【文档说明】【精准解析】天津市实验中学2021届高三上学期第一次阶段考试数学试题.doc，共(20)页，1.604 MB，由小赞的店铺上传

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2019—2021届高三年级第一次阶段考数学学科试卷一、选择题：本大题共9小题，每小题5分，共45分.1.已知集合113579U=−，，，，，，15A=，，157B=−，，，则()UBA=ð（）A.39，B.157，，C.113

9−，，，D.11379−，，，，【答案】A【解析】【分析】先求出集合,AB的并集，再求出补集即可得解.【详解】因为15A=，，157B=−，，，所以{1,1,5,7}AB=−，又113579U=

−，，，，，，所以()UBA=ð{3,9}.故选：A.【点睛】本题考查了集合的并集和补集的运算，属于基础题.2.设xR，则“230xx−”是“12x−”的（）A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件【答案

】A【解析】【分析】分别求出230xx−和12x−的解，根据充分必要条件的定义判定，即可求出结论,【详解】230xx−得03x，12x−得13x-<<，03x成立，则13x-<<成立，而13x-<<成立，03x不一定成立，所以“230xx−”是“12x−”的充分不必要条

件.故选：A.【点睛】本题考查充分不必要条件的判定，属于基础题.3.某学校组织学生参加英语测试，成绩的频率分布直方图如图，数据的分组一次为)))20,40,40,60,60,80,[80,100].若低于60分的人数是15人，则该班的学生人数是()A.45B.50C.

55D.【答案】B【解析】根据频率分布直方可知成绩低于60分的有第一、二组数据，在频率分布直方图中，对应矩形的高分别为0.005，0.01，每组数据的组距为20，则成绩低于60分的频率P=(0.005+0.010)×20=0.3.又因为低于60分的人数是

15人，所以该班的学生人数是15÷0.3=50.本题选择B选项.4.定义在R上的偶函数()fx，对任意的()12,,0xx−，都有()()()12120xxfxfx−−，(1)0f−=，则不等式()0xfx的解集是（）A.(

1,1)−B.(,1)(1,)−−+C.(1,0)(1,)-??D.(,1)(0,1)−−【答案】D【解析】【分析】根据题目所给条件判断出函数的单调区间和零点，画出函数的大致图像，由此判断出正确选项.【详解】由于对任意的()12,,0xx−，都有()()()12120

xxfxfx−−，所以函数在(),0−上为减函数，由于函数是R上的偶函数，故函数在()0,+上递增，且()()110ff=−=，由此画出函数大致图像如下图所示，由图可知，不等式()0xfx的解集是(,1)(0,1)

−−.故选D.【点睛】本小题主要考查函数的单调性和奇偶性，考查数形结合的数学思想方法，属于基础题.5.已知2logae=，ln2b=，121log3c=，则a，b，c的大小关系为（）A.abcB.bacC.cbaD.cab【答案】D

【解析】【分析】根据对数运算的性质，结合对数函数的单调性进行判断即可【详解】因为2loge>1a=，0ln21b=，12221loglog3log3ce==，据此可得：cab.故选：D【点睛】本题考查了对数式的比较，考查了对数函数的性质应用，考

查了数学运算能力.6.函数xxxxeeyee−−+=−的图像大致为（）A.B.C.D.【答案】A【解析】试题分析：xxxxeeyee−−+=−2211xe=+−为奇函数且x0=时，函数无意义，可排除,CD，又在(,0),

(0,)−+是减函数，故选A.考点：1.函数的奇偶性；2.函数的单调性；3.函数的图象.7.已知()24lnfxxaxx=++在()1,+上是增函数，则实数a的取值范围为（）A.(,42−−B.(,22−−C.)42,−+D.)4,−+

【答案】C【解析】【分析】由题意结合导数与函数单调性的关系可得()420fxxax=++在()1,+上恒成立，进而可得42axx−+在()1,+上恒成立，再由基本不等式求得42xx−+的最大值即可得解

.【详解】因为()24lnfxxaxx=++在()1,+上是增函数，所以()420fxxax=++在()1,+上恒成立，所以42axx−+在()1,+上恒成立，因为当()1x+，时，4422242xxxx−+−=−，当且仅当2x=时，等号成立

