30°,符合题意;不妨设B(0,-1).如图所示:当过A(0,2)的直线存在斜率k时,因为∠CAB=120°,所以直线AC的倾斜角为30°,k=√33,直线方程为y=√33x+2,所以边AB,AC所在的直线方程分别是x=0,y=√

33x+2.15.(10分)已知直线l:kx-y+1+2k=0(k∈R).(1)求证:直线l过定点;(2)若直线l不经过第四象限,求k的取值范围;(3)若直线与两坐标轴所围成三角形面积为4,求直线l的方程;(4)若直线l交x轴负半轴于点A,交y轴正半轴于点B,O为坐标原点,设△

AOB的面积为S,求S的最小值及此时直线l的方程.【解析】(1)方法一:设直线过定点(x0,y0),则kx0-y0+1+2k=0对任意k∈R恒成立,即(x0+2)k-y0+1=0恒成立.所以x0+2=0,-y0+1=0.解得x0=-2,y0=1

,故直线l过定点(-2,1).方法二:kx-y+1+2k=0可化为y-1=k(x+2),显然x=-2,y=1时对任意k∈R方程都成立,故直线过定点(-2,1).(2)直线l的方程为y=kx+2k+1,则直线l在y轴上的截距为2k+1,要使直线l不经过第四象限,则{𝑘≥0,1+2𝑘

≥0,解得k的取值范围是[0,+∞).(3)依题意,直线l在x轴上的截距为-1+2𝑘𝑘,在y轴上的截距为1+2k,由题意得(2𝑘+1)2|-2𝑘|=4,解得k=12或k=2√2-32或k=-2√2+32,故所求直线方程为x-2

y+4=0或(2√2-3)x-2y+4(√2-1)=0或(2√2+3)x+2y+4(√2+1)=0.(4)因为-1+2𝑘𝑘<0且1+2k>0,所以k>0,所以S=(2𝑘+1)22𝑘=12(4k+1𝑘+4)≥12×(4+4)=4,当且

仅当4k=1𝑘,即k=12时,等号成立.故S的最小值为4,此时直线l的方程为x-2y+4=0.【素养创新练】16.(5分)(多选题)已知直线xsinα+ycosα+1=0(α∈R),则下列命题正确的是()A.直线的倾斜角是π-αB.无论α如何变化,直线不过

原点C.直线的斜率一定存在D.当直线和两坐标轴都相交时,它和坐标轴围成的三角形的面积不小于1【解析】选BD.直线倾斜角的范围为[0,π),而π-α∈R,所以A不正确;当x=y=0时,xsinα+ycosα+1=1≠0,所以直线必不过原点,B正确;

当α=π2时,直线斜率不存在,C不正确;当直线和两坐标轴都相交时,它和坐标轴围成的三角形的面积为S=12|1-sin𝛼|·|1-cos𝛼|=1|sin2𝛼|≥1,所以D正确.