，所以42a−，即实数a的取值范围为)42,−+.故选：C.【点睛】本题考查了导数与函数单调性关系的应用，考查了基本不等式解决恒成立问题的应用，属于中档题.8.已知函数()2cosfxxx=−，,22x

−，则（）A.()()3012fff−B.()()3102fff−C.()()3102fff−D.()()3102fff−

【答案】C【解析】【分析】由偶函数的定义可判断函数()fx是定义在,22−上的偶函数，导数可得函数()fx在0,2上单调递增，根据函数的单调性及奇偶性即可得解.【详解】因为()()()()22coscosfxxxxxfx−=−−−=−=，所以函数()f

x是定义在,22−上的偶函数，所以()()11ff−=，因为当0,2x时，()2sin0fxxx=+，所以函数()fx在0,2上单调递增，所以()()3102fff

即()()3102fff−故选：C.【点睛】本题考查了导数判断函数单调性的应用，考查了函数单调性与奇偶性比较大小的应用，属于基础题.9.已知函数()()()1120220xxfxfxx−+−=−+，，，，，若方程()fxxa=+在区间2−，4内有

3个不相等的实根，则实数a的取值范围是（）A.20aa−B.20aa−或1a=C.20aa−或12aD.20aa−【答案】B【解析】【分析】转化为函数()yfx=与函数yxa=+的图象在2−

，4内有三个交点，求出2(]0,x和(2,4]x的解析式，再利用图象可得结果.【详解】方程()fxxa=+在区间2−，4内有3个不相等的实根，等价于函数()yfx=与函数yxa=+的图象在2−，4内有三个交点，当[2,0]x−时，()1|1|fxx=−+，当2(]0,

x时，2(2,0]x−−，()()()2(2)21|21|21|1|fxfxxx=−=−−+=−−，当(2,4]x时，2(0,2]x−，()()2(2)41|3|fxfxx=−=−−，作出函数()yfx=在2−，4内的图象，如图：由图可知：20a−或1a=，故选：B.【点睛】本题考

查了分段函数的图象的应用，考查了转化与化归思想、数形结合思想，考查了由方程根的个数求参数的取值范围，属于中档题.二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分.10.设i是虚数单位，()12aiibi+=+（,abR），则ba−=_____．【答案】3．【解析】【分析】根据复数

相等的充要条件，建立,ab方程，求解即可.【详解】(),,122abRaiibibbi+=+=−+，2211ababb=−=−==，3ba−=.故答案为：3.【点睛】本题复数的代数运算和复数相

等定义的应用，属于基础题.11.83122xx−的展开式中的常数项为_____．【答案】74．【解析】【分析】求出83122xx−的通项公式，令x的指数为0，即可求解.【详解】83122xx−的通项公式是38822441881(2)()(1)22kk

kkkkkkTCxCxx−−−+=−=−，0,1,2,8k=，依题意，令2440,6kk−==，83122xx−的展开式中的常数项为64288172164CC−==.故答案为：74.【点睛】本题考查二项展开式定理，

熟记展开式通项是解题的关键，属于基础题.12.某大学志愿者协会有6名男同学，4名女同学，在这10名同学中，3名同学来自数学学院，其余7名同学来自物理、化学等其他互不相同的七个学院，现从这10名同学中随机选取3名同学，到希望小学进行支教.选出的3名同学是来自互不相同

学院的概率_______，设X为选出的3名同学中女同学的人数，则X的数学期望为_______.【答案】(1).4960(2).65【解析】【分析】利用排列组合求出所有基本事件数及符合要求的基本事件数，代入古典概型概率公式即可求得选出的3名同学是来自

互不相同学院的概率；由题意结合超几何分布概率公式可求得分布列，再由期望公式即可得解.【详解】设“选出的3名同学是来自互不相同的学院”为事件A，则()120337373104960CCCCPAC+==；随机变量X的所有可能值为0,1,2,3.()()031244633

11600110,1,62CCCCPXPXCC======()()21304463361010312,3,1030CCCCPXPXCC======X的分布列为X0123P1612310130所以X的数学期望()1131601236210305EX=+++=.故答案为：496

0；65.【点睛】本题考查了超几何分布概率公式的求解，考查了离散型随机变量分布列及数学期望的求解，属于中档题.13.已知函数3221()3fxxaxaxb=+++，当1x=−时函数()fx的极值为712−，则(2)f=．【答案】10112【解析】f

′(x)=x2+2ax+a.由题意知f′(-1)=0,f(-1)=-712,即12aa0,17aab,312−+=−+−+=−解得a1,1b.4==−所以f(x)=13x3+x2+x-14.所

以f(2)=10112.14.设函数()31fxxx=−，则()fx在动点()()00,Pxfx处的切线斜率的最小值为_______.【答案】23【解析】【分析】由导数的几何意义、导数的运算可得()fx在

点()()00Pxfx，处的切线斜率202013kxx=+，再由基本不等式即可得解.【详解】因为函数()31fxxx=−，所以()2213fxxx+=，所以()fx在点()()00Pxfx，处的切线斜率()02

02013kfxxx==+，由基本不等式可得002200221132323xxxx+=，当且仅当2033x=时，等号成立所以()fx在动点()()00Pxfx，处的切线斜率的最小值为23.故答案为：23.【点睛】本题考查了导数的运算及几何意义

的应用，考查了基本不等式求最值的应用，属于基础题.15.函数()21,1,{ln,1,xxfxxx−=若方程()12fxmx=−恰有四个不相等的实数根，则实数m的取值范围是__________．【答案】1,2e

e【解析】作出函数()21,1,,1,xxfxlnxx−=与函数()12fxmx=−的图象，如图所示：由题意,直线()12fxmx=−过(1,0)时,12k=，x>1时,()()1,'fxlnxfxx==，直线与y

=lnx相切时,设切点坐标为(a,lna),则切线方程为()1ylnaxaa−=−,即11yxlnaa=−+，令112lna−+=−,则ae=,∴1ekae==，∴函数()21,1,,1,xxfxlnxx−=若方程()12fxmx=−恰有四

个不相等的实数根，实数m的取值范围是1,2ee.点睛：已知函数有零点求参数常用的方法和思路：（1）直接法：直接根据题设条件构建关于参数的不等式，再通过解不等式确定参数范围；（2）分离参数法：先将

参数分离，转化成函数的值域问题解决；数形结合法：先对解析式变形，在同一个平面直角坐标系中，画出函数的图像，然后数形结合求解.三、解答题：本大题共5个题，共75分.16.在ABC中，角A，B，C所对边分别为a，b，c，且sinsinsin2sinaAcCbBaC+−=．（Ⅰ）求角B的大小；（Ⅱ）若3

2ab=．（i）求sinA的值；（ii）求()sin2AB+的值．【答案】（Ⅰ）4B=；（Ⅱ）（ⅰ）23，（ⅱ）475218+．【解析】【分析】（Ⅰ）根据正弦定理将已知等式角化边，再由余弦定理，即可求出B；（Ⅱ）（i）由32ab=，得出sin,sinAB关系，即可

求解；（ii）根据A范围求出cos,sin2,cos2AAA，结合两角和的正弦公式，即可得出结论.【详解】（Ⅰ）sinsinsin2sinaAcCbBaC+−=由正弦定理，得22222222,cos22acbacbacBac+−+−===，0,4BB=；（Ⅱ）（i）223

2,sinsin33abAB===；（ii）27,,cos1sin3abABAA=−=，22145sin22sincos,cos22cos199AAAAA===−=，()221454752sin2sin242918ABA+++=+==【点睛】本题考查正弦定理、余

弦定理解三角形，利用三角恒等变换求值，考查计算求解能力，属于基础题.17.如图，在四棱锥PABCD−中，PA⊥平面ABCD，2PAABAD===，四边形ABCD满足ABAD⊥，//BCAD，4BC=，点M为PC中点，点E为BC边上的动点，且BEEC=.（1）求证：//DM平面PAB

.（2）求证：平面ADM⊥平面PBC.（3）是否存在实数，使得二面角PDEB−−的余弦值为23？若存在，试求出实数的值；若不存在，说明理由.【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析；（3）存在，且13=或3=.【解析】【分析】（1）建立空间直角坐标系，利用直线DM的方向向量和

平面PAB的法向量垂直，证得//DM平面PAB.（2）根据平面ADM和平面PBC的法向量垂直，证得平面ADM⊥平面PBC.（3）设出E点的坐标()2,,0a，利用二面角PDEB−−的余弦值为23列方程，解方程求得a，进而求得的值.【详解】（1）因为PA⊥平

面ABCD，所以,PAADPAAB⊥⊥，而ABAD⊥，所以,,PAABAD两两垂直.以A为空间坐标原点建立空间直角坐标系如下图所示.则()()()()()0,0,2,2,0,0,0,2,0,2,4,0,1,2,1PBDCM，由于,,ADPAADABPAABA^

^?，所以AD⊥平面PAB，所以()0,2,0AD=是平面PAB的法向量.由于()1,0,1DM=，0ADDM=，所以//DM平面PAB（2）设平面ADM的法向量为()1111,,nxyz=，则1111112020nADynAMxyz===++=，令11x=

，则()11,0,1n=−.设平面PBC的法向量为()2222,,nxyz=，则2222222040nBPxznBCy=−+===，令21x=，则()21,0,1n=.所以12110nn=−=，所以

平面ADM⊥平面PBC.（3）设()2,,0Ea，04a依题意可知平面BDE的法向量为()0,0,2AP=，设平面PDE的法向量为()3333,,nxyz=，则()333333220220nDPyznDExay=−+==+−=，令31z=，则32,1,12an−=.

因为二面角PDEB−−的余弦值为23，所以3332cos,3APnAPnAPn==，即222322112a=−++，解得1a=或3a=.所以存在符合题意，且13BEEC==，或3BEEC

==.【点睛】本小题主要考查线面平行、面面垂直的证明，考查二面角的探究性问题的求解，考查空间想象能力和逻辑推理能力，属于中档题.18.已知椭圆22221(0)xyabab+=的左焦点为F，左顶点为A，上顶点为B.已知32OAOB=(O为原点)（1）求椭圆的离心率；（2）设经过点F

且斜率为34的直线l与椭圆在x轴上方的交点为P，圆C同时与x轴和直线l相切，圆心C在直线4x=上，且//OCAP，求椭圆的方程.【答案】（1）12；（2）2211612xy+=.【解析】【分析】（1）由题意结合椭圆的性质可得32ab=，再由椭圆离心率公式即可得解；（

2）由题意可设椭圆方程、直线方程，联立方程组可得3,2cPc，再由//OCAP可得//OCAP，由平面向量共线的性质可得2m=，再由圆与直线相切即可得解.【详解】（1）由题意可得(),0Aa−，()0,Bb，设(),0Fc−，因为32OAOB=，所以32ab=，所以椭圆离心率为2

22311122cbeaa==−=−=；（2）由（1）得2ac=，3bc=，所以椭圆方程可设为22221(0)34cxycc+=，直线()3:4lyxc=+，设圆心()4,Cm，由()222234143

yxcxycc=++=，消去y整理得2276130xcxc+−=即()()3071cxcx+-=，所以137cx=−或xc=，当137cx=−时，914cy=−；当xc=时，32cy=；又P在x轴上

方，所以3,2cPc，因为//OCAP，所以//OCAP，因为()4,OCm=，33,3,22ccAPcac=+=，所以3432ccm=，所以2m=，所以()4,2C，由圆C同时与x轴和直线l相切，可得

圆C的半径为2，所以点()4,2C到直线l的距离()234242314c+−=+，解得2c=（负值舍去），所以4a=，23b=，所以椭圆方程为2211612xy+=.【点睛】本题考查了直线与圆、直线与椭圆的综合应用，考查了椭圆离心率及标准方程的求解，合理

转化、细心运算是解题关键，属于中档题.19.已知等比数列na的前n项和为nS，0na且1336aa=，()34129aaaa+=+.（1）求数列na的通项公式；（2）若13nbnS+=，求数列nb及数列nn

ab的前n项和nT.（3）设()()111nnnnacaa+=++，求nc的前n项和nP.【答案】（1）123nna−=；（2）(21)3122nnnT−=+；（3）nP=116432n−+【解析】【分析】(1)由()()212129aaqaa+

=+及0na可得q的值，由1336aa=可得1a的值，可得数列na的通项公式；（2）由（1）可得nS，由13nbnS+=可得nbn=，可得nnab=123nn−，由列项相消法可得nT的值；（3）可得()()11123111()2231231231231nnnnnnc−−−==

−++++，可得nP的值.【详解】解：（1）由题意得：()34129aaaa+=+，可得()()212129aaqaa+=+，29q=，由0na，可得3q=，由1336aa=，可得21136aaq=，可得12a=，可得1*23()nnanN−=;(2)由123nna

−=，可得1(1)2(31)31131nnnnaqSq−−===−−−，由13nbnS+=，可得3113nbn−+=，可得nbn=，可得nnab的通项公式：nnab=123nn−，可得：0122123223233...

2(1)323nnnTnn−−=++++−+①1231323223233...2(1)323nnnTnn−=++++−+②①-②得：13(31)2222331nnnTn−−−=+−−23323nnn=+−−=(12)31nn−−，可得(21)

3122nnnT−=+;(3)由()()111nnnnacaa+=++可得()()11123111()2231231231231nnnnnnc−−−==−++++，可得：nP=11111111(...)237719231231nn−−+−++−++=111()23

231n−+=116432n−+【点睛】本题主要考查等差数列、等比数列的性质及数列的求和，综合性大，难度中等.20.已知函数()ln2fxxax=−(其中)aR.（1）当1a=时，求函数()fx的图象在1x=处的切线方程；（2）若()1fx≤恒

成立，求a的取值范围；（3）设()()212gxfxx=+，且函数()gx有极大值点0x，求证：()200010xfxax++.【答案】（1）10xy++=；（2）21[,)2e+；（3）证明过程见详解.【解析】【分析

】（1）先求函数解析式()ln2fxxx=−，再求切点坐标与切线斜率k，最后求切线方程；（2）先将函数代入使用参变分离得到ln12xax−，再构建新函数ln1()2xhxx−=，接着借导函数研究函数的单调性求()h

x的最大值，最后求a的取值范围；（3）先根据函数()gx有极大值点0x，求出20012xax+=，接着转化不等式()200010xfxax++为30000ln1022xxxx−−++，构建新函数3()ln122xxxxx=−−++，（01x），利用

导函数研究函数的单调性，得到0()(1)0x=，即可证明.【详解】解：（1）∵()ln2fxxax=−，1a=，∴()ln2fxxx=−，当1x=时，则()1ln1212f=−=−，∴切点为(1,2)−，∴1'()2fxx=−（0x），∴1'(1)211kf==−=−∴函数()fx的图

象在1x=处的切线方程为：(2)(1)(1)yx−−=−−即10xy++=（2）不等式()1fx≤恒成立，即ln21xax−恒成立，∴2ln1axx−，∵0x，∴ln12xax−令ln1()2xhxx−=，则242ln'()4xhxx−=当20xe时，242ln'()

04xhxx−=，ln1()2xhxx−=单调递增；当2xe时，242ln'()04xhxx−=，ln1()2xhxx−=单调递减；∴当2xe=时，242ln'()04xhxx−==，ln1()2xhxx−=取得最大值，∴22max22ln11()()22e

ahxheee−===，∴a的取值范围为：21[,)2e+，（3）证明：∵()()22112ln22gxfxxxaxx=−+=+，∴()222121()12'xaxxaaaxxxxxg−+−+−=−+==∴当11a−时，()'0gx，()gx单调递增，无极值点，不符合题意；∴当1

a−或1a时，令()'0gx=，则2210xax−+=的两根为0x和1x，∵0x是函数()gx的极大值点，∴100xx由011xx=，012xxa+=，100xx，∴001x∵0'()0gx=，即00120xax+−=，解得：20012xax+=()3200000020

0000(ln2)1ln1122xxxxaxaxfxxxxax=−++=−−++++，001x令3()ln122xxxxx=−−++，（01x）则231'()ln22xxx=−++，（01x）令231()ln22xxx=−

++，（01x）则2113'()3xxxxx−=−+=，（01x）当303x时，'()0x，()x单调递增；当313x时，'()0x，()x单调递减，∴()x在01x上的最大值max33()()ln033x==，∴'()x在01x上的最大值3ln03

∴3()ln122xxxxx=−−++在01x上单调递减，∴0()(1)0x=，∴()200010xfxax++【点睛】本题考查导数的几何意义、导数研究函数的单调性、导数研究函数的极值，最值，还考查了构造法，参变分离法，分类讨论等数学思想方法，是压轴题.